奥数常见裂项法 裂项试题和裂项公式
小学奥数之裂项
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）n·n!=(n+1)!-n!公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
小学五年级奥数 分数裂项初步(寒假课程)
分数计算技巧(裂项)(寒假课程)2、分数裂和:⑴目的：抵消.本讲主线⑵特点：分子为分母之和.1.分数计算裂差.2.分数计算裂和.⑶公式：ab11⑷口诀：分数裂项两肩挑.【课前小练习】(★)计算：1、分数裂差:⑴目的：抵消.⑵特点：分子相同、分母为连续的等差数列.⑶公式：111 1()a b a b差值⑷口诀：分数裂项两肩挑.，之后乘以差值分之一111 111⑴⑵⑶233457版块一∶分数计算-裂差【例1】(★★)计算:111 1122334910 【例2】(★★★)1111 1133********【巩固】(★★)计算:11 1......101111125960 【拓展】(★★★☆)444 414477104952_____1【拓展】(★★★)⑵计算:1111 124466881098100444 4......1559939797101版块二∶分数计算-裂和【例3】(★★★)4812162024计算:133557799111113【例4】(★★★★)【例5】(★★★)计算:11111111 1 2612203042567290 3112339759839 26122038042015791113151719 ⑵126122030425672902【例6】(★★★★)2 3 5 6 8 9 11 12 98 991 4 47 710 1013 97100 【超常大挑战】(★★★★)1 1 1 11 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100知识大总结【今日讲题】例2, 例3, 例5, 超常大挑战1、分数裂差:⑴特点：分子相同、分母为连续的等差数列.⑵公式： 1 1 1 1( )a b a b差值2、分数裂和:⑴特点：分母为连续等差数列，分子为分母之和.⑵公式：a b 1 1a b a b 【讲题心得】_______________________________________________ ______________________________________.【家长评价】_______________________________________________ __________________________________.抵消3。
常用的八个裂项公式例题
常用的八个裂项公式例题裂项法是数学中非常实用的一种解题技巧，在计算一些复杂的式子时往往能起到奇效。
下面咱就来好好聊聊常用的八个裂项公式，并且通过例题来加深理解。
咱先来说说第一个裂项公式：$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n + 1}$ 。
比如有这么一道题：计算$\frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} +\frac{1}{3\times4} + \cdots + \frac{1}{99\times100}$ 。
这道题如果直接计算，那可太麻烦啦。
但是用上咱刚说的裂项公式，就能轻松搞定。
$\frac{1}{1\times2} = 1 - \frac{1}{2}$ ，$\frac{1}{2\times3} =\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ，$\frac{1}{3\times4} = \frac{1}{3} -\frac{1}{4}$ ，以此类推，最后一项$\frac{1}{99\times100} =\frac{1}{99} - \frac{1}{100}$ 。
把这些式子加起来，中间的项都能相互抵消，最后就剩下$1 -\frac{1}{100} = \frac{99}{100}$ 。
是不是简单多啦？再来看第二个裂项公式：$\frac{1}{n(n + k)} =\frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k})$ 。
比如说，计算$\frac{1}{1\times4} + \frac{1}{4\times7} +\frac{1}{7\times10} + \cdots + \frac{1}{97\times100}$ 。
因为这里的$k = 3$ ，所以$\frac{1}{1\times4} = \frac{1}{3}(1 -\frac{1}{4})$ ，$\frac{1}{4\times7} = \frac{1}{3}(\frac{1}{4} -\frac{1}{7})$ ，以此类推。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a bb a ab a ba 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1 (541)431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n nn n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n nn n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， 特殊数列求和公式平方差公式 ))((22b a b a b a -+=- 完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
小学奥数裂项公式大全
小学奥数裂项公式大全裂项公式是指将多项式分解为各个因式之积的一种数学方法，它是数学中最为常用的一种公式之一。
在小学数学中，裂项公式被广泛用于解方程问题，是小学数学学习的重要组成部分。
裂项公式有许多种，小学奥数裂项公式大全是学习小学奥数的重要参考资料，务必要好好掌握。
下面将介绍小学奥数裂项公式大全中的内容。
1、一元二次方程裂项公式。
一元二次方程的裂项公式是 x2 + bx + c = (x + a1)(x + a2)，其中，a1和a2是方程的根，可以通过求解一元二次方程来获得。
2、二元一次方程组裂项公式。
二元一次方程组的裂项公式有两种：一是求解二元一次方程组的代数式，即 x y = a b；二是计算等价式的方法，即 xy = (x + c)(y + d)。
3、三元一次方程组裂项公式。
三元一次方程组的裂项公式如下：x + y + z = a b c，其中a、b、c可以通过求解三元一次方程组来获得。
4、三次方程的裂项公式。
三次方程的裂项公式是 x3 + bx2 + cx + d = (x + a1)(x + a2)(x + a3)，其中a1、a2、a3可以通过求解三次方程来获得。
以上就是小学奥数裂项公式大全内容的简要介绍，希望我们能够真正掌握这些公式，从而做好小学奥数的学习。
从小学开始，学习数学就要掌握公式，其中除了裂项公式外，还有平方公式、立方公式、二次求根公式、二次型方程公式等。
而要想掌握这些公式，就需要我们记住这些公式，并熟练掌握它们的运用。
所以，如果我们想要学好小学数学，就要认真的研究这些公式，将它们仔细记住，并形成自己的思维模式，调整自己的学习思维，从而找到最有效的解题方法。
另外，在解题过程中，我们还要注意遵循一定的解题步骤，遵循具体的解题技巧，这样才能够顺利完成解题，没有遗漏任何内容。
综上所述，小学奥数裂项公式大全是学习小学奥数的重要参考资料，要掌握这些公式，就要认真的研究，将它们记住，并熟练掌握它们的应用。
奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式
1
证： Sn
=
1 (1 − 3
1) + 4
1 (1 34
−
1) + 7
1 (1 37
− 1 )++ 10
1( 1 3 3n − 2
−
1) 3n + 1
= 1 (1 − 1 ) = n 3 3n + 1 3n + 1
15.求和：
Sn
=
1 1× 3
+
1 2×
4
+
1 3×5
+
1 4×6
++
1 n(n +
2)
例 2. 计算： 1 + 1 + 1 + … +
1
1 1+2 1+2+3
1 + 2 + 3 + … + 100
公式的变式
1
=2
1 + 2 + … + n n × (n − 1)
当 n 分别取 1，2，3，……，100 时，就有
1= 2 1 1×2
1=2 1+2 2×3
1 =2 1+2+3 3×4
1
=2
98 99 99 100
=1− 1 100
= 99 100
2. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a＜
b，那么有:
(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：
二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
（2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”
分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或凑整
三、整数裂项基本公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
裂项求和部分基本公式1.求和：
证：
2.求和：
证：
3.求和：
证：
4.求和：
证：
5.求和：
证：因为，特殊数列求和公式
平方差公式
完全平方和（/差）公式。
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证：
Sn
=
1 (1 − 2
1) + 3
1 (1 23
−
1) + 5
1 (1 25
−
1) ++ 7
1( 1 − 2 2n −1
1) 2n + 1
=
1 (1 − 2
1) 2n + 1
=
n 2n + 1
14.求和：
Sn
=
1 1× 4
+
4
1 ×
7
+
7
1 × 10
+
+
(3n
−
1 2)(3n
+
1)
=
n 3n +
98 99 99 100
=1− 1 100
= 99 100
2. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
6
=2+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算， 1 = 1 + 1 就变成 1 − 1 = 1 ，与前
6 () <>
6( ) < >
面提到的等式 1 − 1 = 1 相联系，便可找到一组解，即 1 = 1 + 1
n n + 1 n(n + 1)
6 7 42
另外一种方法
设 n、x、y 都是自然数，且 x ≠ y ，当 1 = 1 + 1 时，利用上面的变加为减的想法， nxy
= 2×(1 − 1 ) 2 16
= 1− 1 8
=7 8
3. 已知 x、y 是互不相等的自然数，当 1 = 1 + 1 时，求 x + y 。 18 x y
x + y 的值为：75，81，96，121，147，200，361。 因为 18 的约数有 1，2，3，6，9，18，共 6 个，所以有 1 = 1 + 1 = 1 + 1
11111
11 1 1
= 2 × (1 − + − + − + … + − + − )
22334
99 100 100 101
1 = 2 × (1 − )
101 = 2 × 100
101
= 200 101
= 1 99 101
例 3. 设符号（
）、<
>代表不同的自然数，问算式 1 = 1 + 1 中这两个 6 ( )< >
1996 × 1997 1996 1997
上面 12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0，这
一来问题解起来就十分方便了。
1
+
1
+
1
+… +
1
+
1
1985 × 1986 1986 × 1987 1987 × 1988
1995 × 1996 1996 × 1997
+1 1997
1
证： Sn
=
1 (1 − 3
1) + 4
1 (1 34
−
1) + 7
1 (1 37
− 1 )++ 10
1( 1 3 3n − 2
−
1) 3n + 1
= 1 (1 − 1 ) = n 3 3n + 1 3n + 1
15.求和：
Sn
=
1 1× 3
+
1 2×
4
+
1 3×5
+
1 4×6
++
1 n(n +
2)
19、1 + 3 + 5 + 7 +（2n − 1）= n2
20、12 + 22 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
21、12 + 32 + 52 + +（2n − 1）2 = n(2n + 1)(2n − 1) = n × (4n2 − 1)
3
3
22、13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + n)2 = n2 (n + 1)2
n × (n
1 + 1) ×
(n
+
2)
=
1 2
n×
1 (n
+ 1)
−
(n
1 + 1) × (n
+
2)
n×
(n
+
1)
×
1 (n +
2)
×
(n
+
3)
=
1 3
n×
(n
+
1 1) ×
(n
+
2)
−
(n
+
1)
×
(n
1 +
2)
×
(n
+
3)
5、 a + b = a + b = 1 + 1 a×b a×b a×b b a
6、 a2 + b2 = a2 + b2 = a + b a×b a×b a×b b a
7、 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + ...... + (n − 1) × n = 1 (n − 1)n(n + 1) 3
8、 1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + ...... + (n − 2) × (n − 1) × n = 1 (n − 2)(n − 1)n(n + 1) 4
1
12.求和：
Sn
=
1 1× 2
+
1 2×3
+
1 3×
4
+
1 4×5
+
...... +
1 n(n + 1)
=
n n+1
证
：
Sn
=
(1 −
1) 2
+
(1 2
−
1) 3
+
(1 3
−
1) 4
+
(1 4
−
1) 5
+
+
(1 n
−
1) n+1
=1−
1 n+1
=
n n+1
11 1 1
1
n
13.求和： Sn = 1× 3 + 3× 5 + 5 × 7 + 7 × 9 + + (2n − 1)(2n + 1) = 2n + 1
1( 1 2 2×3
−
1) 3× 4
++
1[ 1 2 n(n + 1)
−
(n
1 + 1)(n
+
] 2)
= 1[1 −
1
]
2 2 (n + 1)(n + 2)
17、1 + 2 + 3n = n(n + 1) 2
18、1 + 2 + 3 + +（n −1）+ n +（n −1）+ + 3 + 2 + 1 = n2
分析与解答：
1
= 1−1
1985 × 1986 1985 1986
1
= 1−1
1986 × 1987 1986 1987
1
= 1−1
1987 × 1988 1987 1988
……
1
= 1−1
1994 × 1995 1994 1995
3
1
= 1−1
1995 × 1996 1995 1996
1
= 1−1
【模拟试题】（答题时间：243; 1 + 1 +…+ 1 + 1
1×2 2×3 3×4
98 × 99 99 × 100
2. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
=
1 (1 + 3
1 2
−
1 n+1
−
n
1 +
) 2
证： Sn
=
1 (1 − 2
1) + 3
1 (1 22
−
1) + 4
1 (1 23
−
1) + 5