(全国通用)高考数学一轮复习第五章数列热点专题突破三数列的综合问题习题理【含答案】

热点专题突破三数列的综合问题
1.公差d>0的等差数列{a n}中,a1=2,a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)数列{b n}满足a n=+…+,求数列{b n}的通项公式.
1.【解析】(1)因为a1,a2,a4成等比数列,
所以(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d=a1=2,
所以a n=a1+(n-1)d=2n.
(2)因为a n=+…+,①所以a n-1=+…+. ②①-②得a n-a n-1= (n≥2),
即b n=2(2n+1)=2n+1+2(n≥2),
当n=1时,b1=6适合上式,
所以b n=2n+1+2.
2.数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n+1,数列{b n}为等差数列,且b3=3,b5=7.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,·k≥b n恒成立,求实数k的取值范围.
2.【解析】(1)由a n+1=2S n+1,①得a n=2S n-1+1,②①-②得a n+1-a n=2(S n-S n-1),
∴a n+1=3a n(n≥2).
又a2=3,a1=1也满足上式,
∴a n=3n-1.
由b5-b3=2d=6,
可得d=3,
∴b n=3+(n-3)×3=3n-6.
(2)S n=,
∴k≥3n-6对n∈N*恒成立,
∴k≥对n∈N*恒成立.
令c n=,c n-c n-1=,
当n≤3时,c n>c n-1,当n≥4时,c n<c n-1,
∴(c n)max=c3=,即k≥2(c n)max=,
∴实数k的取值范围是
3.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n= (n∈N*).若{a n}为等比数列,且a1=2,b3=3+b2.
(1)求a n与b n;
(2)设c n= (n∈N*),记数列{c n}的前n项和为S n,求S n.
3.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,
∵a1a2a3…a n= (n∈N*),
∴a1a2a3=,
∴q3=8q3=,同理a1a2=,即q=4q=,
而b3=3+b2,∴8q3==23×=8×4q,
∴q=2或q=-2,
∵a1a2=>0,
∴q=2,a n=a1q n-1=2n.
又a1a2a3…a n= (n∈N*),
∴,∴b n=.
(2)由c n=-2,
得
S n=c1+c2+…+c n=+…+-21-++…+=-21-= -1.
4.已知数列{a n}中,a1=1,a n=-,n≥2,且b n=a n+,数列{b n}的前n项和为S n.
(1)求证:数列{b n}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;
(2)若对任意n∈N*,p≤S n-≤q,求q-p的最小值.
4.【解析】(1)因为b n+1=a n+1+=-=-a n+=-b n,
又b1=a1+≠0,
所以数列{b n}是等比数列.
因为b n=b1,
所以a n=b n-.
(2)由(1)可知S n=
=1-,
当n为奇数时,S n=1+;
当n为偶数时,S n=1-.
因为函数y=x-在(0,+∞)上单调递增,
所以S n-的取值范围是.
所以p≤-,q≥,
所以q-p≥,
即q-p的最小值是.
5.已知各项均为正数的数列{a n}满足+a n a n+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设数列{b n}满足b n= (n∈N*),若存在正整数m,n(1<m<n),使得b1,b m,b n成等比数列,求m,n的值.
5.【解析】(1)因为+a n a n+1,
即(a n+1+a n)(a n+1-2a n)=0,
又a n>0,所以有a n+1-2a n=0,即a n+1=2a n,
所以数列{a n}是公比为2的等比数列,
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,
所以数列{a n}的通项公式为a n=2n(n∈N*).
(2)b n=,
若b1,b m,b n成等比数列,则,即3m2+n(2m2-4m-1)=0.
因为1<m<n,
所以2m2-4m-1<0,
解得1-<m<1+,
又m∈N*,且m>1,所以m=2,此时n=12.
6{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n= (n≥2).
(1)求证:{ }为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.
6.【解析】(1)∵当n≥2时,a n=,
∴S n-S n-1=,
即=1,
∴数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,故=n,
故a n==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时也成立;
∴a n=2n-1.
(2)∵,
∴T n=,
又∵4T n<a2-a,∴2≤a2-a,解得a≤-1或a≥2,
即所求实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).
7.已知函数f n(x)= (其中n是常数,n∈N*),将函数f n(x)的最大值记为a n,由a n构成的数列{a n}的前n项和记为S n.
(1)求S n;
(2)若对任意的n∈N*,总存在x∈(0,+∞)使+a=a n,求a的取值范围;
(3)比较+f n(e n)与a n的大小,并加以证明.
7.【解析】(1)f'n(x)=.
令f'n(x)>0,则x<e n+1-n.
所以f n(x)在(-n,e n+1-n)内单调递增,在(e n+1-n,+∞)上单调递减.
所以当x=e n+1-n时,f n(x)max=f n(e n+1-n)=,即a n=,
则S n=.
(2)因为n≥1,所以e n+1单调递增,n(n+1)单调递增,
所以a n=单调递减.
所以0<a n≤a1=,即a n∈.
令g(x)= +a,则g'(x)=,
所以g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
当x→0时,→0;
当x→+∞时, >0;
又g(1)=1+a,所以g(x)∈(a,1+a],
由已知得(a,1+a]⊇,
所以所以≤a≤0.
(3)
+f n(e n)-a n=ln
·+ln .
令t=,h(x)= (x≥1),h'(x)=≤0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递减.
所以1<h(x)≤1+,即t∈.
又令r(t)= +ln t-t,r'(t)= >0,
所以r(t)>r(1)=0,
所以>0,所以+f n(e n)>a n.
8{a n}满足:a1+2a2+…+na n=4-,n∈N*.
(1)求a3的值;
(2)求数列{a n}的前n项和T n;
(3)令b1=a1,b n=a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2ln n.
8.【解析】(1)依题意有a1+2a2+…+na n=4-,n∈N*,
当n≥2时,有a1+2a2+…+(n-1)a n-1=4-,
两式相减得na n=-,
即a n=,n≥2.
且n=1时,a1=1也满足通项公式,综上得a n=,n∈N*.
则a3=.
(2)由(1)知T n==2-.
(3)由(2)得T n=2-,
当n≥2时,b n=a n
= (a1+a2+…+a n-1)+ a n
=a1+a2+…+a n-1+a n,
所以S n=b1+b2+…+b n
=a1++a1+a2+1+a3+…+a1+a2+…+a n-1+
a n
=a1+a2+…+1++…+a n
= (a1+a2+…+a n)
=T n
=,
下面证明+…+<ln(1+n),
令函数F(x)=ln(1+x)-,x>0,
则F'(x)= >0,即F(x)在(0,+∞)上单调递增,故F(x)=ln(1+x)- >F(0)=0,
即对于(0,+∞),恒有ln(1+x)>,
令x=,有ln,
即ln+…+.
故ln n>+…+.
故S n=
<21++…+
<2(1+ln n)=2+2ln n.。