第2章 力系简化讲诉

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附加力偶的合力偶矩
M o M1 M 2 M n M i M o ( F1 ) M o ( F2 ) M o ( Fn ) M o ( Fi )
二、主矢与主矩
1. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和
Fi 。
即 R Fi
大小： R' R'x 2 R' y 2 ( X )2 ( Y )2
FRx FRy F Rz
—有效推进力 —有效升力 —侧向力
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
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2.7.2空间任意力系的简化结果分析（最后结果） （1） 合力 过简化中心合力 0, MO 0 FR 合力.合力作用线距简化 0, MO 0, FR MO FR 中心为 d M O FR
M O M i M O ( Fi )
主矢
主矩

由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
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MOx —滚转力矩 M Oy —偏航力矩 MOz —俯仰力矩


2 cos R d
2R
xC
Rsin

常见简单形状的均质物体的重心公式见教材P97
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2）组合法 [例]求图示均质薄板的重心，尺寸如图，长度单位：cm。
解法一： 分割法（由简单形体组成的复杂形体）
（1）建坐标系（尽量利用对称性） （2）将图形分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部分，则
2.1.1平面汇交力系合成的几何法
1.两个共点力的合成
B C
cos(180 ) cos
由余弦定理： 由力的平行四边形法则合成， R F1 F2 2F1 F2 cos
2 2
也可用力的三角形法则合成。 合力方向由正弦定理：
F1 R sin sin( 180 )
矩等于原力 F 对指 定点B 之矩。
[证 ] 力 F
力系 F , F , F
力F 力偶（F , F ）
M M B (F ) F d
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讨论
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
②力线平移定理可考察力对物体的作用效应。
力+力偶
（刚体、变形体两 种情况）
M P e
M 2 F2 d 2 M 2 P2d 合力偶矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2'd M1 M 2
又M1 P 1d
RA P1 P2' ' RB P 1 P 2
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结论:
M M1 M 2 M n M i
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同 21 一点（轴）之矩的矢量和.
（2）合力偶（
FR 0, MO 0
一个合力偶，此时与简化中心无关。
（3）力螺旋
FR 0, MO 0, FR // MO
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⒌ 结论 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 二、合力矩定理
R
∵
(合力偶) M O mO ( Fi ) (主矩) mO ( R ) R d M O (合力偶)
M O ( R ) mO ( Fi )
i 1
n
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之 矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
xdV xC V
V
yC
V
ydV V
zdV zC V
V
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2）面积重心 均质薄壳（板）的重心公式：
xC A x ,y
i i
A
C
A y
i
i
A
, zC
A z A
i i
A—面积 3）线段重心 均质空间曲线的重心公式：
xC l x ,y
i i C
l
l y
过物体某个固定不变的点，这个点就是物体的重心。
重心在工程中有重要意义：起重机、船舶等的重心过高容 易倾翻；重力坝的重心越靠近上游，抗倾稳定性越好；高速转 动的部件，若其重心不在转轴上就会发生振动等等。
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由合力矩定理：
y轴：
P xC Pi xi
x轴： P yC P i yi
M
O
( Fi )
–
正、负规定 ： 转向 +
注意：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和， 所以它的大小和转向一般与简化中心有关。 三、结论
平面一般力系向作用面内任一点简化 ，一般可以得到 一力和一力偶 ；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该
力系的主矢 ，该力偶之矩等于该力系对于简化中心的主矩 。 14
R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。 这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）, R R 。（此
⒊ 时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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⒋
MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续 R ≠0,
化为一个合力
R。
合力R 的大小等于原力系的主矢
MO 合力R 的作用线位置 d R
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2.7 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
2.7.1 空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.18
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR 空间力偶系的合力偶矩
若R ' 0, 表明作用在简化中心的 汇交力系平衡
若MO=0，表明附加力偶系平衡
R ' ( X i ) 2 ( Yi ) 2
M O mO ( Fi )
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2.3 平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
M1 F1d1;
第2章 力系的简化与合成
2.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法
2.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法
2.3 平面力偶系的合成
2.4 空间力偶系的合成
2.5 平面任意力系的简化 2.6 力系的简化结果 2.7 空间力系向一点简化，主矢和主矩 2.8 平行力系的中心
1
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
i
i
l
, zC
l z l
i i
l—长度 同样可得它们的积分形式。
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2.8.3确定均质物体重心的方法 1）积分法（简单形体）
[例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd x R cos x dL L xC L
RO R ' F (主矢）
合力
M O mO ( Fi ) Fi x （主矩 ） i
R 作 用线的位置为：
M xR O R'
而 R Ro R Y
Fx F
i i
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2.8.2重心
1.重心坐标公式： 靠近地球的物体都受到地球引力的作用。如果把物体看成 是由无数微小部分组成，则其每一部分都受到地球引力的作用， 这些重力可以看成是空间平行力系。整个物体的重力就是各微 小部分重力的合力，合力的大小即为物体的重量。 对于刚体而言，无论怎样搁置，物体重力的作用线都会通
中心轴过简化中心的力螺旋
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FR 0, MO 0, FR , MO 既不平行也不垂直
M O sin 力螺旋中心轴距简化中心为 d F R
（4）平衡
0, MO 0 FR
平衡
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2.8
平行力系的中心
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系 2.8.1平面平行力系的中心 设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主矢 R 的 解析求法 方向：
tg 1
Ry Y 1 tg Rx X
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注意：
因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它与简化中心的位置无关。
2. 主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和
即 M o M o ( Fi )
大小：M O 主矩 MO
M
o
( Fi )。
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
2.均质物体的重心坐标公式： 1）体积重心 对于均质物体，单位体积的重量 =恒量，设Vi 为第i个小体积，V为物体的总体积，则：
△Pi= △Vi， P= V
于是得：
xC V x ,y
P=∑△Pi——物体的重量 将系统绕x轴旋转90°，使力线 与y轴平行，再对x 轴应用合力
矩定理得：
PzC P i zi
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于是得重心坐标公式：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
2
2. 任意个共点力的合成 ( 力多边形法） 推广至 n 个力 结论： R F1 F2 F3 Fn
即： R F
先作力多边形
c
b a d e
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即：平面汇交力系的
再将R 平移 至A点 合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各力的 汇交点。