第二章力系的简化理论
理论力学复习第二章
理论力学· 静力学
例1：(i)求力系对A点的简化结果， (ii)力系对O点的力矩之和。
F1 F2 600N , M 400Nm, l 1m, b 0.5m
F Fi - F1 i - F2 j -600 i j N
i
l M A F1l - F2 - M k 0 3
FO MO ri FC ' rCO O ri MC C rCO FO
Fi
主矢与主矩的点积也是一个不 变量，与简化中心无关。
16
理论力学· 静力学
三、合力矩定理
Varignon(伐里农)合力矩定理
F1 Fi MO F
同一物理的两种思路
' ri Fi rO Fn MO M O M O ' ( F ) M O ' ( Fi )
MO -b i F 300k
Nm
18
理论力学· 静力学
四、空间力系简化的最终结果
1. F 0, MO 0 2. F 0, MO 0
[重点· 难点]
平衡力系 合力
（此时与简化中心有关，换个简化中 心，主矩不为零）
3. F 0, MO 0
4. F 0, MO 0
(1) F MO
合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关。(?) F MO 0 F MO F // MO F MO 0 合力
F与MO 不平行也不垂直
19
理论力学· 静力学
M O F d , d
作用在刚体上力为滑移矢量 汇交力系 c F3 d F4 e
理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
力F对x、y、z轴之矩为： Mx (F) = 0
M y (F) = 0
4 M z (F) = − Fd 5
法2：根据力对轴定义 ：
4 M z ( F ) = M z ( Fx ) = − Fd 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 分布荷载专题
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 平行分布线荷载， 线荷载。 则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
已知： 三角形分布载荷的q、 已知 ： 三角形分布载荷的 、 梁长l， 合力、 梁长 ， 求 ： 合力 、 合力作用 线位置。 线位置。 l x 1 FR = ∫ qdx = ql 解：合力 0 l 2 设合力作用线距离A点距离为 点距离为d 设合力作用线距离 点距离为 y
B
问题: 如何用数学 问题 工具描述非共点力
F
A B
F
系对刚体的作用效
D
A
F
应?
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
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2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩 ♣ 力对轴之矩 ♣ 合力矩定理 ♣ 分布荷载专题
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量 绕某一点转动效应的度量。 ♣ 力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
2l
3
l
3
q2
q1
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
理论力学第二章
第2章 力系的等效与简化2－1试求图示中力F 对O 点的矩。
解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ⋅==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ⋅=αsin )(F（c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2221sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。
解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，α = 30°。
试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。
解：)cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--⨯-=⨯=F D Ak j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-=力F 对x 、y 、z 轴之矩为：m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(⋅-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2⋅-=-=αF y Mm N 5.7sin 30)(2⋅-=-=αF z M2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。
习题2-1图A r A习题2-2图（a ）习题2-3图(a)ABr 解：)sin 45sin cos 45cos cos ()(k j i i F r F M θθθ+︒+︒-⨯=⨯=F a A O )45sin cos sin (k j ︒+-=θθaF 力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M230sin )(aF aF M y -=︒-==F Fa aF M z 4645sin 30cos )(=︒︒=F2－5 如图所示，试求力F 对A 点之矩及对x 、y 、z 轴之矩。
《理论力学》第二章力系的简化习题解
第二章力系的简化习题解[习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC的方向上受到三个力的作用,已知,,,试求这三个力的合力.解:作用点在O点,方向水平向右.[习题2-2] 计算图中已知,,三个力分别在轴上的投影并求合力. 已知,,.解:合力的大小:方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-3] 已知,,,,求五个力合成的结果(提示:不必开根号,可使计算简化).解:合力的大小: 方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-4] 沿正六面体的三棱边作用着三个力,在平面OABC内作用一个力偶. 已知,,,.求力偶与三个力合成的结果.解:把,,向平移,得到:主矢量:的方向由E指向D.主矩:方向余弦:[习题2-5] 一矩形体上作用着三个力偶,,.已知,,,,求三个力偶合成的结果.解:先把在正X面上平行移动到x轴.则应附加力偶矩:把沿轴上分解:主矩:方向余弦:[习题2-6] 试求图诸力合成的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩顶面底面斜面-0.76 0.2 0.75 主矩:方向余弦:[习题2-7] 柱子上作有着,,三个铅直力, 已知,,,三力位置如图所示.图中长度单位为,求将该力系向点简化的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩3.5 1.7 0主矩:方向余弦:[习题2-8] 求图示平行力系合成的结果(小方格边长为)解:主矢量:ABCD8.4 -4.35主矩:方向余弦:[习题2-9] 平板OABD上作用空间平行力系如图所示,问应等于多少才能使该力系合力作用线通过板中心C.解:主矢量:由合力矩定理可列出如下方程:[习题2-10] 一力系由四个力组成。
已知F1＝60Ｎ，F2＝400Ｎ，F3＝500Ｎ，F4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。
解:主矢量计算表0 0 600 200 0300 546.41 -140方向余弦:-110.564 120 0 主矩大小:方向余弦:[习题2-11]一力系由三力组成，各力大小、作用线位置和方向见图。
第二章 力系的简化
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
工程力学(1)-第2章
力的平移定理：可以把作用在刚体上点 的力 平行移到任一 力的平移定理 可以把作用在刚体上点A的力 F 可以把作用在刚体上点 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 ，但必须同时附加一个力偶。 对新作用点B的矩 的矩。 的矩等于原来的力 F对新作用点 的矩。 [证] 力F 证 力系 F,F′, F′ ′
• 简化的含义
力系的简化
力系简化的基础是力向一点平移定理 力系简化的基础是力向一点平移定理。 力向一点平移定理。
力系的简化
♣ 力向一点平移定理
力系的简化
♣ 力向一点平移定理
力向一点平移
F :力; O :简化中心; α :F与O所在平面;
r
n :α 平面的法线; en :n 方向的单位矢。
F
力系的简化ห้องสมุดไป่ตู้
平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 未知力系） 已知力系） （未知力系） （已知力系） 主矢) 作用在简化中心) 汇交力系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心 主矢 作用在简化中心 主矩) 作用在该平面上) 力偶系 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上 主矩 作用在该平面上
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
大小： 大小 主矩M 主矩 O 方向： 方向
MO =∑mO (Fi )
方向规定 + —
（转动效应 转动效应） 简化中心： (与简化中心有关 转动效应 简化中心： 与简化中心有关 与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
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23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 F2
O r1 F1
y
x
z
MOn
MO2
F2
Fn O
F1
y
MO1
x
空间汇交力系： Fi Fi
FR
空间力偶系： MOi MO (Fi )
O MO
y
合力 FR Fi Fi
x
23
力偶 MO MOi MO(Fi )
(3)解析表达式
(4)平面力系中，
i j k 力对点之矩可以
MO F r F x y z
用代数量来描述。
Fx Fy Fz
5
2-2 力矩
2.力对轴之矩是代数量
(1)定义
M z (F ) Fxy d
6
d为Fxy到z轴的距离。
(2)性质 当力的作用线与轴平行或相交时， 力对该轴之矩等于零。
a) FR M O时, 进一步简化为一合力。
MO
O
FR
O1 h FR
O
FR FR
O1 h •
FR
O
30
FR FR FR ,
h | M 0 | FR
h表示O点到合力作用线的距离。
2-4-3 力系的简化结果
31
b)FR与MO平行时，即为力螺旋
FR
M0
O
FR
M0
O
h MO /F
M z (F ) [MO (F )]z 力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力 对该轴之矩。
7
2-2 力矩
8
4. 合力矩定理
(1)对点
FR Fi
MO(FR ) r FR r Fi r Fi MO(Fi )
(2)对轴
Mx (FR ) Mx (Fi )
力螺旋。
z
F1
O
x F2
A
F3 y
2.某平面力系对不共线的三个简化中心主矩相同，
该力系最简形式?
37
力偶或平衡。
2-4-3 力系的简化结果 试将下图分布力简化。
q
l
ql
l2
38
q0
l 1 2 q0l
l3
梯形分布力如何简化？
38
2-4-3 力系的简化结果
39
3.试求图示平面力系向O点简化结果及最简形式。
3
2-1-2 力的投影
4
1.力在平面上投影是矢量 Fxy | Fxy | F cos
2.力在轴上投影是代数量
(1)直接投影 (2)二次投影
Fx F cos Fx Fx Fcos cos x
z
F
k
y
O
ij
Fxy
(3)力的坐标表示 F Fx i Fy j Fz k 其中 Fx F i
39
2-4-3 力系的简化结果
40
主矩：
MO MO (F)
5000.8 80 100 2 300 2.6
100N m
OO M O 100 1m FR 100
y
500 N
0.8 m 80 N m 100 N
O 1m
200 N
x
1m
0.6 m 3 500 N
M x (F ) yFz zFy 2 (5) 10N m
M y (F) zFx xFz 45 3 1(5) 39.64N m Mz (F) xFy yFx 25 3 17.32N m MO (F ) 10i 39.64 j 17.32k
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
9
1.力偶的概念
1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F )
F
2)实例: F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
A MA
9
M A 端受力如何?
Fz FR
x
z
FR
O MO
y
x
2-4-2 一般力系向一点简化
27
主矩
Mo M oxi M oy j M ozk
Mxi M y j Mzk
主矩大小 MO Mx 2 M y 2 Mz 2
主矩方向
z
cos(MO ,i)
Mx , MO
如何确定力对点的矩的大小和方向？
14
2-3 力偶
15
2.图示长方体沿三个不相交又不平行的棱作用三力
F1、F2、F3，棱长为a、b、c。若F1=F2=F3=F， 求该力系对
O点的矩。
建立图示坐标
M x F2c F3a Fa Fc My Fb Mz 0
D z F2
H
E
1
第二章 力系的简化
2-1 力的分解和力的投影
2-2 力矩 2-3 力偶 2-4 力系的简化理论 2-5 物体的重心
1
2
2-1 力的分解和力的投影
2-1-1 力的分解 2-1-2 力的投影
2
2-1-1 力的分解
3
1.理论依据： 力的平行四边行法则
F 1
A●
FR
F 2
F F F
R
1
2
分力是矢量。
2-3 力偶
10
F
M
静止时力偶M 与F 平衡吗?
不平衡。
F 2.力偶矩矢
定 义: MO F ,F rA F rB F
uuur
而
rA AB rB , F F '
uuur
uuur
MO F ,F AB F BA F M
10
A
F
d
rA
F
B
rB
O
2-3 力偶
11
M
A
F
d
F
B
M
rA rB
O
uuur
uuur
MO F ,F AB F BA F M
显然：力偶矩矢与矩心O位置无关，称为自由矢量.
三要素:
大小： F d
d:力偶臂
方位： 垂直于力偶作用面
指向： 用右手螺旋法则来判断
平面力系中，力偶矩矢可以用代数量来表示。
Mo
•
FR O
O1 h FR
FR
FR O
O1 h
FR
O
FR FR FR ,
36
h | M 0 | ，h表示O点到合力作用线的距离。
FR
2-4-3 力系的简化结果
37
结论： 平面力系的最简形式有平衡，合力、力偶3种情形。
1.图示力系沿正方体棱边作用， F1=F2=F3=F,其向O点简化结果是什么?
F'
FR
F
h
力螺旋是由一个力和一个力偶组成的力系， 其中力垂直于力偶作用面。
力螺旋是力系的最简形式
力学基本参量。
31
2-4-3 力系的简化结果
32
c)FR与M O斜交时，进一步简化得力螺旋
A
FR
MO //
MO
O
F M O // R
O
O
MO //
FR
O
O
MO
B
结论：
FR FR
OO M O FR
2-4-2 一般力系向一点简化
24
（2）主矢与主矩——原力系的特征量
1)定义
主矢 FR Fi Fi ，与简化中心无关
主矩 MO MO(Fi )，与简化中心有关
z
z
MOn Fn O
x
MO2 F2
F1 MO1
24
FR
y
O MO
y
x
2-4-2 一般力系向一点简化
25
2)简化结论
6
2-2 力矩
7
(3)解析表达式
M z (F ) xFy yFx
i jk
MO F r F x y z
Fx Fy Fz
M x (F ) yFz zFy
[M O (F )]x i
M y (F ) zFx xFz
[MO (F )]y j
3.力对点之矩与力对轴之矩的关系 [M O (F )]z k
空间力系的最简形式有平衡，合力、力偶和
力螺旋4种情形。
32
2-4-3 力系的简化结果
33
33
2-4-3 力系的简化结果
34
34
2-4-3 力系的简化结果
35
35
2-4-3 力系的简化结果
36
2.平面力系的简化结果
(1) FR 0,M O 0 与零力系等效，平衡 。 (2) FR 0,M O 0 简化为一力偶 。 (3) FR 0,M O 0 简化为一合力 。 (4) FR 0,M O 0 进一步简化为一合力 。
cos(MO , j)
My , MO
Fn
rn r2 O r1
F2 F1
y
cos(MO ,k)
Mz MO
x
27
z
FR
O MO
y
x
2-4-2 一般力系向一点简化
28
3.平面一般力系向任一点简化
主矢
FR FRxi FRy j
Fxi Fy j
主矩(代数量)
MO MO(F) MO