2011广东省各地学校高三上学期期末考试题分类汇编：数列

. 2011广东各地高三上期末考试题分类汇编—数列一、选择题1、（佛山2011普通高中高三教学质量检测（一））在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++ ，则k =A ．22B ．23C ．24D ．252、（高州长坡中学2011高三上期末考试）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为nS ，则42S a =（ ）A ．2B ． 4C ．152D ． 1723、（高州三中2011高三上期末）在等差数列{}n a 中，若4a +6a +8a +10a +12a =120，则210a-12a 的值为（ ） A ．20 B ．22C ．24D ．284、（高州三中2011高三上期末）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）A ．16（n--41） B ．16（n--21）C ．332（n --41）D ．332（n--21）5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，若100101OB a OA a OC =+ ，且 AB C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于（ ）A ．100B ．101C ．200D ．2016、（惠州2011高三第三次调研考试）已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1 B ．()2,10 C ．()5,7 D ．()7,57、（江门2011高三上期末调研测试）两个正数a 、b 的等差中项是2，一个等比中项是3，则双曲线12222=-b y a x 的离心率是A ．3B ．10C ．310D ．10或3108、（揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++ 的值 （ ）A ．18B ．27C ．36D ．549、（肇庆中小学教学质量评估10-11学年高三上期末）设等差数列}{n a 的前n 项和为nS ，若22=S ，104=S 则=6SA ．12B ．18C ．24D ．3010、（珠海2011届高三上期末考试题）若110lg lg lg lg 1092=++++x x x x ，则x x x x 1092lg lg lg lg ++++ 的值是A ．1022B ．1024C ．2046D ．2048答案：1、A2、C3、C4、B5、A6、【解析】C ； 根据题中规律，有()1,1为第1项，()1,2为第2项，()1,3为第4项，…，()5,11为第56项，因此第60项为()5,7．7、D 8、C 9、C 10、C二、填空题 1、（高州长坡中学2011高三上期末考试）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．2、（高州市大井中学2011高三上期末考试）已知函数()31xf x x =+， 对于数列{}n a 有1()n n a f a -=（n N*∈，且2n ≥），如果11a =，那么2a =，n a =．3、（广州2011高三上期末调研测试）等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若246,30S S ==，则6S =.4、（茂名2011高三上期末考试）若数列{}n a 满足122(2)n n a a d n -=+≥，且1234567,,,,,,a a a a a a a 的方差为4，则d =________5（汕头10-11学年普通高中毕业班教学质量监测）在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()44112a x dx=+⎰，则公比q 为 ．6、（中山2011届高三上期末统考）数列{}n a 的前n 项和为n S，若)2,(2*1≥∈++=-n N n n S S n n ，11a =，则5S =．答案：1、26.2n n -+2、14，132n a n =-（n N *∈） 3、126 4、±2 5、3 6、23三、解答题1、（佛山2011普通高中高三教学质量检测（一））设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S 123,,S S S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记2nn n a b =的前n 项和为n T ，求n T .2、（高州长坡中学2011高三上期末考试）设{}n a 是公比大于1的等比数列，nS 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和nT ．3、（高州三中2011高三上期末考试试题）等差数列{}na的前n项和为1319nS a S=+=+，（Ⅰ）求数列{}na的通项na与前n项和nS；（Ⅱ）设)(2*Nnabnn∈-=，}{nb中的部分项n kkkbbb⋅⋅⋅,,21恰好组成等比数列，且63,141==kk，求数列}{nk的通项公式；（III）设)(*NnnSc nn∈=，求证：数列}{nc中任意相邻的三项都不可能成为等比数列．4、（高州市大井中学2011高三上期末考试）已知数列}{na，其前n项和为237()22nS n n n N*=+∈．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式，并证明数列}{na是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{nb满足nnba2log=，请证明数列}{nb是等比数列，并求其前n项和；（Ⅲ）设9(27)(21)nn nca a=--，数列{}nc的前n项和为nT，求使不等式57nkT>对一切n N*∈都成立的最大正整数k的值．5、（广州2011高三上期末调研测试）已知数列}{na的前n项和为nS，且满足1(n nS a n=-∈N*).各项为正数的数列}{nb中，对于一切n∈N*,有1nk==且1231,2,3b b b===.（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）设数列{}n na b的前n项和为nT,求证:2nT<.6、（惠州2011高三第三次调研考试）2a,5a是方程2x02712=+-x的两根, 数列{}n a是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n .(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记n c =n a nb ,求数列{}n c 的前n 项和n S .7、（江门2011高三上期末调研测试）某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元。

2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n 年（n 为正整数，2011年为第1年）的利润为)311(100n+万元．⑴设从2011年起的前n 年，该景点不开发新项目的累计利润为nA 万元，开发新项目的累计利润为nB 万元（须扣除开发所投入资金），求nA 、nB 的表达式；⑵依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？8、（揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）在数列{}n a 中，已知1112332n n n n a a a ++==+-，()n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．9、（茂名2011高三上期末考试）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为nS ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求na 与nb ；（2）证明：121111233n S S S ≤+++<…10（汕头10-11学年普通高中毕业班教学质量监测）已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图．(Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式；(Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列，并求}{n a 的通项公式；(Ⅲ)求数列)}3({1-+n n a n 的前n 项和nT ．11（肇庆中小学教学质量评估10-11学年高三上期末）将数列}{n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：列数1a ，2a ，4a ，7a ，⋯构成的数列为}{n b ，记表中的第一111==a b ，n S 为数列}{n b 的前n 项和，且满足)2(122≥=-n S S b b nn n n. （1）求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1成等差数列，并求数列}{n b 的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当91481-=a 时，求上表中第)3(≥k k 行所有项的和.12（中山2011届高三上期末统考）已知}{n a 是各项为正数的等比数列， 且1002534231=++a a a a a a ，4是2a 和4a 的一个等比中项．（1）求数列}{n a 的通项公式；a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10......（2）若}{n a 的公比)1,0(∈q ，设nn n a a b 2log ⋅=，求数列}{n b 的前n 项和nS ．13、（珠海2011届高三上期末考试题）已知函数)(x f 的图象经过点),1(λ，且对任意R x ∈，都有.2)()1(+=+x f x f 数列{}n a 满足.),(,2,211⎩⎨⎧=-=+为偶数为奇数n a f n a a n n n λ（1）当x 为正整数时，求)(n f 的表达式；（2）设3=λ，求na a a a 2321++++ ；（3）若对任意*N n ∈，总有211+++<n n n n a a a a ，求实数λ的取值范围.答案：1、解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，-------------------------------2分2132S S S ==解得11a =，故21n a n =-；---------------------------------------4分（Ⅱ）211(21)()222nn n n n a n b n -===-，---------------------------------------5分法1：12311111()3()5()(21)()2222nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ， ① ①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，②①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯ 11111(1)113121222(21)()12222212n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---，---------------------------------------10分∴4212333222n n n n n n T -+=--=-． ---------------------------------------12分法2：121112222n n n n n n a n b n --===⋅-，设112nn k k kF -==∑，记11()()n k k f x kx -==∑，则()1111(1)()1(1)n n nn kk n k k x x n nx x f x x x x x +==''⎛⎫--+-⎛⎫'====⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑，∴114(2)2n n F n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，---------------------------------------10分故111(1)1123224(2)13122212n n n n n n n T F n --+=-=-+⋅-+=--． ---------------------------------------12分2．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a qq ==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=， 解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴== 又13ln 2n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n nT b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=．3、解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，……………………1分故21(n n a n S n n =-=．……………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12-=n b n ，……………………………………………5分再由已知得，等比数列}{n k b 的公比1251633==b b q ，5=∴q ………6分⇒=-∴-1512n n k )15(211+=∴-n n k ……………………………………8分（III ）由（Ⅰ）得)(2*N n n n S c nn ∈+==．………………………………9分假设数列中存在相邻三项)(,,21*++∈N n c c c n n n 成等比数列，则221++=n n n c c c ，即)22)(2()21(2+++=++n n n ．…………10分推出01=矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．12分 4、解：（Ⅰ）当1n =时，115a S ==， ……………………………1分当2n ≥时，22137[(1)][(1)]22n n n a S S n n n n -=-=--+-- 37(21)3222n n =-+=+． ……………………………2分又15a =满足32n a n =+， ……………………………3分32()n a n n N *∴=+∈． ………………………………4分∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈，第 10 页 共 18 页 金太阳新课标资源网∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． ………………5分（Ⅱ）由已知得2na nb =()n N *∈， ………………………………6分 ∵ +1+13+12==2=2=82n n n n a a -a n a n b b()n N *∈， ……………………7分 又11232a b ==，∴数列}{n b 是以32为首项，8为公比的等比数列． ………………8分∴数列}{n b 前n 项和为32(18)32(81)187n n-=--． ……………9分（Ⅲ）91111()(27)(21)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ===----+-+ ……10分∴1111111[()()()]213352121n T n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)22121n n n =-=++． ……………………11分∵110(23)(21)n n T T n n +-=>++ ()n N *∈，∴nT 单调递增．∴min 11()3n T T ==． …………………12分∴1357k >，解得19k <，因为k 是正整数， ∴max 18k =． ………………13分5、（1）解：∵1n nS a =-，当1n =时,1111a S a ==-, 解得112a =. ……1分当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()111n n a a -=---,得12n n a a -=, 即112n n a a -=. …… 3分金太阳新课标资源网∴数列}{n a 是首项为12, 公比为12的等比数列. ∴1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. …… 4分∵ 对于一切n ∈N *,有1nk ==①当2n ≥时, 有11n k -==， ②- ②=-化简得:11(1)0n n n b nb b +--+=, ③用1n +替换③式中的n ，得：211(1)0n n nb n b b ++-++=, ④ ……6分③－④ 整理得：211n n n nb b b b +++-=-，∴当2n ≥时, 数列{}n b 为等差数列.∵32211b b b b -=-=,∴ 数列{}n b 为等差数列. …… 8分 ∵ 121,2b b == ∴数列{}n b 的公差1d =. ∴()11n b n n=+-=. ……10分 (2)证明:∵数列{}n n a b 的前n 项和为nT ,∴231232222n n nT =++++ , ⑤∴2211122222n n n T +=+++ , ⑥ ⑤－⑥得：21111122222n n n n T +=+++- …… 12分 1111221212nn n+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-- 1212n n ++=-. ∴2222n nn T +=-<. ……14分金太阳新课标资源网6、解：(1)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a …………… 2分2325=-=∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 …………… 4分 在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -11211---=n n b T , 两式相减得nn n b b b 21211-=-,()2311≥=∴-n b b n n …………… 6分 ()*-∈=⎪⎭⎫⎝⎛=∴N n b n n n 3231321. …………… 8分(2)()n n n n n c 3243212-=⋅-=, ……………… 9分⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312353331232 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++=+132312332333123n nn n n S ,…………… 10分⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫⎝⎛-⨯++-1131231131191231n n n =11344343123131312+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+n n n n n , ………………13分n n n S 3222+-=∴ …………… 14分7、解：⑴依题意，nA 是首项为964100=-，公差为4-的等差数列的前n 项和……2分，所以2298)4(2)1(96n n n n n A n -=-⨯-+=……4分；数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)311(100n 的前n 项和为)311(501003113113100100n n n n -+=--⨯+……7分，90)311(50100--+=n n n B金太阳新课标资源网n n 35040100--=……8分⑵由⑴得，n n n n n n n n n A B 3504022)298()35040100(22--+=----=-……9分，nn A B -是数集*N 上的单调递增数列…10分，观察并计算知0815044<-=-A B ，55>-A B ……11分，所以从第5年开始，开发新项目的累计利润更大……12分。