数列历年高考真题分类汇编

专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用

答案部分 2019年

1.解析:对于B ,令2

104x λ-+=,得12

λ=, 取112a =

,所以211

,,1022n a a ==

4

b =时,1010a <,故B 错误;

对于C ,令2

20x λ--=,得2λ=或1λ=-, 取12a =,所以22,,210n a a ==

40x λ--=

,得12

λ±=

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取1a =

2a =,…

,10n a =

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<, 所以当4b =-时,1010a <,故D 错误;

对于A ,2

21122a a =+…,2

23113224a a ??=++ ??

?…,

2

42431911714216216a a a ?

?=++++=> ??

?…,

10n n a a +->,{}n a 递增,

当4n …

时,11132122

n n n n a a a a +=+>+=,

所以54

65109

323232a a a a a a ?>???>

????

?>??M

,所以6

10432a a ??> ???,所以107291064a >

>故A 正确.故选A . 2.解析:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由题意得

11124,333a d a d a d +=+=+,

解得10,2a d ==.

从而*

22,n a n n =-∈N .

由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得

()

()()2

12n n n n n n S b S b S b +++=++.

解得()2

121n n n n b S S S d

++=

-. 所以2*

,n b n n n =+∈N .

(2

)*n c n =

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==∈N . 我们用数学归纳法证明.

①当n =1时,c 1=0<2,不等式成立;

②假设()

*n k k =∈N

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时不等式成立,即12h c c c +++

121k k c c c c +++++<

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<==

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即当1n k =+时不等式也成立.

根据(1)和(2

),不等式12n c c c +++

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3.解析(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.

由245321440a a a a a a =??-+=?,得244112111440

a q a q a q a q a ?=?-+=?,解得11

2a q =??=?. 因此数列{}n a 为“M—数列”.

(2)①因为1

122

n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==,得2

122

1

1b =

-,则22b =. 由1122

n n n S b b +=-,得112()

n n n n n b b S b b ++=-, 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()

111122n n n n

n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,

整理得112n n n b b b +-+=.

所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (

)*

n ∈N .

②由①知,b k =k ,*k ∈N .

因为数列{c n }为“M–数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0.

因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k

q k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .

当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有

ln ln ln 1

k k

q k k ≤≤-. 设f (x )=

ln (1)x x x >,则2

1ln ()x

f 'x x -=. 令()0f 'x =,得x =e.列表如下:

x (1,e)

e (e ,+∞) ()

f 'x

+

0 –

f (x )

极大值

因为

ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3

()(3)3

f k f ==.

取q =k =1,2,3,4,5时,

ln ln k

q k

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…,即k k q ≤, 经检验知1

k q k -≤也成立.

因此所求m 的最大值不小于5.

若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.

3.解析:(I )1,3,5,6.(答案不唯一).

(II )设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为110,...,,q r r n a a a -.

由p q <,10

p q r r n a a a -≤<.

因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a .

又12,,...,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列,所以0,p m r a a ≤所以00m n a a <.

(III )由题设知,所有正奇数都是{}n a 中的项.

先证明:若2m 是{}n a 中的项,则2m 必排在2m -1之前(m 为正整数).

假设2m 排在2m -1之后,设121,,...,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m -1的递增子列,则121,,...,,2 1.2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m+1末项为2m 的递增子列,与已知矛盾.

再证明:所有正偶数都是{}n a 中的项.

假设存在正偶数不是{}n a 中的项,设不在{}n a 中的最小正偶数为2m.

因为2k 排在2k -1之前() 1,2,1k m =?- ,所以2k 和2k -1不可能在{}n a 的同一个子列中. 又{}n a 中不超过 21m +的数为1,2,….., 21m -, 21m +, 所以{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数至多为

12222112 2m m -?????????=<,与已知矛盾.

最后证明 2m 排在 23m -之后( 2m ≥为整数).

假设存在 2m ( 2m ≥),使得 2m 排在 23m -之前,则{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数小于 2m ,与已知矛盾.

综上,数列{}n a 只可能为2,1,4,3,,23,2,21,m m m ???--???. 经验证,数列2,1,4,3,,23,2,21,m m m ???--???符合条件, 所以1,1.n n n a n n +?=?-?为奇数为偶数

.

2010-2018年

1.A 【解析】对数列进行分组如图

k

321

???,

22

21

21,2k 22,21,20,20,20,20

则该数列前k 组的项数和为(1)

1232

k k k ++++???+= 由题意可知100N >,即

(1)

1002

k k +>,解得14k ≥,n ∈*N 即N 出现在第13组之后.

又第k 组的和为

122112

k

k -=-- 前k 组的和为

1(12)(122)k +++???+++???+12(21)(21)(21)k =-+-+???+- 12(222)k k =++???+-122k k +=--,

设满足条件的的N 在第1k +(k ∈*

N ,13k ≥)组,且第N 项为第1k +的第

m ()m ∈*N 个数,第1k +组的前m 项和为211222m -+++???+21m =-,

要使该数列的前N 项和为2的整数幂, 即21m -与2k --互为相反数, 即212m

k -=+, 所以23m

k =-,

由14k ≥,所以2314m

-≥,则5m ≥,此时5

2329k =-= 对应满足的最小条件为29(291)

54402

N +=

+=,故选A . 2.C 【解析】由题意可得10a =,81a =,2a ,3a ,…,7a 中有3个0、3个1,且满足对

任意k ≤8,都有1a ,2a ,…,k a 中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14个.

3.A 【解析】对命题p :12,,,n a a a L 成等比数列,则公比)3(1

≥=

-n a a q n n

且0≠n a ; 对命题q ,

①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立;

②当0≠n a 时,根据柯西不等式,

等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立,

n

n a a a a a a 132

21-=???==,所以12,,,n a a a L 成等比数列, 所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件.

4.A 【解析】2a ,4a ,8a 成等比数列,∴2428a a a =?,即2

111(6)(2)(14)a a a +=++,

解得12a =,所以(1)n S n n =+.

5.B 【解析】∵2

1)(x x f =在[0,1]上单调递增,可得1110()()0f a f a ->,

1211()()0f a f a ->,…,199198()()0f a f a ->,

∴111101211199198|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+???+-

1110121119919819910()()+()()()()=()()f a f a f a f a f a f a f a f a --+???+--=2

99-0=199

) ∵),(2)(2

2x x x f -=在490]99[,上单调递增,在50

[

,1]99

单调递减 ∴2120()()0f a f a ->,…,249248()()0f a f a ->,250249()()0f a f a -=,

251250()()0f a f a -<,…,299298()()0f a f a -<

∴221202221299298|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+???+- =24920299250()()[()()]f a f a f a f a ---=250202992()()()f a f a f a --

=505098004(1)199999801?

?-=< ∵|2sin |31)(3x x f π=在24[0,]99,5074[,]9999上单调递增,在2549[,]9999,75

[,1]99

上单调

递减,可得33253493742492()2()2(=(2sin sin )39999

I f a f a f a ππ

=-+-)

252(2sin sin )(1312123444

ππ>

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-=-=> 因此312I I I <<.

6.27【解析】所有的正奇数和2n (*

n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ,在数列{}n a

中,5

2前面有16个正奇数,即5212a =,6382a =.当1n =时,1211224S a =<=,

不符合题意;当2n =时,2331236S a =<=,不符合题意;当3n =时,

3461248S a =<=,不符合题意;当4n =时,45101260S a =<=,不符合题意;……;

当26n =时,52621(141)2(12)

212S ?+?-=+-= 441 +62= 503<2712516a =,不符合题

意;当27n =时,52722(143)2(12)

212

S ?+?-=+-=484 +62=546>2812a =540,符合题

意.故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27.

7.5【解析】设数列的首项为1a ,则12015210102020a +=?=,所以15a =,故该数列

的首项为5.

8.12

【解析】将82a =代入111n n a a +=

-,可求得712a =;再将71

2a =代入111n n

a a +=-,可求得61a =-;再将61a =-代入11

1n n

a a +=-得52a =;由此可知数列{}n a 是一个周期数列,且周期为3,所以1712

a a ==

. 9.64【解析】由11a =且125,,a a a 成等比数列,得2

111(4)()a a d a d +=+,解得2d =,

故8187

8642

S a d ?=+

=. 10

2a t =,则23

112t q t q t q ++≤≤≤≤≤≤,由于1t ≥,

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所以max{q t ≥,故q

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11.4【解析】由题意得11

22(4)()(1)(14)()33

22(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+?

+>--+????+>+++??

,得22(1)1010k k ?-?,

因此*

k N ∈,所以4k =.

12.【解析】(1)由条件知:(1)n a n d =-,1

2n n b -=.

因为1||n n a b b -≤对n =1,2,3,4均成立, 即1

|(1)2

|1n n d ---≤对n =1,2,3,4均成立,

即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得7532

d ≤≤. 因此,d 的取值范围为75

[,]32

(2)由条件知:1(1)n a b n d =+-,1

1n n b b q -=.

若存在d ,使得1||n n a b b -≤(n =2,3,···,m +1)成立,

即1

111|(1)|n b n d b q b -+--≤(n =2,3,···,m +1),

即当2,3,,1n m =+L 时,d 满足1111211

n n q q b d b n n ---≤≤--.

因为q ∈,则112n m q q -<≤≤,

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从而11201n q b n --≤-,1

101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+L 均成立.

因此,取d =0时,1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立.

下面讨论数列12

{}1n q n ---的最大值和数列1{

}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+L ). ①当2n m ≤≤时,111 2222

111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==

---, 当112m

q <≤时,有2n m q q ≤≤,从而1() 20n n n n q q q ---+>. 因此,当21n m ≤≤+时,数列12

{}1

n q n ---单调递增,

故数列12

{}1n q n ---的最大值为

2m q m

-. ②设()()21x f x x =-,当0x >时,ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<, 所以()f x 单调递减,从而()(0)1f x f <=.

当2n m ≤≤时,1

11112111

()()()n

n n q q n n f q n n n n --=≤-=<-, 因此,当21n m ≤≤+时,数列1

{}1n q n --单调递减,

故数列1{}1n q n --的最小值为

m

q m

. 因此,d 的取值范围为11(2)[,]m m

b q b q m m

-.

13.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .

由已知2312b b +=,得2

1()12b q q +=,而12b =,所以2

60q q +-=. 又因为0q >,解得2q =.所以,2n

n b =.

由3412b a a =-,可得138d a -= ①. 由114=11S b ,可得1516a d += ②,

联立①②,解得11a =,3d =,由此可得32n a n =-.

所以,数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,数列{}n b 的通项公式为2n

n b =.

(Ⅱ)设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ,

由262n a n =-,12124n n b --=?,有221(31)4n

n n a b n -=-?, 故23245484(31)4n

n T n =?+?+?++-?L ,

23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=?+?+?++-?+-?L ,

上述两式相减,得231

324343434(31)4n n n T n +-=?+?+?++?--?L

1

112(14)4(31)414

(32)48.

n n n n n ++?-=---?-=--?- 得1328

433

n n n T +-=

?+. 所以,数列221{}n n a b -的前n 项和为

1328

433

n n +-?+. 14.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明:0n x >

当1n =时,110x => 假设n k =时,0k x >,

那么1n k =+时,若10k x +≤,则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤,矛盾,故10k x +>. 因此0n x >()n ∈*

N

所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>

因此10n n x x +<<()n ∈*

N

(Ⅱ)由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得

2

111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2

()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥

函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,所以()(0)f x f ≥=0, 因此2

111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故1

12(N )2

n n n n x x x x n *++-∈≤ (Ⅲ)因为

11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤

所以112

n n x -≥得 由

1

122

n n n n x x x x ++-≥得 11111

2()022

n n x x +-->≥ 所以

1211111111

2()2()2222

n n n n x x x -----???-=≥≥≥ 故2

1

2n n x -≤

综上,1211(N )22

n n n x n *

--∈≤≤ .

15.【解析】(Ⅰ)由已知,1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+

两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.

又由211S qS =+得到21a qa =,故1n n a qa +=对所有1n 3都成立. 所以,数列{}n a 是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.

由2322+2a a a ,,成等比数列,可得322=32a a +,即22=32,q q +, 则(21)(2)0q+q -=, 由已知,0q >,故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,1n n a q -=.

所以双曲线2

2

21n

y x a -=的离心率

n e =

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由53q =解得43

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q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->

1

*k q k -?N ()

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. 于是1

121

1+1

n n n q e e e q q q --++鬃

?>+鬃?=-,

故1231

433n n

n e e e --++鬃?>

. 16.【解析】(Ⅰ)由题意有,11

1045100

2a d a d +=??=? ,即1129202a d a d +=??=?.

解得112a d =??=? 或1929a d =??

?=??,故1

212n n n a n b -=-???=??或11(279)929()9n n n a n b -?=+????=???

. (Ⅱ)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1

21

2

n n n c --=

,于是 2341357921

122222

n n n T --=+

+++++L , ① 234511357921

2222222n n n T -=++++++L . ② ①-②可得

221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-L ,故n T 12362

n n -+=-. 17.【解析】(Ⅰ)2()()212,n

n n F x f x x x x =-=+++-L 则(1)10,n F n =->

1

21111111

2()1220,122222

12

n n

n n F +??

- ?????

??

=+++-=-=-

< ? ?????-L 所以()n F x 在1,12??

???

内至少存在一个零点n x . 又1

()120n n F x x nx

-'=++>L ,故在1,12??

???

内单调递增,

所以()n F x 在1(,1)2

内有且仅有一个零点n x .

因为n x 是()n F x 的零点,所以()=0n n F x ,即11201n n n

x x +--=-,故111

=+22n n n x x +.

(Ⅱ)解法一:由题设,()()11().2

n

n

n x g x ++=

设()()211()()()1,0.2

n

n

n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->L

当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()11

1()12.2

n n n n x h x x nx

--+'=++-L

若01x <<,()1

111

1()22n n n n n n h x x

x nx x ----+'>++-

L

()()11

110.

22n n n n n n x x --++=

-=

若1x >,()1

111

1()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-

L

()()11

110.22

n n n n n n x x --++=

-=

所以()h x 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减, 所以()(1)0h x h <=,即()()n n f x g x <.

综上所述,当1x =时, ()()n n f x g x =;当1x ≠时()()n n f x g x <. 解法二 由题设,(

)(

)211()1,(),0.2

n

n n n n x f x x x x g x x ++=+++=>L

当1x =时, ()()n n f x g x =;

当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221

()()(1)0,2

f x

g x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时,不等式成立,即()()k k f x g x <. 那么,当+1n k =时,

()

(

)111

k+1k 11()()()2

k

k k k k k x f x f x x g x x x

+++++=+<+=

+()1211

2

k k x k x k +++++=

.

又()()11k+1211

11

()2

2

k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-

=

令()

1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>, 则()()1

1()(k 1)11(x 1)k

k k k h x k x k k x

k k x --'=+-+=+-.

所以当01x <<,()0k

h x '<,()k h x 在(0,1)上递减; 当1x >,()0k

h x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=,从而()1k+1211

()2

k k x k x k g x +++++>

故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =,不等式也成立. 所以,对于一切2n ≥的整数,都有()()n n f x g x <.

解法三:由已知,记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,...,1k n =+.

则111a b ==,11n

n n a b x ++==,

所以()1

1+1(2n)n k x a k k n

-=-?≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()

111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n

---=-=+

->≤≤

当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =. 当1x ≠时, ()()1

2211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n

----+-'=

--=--, 而2k n ≤≤,所以10k ->,11n k -+≥. 若01x <<, 1

1n k x -+<,()0k m x '<,

当1x >,1

1n k x

-+>,()0k

m x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=, 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=,故()()n n f x g x < 综上所述,当1x =时, ()()n n f x g x =;当1x ≠时()()n n f x g x <

18.【解析】(Ⅰ)由2

1=0=22()n n n a a a n N λμ++-=∈,,有.

若存在某个0,n N +∈使得0,no a =则由上述递推公式易得10,no a -=重复上述过程可得

10a =,此与13a =矛盾,所以对任意,0n n N a +∈≠.

从而12(),n n a a n N ++=∈即{}n a 是一个公比2q =的等比数列.

故11

132n n n a a q --==?.

(Ⅱ)由01,1k λμ=

=-,数列{}n a 的递推关系式变为2

110

10n n n n a a a a k +++-=, 变形为2

10

1()().n n n a a a n N k +++

=∈由上式及130a =>, 归纳可得12130n n a a a a +=>>???>>>???>.

因为22

22001000

1111

111n n

n n n n n a a k k a a k k a a a k k +-

+=

=

=-?++

+, 所以对01,2,,n k =???求和得01010121()()k k k a a a a a a ++=+-+???+-

010000102011111 =()111

k a k k k k a k a k a -?+?++???++++

0000011111>2+

( )231313131

k k k k k k ?++???+=+++++1444442444443

. 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>???>>>,得

00110000102011111()111

k k a a k k k k a k a k a +=-?+?++???++++

0000011111<2+

()221212121

k k k k k k ?++???+=+++++1444442444443

. 综上,010011

2+

23121

k a k k +<<+++.

19.【解析】(Ⅰ),64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===

412

2421,,S S S S S S =∴成等比Θ

解得12,11-=∴=n a a n (Ⅱ))1

21

121()1(4)

1(111

++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ,

当n 为偶数时11111

(1)()()3

3557n T =+-+++-L L

1111()()23212121n n n n ++-+---+ 1

221211+=

+-=∴n n

n T n 11111

(1)()()33557n n T =+-+++--

L L 当为奇数时, 1111()()23212121n n n n +++---+

1

22

21211++=

++=∴n n n T n ??????

?+++=∴为奇数为偶数n n n n n n

T n ,1

222,1

22. 20.【解析】(Ⅰ)由题意,()()*

∈=

N n a a a n

b n 221Λ,3

2

6b b

-=,

知32

38b b a -=

=,又由12a =,得公比2q =(2q =-舍去),

数列历年高考真题分类汇编

所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *

=∈,

所以(

)()

112

1232

n n n n n a a a a ++==

L ,

数列历年高考真题分类汇编

故数列{}n b 的通项公式为,()1()n b n n n N *

=+∈; (Ⅱ)(i )由(Ⅰ)知,11111()21n n n n c n N a b n n *

??=

-=--∈ ?+??

, 所以11

()12

n n S n N n *=

-∈+; (ii )因为12340,0,0,0c c c c =>>>; 当5n ≥时,()()11

112n n

n n c n n +??=

-??+??

()()()()()

11

112120222n n n n n n n n n ++++++--=>, 得

()()

5

1551122n n n ++≤<, 所以当5n ≥时,0n c <,

综上对任意n N *

∈恒有4n S S ≥,故4k =.

21.【解析】(I )因为{}n a 是递增数列,所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.而11a =,

因此又123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+,因而2

30p p -=, 解得1

,03

p p =

= 当0p =时,1n n a a +=,这与{}n a 是递增数列矛盾。故13

p =

. (Ⅱ)由于{}21n a -是递增数列,因而21210n n a a +-->,于是

212221()()0n n n n a a a a +--+-> ①

221

11

22

n n -<,所以 212221

a a a a n n n n -<-+-. ② 又①,②知,2210n n a a -->,因此

22212121

1(1)()22

n n n n n a a -----== ③

因为{}2n a 是递减数列,同理可得,2120n n a a +-<故

221

21221(1)22n

n n n

n

a a ++?? ?

??

--=-=

④ 由③,④即知,1

1(1)2n n n n

a a ++--=。

于是

121321()()...()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-

2111(1)1 (222)

n

n --=+-++

111()1211212

n ---=+?

+ 141(1)332

n n --=+?. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332

n

n n a --=+?.

22.【解析】(Ⅰ)点(,)n n a b 在函数()2x

f x =的图象上,所以2n a

n b =,又等差数列{}n a 的

公差为d ,所以1

112222

n n n n a a a d n a n b b ++-+===.

因为点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上,所以8

7842a b b ==,

所以8

7

24d b b =

=2d ?=. 又12a =-,所以221(1)

232

n n n S na d n n n n n -=+

=-+-=-. (Ⅱ)由()2()2ln 2x

x

f x f x '=?=,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为

222(2ln 2)()a y b x a -=-

所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -,从而2112ln 2ln 2

a -=-,故22a = 从而n a n =,2n n

b =,

2n n

n a n b =

231232222n n n T =

++++L 2341112322222n n n T +=++++L 所以23411111112222222n n n n T +=+++++-L 111211222

n n n n n +++=--=-

故2

22n n n T +=-.

23.【解析】(Ⅰ)当2n ≥时,111222n n n n n n a S S ---=-=-=

当1n =时,112a S ==

∴1n =时,11S a =,当2n ≥时,1n n S a +=,∴{}n a 是“H 数列”.

(Ⅱ)1(1)(1)

22

n n n n n S na d n d --=+

=+ 对n *?∈N ,m *?∈N 使n m S a =,即(1)

1(1)2

n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-,12m d

=+

∵0d <,∴2m <,又m *∈N ,∴1m =,∴1d =-. (Ⅲ)设{}n a 的公差为d

令111(1)(2)n b a n a n a =--=-,对n *?∈N ,11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+,对n *?∈N ,11n n c c a d +-=+

则1(1)n n n b c a n d a +=+-=,且{}{}n n b c ,为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+

-,令1(2)n T m a =-,则(3)

22

n n m -=+ 当1n =时1m =; 当2n =时1m =;

当3n ≥时,由于n 与3n -奇偶性不同,即(3)n n -非负偶数,m *∈N 因此对n ?,都可找到m *∈N ,使n m T b =成立,即{}n b 为“H 数列”. {}n c 的前n项和1(1)()2n n n R a d -=

+,令1(1)()n m c m a d R =-+=,则(1)12

n n m -=+ ∵对n *?∈N ,(1)n n -是非负偶数,∴m *∈N

即对n *?∈N ,都可找到m *∈N ,使得n m R c =成立,即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.

24.【解析】(Ⅰ)由12a =,248a a +=

1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++??

1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-?-?

121()02

n n n n f a a a a π

+++'=-+-=

所以,122n n n a a a ++=+ ∴{}n a 是等差数列.

而12a =,34a =,1d =,2-111n a n n ∴=+

?=+(),

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