数列历年高考真题分类汇编

专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用

答案部分 2019年

1.解析：对于B ，令2

104x λ-+=，得12

λ=， 取112a =

，所以211

,,1022n a a ==

4

b =时，1010a <，故B 错误；

对于C ，令2

20x λ--=，得2λ=或1λ=-， 取12a =，所以22,,210n a a ==

40x λ--=

，得12

λ±=

，

取1a =

2a =，…

，10n a =

<， 所以当4b =-时，1010a <，故D 错误；

对于A ，2

21122a a =+…，2

23113224a a ??=++ ??

?…，

2

42431911714216216a a a ?

?=++++=> ??

?…，

10n n a a +->，{}n a 递增，

当4n …

时，11132122

n n n n a a a a +=+>+=，

所以54

65109

323232a a a a a a ?>???>

????

?>??M

，所以6

10432a a ??> ???，所以107291064a >

>故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得

11124,333a d a d a d +=+=+，

解得10,2a d ==．

从而*

22,n a n n =-∈N ．

由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得

()

()()2

12n n n n n n S b S b S b +++=++．

解得()2

121n n n n b S S S d

++=

-． 所以2*

,n b n n n =+∈N ．

（2

）*n c n =

==∈N ． 我们用数学归纳法证明．

①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；

②假设()

*n k k =∈N

时不等式成立，即12h c c c +++

121k k c c c c +++++<

<==

即当1n k =+时不等式也成立．

根据（1）和（2

），不等式12n c c c +++

3.解析（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.

由245321440a a a a a a =??-+=?，得244112111440

a q a q a q a q a ?=?-+=?，解得11

2a q =??=?． 因此数列{}n a 为“M—数列”.

（2）①因为1

122

n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得2

122

1

1b =

-，则22b =. 由1122

n n n S b b +=-，得112()

n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()

111122n n n n

n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，

整理得112n n n b b b +-+=．

所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n (

)*

n ∈N .

②由①知，b k =k ，*k ∈N .

因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.

因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k

q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .

当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有

ln ln ln 1

k k

q k k ≤≤-． 设f （x ）=

ln (1)x x x >，则2

1ln ()x

f 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：

x (1,e)

e (e ，+∞) ()

f 'x

+

0 –

f （x ）

极大值

因为

ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3

()(3)3

f k f ==．

取q =k =1，2，3，4，5时，

ln ln k

q k

…，即k k q ≤， 经检验知1

k q k -≤也成立．

因此所求m 的最大值不小于5．

若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．

3.解析：（I ）1，3，5，6.（答案不唯一）.

（II ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为110,...,,q r r n a a a -.

由p q <，10

p q r r n a a a -≤<.

因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a .

又12,,...,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0,p m r a a ≤所以00m n a a <.

（III ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.

先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m -1之前（m 为正整数）.

假设2m 排在2m -1之后，设121,,...,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m -1的递增子列，则121,,...,,2 1.2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m+1末项为2m 的递增子列，与已知矛盾.

再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.

假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小正偶数为2m.

因为2k 排在2k -1之前() 1,2,1k m =?- ,所以2k 和2k -1不可能在{}n a 的同一个子列中. 又{}n a 中不超过 21m +的数为1，2，…..， 21m -， 21m +， 所以{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数至多为

12222112 2m m -?????????=<，与已知矛盾.

最后证明 2m 排在 23m -之后（ 2m ≥为整数）.

假设存在 2m （ 2m ≥），使得 2m 排在 23m -之前，则{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数小于 2m ，与已知矛盾.

综上，数列{}n a 只可能为2,1,4,3,,23,2,21,m m m ???--???. 经验证，数列2,1,4,3,,23,2,21,m m m ???--???符合条件， 所以1,1.n n n a n n +?=?-?为奇数为偶数

.

2010-2018年

1．A 【解析】对数列进行分组如图

k

321

???，

22

21

21，2k 22，21，20，20，20，20

则该数列前k 组的项数和为(1)

1232

k k k ++++???+= 由题意可知100N >，即

(1)

1002

k k +>，解得14k ≥，n ∈*N 即N 出现在第13组之后．

又第k 组的和为

122112

k

k -=-- 前k 组的和为

1(12)(122)k +++???+++???+12(21)(21)(21)k =-+-+???+- 12(222)k k =++???+-122k k +=--，

设满足条件的的N 在第1k +(k ∈*

N ,13k ≥)组，且第N 项为第1k +的第

m ()m ∈*N 个数，第1k +组的前m 项和为211222m -+++???+21m =-，

要使该数列的前N 项和为2的整数幂， 即21m -与2k --互为相反数， 即212m

k -=+， 所以23m

k =-，

由14k ≥，所以2314m

-≥，则5m ≥，此时5

2329k =-= 对应满足的最小条件为29(291)

54402

N +=

+=，故选A ． 2．C 【解析】由题意可得10a =，81a =，2a ，3a ，…，7a 中有3个0、3个1，且满足对

任意k ≤8，都有1a ，2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．

3．A 【解析】对命题p ：12,,,n a a a L 成等比数列，则公比)3(1

≥=

-n a a q n n

且0≠n a ； 对命题q ，

①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；

②当0≠n a 时，根据柯西不等式，

等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，

则

n

n a a a a a a 132

21-=???==，所以12,,,n a a a L 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.

4．A 【解析】2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =?，即2

111(6)(2)(14)a a a +=++，

解得12a =，所以(1)n S n n =+．

5．B 【解析】∵2

1)(x x f =在[0,1]上单调递增，可得1110()()0f a f a ->，

1211()()0f a f a ->，…，199198()()0f a f a ->，

∴111101211199198|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+???+-

1110121119919819910()()+()()()()=()()f a f a f a f a f a f a f a f a --+???+--=2

99-0=199

（

） ∵),(2)(2

2x x x f -=在490]99[，上单调递增，在50

[

,1]99

单调递减 ∴2120()()0f a f a ->，…，249248()()0f a f a ->，250249()()0f a f a -=，

251250()()0f a f a -<，…，299298()()0f a f a -<

∴221202221299298|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+???+- =24920299250()()[()()]f a f a f a f a ---=250202992()()()f a f a f a --

=505098004(1)199999801?

?-=< ∵|2sin |31)(3x x f π=在24[0,]99，5074[,]9999上单调递增，在2549[,]9999，75

[,1]99

上单调

递减，可得33253493742492()2()2(=(2sin sin )39999

I f a f a f a ππ

=-+-）

252(2sin sin )(1312123444

ππ>

-=-=> 因此312I I I <<．

6．27【解析】所有的正奇数和2n (*

n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a

中，5

2前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，

不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，

3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；

当26n =时，52621(141)2(12)

212S ?+?-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题

意；当27n =时，52722(143)2(12)

212

S ?+?-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题

意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．

7．5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=?=，所以15a =，故该数列

的首项为5．

8．12

【解析】将82a =代入111n n a a +=

-，可求得712a =；再将71

2a =代入111n n

a a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入11

1n n

a a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以1712

a a ==

． 9．64【解析】由11a =且125,,a a a 成等比数列，得2

111(4)()a a d a d +=+，解得2d =，

故8187

8642

S a d ?=+

=． 10

2a t =，则23

112t q t q t q ++≤≤≤≤≤≤，由于1t ≥，

所以max{q t ≥，故q

．

11．4【解析】由题意得11

22(4)()(1)(14)()33

22(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+?

+>--+????+>+++??

，得22(1)1010k k ?-?，

因此*

k N ∈，所以4k =．

12．【解析】(1)由条件知：(1)n a n d =-,1

2n n b -=．

因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即1

|(1)2

|1n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，

即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532

d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75

[,]32

．

(2)由条件知：1(1)n a b n d =+-,1

1n n b b q -=．

若存在d ，使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1)成立，

即1

111|(1)|n b n d b q b -+--≤(n =2，3，···，m +1)，

即当2,3,,1n m =+L 时，d 满足1111211

n n q q b d b n n ---≤≤--．

因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，

从而11201n q b n --≤-，1

101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+L 均成立．

因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立．

下面讨论数列12

{}1n q n ---的最大值和数列1{

}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+L ）． ①当2n m ≤≤时，111 2222

111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==

---， 当112m

q <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>． 因此，当21n m ≤≤+时，数列12

{}1

n q n ---单调递增，

故数列12

{}1n q n ---的最大值为

2m q m

-． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()(0)1f x f <=．

当2n m ≤≤时，1

11112111

()()()n

n n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1

{}1n q n --单调递减，

故数列1{}1n q n --的最小值为

m

q m

． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m m

b q b q m m

-．

13．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .

由已知2312b b +=，得2

1()12b q q +=，而12b =，所以2

60q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2n

n b =.

由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，

联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.

所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n

n b =.

（Ⅱ）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，

由262n a n =-，12124n n b --=?，有221(31)4n

n n a b n -=-?， 故23245484(31)4n

n T n =?+?+?++-?L ，

23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=?+?+?++-?+-?L ，

上述两式相减，得231

324343434(31)4n n n T n +-=?+?+?++?--?L

1

112(14)4(31)414

(32)48.

n n n n n ++?-=---?-=--?- 得1328

433

n n n T +-=

?+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为

1328

433

n n +-?+. 14．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >

当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，

那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>． 因此0n x >()n ∈*

N

所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>

因此10n n x x +<<()n ∈*

N

（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得

2

111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2

()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥

函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此2

111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故1

12(N )2

n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为

11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤

所以112

n n x -≥得 由

1

122

n n n n x x x x ++-≥得 11111

2()022

n n x x +-->≥ 所以

1211111111

2()2()2222

n n n n x x x -----???-=≥≥≥ 故2

1

2n n x -≤

综上，1211(N )22

n n n x n *

--∈≤≤ ．

15．【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+

两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.

又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n 3都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.

由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +， 则(21)(2)0q+q -=， 由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.

所以双曲线2

2

21n

y x a -=的离心率

n e =

由53q =解得43

q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->

1

*k q k -?N （）

. 于是1

121

1+1

n n n q e e e q q q --++鬃

?>+鬃?=-，

故1231

433n n

n e e e --++鬃?>

. 16．【解析】（Ⅰ）由题意有，11

1045100

2a d a d +=??=? ，即1129202a d a d +=??=?．

解得112a d =??=? 或1929a d =??

?=??，故1

212n n n a n b -=-???=??或11(279)929()9n n n a n b -?=+????=???

． （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1

21

2

n n n c --=

，于是 2341357921

122222

n n n T --=+

+++++L ， ① 234511357921

2222222n n n T -=++++++L . ② ①-②可得

221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-L ，故n T 12362

n n -+=-． 17．【解析】（Ⅰ）2()()212,n

n n F x f x x x x =-=+++-L 则(1)10,n F n =->

1

21111111

2()1220,122222

12

n n

n n F +??

- ?????

??

=+++-=-=-

< ? ?????-L 所以()n F x 在1,12??

???

内至少存在一个零点n x ． 又1

()120n n F x x nx

-'=++>L ，故在1,12??

???

内单调递增，

所以()n F x 在1(,1)2

内有且仅有一个零点n x ．

因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n n

x x +--=-，故111

=+22n n n x x +.

（Ⅱ）解法一：由题设，()()11().2

n

n

n x g x ++=

设()()211()()()1,0.2

n

n

n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->L

当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()11

1()12.2

n n n n x h x x nx

--+'=++-L

若01x <<,()1

111

1()22n n n n n n h x x

x nx x ----+'>++-

L

()()11

110.

22n n n n n n x x --++=

-=

若1x >,()1

111

1()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-

L

()()11

110.22

n n n n n n x x --++=

-=

所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <．

综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <． 解法二 由题设，(

)(

)211()1,(),0.2

n

n n n n x f x x x x g x x ++=+++=>L

当1x =时, ()()n n f x g x =；

当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <． 当2n =时, 2221

()()(1)0,2

f x

g x x -=--<所以22()()f x g x <成立． 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <． 那么，当+1n k =时，

()

(

)111

k+1k 11()()()2

k

k k k k k x f x f x x g x x x

+++++=+<+=

+()1211

2

k k x k x k +++++=

.

又()()11k+1211

11

()2

2

k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-

=

令()

1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>， 则()()1

1()(k 1)11(x 1)k

k k k h x k x k k x

k k x --'=+-+=+-．

所以当01x <<,()0k

h x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0k

h x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增． 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211

()2

k k x k x k g x +++++>

．

故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立． 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <．

解法三:由已知，记等差数列为{}k a ，等比数列为{}k b ，1,2,...,1k n =+．

则111a b ==，11n

n n a b x ++==，

所以()1

1+1(2n)n k x a k k n

-=-?≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()

111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n

---=-=+

->≤≤

当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =． 当1x ≠时, ()()1

2211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n

----+-'=

--=--， 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥． 若01x <<, 1

1n k x -+<,()0k m x '<，

当1x >,1

1n k x

-+>,()0k

m x '>， 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <

18．【解析】（Ⅰ）由2

1=0=22()n n n a a a n N λμ++-=∈，，有．

若存在某个0,n N +∈使得0,no a =则由上述递推公式易得10,no a -=重复上述过程可得

10a =，此与13a =矛盾，所以对任意,0n n N a +∈≠．

从而12(),n n a a n N ++=∈即{}n a 是一个公比2q =的等比数列．

故11

132n n n a a q --==?．

（Ⅱ）由01,1k λμ=

=-，数列{}n a 的递推关系式变为2

110

10n n n n a a a a k +++-=， 变形为2

10

1()().n n n a a a n N k +++

=∈由上式及130a =>， 归纳可得12130n n a a a a +=>>???>>>???>．

因为22

22001000

1111

111n n

n n n n n a a k k a a k k a a a k k +-

+=

=

=-?++

+， 所以对01,2,,n k =???求和得01010121()()k k k a a a a a a ++=+-+???+-

010000102011111 =()111

k a k k k k a k a k a -?+?++???++++

0000011111>2+

( )231313131

k k k k k k ?++???+=+++++1444442444443

． 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>???>>>，得

00110000102011111()111

k k a a k k k k a k a k a +=-?+?++???++++

0000011111<2+

()221212121

k k k k k k ?++???+=+++++1444442444443

． 综上，010011

2+

23121

k a k k +<<+++．

19．【解析】（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===

412

2421,,S S S S S S =∴成等比Θ

解得12,11-=∴=n a a n （Ⅱ）)1

21

121()1(4)

1(111

++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ，

当n 为偶数时11111

(1)()()3

3557n T =+-+++-L L

1111()()23212121n n n n ++-+---+ 1

221211+=

+-=∴n n

n T n 11111

(1)()()33557n n T =+-+++--

L L 当为奇数时， 1111()()23212121n n n n +++---+

1

22

21211++=

++=∴n n n T n ??????

?+++=∴为奇数为偶数n n n n n n

T n ,1

222,1

22． 20．【解析】（Ⅰ）由题意，()()*

∈=

N n a a a n

b n 221Λ，3

2

6b b

-=，

知32

38b b a -=

=，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），

所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *

=∈，

所以(

)()

112

1232

n n n n n a a a a ++==

L ，

故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *

=+∈； （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *

??=

-=--∈ ?+??

， 所以11

()12

n n S n N n *=

-∈+； （ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>； 当5n ≥时，()()11

112n n

n n c n n +??=

-??+??

，

而

()()()()()

11

112120222n n n n n n n n n ++++++--=>， 得

()()

5

1551122n n n ++≤<， 所以当5n ≥时，0n c <，

综上对任意n N *

∈恒有4n S S ≥，故4k =．

21．【解析】（I ）因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=．而11a =，

因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而2

30p p -=， 解得1

,03

p p =

= 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾。故13

p =

. （Ⅱ）由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是

212221()()0n n n n a a a a +--+-> ①

但

221

11

22

n n -<，所以 212221

a a a a n n n n -<-+-. ② 又①，②知，2210n n a a -->，因此

22212121

1(1)()22

n n n n n a a -----== ③

因为{}2n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<故

221

21221(1)22n

n n n

n

a a ++?? ?

??

--=-=

④ 由③，④即知，1

1(1)2n n n n

a a ++--=。

于是

121321()()...()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-

2111(1)1 (222)

n

n --=+-++

111()1211212

n ---=+?

+ 141(1)332

n n --=+?. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332

n

n n a --=+?．

22．【解析】（Ⅰ）点(,)n n a b 在函数()2x

f x =的图象上，所以2n a

n b =，又等差数列{}n a 的

公差为d ，所以1

112222

n n n n a a a d n a n b b ++-+===．

因为点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，所以8

7842a b b ==，

所以8

7

24d b b =

=2d ?=． 又12a =-，所以221(1)

232

n n n S na d n n n n n -=+

=-+-=-． （Ⅱ）由()2()2ln 2x

x

f x f x '=?=，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为

222(2ln 2)()a y b x a -=-

所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而2112ln 2ln 2

a -=-，故22a = 从而n a n =，2n n

b =，

2n n

n a n b =

231232222n n n T =

++++L 2341112322222n n n T +=++++L 所以23411111112222222n n n n T +=+++++-L 111211222

n n n n n +++=--=-

故2

22n n n T +=-．

23．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=

当1n =时，112a S ==

∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．

（Ⅱ）1(1)(1)

22

n n n n n S na d n d --=+

=+ 对n *?∈N ，m *?∈N 使n m S a =，即(1)

1(1)2

n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d

=+

∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-． （Ⅲ）设{}n a 的公差为d

令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *?∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *?∈N ，11n n c c a d +-=+

则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+

-，令1(2)n T m a =-，则(3)

22

n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；

当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ?，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=

+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12

n n m -=+ ∵对n *?∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N

即对n *?∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证．

24．【解析】（Ⅰ）由12a =，248a a +=

1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++??

1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-?-?

121()02

n n n n f a a a a π

+++'=-+-=

所以，122n n n a a a ++=+ ∴{}n a 是等差数列.

而12a =，34a =，1d =，2-111n a n n ∴=+

?=+（），