2017年高考试题分类汇编(数列)
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编07 数列
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．
53．（2019·北京（文））设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
二、填空题
22．（2020·海南）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
23．（2020·浙江）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C． D．
7．（2020·全国（文））设 是等比数列，且 ， ，则 （）
A．12B．24C．30D．32
8．（2020·全国（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
七、数列
一、单选题
1．（2021·全国（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （）
A．7B．8C．9D．10
2．（2021·浙江）已知 ，函数 .若 成等比数列，则平面上点 的轨迹是（）
A．直线和圆B．直线和别解答，则按第一个解答计分．
43．（2021·全国（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：数列 含答案 精品
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数列2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（Ⅰ）7S =__________； （Ⅱ）若2017a m =，则2015S =__________．（用m 表示） 3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41n n S a =+*()n ∈N ，设3log ||n n b a =，则数列{}n b 的通项公式为________.4、（襄阳市2017届高三1月调研）在等差数列{}n a 中，已知123249,21a a a a a ++==，数列{}n b 满足()12121211,2n n n n n b b b n N S b b b a a a *+++=-∈=+++，若2n S >，则n的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 25、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98±6、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .7、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在等差数列{}n a 中，36954a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =A. 18B. 99C. 198D. 2978、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 为等差数列，满足32015OA a OB a OC =+uu r uur uu u r，其中,,A B C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ） A.20172 B. 2017 C. 2016 D. 201529、（荆州中学2017届高三1月质量检测）对于数列{}n a ，定义na a a Hn nn 12122-+++=为{}n a 的“优值”.现在已知某数列{}n a 的“优值”12+=n Hn ，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围是二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，n为正整数.（1）令2n n n b a =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++，求n T .2、（荆门市2017届高三元月调考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，当2n ≥时，2)1(2-+=n n a n S .（Ⅰ）求2a ，3a 和通项n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12-⋅=n n n a b ，求{}n b 的前n 项和n T .3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S a a =+=，数列{}n b 满足124n S n b b b =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2016T .4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()x f x a =的图象过点1(1,)2，且点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证5n S <.5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足()22441,.n n a S n n N *+=++∈（1）求1a 及通项公式n a ；（2）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤ .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：49n T ≤.7、（襄阳市2017届高三1月调研）设各项均为正数的等比数列{}n a 中，132464,72.a a a a =+= (1)求数列{}n a 的通项公式； (2))设21log n nb n a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，不等式()log 2n a S a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.8、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知数列{n a }的前n 项和为n s ,且1a =2，n +1n a =2(n+1)n a（1）记=nn a b n，求数列{n b }的通项公式； （2）求通项n a 及前n 项和n s .9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知等差数列{}n a 满足()()()()()1223121.n n a a a a a a n n n N *+++++++=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .10、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案一、选择、填空题1、20162、（Ⅰ）33 （Ⅱ）1m -3、n b n =-4、B5、A6、357、C 8、A 9、167[,]73二、解答题 1、解：（I ）在中，令n=1，可得，即当时，，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由（I ）得，所以由①-②得……12分2、(I)11=a ，当2n =时，22222(1)32S a a =+=-，则24a =，当3n =时，24)41(22333-=++=a a S ，则63=a ，………………2分 当2n ≥时，2)1(2-+=n n a n S ，∴当3n ≥时，2211-=--n n na S ， ∴当3n ≥时，n n n n n a na a n S S 2)1()(211=-+=---， 即3n ≥时，1)1(-=-n n na a n ，所以11-=-n an a n n ， …………………4分 因为22323==a a ，111=a ，所以11n n a a n n -==-…32232a a===，因此，当2n ≥时，n a n 2=，故1,(1),2,(2)n n a n n =⎧=⎨⎩≥. ……………6分(Ⅱ)由(I)可知，1,(1),2,(2)n nn b n n =⎧=⎨⋅⎩≥，所以当1=n 时，11==b T n ，…………8分 当2n ≥时，12n T b b =++…2312232n b +=+⨯+⨯+…2n n +⋅， 则34222232n T =+⨯+⨯+…1(1)22n n n n ++-⋅+⋅， 作差得：3418(22n T =--++…112)2(1)21n n n n n ++++⋅=-⋅+ 故12)1(1+⋅-=+n n n T ，)(+∈N n . ……………………………………………………12分3、解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩由（1）得12590a d -+=， ·················· 2分 由（2）得1a d =，联立得13a d ==， ············· 3分 所以3n a n =. ························· 4分易知164b =， ························ 5分 当2n ≥时11214n S n b b b --=，又124n S n b b b =，两式相除得64(2)n n b n =≥， ················· 7分 164b =满足上式，所以64n n b =. ··············· 8分 （Ⅱ）2log 646n n c n ==，111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++， 10分11(1)361n T n =-+， ····················· 11分 因此2016562017T =. ····················· 12分 4、【解析】（Ⅰ）∵函数()x f x a =的图象过点1(1,)2， ∴11,()()22x a f x ==………………………………………………2分又点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上从而2112n n a n -=，即212n n n a -=……………………………………6分（Ⅱ）证明：由22(1)21222n n n n n n n b ++=-= 得23521222n n n S +=+++………………………………8分 则231135212122222n n n n n S +-+=++++ 两式相减得， 23113111212()222222n n n n S ++=++++- ∴2552n nn S +=-…………………………………………11分∴5n S <……………………………………………………12分5、6、解：（Ⅰ）由19a =，2a 为整数可知，等差数列{}n a 的公差d 为整数， 由5n S S ≤,知560,0a a ≥≤， 于是940d +≥ ，950d +≤，d 为整数，2d ∴=-.故{}n a 的通项公式为112n a n =-…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得()()11111111292292112n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪----⎝⎭， 1111111111......27957921122929n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，令192n b n =-，由函数()192f x x=-的图象关于点()4.5,0对称及其单调性，知12340b b b b <<<<，567...0b b b <<<<，41n b b ∴≤=.1141299n T ⎛⎫∴≤-= ⎪⎝⎭………12分7、(Ⅰ)解：设数列{a n }的公比为q ，则错误！未找到引用源。
17年高考数学真题高考题(3套)
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ(文数)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2017·全国Ⅰ卷,文1)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( A )(A)A∩B=（x|x<错误!未找到引用源。
）(B)A∩B=(C)A∪B=（x|x<错误!未找到引用源。
）(D)A∪B=R解析:B={x|3-2x>0}=（x|x<错误!未找到引用源。
）,A∩B=（x|x<错误!未找到引用源。
）,故选A.2.(2017·全国Ⅰ卷,文2)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( B )(A)x1,x2,…,xn的平均数(B)x1,x2,…,xn的标准差(C)x1,x2,…,xn的最大值(D)x1,x2,…,xn的中位数解析:标准差衡量样本的稳定程度,故选B.3.(2017·全国Ⅰ卷,文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( C )(A)i(1+i)2(B)i2(1-i)(C)(1+i)2(D)i(1+i)解析:(1+i)2=2i,故选C.4.(2017·全国Ⅰ卷,文4)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
解析:不妨设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,圆的半径为1,圆的面积为πr2=π.黑色部分的面积为圆面积的错误!未找到引用源。
,即为错误!未找到引用源。
,所以点取自黑色部分的概率是错误!未找到引用源。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题06 数列(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。
【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。
【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。
三年高考(2015-2017)高考数学试题解析13数列小题理
专题13数列小题1。
【2017课标1,理4】记nS 为等差数列{}na 的前项和．若4524a a +=，648S =,则{}na 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S ad a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =,故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416aa +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C 。
【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质，如{}na 为等差数列，若m np q +=+，则mnpqa a a a +=+。
2。
【2017课标3，理9】等差数列{}na 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}na 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．8 【答案】A 【解析】故选A 。
【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】（1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1,a n ,d ，n ,S n ，知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.3。
【2017课标II,理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】试题分析:设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：()712381 12x⨯-=-，解得3x=，即塔的顶层共有灯3盏，故选B。
2017-2019年高考真题数学(理)分项汇编_专题12 数列
专题12数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d ,的关系，从而求得结果.5．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q +++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230l n a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥6．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ． 【秒杀解】因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=， 则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ．【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.7．【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 8．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ． 【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．9．【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.10．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=，结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．11．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．12．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为___________． 【答案】 0，10-. 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.14．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.15．【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.16．【2018年高考北京卷理数】设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为___________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-，，， 【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.17．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}nB x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16个正奇数，即5621382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，4510<12=60S a =，不符合题意；……；当n =26时，()2752621221(141)441625032121=2516S a ⨯-⨯+=+=+=<-，不符合题意；当n =27时，()8527221222(143)21484+62=546>12=5420S a ⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.18．【2017年高考全国II 卷理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑___________． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knSn n n n ==-+-++-=-=+++∑． 【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．19．【2017年高考全国III 卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.20．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．21．【2017年高考北京卷理数】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =___________． 【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 22．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n nb n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.23．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 【答案】(1) 1,3,5,6（答案不唯一）；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）（2）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（3）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.24．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．【答案】（1）31n a n =+；32nn b =⨯（2）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．（2）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-． 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-． （ii ）()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N ．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．25．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．26．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<．那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<<==．即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.27．【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.28．【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m=，解得6m =.综上，6m =.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.29．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.30．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 【答案】（1）75[,]32；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． （1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．31．【2018年高考天津卷理数】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N . 【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）（i ）122n n T n +=--；（ii ）见解析.【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（1）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d +=从而11,1,b d ==故.n b n =所以，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（2）（i ）由（1），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑. 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32．【2017年高考天津卷理数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1328433n n +-⨯+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①． 由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得23112(14)324343434(31)44(314n nn n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得1328433n n n T +-=⨯+． 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 33．【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【答案】（1）12n n x -=；（2）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】（1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（2）过123,,,P P P …，1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q …，1n Q +,由(1)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++…+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+…+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯①，又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+…+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯②，①-②得121132(222)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 34．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k nnnk n ka aa a aa --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可． 35．【2017年高考北京卷理数】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-.所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当n m ≥时，nc M n>. 【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生. 36．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1−x n ≤12n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212n -．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．。
十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题07数列理(含解析)(最新整理)
故选:C．
4．【2017 年新课标 1 理科 12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为
激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码"的活动．这款软件的激活
码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2,1，2，4，1,2,4，8，1，2,4，8，16,…，其中
第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20，21，22,依此类推．求满足如下条件
9a5．
∴a100＝a5+95d＝98， 故选:C．
6．【2013 年新课标 1 理科 07】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0,Sm+1＝
3，则 m＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解:am＝Sm﹣Sm﹣1＝2，am+1＝Sm+1﹣Sm＝3，
所以公差 d＝am+1﹣am＝1，
故选:D．
9．【2019 年新课标 1 理科 14】记 Sn 为等比数列{an｝的前 n 项和．若 a1 ，a42＝a6，则 S5 ＝． 【解答】解：在等比数列中，由 a42＝a6，得 q6a12＝q5a1＞0， 即 q＞0,q＝3，
则 S5
，
故答案为：
10．【2018 年新课标 1 理科 14】记 Sn 为数列｛an}的前 n 项和．若 Sn＝2an+1，则 S6
m(a1+am）＝0， （m+1）（a1+am+1)＝3，
可得 a1＝﹣am,﹣2am+am+1+am+1
0,
解得 m＝5．
故选：C．
7．【2013 年新课标 1 理科 12】设△AnBn∁ n 的三边长分别为 an，bn,cn，△AnBn∁ n 的面积为 Sn，
2017年高考数学理试题分类汇编：数列
此时，
令
,
,
下证：
对任意正数 M，存在
, 学%科 %网当 n≥ m时
① 取取
([ x] 取不大于 x 的整数 )
n≥ m时，
=A(
成立
②若 C＜ 0，取
)+ B＞ A
当 n≥m时， 成立
综上，对任意正整数 M存在
，当 n≥ m时
命题得证 .
9． (2017 年江苏卷 )等比数列 { an } 的各项均为实数，其前 【解析】当 q 1 时，显然不符合题意；
(2017 年新课标Ⅰ ) 4．记 Sn 为等差数列 { an} 的前 n项和．若 a4 a5 24 ， S6 48 ，则 { an} 的公差为
A ．1
B．2
C． 4
D ．8
【答案】 C
【解析】设公差为
d，则有
2 a1
7d
24 , 解得 d
4 ，故选 C.
6a1 15d 48
( 2017 年新课标Ⅱ卷理 ) 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯
所以 cn cn-1 =-1 n 2
又 c2 c1=-1 所以 {cn} 是以首项 c1 =0 d=-1 为公差的等差数列。
（Ⅱ）
（ 1）设 { an} 、 { bn} 的公差为 d1, d2， 对于 b1 a1n,b2 a2 n, ,bn ann 其中任意项 bi ai n（ i N * ,1<i<n ）
2n 5
5
2n
两式相减得 1 Tn 3 22
11 2 22
1 2n 1
2n 2n
1
1
所以
Tn
5
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题06 数列(解析版) Word版含解析
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为.2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若134,,a a a 成等比数列，则3253S S S S --的值为 ．【答案】2【解析】若134,,a a a 成等比数列()()223141111234a a a a d a a d a d ∴=∴+=+∴=-32315354122227S S a a d dS S a a a d d-+-====-++-3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：)(*1N n a a b n n n ∈-=+，且)(1*1N n b b n n ∈=-+,13=a ，14-=a ，则=1a【答案】8【解析】因)(1*1N n b b n n ∈=-+，故数列{}n b 是等差数列，公差为1，又由条件得2343-=-=a a b ，从而5-=n b n ，故41-=b ，32-=b ，于是412-=-a a ，323-=-a a ，故42=a ，81=a4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】若数列{}n a 是首项为13a =，公比1q ≠-的等比数列，n S 是其前n 项和，且5a 是14a 与32a -的等差中项，则19S = ▲【答案】57【解析】由题意可得425132426126a a a q q =-∴=-，，即（2222(120q q q +-=⇒=）， 由题公比191111957q q S a ≠-∴=∴==，，5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】数列{}n a 中，12a =，23a =，12n n n a a a --=（n *∈N ，3n ≥），则2011a = ．【答案】2【解析】因为12a =，23a =，所以23132a a a ==，344523311122,33232a a a a a a ======，56423a a a ==，6778562,3a aa a a a ====，……，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，所以20113356112a a a ⨯+===．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若2412++=n n S S n n ，则=53a a ________．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】若,a b 是函数()2(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 【答案】9【解析】由条件可知q ab p b a ==+,，因0,>q p ，故不妨设0>>b a ，则a b ,,2-成等差数列，a b ,2,-成等比数列，从而22-=a b ，4=ab ，解之得1,4==b a ， 于是4,5==q p ，9=+q p8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．【答案】312n - 【解析】试题分析：由题意得：19m m m a S S -=-=，由1()02m m m a a S +==得19.a =-因此*118(1)9,1a m d m N d +-=-=∈，而d 为奇数，且1d >，3m >，因此3d =，从而n a =312n -9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲【答案】20 【解析】试题分析：9663633S S S S S S S --=-,263396()()S S S S S -=-,22633963333(5)2510101020S S S S S S S S S -+-===++≥+=（）,当且仅当35S =时取“=”，则96S S -最小值为20.11. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,63,763==S S 则=++987a a a _______. 【答案】448.【解析】由题意得1237a a a ++=，45663756a a a ++=-=，所以789568448a a a ++=⨯= 12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】若m b 为数列{2}n 中不超过3*()Am m N ∈的项数，2152=b b b +且310b =，则正整数A 的值为_______.13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足243n n S S +=+，且30S <，则 2a 的值为_______.【答案】6【解析】由题意得，2114343(2)n n n n S S S S n ++-=+=+≥，，两式相减得24(2)n n a a n +=≥，因此公比q 满足24q =，即2q =±.因为3143S S =+，所以当2q =时，11112443a a a a ++=+⇒11a =⇒ 37S =，与30S <矛盾，舍去；当2q =-时，111113244339a a a a a S -+=+⇒=-⇒=-0<，满足题意，因此2=6.a14. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知公比q 不为1的等比数列}{n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且223344,,a S a S a S +++成等差数列，则=+n n S a ． 【答案】1【解析】由条件得442233)(2S a S a S a +++=+，即432322a a a a +-=， 故3221221213q q q ⨯+=⨯，解之得21=q ，q=0（舍去），q=1（舍去），从而1211])21(1[21)21(=--+=+n n n n S a . 15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有991-+=+k ka a n n ,其中k 为不等于0与 1的常数，若{}2016,216,32,9,84,684---∈i a ，5,4,3,2=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为 .16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 的首项为1，等比数列{}n b 满足1n n na b a +=，且10081b =，则2016a 的值为_______.【答案】1 【解析】由题意得，1,n n n a b a += 因此2111322212016201520141,,,a b a b a b a b b a b b b =====⋅⋅ ，而201520152014110081b b b b ⋅⋅== ，因此2016=1.a二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.112(121)2(31)31231m m m m m --+--=+=+--，221221213m m m m m S S a S S ---+∴==-2122(1)331m m m --≤+-， 故若221mm S S -为{}n a 中的某一项只能为123,,a a a ，①若2122(1)3131m m m ---=⇒+-无解；2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n c 的通项公式是n n n b a c =，前n 项和为n T ,其中{}n a 是首项为11=a 的等差数列，且0>n a ，数列{}n b 为等比数列，若32)32(+⋅-=n n n T （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在,p q *∈N ，使得2016)1(212=-+q p b a 成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由；（3）是否存在非零整数λ，使不等式12112sin )111()111)(111(+<+-+-+-n n n a a a a a πλ 对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 【答案】(Ⅰ) 12-=n a n12-=n n b （Ⅱ）6,32==q p （3）λ⎛∈ ⎝【解析】（1）由条件可设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则取3,2,1=n得111=b a ，72211=+b a b a ，27332211=++b a b a b a ，从而⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=20)21(6)1(12111q b d q b d b ，解之得21=d ，522-=d ，因0>n a ，故取2=d ，从而2=q（3）由12-=n a n 得1)1(212sin--=-n n π 记121)111()111)(111(1)(++-+-+-=n n a a a a n f ，则原不等式可记为)()1(1n f n <--λ，因32)221(12)11()()1(211++-+=+-=++++n n n a a a n f n f n n n 1)32)(12(22>+++=n n n 故)(n f 为单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式)()1(1n f n <--λ对一切n *∈N 都成立，则当n 为奇数时，得32)1()(min ==<f n f λ 当n 为偶数时，得538)2()(min ==<-f n f λ，即538->λ综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件．3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 中任意连续三项的和为零，且212 1.a a ==- (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1111(N ),n n n b b a n b a ++=∈=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围.（II ）因为33132231331322132131323313()()4n n n n n n n n n n n n b b b b b b a a a a a a a a b b b b -------=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅== ， 所以11313212113()()24n n n b a a a a a ---==⋅，1132321113()()24n n n b a a a a ---==-⋅， 从而当*3,n k k N =∈时，333(1())33443(1())[,3)34414k k k S -==-∈-，当*31,n k k N =-∈时，31333333(1())()34()[0,3)444k k kk k k S S b -=-=--=-∈，当*32,n k k N =-∈时，1323131313143134()()3()[,3)424342k k k k k k S S b ----=-=--=-∈-，因此n S 的取值范围为131[,3)[0,3)[,3)=[,3).242-- ………16分.4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131n n S S +-=. （1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）数列{}n a 是否存在一项k a ，使得k a 恰好可以表示为该数列中连续*(,2)r r N r ∈≥项的和？请说明理由； （3）设*1(),n n nb n N a +=∈试问是否存在正整数,(1)p q p q <<使1,,p q b b b 成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组(,)p q ；若不存在，说明理由．5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =.（1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<< ，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.2(5)213nn n q++>的解，适合题意； ………12分 下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23nnn n b q ++=， 则2112[(1)(75)7]3n n n q n q n q b b q ++-+-+--=，因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减，又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ………15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. ……………16分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),,(+*∈∈+=R r p N n r pn a S nn． （1）若32,31==r p ，求数列}{n a 的前n 项和n S ； （2）设*∈N k ，先计算33)1(k k -+的值，再借用这个结论求出2222321n T n +⋅⋅⋅+++=的表达式（用n 表示）并在（1）的前提下，比较n T 与n S 的大小关系； （3）若120162016a a =，求r p ,的值．（2）33)1(k k -+=*∈++=-+++N k k k k k k k ,1331332323，n n a r pn a r n p )(]1)1([1+=+-++，当1=n 时，11a S =，所以1=+r p ，注意到+∈R r p ,，因此np n p a a n n 1)1(1+-=+，取1,2,3,,,1n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅-可得：pp a a p a a 21,12312+==，)1(1)2(,,413,31214534-+-=⋅⋅⋅+=+=-n n p a a p p a a p p a a n n ，将以上1-n 个等式两边相乘可得：pn p p p n p p p p a a n )1(32]1)2([)13)(12)(1(1-⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+++=---------------------------------------11分，取2016=n 可得：pp p p p p p p a a 201532]12014[)13)(12)(1(12016⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=，注意到201612016=a a，所以2016201532]12014[)13)(12)(1(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++pp p p p p p p ，即2016201532)12014()12)(1(⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++p p p p p p p ，7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分） 已知数列{}n a 中，01=a ，)(,21R p p a a n n ∈+=+，（1）当12-=p 时，试证明：432,,a a a 成等差数列；（2）若432,,a a a 成等比数列，试求实数p 之值；（3）当41>p 时，试证明：存在*N k ∈，使得2016>k a . 【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）251±-=p （3）见解析【解析】（Ⅰ）当12-=p 时，1221-+=+n n a a ，从而122-=a ，223-=a ，2354-=a ，因2232334-=-=-a a a a ，故432,,a a a 成等差数列；（2）p a =2，p p a +=23，p p p a ++=224)(，因432,,a a a 构成公比不为1的等比数列，故])[()(2222p p p p p p ++=+，解之得251±-=p ； （3）因p a a a a n n n n +-=-+214141)21(2-≥-+-=p p a n ， 当41>p 时，令41-=p d ，则d a a n n ≥-+1， 从而d a a ≥-12，d a a ≥-23，d a a n n ≥--1, ，将上述不等式相加得d n a a n )1(1-≥-， 因01=a ，故d n a n )1(-≥，取正整数12016+>dk ，则2016)1(=-≥d k a k 8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++ 中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=- .（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.证明：因为1()2nn a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2ii i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. …………16分9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】 (本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2=a 3，b 1b 2=b 3，且a 3，a 2+b 1，a 1+b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列． （1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； （2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， …第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，10. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分16分) 已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝1n S n+． （1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值； ②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得22t r b t b r +=+求q 的值． 【答案】(Ⅰ) ①34ad=②见解析． 【解析】解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列， 所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3+3d2a ＝3(2a ＋d )＋4+6d 3a ，解得，34a d =． ····································4分 ② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(1)(1)+d 2n nn a n++＜a ＋(n ＋1)d ， 整理得222020a n n da n n d ⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩········································6分＜n≤········································8分＝1＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋则f (t )＞f (r )，即1111(2)r(2)t r q q t t r ++-->++，这与1111(2)r(2)t r q q t t r ++--=++互相矛盾．所以r ＝1，即11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【答案】(Ⅰ) 12（Ⅱ）1n a n =+．（3）见解析【解析】（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--， 21[(1()]1133[(1()]1231()3n n nS --==----， …………2分 所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分 （2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++， 两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+，12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n++==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设*),2(N n S n b n n ∈-=，若*,N n b n ∈≤λ恒成立，求实数λ的取值范围； （3）设*,)1(2N n n n S c n n ∈+-=,n T 是数列{}n c 的前n 项和，证明143<≤n T ．【答案】（1）2n nna =（2）2λ≥（3）证明过程见解析 【解析】（1）由已知得1112n n a a n n+=+，其中*N n ∈所以数列{}n a n是公比为12的等比数列，首项112a =13. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】 (本题满分16分)已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足其中*n N ∈，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩，（2）①22,4415,5n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩②6．当6m =时，6q <，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅ 此时3p =，5q =，所以m 的最大值为6.………………………………16分14. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2)1(41+=n n a S ，*N n ∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n S b b ≥+，*N n ∈，且存在整数2≥k ，使得21k k k S b b =+．（i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当2≥n 时，*N b n ∈，求数列{}n b 的通项公式．记k x k x x f --=ln ln )(，则2)()ln (ln )(1)('k x k x k x x x f ----=2)(ln 1k x x k k x ---=15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：530S =，10110S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：11b =，121n n b T +-=.（Ⅰ）求n S 与n b ；（Ⅱ）比较n n S b 与2n n T a 的大小，并说明理由. 【答案】，13n n b -=；（Ⅱ）当*4()n n N ≤∈时，2n n n n S b T a <；当*5()n n N ≥∈时，2n n n n S b T a >，理由见解析.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得：解得12 2a d =⎧⎨=⎩，16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数. （Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()N m m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）()()2133nn a n N *-=-∈所以12111222n n n mna +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和. (Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nn a n N *-=-∈.。
2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题06 数列(解析版)
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为.2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若134,,a a a 成等比数列，则3253S S S S --的值为 ．【答案】2【解析】若134,,a a a 成等比数列()()223141111234a a a a d a a d a d ∴=∴+=+∴=-32315354122227S S a a d dS S a a a d d-+-====-++-3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：)(*1N n a a b n n n ∈-=+，且)(1*1N n b b n n ∈=-+,13=a ，14-=a ，则=1a【答案】8【解析】因)(1*1N n b b n n ∈=-+，故数列{}n b 是等差数列，公差为1，又由条件得2343-=-=a a b ，从而5-=n b n ，故41-=b ，32-=b ，于是412-=-a a ，323-=-a a ，故42=a ，81=a4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】若数列{}n a 是首项为13a =，公比1q ≠-的等比数列，n S 是其前n 项和，且5a 是14a 与32a -的等差中项，则19S = ▲【答案】57【解析】由题意可得425132426126a a a q q =-∴=-，，即（2222(120q q q +-=⇒=），由题公比191111957q q S a ≠-∴=∴==，，5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】数列{}n a 中，12a =，23a =，12n n n a a a --=（n *∈N ，3n ≥），则2011a = ． 【答案】2【解析】因为12a =，23a =，所以23132a a a ==，344523311122,33232a a a a a a ======，56423a a a ==，6778562,3a aa a a a ====，……，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，所以20113356112a a a ⨯+===．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若2412++=n n S S n n ，则=53a a ________．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】若,a b 是函数()2(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 【答案】9【解析】由条件可知q ab p b a ==+,，因0,>q p ，故不妨设0>>b a ，则a b ,,2-成等差数列，a b ,2,-成等比数列，从而22-=a b ，4=ab ，解之得1,4==b a ， 于是4,5==q p ，9=+q p8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．【答案】312n - 【解析】试题分析：由题意得：19m m m a S S -=-=，由1()02m m m a a S +==得19.a =-因此*118(1)9,1a m d m N d +-=-=∈，而d 为奇数，且1d >，3m >，因此3d =，从而n a =312n -9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲【答案】20 【解析】 试题分析：9663633S S S S S S S --=-,263396()()S S S S S -=-,22633963333(5)2510101020S S S S S S S S S -+-===++≥+=（）,当且仅当35S =时取“=”，则96S S -最小值为20.11. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,63,763==S S 则=++987a a a _______. 【答案】448.【解析】由题意得1237a a a ++=，45663756a a a ++=-=，所以789568448a a a ++=⨯= 12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】若m b 为数列{2}n 中不超过3*()Am m N ∈的项数，2152=b b b +且310b =，则正整数A 的值为_______.13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足243n n S S +=+，且30S <，则 2a 的值为_______.【答案】6【解析】由题意得，2114343(2)n n n n S S S S n ++-=+=+≥，，两式相减得24(2)n n a a n +=≥，因此公比q 满足24q =，即2q =±.因为3143S S =+，所以当2q =时，11112443a a a a ++=+⇒11a =⇒ 37S =，与30S <矛盾，舍去；当2q =-时，111113244339a a a a a S -+=+⇒=-⇒=-0<，满足题意，因此2=6.a14. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知公比q 不为1的等比数列}{n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且223344,,a S a S a S +++成等差数列，则=+n n S a ． 【答案】1【解析】由条件得442233)(2S a S a S a +++=+，即432322a a a a +-=， 故3221221213q q q ⨯+=⨯，解之得21=q ，q=0（舍去），q=1（舍去），从而1211])21(1[21)21(=--+=+n n n n S a . 15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有991-+=+k ka a n n ,其中k 为不等于0与 1的常数，若{}2016,216,32,9,84,684---∈i a ，5,4,3,2=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为 .16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 的首项为1，等比数列{}n b 满足1n n na b a +=，且10081b =，则2016a 的值为_______. 【答案】1 【解析】由题意得，1,n n n a b a += 因此2111322212016201520141,,,a b a b a b a b b a b b b =====⋅⋅，而201520152014110081b b b b ⋅⋅==，因此2016=1.a二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.112(121)2(31)31231m m m m m --+--=+=+--，221221213m m m m m S S a S S ---+∴==-2122(1)331m m m --≤+-， 故若221mm S S -为{}n a 中的某一项只能为123,,a a a ，①若2122(1)3131m m m ---=⇒+-无解；2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n c 的通项公式是n n n b a c =，前n 项和为n T ,其中{}n a 是首项为11=a 的等差数列，且0>n a ，数列{}n b 为等比数列，若32)32(+⋅-=nn n T（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在,p q *∈N ，使得2016)1(212=-+q p b a 成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由；（3）是否存在非零整数λ，使不等式12112sin )111()111)(111(+<+-+-+-n n n a a a a a πλ 对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 【答案】(Ⅰ) 12-=n a n12-=n n b （Ⅱ）6,32==q p （3）λ⎛∈ ⎝【解析】（1）由条件可设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则取3,2,1=n得111=b a ，72211=+b a b a ，27332211=++b a b a b a ，从而⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=20)21(6)1(12111q b d q b d b ，解之得21=d ，522-=d ，因0>n a ，故取2=d ，从而2=q（3）由12-=n a n 得1)1(212sin--=-n n π 记121)111()111)(111(1)(++-+-+-=n n a a a a n f ，则原不等式可记为)()1(1n f n <--λ，因32)2211(12)111()()1(211++-+=+-=++++n n n a a a n f n f n n n 1)32)(12(22>+++=n n n 故)(n f 为单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式)()1(1n f n <--λ对一切n *∈N 都成立，则当n 为奇数时，得32)1()(min ==<f n f λ 当n 为偶数时，得538)2()(min ==<-f n f λ，即538->λ综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件．3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 中任意连续三项的和为零，且212 1.a a ==- (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1111(N ),n n n b b a n b a ++=∈=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围.（II ）因为33132231331322132131323313()()4n n n n n n n n n n n n b b b b b b a a a a a a a a b b b b -------=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==，所以11313212113()()24n n n b a a a a a ---==⋅，1132321113()()24n n n b a a a a ---==-⋅，从而当*3,n k k N =∈时，333(1())33443(1())[,3)34414k k k S -==-∈-， 当*31,n k k N =-∈时，31333333(1())()34()[0,3)444k k k k k k S S b -=-=--=-∈，当*32,n k k N =-∈时，1323131313143134()()3()[,3)424342k k k k k k S S b ----=-=--=-∈-，因此nS 的取值范围为131[,3)[0,3)[,3)=[,3).242--………16分.4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131n n S S +-=. （1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）数列{}n a 是否存在一项k a ，使得k a 恰好可以表示为该数列中连续*(,2)r r N r ∈≥项的和？请说明理由； （3）设*1(),n n nb n N a +=∈试问是否存在正整数,(1)p q p q <<使1,,p q b b b 成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组(,)p q ；若不存在，说明理由．5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =.（1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.2(5)213nn n q++>的解，适合题意； ………12分 下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23nnn n b q ++=， 则2112[(1)(75)7]3n n n q n q n q b b q ++-+-+--=，因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减，又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ………15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. ……………16分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),,(+*∈∈+=R r p N n r pn a S nn． （1）若32,31==r p ，求数列}{n a 的前n 项和n S ； （2）设*∈N k ，先计算33)1(k k -+的值，再借用这个结论求出2222321nT n +⋅⋅⋅+++=的表达式（用n 表示）并在（1）的前提下，比较n T 与n S 的大小关系； （3）若120162016a a =，求r p ,的值．（2）33)1(k k -+=*∈++=-+++N k k k k k k k ,1331332323，n n a r pn a r n p )(]1)1([1+=+-++，当1=n 时，11a S =，所以1=+r p ，注意到+∈R r p ,，因此np n p a a n n 1)1(1+-=+，取1,2,3,,,1n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅-可得：pp a a p a a 21,12312+==，)1(1)2(,,413,31214534-+-=⋅⋅⋅+=+=-n n p a a p p a a p p a a n n ，将以上1-n 个等式两边相乘可得：pn p p p n p p p p a a n )1(32]1)2([)13)(12)(1(1-⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+++=---------------------------------------11分，取2016=n 可得：p p p p p p p p a a 201532]12014[)13)(12)(1(12016⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=，注意到201612016=a a，所以2016201532]12014[)13)(12)(1(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++pp p p p p p p ，即2016201532)12014()12)(1(⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++p p p p p p p ，7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分） 已知数列{}n a 中，01=a ，)(,21R p p a a n n ∈+=+，（1）当12-=p 时，试证明：432,,a a a 成等差数列；（2）若432,,a a a 成等比数列，试求实数p 之值；（3）当41>p 时，试证明：存在*N k ∈，使得2016>k a . 【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）251±-=p （3）见解析【解析】（Ⅰ）当12-=p 时，1221-+=+n n a a ，从而122-=a ，223-=a ，2354-=a ，因2232334-=-=-a a a a ，故432,,a a a 成等差数列；（2）p a =2，p p a +=23，p p p a ++=224)(，因432,,a a a 构成公比不为1的等比数列，故])[()(2222p p p p p p ++=+，解之得251±-=p ； （3）因p a a a a n n n n +-=-+214141)21(2-≥-+-=p p a n ， 当41>p 时，令41-=p d ，则d a a n n ≥-+1， 从而d a a ≥-12，d a a ≥-23，d a a n n ≥--1, ，将上述不等式相加得d n a a n )1(1-≥-， 因01=a ，故d n a n )1(-≥，取正整数12016+>dk ，则2016)1(=-≥d k a k 8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-.（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.证明：因为1()2nn a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2ii i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. …………16分9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】 (本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2=a 3，b 1b 2=b 3，且a 3，a 2+b 1，a 1+b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列． （1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； （2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， …第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，10. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分16分) 已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝1n S n+． （1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值； ②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得22t r b t b r +=+求q 的值． 【答案】(Ⅰ) ①34ad=②见解析（Ⅱ）56+． 【解析】解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列， 所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3+3d 2a ＝3(2a ＋d )＋4+6d3a ， 解得，34a d =． ····································4分② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(1)(1)+d 2n n n a n++＜a ＋(n ＋1)d ， 整理得222020a n n d a n n d ⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩········································6分＜n≤， ········································8分＝1＞0． 因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋则f (t )＞f (r )，即1111(2)r(2)t r q q t t r ++-->++，这与1111(2)r(2)t r q q t t r ++--=++互相矛盾． 所以r ＝1，即11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【答案】(Ⅰ) 12（Ⅱ）1n a n =+．（3）见解析【解析】（1）因为1211()2()333n nn a -=-=--， 21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----，…………2分 所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分（2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++，两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+，12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n++==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设*),2(N n S n b n n ∈-=，若*,N n b n ∈≤λ恒成立，求实数λ的取值范围；（3）设*,)1(2N n n n S c n n ∈+-=,n T 是数列{}n c 的前n 项和，证明143<≤n T ． 【答案】（1）2n nn a =（2）2λ≥（3）证明过程见解析 【解析】（1）由已知得1112n n a a n n +=+，其中*N n ∈所以数列{}n a n 是公比为12的等比数列，首项112a =13. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】 (本题满分16分)已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足其中*n N ∈，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ； ②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩，（2）①22,4415,5n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩②6．当6m =时，6q <，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅ 此时3p =，5q =，所以m 的最大值为6.………………………………16分14. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2)1(41+=n n a S ，*N n ∈．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n S b b ≥+，*N n ∈，且存在整数2≥k ，使得21k k k S b b =+．（i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当2≥n 时，*N b n ∈，求数列{}n b 的通项公式．记kx k x x f --=ln ln )(，则2)()ln (ln )(1)('k x k x k x xx f ----=2)(ln 1k x x k k x ---=15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：530S =，10110S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：11b =，121n n b T +-=. （Ⅰ）求n S 与n b ； （Ⅱ）比较n n S b 与2n n T a 的大小，并说明理由.【答案】，13n n b -=；（Ⅱ）当*4()n n N ≤∈时，2n n n n S b T a <；当*5()n n N ≥∈时，2n n n n S b T a >，理由见解析.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得：解得12 2a d =⎧⎨=⎩，16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数. （Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()N m m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）()()2133n n a n N *-=-∈所以12111222n n n mna +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和. (Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nn a n N *-=-∈.。
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2017年高考试题分类汇编（数列）
考点1 等差数列
1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，
648S =，则{}n a 的公差为 C
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11n
k k
S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列
1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则
4a =____．8-
2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知
374S =
,6634
S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 B
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合
1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，
6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A
A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
2.（2017·北京理科）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b ==-,44a b =
8=，则
2
2
a b =____. 1 3.（2017·全国卷Ⅰ文科）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；(2)n n a =-
（Ⅱ）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.
4.（2017·全国卷Ⅱ文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的 前n 项和为n T .11a =-，11b =，222a b +=.
（Ⅰ）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； 12n n b -= （Ⅱ）若321T =，求3S . 321S =或36S =-.
5.（2017·北京文科）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==,24a a +
10=，245b b a ⋅=．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；21n a n =- , （Ⅱ）求和：13521n b b b b -+++
+．31
2
n T -=.
6.（2017·天津理科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首 项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 1328
433
n n n T +-=
⨯+ 7.（2017·天津文科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首 项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N . 2(34)216n n T n +=-⨯+
8.（2017·山东理科）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，
322x x -=．
（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； 12n n x -=
（Ⅱ）如图，在在平面直角坐标xOy 中，依次连接点11(,1)P x ，22(,1)P x ，,11(,1)n n P x n +++得到折线12
1n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1
n x x +=所围成的区域面积n T ．
1211
222
n n n T --=⨯+
9.（2017·山东文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=,
123a a a =.
（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； 2n n a =
（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列
n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 15(25)()2n n T n =-+⨯
考法4 一般数列
1.（2017·全国卷Ⅲ文科）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；2
21
n a n =
- （Ⅱ）求数列21n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和. 221n n S n =+。