2020年高考试题分类汇编(数列)

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2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】等差数列、等比数列的基本运算题组一等差数列基本量的计算例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】解法一：由题知()21(1)21n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8.解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ．【易错点】对S n ＋2−S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。

题组二等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________．【答案】4【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即4220q q --=，解得q 2=2，∴4624a a q ==.【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：(1)设基本量a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．等差数列、等比数列的判定与证明题组一等差数列的判定与证明例1设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项． (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n =−n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值．【答案】(1)见解析；(2) 当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6. 【解析】(1)由已知可得2S n =a 2n ＋a n ，且a n >0，当n =1时，2a 1=a 21＋a 1，解得a 1=1；当n ≥2时，有2S n −1=a 2n －1＋a n −1，所以2a n =2S n −2S n −1=a 2n −a 2n －1＋a n −a n −1，所以a 2n −a 2n －1=a n ＋a n −1，即(a n ＋a n −1)(a n −a n −1)=a n ＋a n −1，因为a n ＋a n −1>0，所以a n −a n −1=1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可知a n =n ，设c n =a n ·b n ，则c n =n (−n ＋5)=−n 2＋5n =−⎝⎛⎭⎫n －522＋254，因为n ∈N *，所以当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6.【易错点】S n 是a 2n 和a n 的等差中项，无法构建一个等式去求解出a n 。

2020高考数学全国试题分类解析(数列部分)

1. （广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则(B)（Ａ）32（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５2. （福建卷）3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ A ）A ．15B ．30C ．31D ．643. （湖南卷）已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（B ） A ．0B ．3-C ．3D ．23 4. （湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim 111(= （C ）A ．2B ．23C ．1D ．215. （湖南卷）设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（C ） A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=(C )( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1897. (全国卷II) 如果数列{}n a 是等差数列，则(B ) (A)1845a a a a +<+ (B)1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =8. (全国卷II) 11如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则(B) (A)1845a a a a >(B)1845a a a a <(C)1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =9. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于(C )（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）67010. （上海）16．用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄a in ,记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in , 1 3 2i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2⨯12-3⨯12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中,b 1+b 2+┄+b 120等于3 1 23 2 1[答]( C )(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-72011. （浙江卷）limn →∞2123nn ++++＝( C )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。

2020最新题库大全2020年高考数学试题分项专题专题04 数列理

2020最新题库大全2020年数学（理）高考试题分项专题04 数列一、选择题1、（全国1理15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______。

解．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，11n n a a q -=，又21343S S S =+，即21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，解得{}n a 的公比13q =。

2、（广东理5）已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k= （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 答案：B ；解析：此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k-10<8得到k=8。

3、（天津文理8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )A.2B.4C.6D.86、（福建理2）数列{}的前n 项和为，若)1(1+=n n a n ，则5s 等于A 1B 65C 61D 301 解析：)1(1+=n n a n =111+-n n ，所以656151514141313121211543215=-+-+-+-+-=++++=a a a a a S ，选B 9、（湖北理5）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（） A ．0 B ．1 C ．pqD ．11p q --10、（湖北理8）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（） A ．2B ．3C ．4D ．5答案：选D解析：由等差数列的前n 项和及等差中项，可得()()()()()()121121121121112122112122n n n nn n a a n a a a b b b n b b ----+-+==+-+ ()()21217214514387191272132211n n n A n n B n n n n ---+++=====+-++++()n N *∈，故1,2,3,5,11n =时，nna b 为整数。

2020年高考数学真题汇编 4：数列理

2020高考真题分类汇编：数列一、选择题1.【2020高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B2.【2020高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C3.【2020高考真题新课标理5】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【答案】D4.【2020高考真题上海理18】设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++=Λ21，在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是（）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】D5.【2020高考真题辽宁理6】在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B6.【2020高考真题四川理12】设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则=-5123)]([a a a f （）A 、0B 、2116πC 、218π D 、21316π【答案】D7.【2020高考真题湖北理7】定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ， {()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A ．① ② B ．③ ④ C ．① ③ D ．② ④【答案】C8.【2020高考真题福建理2】等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为A.1B.2C.3D.4【答案】B.9.【2020高考真题安徽理4】公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7【答案】B10.【2020高考真题全国卷理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【答案】A二、填空题11.【2020高考真题浙江理13】设公比为q （q ＞0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n 。

2020高考真题汇编8：数列(文)

二、填空题
5．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】数列满足，前16项和为540，则 .
6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1=−2，a2+a6=2，则S10=__________．
7．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．
由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，
另一方面，，由数列单调性可知：，
这与的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明：
利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
从而题中的结论得证，数列为等比数列.
15．解析：（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，
也即，此式对一切正整数n均成立．
若，则恒成立，故，而，
这与是等差数列矛盾．
所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
（2）因为数列是“ ”数列，
所以，即．
因为，所以，则．
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故 .
故答案为： .
9．答案：
解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为： .
10．解析：（1）设的公比为．由题设得，．

2020年全国各地高中数学真题分类汇编—数列(含答案)

2020年全国各地⾼考真题分类汇编—数列1．（2020•浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成⽴的是（）A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b82．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最⼤项，有最⼩项B．有最⼤项，⽆最⼩项C．⽆最⼤项，有最⼩项D．⽆最⼤项，⽆最⼩项3．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．324．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k 为原位⼩三和弦．⽤这12个键可以构成的原位⼤三和弦与原位⼩三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．155．（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应⽤．若序列a1a2…a n…满⾜a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成⽴，则称其为0﹣1周期序列，并称满⾜a i+m＝a i（i＝1，2…）的最⼩正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…6．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等⽐数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（2020•新课标Ⅱ）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．58．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中⼼有⼀块圆形⽯板（称为天⼼⽯），环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块．下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板（不含天⼼⽯）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块9．（2020•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．10．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝．11．（2020•浙江）已知数列{a n}满⾜a n＝，则S3＝．12．（2020•海南）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．13．（2020•江苏）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公⽐为q的等⽐数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值是．14．（2020•新课标Ⅰ）数列{a n}满⾜a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝．15．（2020•天津）已知{a n}为等差数列，{b n}为等⽐数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n＝求数列{c n}的前2n项和．16．（2020•海南）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．17．（2020•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）的⾸项a1＝1，前n项和为S n．设λ和k为常数，若对⼀切正整数n，均有S n+1﹣S n＝λa n+1成⽴，则称此数列为“λ﹣k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ﹣1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“﹣2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．18．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是公⽐不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公⽐；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．19．（2020•⼭东）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．20．（2020•新课标Ⅲ）设等⽐数列{a n}满⾜a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1═S m+3，求m．。

2020届新高考高三数学试题分项汇编专题7 数列(原卷版+解析版)

（1）求an 的通项公式；
（2）设 bn 2an ，记 Tn 为数列 bn 的前 n 项和.若 Tm 124 ，求 m.
23．（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{an}的首项为 a1＝1，且 an1 2(an 1)(n N * ) .
（Ⅰ）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
③数列 f an 是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列．
2n1
（2）在（1）的条件下，当 k 2 时，设 anbn 4n2 1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
26．（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在① a3 5，a2 a5 6b2 ；② b2 2，a3 a4 3b3 ；
bn
cn
，的前 n 项和 Tn ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1
2
3
nn
27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列an 满足 2a1 5 2a2 5 2a3 5 … 2an 5 3 ．
（1）求数列an 的通项公式；
1
1
1
（2）设数列
anan1
的前
n
项和为 Tn
数列， a2 a4 6 .
（1）求数列an 的通项 an ；
（2）设 bn an cos 2an 1 ，求数列bn 的前 2020 项的和 S2020 .
3
21．（2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 1 , Sn1 2Sn 1, n N .
一、单选题 1．（2020 届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三

新高考地区专用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题07数列(含答案及解析)

新高考地区专用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：专题07 数列1．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD 1,CC 1,BB 1,AA 1是举， OD 1,DC 1,CB 1,BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1=0.5,CC 1DC 1=k 1,BB 1CB 1=k 2,AA1BA 1=k 3，若k 1,k 2,k 3是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3=（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【分析】设OD 1=DC 1=CB 1=BA 1=1，则可得关于k 3的方程，求出其解后可得正确的选项.【解析】设OD 1=DC 1=CB 1=BA 1=1，则CC 1=k 1,BB 1=k 2,AA 1=k 3，依题意，有k 3−0.2=k 1,k 3−0.1=k 2，且DD 1+CC 1+BB 1+AA 1OD 1+DC 1+CB 1+BA 1=0.725，所以0.5+3k 3−0.34=0.725，故k 3=0.9，故选：D2．【2021年新高考1卷】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm .【答案】 5 ()41537202n n -+-【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【解析】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑，则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++，两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ ()11601120122401212n nn -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--()()112011203120360360222n n n n n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为：5；()41537202n n -+-. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.3．【2020年新高考1卷（山东卷）】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________．【答案】232n n -【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.4．【2022年新高考1卷】记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=1,{S n a n}是公差为13的等差数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．【答案】(1)a n =n (n+1)2；(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得Sn a n=1+13(n −1)=n+23，得到S n =(n+2)a n3，利用和与项的关系得到当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n+2)a n3−(n+1)a n−13,进而得：a nan−1=n+1n−1，利用累乘法求得a n =n (n+1)2，检验对于n =1也成立，得到{a n }的通项公式a n =n (n+1)2；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a 1+1a 2+⋯+1a n=2(1−1n+1)，进而证得.【解析】(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S1a 1=1,又∵{S na n}是公差为13的等差数列，∴S n a n=1+13(n −1)=n+23,∴S n =(n+2)a n3,∴当n ≥2时，S n−1=(n+1)a n−13，∴a n =S n −S n−1=(n+2)a n 3−(n+1)a n−13,整理得：(n −1)a n =(n +1)a n−1,即a nan−1=n+1n−1,∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×an−1a n−2×a nan−1=1×32×43×…×n n−2×n+1n−1=n (n+1)2，显然对于n =1也成立，∴{a n }的通项公式a n =n (n+1)2；(2)1a n=2n (n+1)=2(1n −1n+1),∴1a 1+1a 2+⋯+1a n=2[(1−12)+(12−13)+⋯(1n −1n+1)]=2(1−1n+1)<2.5．【2022年新高考2卷】已知{a n }为等差数列，{b n }是公比为2的等比数列，且a 2−b 2=a 3−b 3=b 4−a 4． (1)证明：a 1=b 1；(2)求集合{k |b k =a m +a 1,1≤m ≤500}中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)9．【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得m =2k−2，即可解出．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，所以，{a 1+d −2b 1=a 1+2d −4b 1a 1+d −2b 1=8b 1−(a 1+3d ) ，即可解得，b 1=a 1=d2，所以原命题得证．(2)由（1）知，b 1=a 1=d2，所以b k =a m +a 1⇔b 1×2k−1=a 1+(m −1)d +a 1，即2k−1=2m ，亦即m =2k−2∈[1,500]，解得2≤k ≤10，所以满足等式的解k =2,3,4,⋯,10，故集合{k|b k =a m +a 1,1≤m ≤500}中的元素个数为10−2+1=9．6．【2021年新高考1卷】已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和. 【解析】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+，所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===，所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列，于是122,5,31n b b b n ===-． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=．由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知，数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ．所以11213(1)11222b a a -==++=+=，322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-．（2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+，所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.7．【2021年新高考2卷】记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【解析】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.8．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =.【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）方法一：通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S . 【解析】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. （2）［方法一］：规律探索由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以 1b 对应的区间为(0,1]，则10b =；23,b b 对应的区间分别为(0,2],(0,3]，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7]，则45672b b b b ====，即有22个2； 8915,,,b b b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],,(0,15]，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],,(0,31]，则1617314b b b ====，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],,(0,63]，则3233635b b b ====，即有52个5； 6465100,,,b b b 对应的区间分别为(0,64],(0,65],,(0,100]，则64651006b b b ====，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．［方法二］【最优解】：由题意，2n m ≤，即2log n m ≤，当1m =时，10b =．当)12,21k k m +⎡∈-⎣时，,m b k k *=∈N ，则()()()()1001234573233636465100S b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++0122438416532637480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．［方法三］：由题意知)1,2,2k k m b k m +⎡=∈⎣，因此，当1m =时，10b =；[2,4)m ∈时，1m b =； [4,8)m ∈时，2m b =；[8,16)m ∈时，3m b =； [16,32)m ∈时，4m b =；[32,64)m ∈时，5m b =； [64,128)m ∈时，6m b =．所以1001234100S b b b b b =+++++ 0(11)(222)(666)=++++++++++0122438416532637480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以数列{}n b 的前100项和100480S =．【整体点评】（2）方法一：通过数列{}n a 的前几项以及数列{}m b 的规律可以得到12100,,,b b b 的值，从而求出数列{}m b 的前100项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列{}m b 的通项公式，从而求出数列{}m b 的前100项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．9．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +-- 【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列(){}111n n n a a -+-的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可.【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >==，数列的通项公式为：1222n nn a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础。

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2020年高考试题分类汇编（数列）
考法1等差数列
1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心由一块圆心石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一层多
9块，
已知每层的环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）
A ．3699块
B ．3474块
C ．3402块
D ．3339块
2.（2020·全国卷Ⅱ·文科）记n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，若12a =-，262a a +=，则10S = .
3.（2020·山东卷）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为．
4.（2020·上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910
a a a a +++= . 5.（2020·浙江卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠，
11a d
≤．记12b S =，122n n n b S S ++=-，n N *∈，下列等式不可能成立的是 A.4262a a a =+ B.4262b b b =+ C. 2428a a a =⋅ D.2428b b b =⋅
6.（2020·北京卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12n n
T a a a =（1,2,n =），则数列{}n T A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
D.无最大项，无最小项
考法2等比数列
1.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设{}n a 是等比数列，1231a a a ++=，2342a a a ++=，则678a a a ++=
A ．12
B ．24
C ．30
D ．32
2.（2020·全国卷Ⅱ·理科）数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=⋅，若 153121022k k k a a a ++++++=-，则k =
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3.（2020·全国卷Ⅱ·文科）n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若5312a a -=，6424a a -=，则n n
S a = A ．21n - B ．122n -- C ．122n -- D ．121n --
4.（2020·全国卷Ⅲ·理科）设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-. （Ⅰ）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（Ⅱ）求数列{2}n n a 的前n 项和n S .
5.（2020·全国卷Ⅰ·理科）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项.
（Ⅰ）求{}n a 的公比；
（Ⅱ）若11a =，求数列{}n na 的前n 项的和. 考法3等差数列与等比数列
1.（2020·全国卷Ⅲ·文科）设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列3{log }n a 的前n 项和n S ，若13m m m S S S +++=，求m .
2.（2020·山东卷）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记m b 为{}n a 在区间(0,]m （m N *∈）中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．
3.（2020·浙江卷）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中，1111a b c ===,1n n n c a a +=-，11
n n n b c b ++=，n N *∈. （Ⅰ）若数列{}n b 为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d +++<+．考法4其它
1.（2020·全国卷Ⅰ·文科）数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项的和为540，则1a = .
2.（2020·浙江卷）已知数列{}n a 满足(1)2
n n n a +=，则3S = ．。