2019年高考全国二卷文科数学试卷
2019年全国卷Ⅱ文数高考试题文档版(含答案)
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考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．-1+2iC ．1-2iD ．-1-2i3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A ．2 B ．2 C ．52D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25D ．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15B ．55C ．33D ．25512．设F为双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A ．2B ．3C．2 D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国II卷高考数学(文科)试题(带答案)
R心A,B,E，所以LABB一k4,EB1 •45° ，故儿在从巨3,
从I •2庄＝6.
．心一作EFJ.BBl，垂足为F,则EF J.平面BB,C,C，且
EF
3.
D
所以，四棱锥E-BB1C 1C的体积V=3�Ix3x6x3:zl8.
Ai
18. (12分）
已知｛心是各项均为正数的等比数列，q1 ＝2 , a, 罩 2ai +16.
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即
(2)由题意可知，
如 2 缸 16
湖，上 足x +条c件·上 的 x-点C ·p(一x1-,Y， ）存了 ;在＋当ib且＇ 仅-l当,
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平），所以c2
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从而a2=b2
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=32，故a�4
.
当b=4, a�4✓2时 ， 存在满足条件的点P.
所以丘4, a的取值范围为［众厅，＋oo).
21. (12分） 已知函数f(x)=(x一l)lnx 丁 － 1．证明：
(1) /(x)存在唯一的极值点；
坐标原点． (1)若么沁只为等边三角形，求 C的离心率； (2)如果存在点P,使得PE.LP片 且纽PF:,.的面积等千16,求b的值和a的
取值范围． 解1 (1)连结P只．由t;;.POF,为等边三角形可知在ARPE中，OiPF2
2019年高考全国2卷文科数学试题含答案解析
2019年高考全国2卷文科数学试题解析1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则AB =A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =，故选A.2．(1i)(2i)++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 【答案】B3．函数π()sin(2)3f x x =+最小正周期为 A ．4π B ．2π C ． π D ．π2【答案】C【解析】由题意2ππ2T ==，故选C. 4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b 【答案】A【解析】由+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A.5．若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2) 【答案】C6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为221π36π3463π2V =⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B. 7．设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A.8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ． (,1)-∞C ． (1,)+∞D ． (4,)+∞ 【答案】D9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己结果，故选D.10．执行下面的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．15C．310D．25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种. 所以所求概率为102255=. 12．过抛物线2:4C y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为A 5B ．2C ． 23D ． 33【答案】C二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 . 5【解析】2()215f x ≤+=14．已知函数()f x 是定义在R 上函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = .【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 球面上，则球O 的表面积为 . 【答案】14π【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,4π14π.R S R =++===16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积. 19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.K 2=22006266343815.70510010096104⨯⨯-⨯⨯⨯⨯（）≈.由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 20．（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 错误!未找到引用源。
(精校版)2019年全国卷Ⅱ文数高考试题文档版(含答案)
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注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= A ．2B ．2C ．52D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23 B ．35 C ．25D ．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2B ．32 C ．1 D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．810．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B ．55 C ．33D ．25512．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是___________.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A+a cos B=0，则B=___________. 15．ABC16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_ ________．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分。
2019年全国卷2文科数学及答案
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥０时， f(x)= ex 1 ，则当 x<0 时， f(x)=
所以，四棱锥 E
BB1C1C 的体积 V
1 3 6 3 18 .
3
18．解：（1）设 an 的公比为 q，由题设得 2q2 4q 16 ，即 q2 2q 8 0 . 解得 q 2 （舍去）或 q=4. 因此 an 的通项公式为 an 2 4n 1 22 n 1 .
（ 2）由（ 1）得 bn (2 n 1) log 2 2 2n 1，因此数列 bn 的前 n项和为 1 3
2019年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷 2文科数学·参考答案
1． C
2．D
3． A
4． B
5． A
6． D
7． B
8．A
9． D
10．C
11．B
12．A
13． 9
14． 0.98
3π
15．
4
16． 2 1
17．解：（1）由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1， BE 平面 ABB1A1，
故 B1C1 BE .
（ 1）当 0 = 时，求 0 及 l 的极坐标方程； 3
（ 2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 .
23． [选修 4-5：不等式选讲 ]（ 10 分）
已知 f ( x) | x a | x | x 2 | ( x a). （ 1）当 a 1 时，求不等式 f (x) 0的解集； （ 2）若 x ( ,1) 时， f (x) 0，求 a 的取值范围 .
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国2卷)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，2）D．∅2．（5分）设z＝i（2+i），则＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）A．B．2C．5D．504．（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+17．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．（5分）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）A．2B．C．1D．9．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．810．（5分）曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0C．2x+y﹣2π+1＝0D．x+y﹣π+1＝011．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．12．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案
2019普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第_卷选择题：本大题共124、题，每4、题5分，在每4、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
⑴已知集合a=M t<x<2},B=H0<x<3},则AU3=A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)2+ai日.顽----—=3+z,贝!J q=(2)若a实数，且1+，A.-4B.-3C.3D.4(3)根据下面给出的2019年至2019年我国二氧化碳年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是C.2019年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2019年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
(4)已知向量"=(O,T)E=(-1,2),则(2a+i)・a=A.-1B.0C.1D.2/[-\、S〃是等差数列}的前〃项和，—％+%+%=3,则S5=A.5B.7C.9D.11(6)—个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为J.£££A.8b.7 c.6 D.5⑺已知三点A(1,O),B(O,g),C(2,73),则AABC夕卜接圆的圆，《到原点的距>离为5恒2^54A.3b.3 C.3 D.3(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术，执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为开始输入a,b{a“}丫两——=4(。
4—1),则。
2=(9)已知等比数列4C2_1A.2B.1C.2D.8(10)已知A,B是球0的球面上两点，ZAO3=90°,C为该球面上动点，若三棱锥0_ABC 体积的最大值为36,则球0的表面积为A.367tB.647tC.144冗D. 256兀(11)如图，长方形的边AB=2,BC=1,0是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，记ZBOP=x，将动点P到两点距离之和表示为函数/■"),贝昕⑴的图像大致为/(x)=ln(l+|x|)-—二，则使得f3)>y(2x-1)成立的x的范围是(12)设函数1+尤("I)(-8,；)U(l,+8)(—；，!)(—8,—：)U(：,+8) A.3 B.3 C.33d.33第二卷填室题：本大题共4个小题，每小题5分己知国数八工)=心'―2工的图像过点(-1,4)，贝此=%+y-5<0,<2x-y-l>0,贝!Jz=2尤+y的最大值为(14)若x,y满足约束条件—2'+1'°‘。
2019高考文科数学全国卷2(附参考答案和详解)
丙 ,我 的 成 绩 比 乙 高 !
成绩公布后#三人成绩互不相 同 且 只 有 一 个 人 预 测 正 确#那
么三人按成绩由高到低的次序为
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故选 1! !"!答 案 ;
解 析 令 双 曲 线 /+&,"" )'0"" '! !&&##'&#"的 右 焦 点 1 的 坐
标为!(##"#则(' 槡&"+'" !
如图所 示#由 圆 的 对 称 性 及 条
. ")"' 槡!)!""+!" '槡"!
故选 ;!
/!答 案 1
解析设-只兔子中测量过某 项 指 标 的 ( 只 为 &!#&"#&(#未
$
$)
"+
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（
II 卷）
文科数学
2019.6
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1. 已知集合 A { x | x
1} ， B { x | x 2} ，则 A B
A.
( 1, )
B. (
,2)
C. ( 1,2)
D.
2. 设 z i( 2 i) ，则 z
A. 1 2i
B. - 1 2i
C. 1- 2i
D. - 1-2i
3. 已知向量 a (2,3)
， b
(3,2) ，则 a b
A. 2
B.2
C. 5 2
D.50
4. 生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标。
若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰
有 2 只测量过该指标的概率为
A.
2
B.
3
C.
2
D.
1
3 5 5 5
5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A. 甲、乙、丙
B. 乙、甲、丙
C. 丙、乙、甲
D. 甲、丙、乙
6. 设 f (x) 为奇函数，且当 x 0 时， f (x)
e x 1，则当 x
0 时， f ( x)
A. e x 1
B. e x
1 C.
e x 1
D.
e x 1
7. 设 α、β为两个平面，则 α// β的充要条件是
A. α内有无数条直线与 β平行
B. α内有两条相交直线与 β平
行
C. α、β平行于同一条直线
D. α、β垂直于同一平面 8. 若 x 1
4
， x 2
3
是函数 f (x)
sin x(
0) 两个相邻的极值点，则
4
A. 2
B.
3
C. 1
D.
1
2
2
9. 若抛物线 y
2
2 px( p 0) 的焦点是椭圆
x 2
y 2
1 的一个焦点，则 p
3p
p
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
10. 曲线 y 2sin x cos x 在点 ( ,-1) 处的切线方程为
A. x y
1 0
B. 2x y 2 1 0
文科数学第 1页（共4页）
11. 已知
(0, ) ， 2sin 2 cos2
1，则 sin
2
A.
1
B. 5
C.
3
D. 2 5
5
5
3
5
2 2
12. 设 F 为双曲线 C ：
x
2
y
2
1( a 0,b
0) 的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与 x 2 y 2
a 2
a
b
交于 P 、 Q 两点，若 |PQ| = |OF|，则 C 的离心率为
A.
2
B. 3
C. 2
D.
5
二、填空题：本题共 4 小题，每小题
5 分，共 20 分。
2x 3y 6 0,
13. 若变量 x 、y 满足约束条件
x y 3 0,
则 z 3x
y 的最大值 ________。
y 2
0,
14. 我国高铁发展迅速，技术先进。
经统计，在经停某站的高铁列车中， 有 10 个车次的正点率为 0.97，
有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 _________。
15. ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 b sin A a cosB 0 ，则 B =_______。
16. 中国有悠久的金石文化， 印信是金石文化的代表之一。
印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，
但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1）。
半正多面体是由两种或两种以
上的正多边形围成的多面体。
半正多面体体现了数学的对称美，图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为 1，则该半多面体共有 _____
个面，其棱长为 ________。
（本题第一空 2 分，第二空 3 分。
）
图1 图2
三、解答题：共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。
第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）
如图，长方体 ABCD-A 1
1 1
D 1 的底面 ABCD 是正方形，
B C
点 E 在棱 AA 1 上，BE EC 1。
（1）证明： BE 平面 EB 1 1 （2）若 AE = A 1
，
C ;
1 1
的体积。
E AB=3
，求四棱锥
C
E-BBC
已知{
a n }
是各项均为正数的等比数列，a12， a32a216 。
（1）求{a
n
}
的通项公式；
（2）设b n log 2 a n，求数列{b n}的前n项和。
19.（12 分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表。
y 的分组[-0.20, 0)[0, 0.20)[0.20, 0.40)[0.40, 0.60)[0.60, 0.80)
企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点为代表）。
（精确到 0.01）
附：748.602 。
20.（12 分）
已知 F1、F2是椭圆 C：x
2
y 21( a b0) 的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。
a 2b2
（1）若POF2为等边三角形，求 C 的离心率；
（2）如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围。
已知函数 f ( x) (x 1) ln x x 1 。
证明：
（1）f ( x)存在唯一的极值点；
（2）f ( x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。
（二）选考题：共10 分。
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程 ] （10 分）
在极坐标系中， O 为极点，点M (0,0)(00)在曲线C: 4 sin 上，直线l过点 A( 4,0) 且与OM 垂直，垂足为 P。
（1）当0时，求0及 l 的极坐标方程；
3
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程。
23.[选修 4—5：不等式选讲 ]（ 10 分）
已知 f ( x) | x a | x | x 2 | ( x a)。
（1）当 a = 1 时，求不等式 f (x)0 的解集；
（2）若x( ,1) 时， f (x) 0，求a的取值范围。
（3）。