【恒心】2015届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学(理科)试题及参考答案
2015-2016学年河北省衡水中学高一下学期一调考试数学(理)试题 word版
2015 2016学年度下学期高一年级一调考试理数试题 命题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设{}{}2|3,|1,A x Z x B y y x x A =∈≤==+∈，则B 中元素的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D.无数个2．设向量,a b()a a b ⊥+ ，则a 与b 的夹角为（ ）A.2πB.23π C. 34π D. 56π 3．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos 2y x =的图象沿轴（ ） A. 向右平移个4π单位 B.向左4π平移个单位C. 向右平移8π个单位 D. 向左平移8π个单位4．设()()()()2222cos sin 2sin 32=22cos cos f πθπθθθπθθ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭+++-，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A. 1-2 B. 12 C. 1 D. 3451sin170-=（ ）A. 4B. 2C. -2D. - 4 6．已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()+201x x f x g x a a a a -=-+>≠且，若()2g ，则()2=f （ ）A. B. C. D.7．将函数()()()=sin 0f x x ωϕω+>的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于（ ）A. 5B. 6C. 7D.8 8．若先将函数cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再将所得图象向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A. 6x π= B. 3x π= C. 12x π= D. 56x π=9．已知ABC ∆内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若1cos ,2,sin 2sin ,4B bC A ===则ABC∆的面积为（ ）A.B.C. D.10．在ABC ∆中，若()235CA CB AB AB +=，则tan tan AB的值为（ ） A. 4 B. 3 C.2 D. 111．在ABC ∆中，5BC =,G,O 分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC =，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能12．已知函数()224log ,02,1512,2,2x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则a b c d +++的取值范围是（ ）A. 2512,12⎛⎫⎪⎝⎭B. ()16,24C. ()12+∞，D. ()18,24第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.集合{}{}|25,|121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是 . 14.已知02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()()lg 8sin 6cos lg 4sin cos αααα+--= 15.若函数()()=sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫+><⎪⎝⎭且在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调减函数，且函数值从4减小到-1，则=4f π⎛⎫⎪⎝⎭.16.已知,a b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合{}{}22|230,,|240,.A x x x x R B x x mx x R =--≤∈=--≤∈ （1）若{}|13A B x x =≤≤ ，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的三边分别是a,b,c,平面向量()()1,sin m B A =-，平面向量()sin sin 2,1.n C A =-（1）如果2,3c C π==，且ABC ∆的面积S =a 的值；（2）若m n ⊥，请判断ABC ∆的形状.19. （本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，()222cos .sin cos A C b a c ac A A+--=（1）求角A; （2）若a =，当7sin cos 12B C π⎛⎫+- ⎪⎝⎭取得最大值时，求B 和b.20. （本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知4cos sin ,cosB .5b a Cc A =+= （1）求cos C 的值； （2）若10BC =，，D 为AB 的中点，求CD 的长.21. （本小题满分12分） 设函数()()01xxf x ka aa a -=->≠且是奇函数.（1）求常数k 的值；（2）若01a <<，()()+2+3-20,f x f x >求x 的取值范围；（3）若()81=3f ，且函数()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1+∞，上的最小值为-2， 求m 的值.22. （本小题满分12分）如图，在凸四边形ABCD 中，C,D 为定点，CD =A,B 为动点，满足AB=BC=DA=1 （1）写出cos C 与cos A 的关系式；（2）设BCD 和ABD 的面积分别为S 和T,求22S T +的最大值.。
河北省衡水中学2015届高三下学期三调考试数学(理)试卷
2014-2015学年度下学期高三年级三调考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|11},{|560}A x x B x x x =-≤≤=-+≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．A B B = B ．A B A = C ．A B ⊂ D ．R C A B =2、复数122ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i- C ．i D ．i -3、某工厂生产,,A B C 三种不同的型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ）A ．24B ．30C ．36D ．40 4、如图给出的是计算111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i > B ．9?i > C ．10?i > D ．11?i >5、将函数()cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π6、已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167、已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种 B ．72种 C ．78种 D ．84种8、已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，点P 满足11()2OP OF OQ =+(其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点)，在点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆9、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π-10、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,ABC AC BC AC BC PA ⊥===锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π11、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当PAB ∠最大时，cos PAB ∠=（ ）A．12 C． D ．12- 12、若函数[]111sin 20,)y x x π=∈，函数223y x =+，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ）AB ．2(18)72π+C ．2(18)12π+ D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20，把答案填在答题卷的横线上。
2015年河北省衡水市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河北省衡水市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，则＝（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i2．（5分）函数y＝a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且5．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）9．（5分）样本（x1，x2…，x n）的平均数为，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数＝α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能确定10．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．11．（5分）设函数f（x）＝2x﹣cos x，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f （a2）+…+f（a5）＝5π，则[f（a3）]2﹣a1a5＝（）A．0B．C．D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cos C的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．（5分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l 的距离，已知曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝．15．（5分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是．16．（5分）已知整数数列a0，a1，a2，…，a2014中，满足关系式a0＝0，|a1|＝|a0+1|，|a2|＝|a1+1|，…，|a2014|＝|a2013+1|，则|a1+a2+a3+…+a2014|的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，函数f（x）＝px3﹣（p+q）x2+qx+q （其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x＝a1时，函数f（x）取得极小值、点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y＝2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．20．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4，求PF的长度．选修4-4：坐标系与参数方程23．过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2＝1交于点M，N．（1）写出直线的一个参数方程；（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）＝|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．2015年河北省衡水市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，则＝（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i【解答】解：故选：D．2．（5分）函数y＝a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于当x＝1时，y＝0，即函数y＝a x﹣a的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选：C．3．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β＝a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l ∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且【解答】解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，故选：C．5．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．【解答】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M 若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N 第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积＝，即π12÷1＝∴π＝（π的估计值）即执行框内计算的是．故选：D．6．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1＝＝，∴OO1＝＝，∴高SD＝2OO1＝，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S＝，△ABC＝＝．∴V三棱锥S﹣ABC故选：C．7．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|＝b，|OF1|＝c．∴k PQ＝，k MN ＝﹣．直线PQ为：y＝（x+c），两条渐近线为：y＝x．由，得Q（）；由得P．∴直线MN为，令y＝0得：x M＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝x M＝，∴3a2＝2c2解之得：，即e＝．故选：B．8．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，整理得：m+n+1＝mn≤，设m+n＝x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．9．（5分）样本（x1，x2…，x n）的平均数为，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数＝α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能确定【解答】解：法一：不妨令n＝4，m＝6，设样本（x1，x2…，x n）的平均数为＝6，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为＝4，所以样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数＝α+（1﹣α）＝6α+（1﹣α）4＝，解得α＝0.4，满足题意．解法二：依题意nx+my＝（m+n）[ax+（1﹣a）y]，∴n（x﹣y）＝a（m+n）（x﹣y），x≠y，∴a＝∈（0，），m，n∈N+，∴2n＜m+n，∴n＜m．故选：A．10．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．【解答】解：对于A，取x＝3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x＝1时，左边＝，右边＝0.75，不等式成立；x＝时，左边＝，右边＝，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C，构造函数，h′（x）＝﹣sin x+x，h″（x）＝﹣cos x+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增∴h′（x）≥h′（0）＝0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴；对于D，取x＝3，，所以不等式不恒成立；故选：C．11．（5分）设函数f（x）＝2x﹣cos x，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f （a2）+…+f（a5）＝5π，则[f（a3）]2﹣a1a5＝（）A．0B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝2x﹣cos x，∴f（a1）+f（a2）+…+f（a5）＝2（a1+a2+…+a5）﹣（cos a1+cos a2+…+cos a5），∵{a n}是公差为的等差数列，∴a1+a2+…+a5＝5a3，由和差化积公式可得，cos a1+cos a2+…+cos a5＝（cos a1+cos a5）+（cos a2+cos a4）+cos a3＝[cos（a3﹣×2）+cos（a3+×2）]+[cos（a3﹣）+cos（a3+）]+cos a3＝2cos a3•cos+2cos a3•cos（﹣）+cos a3＝cos a3（1++），则cos a1+cos a2+…+cos a5的结果不含π，又∵f（a1）+f（a2）+…+f（a5）＝5π，∴cos a3＝0，故a3＝．[f（a3）]2﹣a1a5＝π2﹣（﹣2•）•＝．故选：D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cos C的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为a2+b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2ab cos C，cos C＝＝．故选：C．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．【解答】解：因为函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]14．（5分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l 的距离，已知曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝．【解答】解：圆x2+（y+4）2＝2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y＝x的距离为＝2，∴曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离为2﹣＝．则曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于，令y′＝2x＝1解得x＝，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）＝x﹣即x﹣y﹣+a＝0，由题意可知x﹣y﹣+a＝0与直线y＝x的距离为，即解得a＝或﹣．当a＝﹣时直线y＝x与曲线C1：y＝x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．15．（5分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是．【解答】解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有＝10种其中两点间的距离为的必选中心，共有4种可能故该两点间的距离为的概率是＝故答案为：16．（5分）已知整数数列a0，a1，a2，…，a2014中，满足关系式a0＝0，|a1|＝|a0+1|，|a2|＝|a1+1|，…，|a2014|＝|a2013+1|，则|a1+a2+a3+…+a2014|的最小值为1007．【解答】解：由a0＝0，|a1|＝|a0+1|，可得a1＝±1；同理可得：a2＝±2，或0；a3＝±3，±1；a4＝±4，±2，0；…；可得|a1+a2|的最小值为1；|a1+a2+a3+a4|的最小值为2；依此类推可得：|a1+a2+a3+…+a2014|的最小值为1007．故答案为：1007．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，函数f（x）＝px3﹣（p+q）x2+qx+q （其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x＝a1时，函数f（x）取得极小值、点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y＝2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）＝px2﹣（p+q）x+q，令f'（x）＝0，得x＝1或x＝．又因为p＞q＞0，故有0＜．再由f'（x）在x＝1的左侧为负、右侧为正，故当x＝1时，函数f（x）取得极小值．再由f'（x）在x＝的左侧为正、右侧为负，故当x＝时，函数f（x）取得极大值．由于当x＝a1时，函数f（x）取得极小值，故a1 ＝1．（2）函数y＝2px2﹣qx+q﹣f′（x）＝px2+px，点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y＝2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上，故有2S n＝pn2+pn①，故2s n﹣1＝p（n﹣1）2+p（n﹣1），（n＞1 ）②．把①②相减可得2a n＝2pn，∴a n＝pn．再由a1 ＝1可得p＝1，故a n＝n．综上可得，数列{a n}的通项公式为a n＝n．18．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10＝55，x+30＝45，所以x＝15，y＝20；将频率视为概率可得P（X＝1）＝＝0.15；P（X＝1.5）＝＝0.3；P（X ＝2）＝＝0.25；P（X＝2.5）＝＝0.2；P（X＝3）＝＝0.1X的分布列X的数学期望为E（X）＝1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1＝1.9（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i（i＝1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）＝P（（X1＝1且X2＝1）+P（（X1＝1且X2＝1.5）+P（（X1＝1.5且X2＝1）由于各顾客的结算相互独立，且X i（i＝1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）＝0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15＝0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE＝D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B （0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A 1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴＝（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a＝0，6a＝﹣12，a＝﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直20．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，＝，∵△ABD的面积S△ABD∴＝，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）＝0，可得x＝1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x＝1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）＝1﹣a﹣0，解得a＝1（2）解：当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）＝g′（x）＝0，可得x1＝0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）＝0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）＝0，即有f（x0）≤kx02不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n＝1时，不等式左边＝2﹣ln3＜2＝右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k＝，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．∴＝f（2）+＜2﹣ln3+＝2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n∈N*）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4，求PF的长度．【解答】解：连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件可得∠CDE＝∠AOC，又∠CDE＝∠P+∠PFD，∠AOC＝∠P+∠C，从而∠PFD＝∠C，故△PFD∽△PCO，∴，由割线定理知PC•PD＝P A•PB＝12，故．﹣﹣﹣（12分）选修4-4：坐标系与参数方程23．过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2＝1交于点M，N．（1）写出直线的一个参数方程；（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．【解答】解：（1）直线的一个参数方程为（t为参数）．（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2＝1，整理得+＝0，∵直线与椭圆相交两点，∴≥0，解得sin2α≤，∵α∈[0，π），∴．∴|PM|•|PN|＝|t1t2|＝≥＝．当且仅当，即α＝或时取等号．∴当α＝或时，|PM|•|PN|的最小值为．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）＝|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a＝2；（Ⅱ）记，∴h（x）＝∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．。
河北省衡水中学2015届高三小一调考试数学理试题 Word版含解析
2014-2015学年度高三年级小一调考试数学试卷（理科）【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。
突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给出选项只有一项是符合题目题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）【题文】1.已知集合A=4|0,1x x R x -⎧⎫∈≤⎨⎬+⎩⎭()(){}2|210B x R x a x a =∈---<， 若A B φ=,则实数a 的取值范围是 （ ）A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. {}[)12,+∞D. ()1,+∞【知识点】解不等式；集合关系及运算. A1 E3【答案解析】C 解析：因为A=(]1,4-，所以B φ=时成立，此时1a =；B φ≠时，即 1a ≠时()22,1B a a =+，要使A B φ=，需使24a ≥，即2a ≥，综上得实数a 的取值范围是{}[)12,+∞，所以选C.【思路点拨】先由已知求得集合A ，再由A B φ=知需要讨论B φ=与B φ≠两种情况.【题文】2.设集合*{|31,}P x x m m N ==+∈，*Q {y |y 52,}n n N ==+∈，则Q P ⋂=（ ）A. *{|15,}x x k k N =∈B. *{|158,}x x k k N =-∈∈C. *{|12,}x x k k N =∈D. *{|127,}x x k k N =+∈∈【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】D 解析：∵*{|31,}P x x m m N ==+∈，*Q {y |y 52,}n n N ==+∈， ∴Q P ⋂=*{|127,}x x k k N =+∈∈，故选D ．【思路点拨】由集合的交运算知，由*{|31,}P x x m m N ==+∈，*Q {y |y 52,}n n N ==+∈，，能得到Q P ⋂=*{|127,}x x k k N =+∈∈． 【题文】3.下列有关命题的说法正确的是 （ ）A.命题“若21,x =则1x =”的否命题为：“若21,x =则1x ≠”；B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；C.命题“[)1,x ∃∈+∞，使得210x x +-=”的否定是：“[)1,,x ∀∈+∞均有210x x +-≥”D.命题“已知,,x y R ∈若1x ≠或4y ≠，则5x y +≠”为真命题.【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 A3【答案解析】C 解析：对于A ：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x 2≠1，则x≠1”，故错误．对于B ：因为x=-1⇒x 2-5x-6=0，应为充分条件，故错误．对于D ：其逆否命题是 “已知,,x y R ∈若5x y +=，则1x =且4y =”此命题显然不对，故D 错误.所以选C.【思路点拨】根据命题的否定，否命题，四种命题的关系及充分条件，必要条件判断结论.【题文】4.设()f x 是定义在R 上的函数，则下列叙述一定正确的是 （ ）A. ()()f x f x -是奇函数B. ()()f x f x -是奇函数C. ()()f x f x --是偶函数D. ()()f x f x +-是偶函数【知识点】函数奇偶性的判定. B4【答案解析】D 解析：对于选项A ：设()()()h x f x f x =-，则()()()()h x f x f x h x -=-=，所以()()f x f x -是偶函数，所以选项A 不正确；同理可判断：()()f x f x -奇偶性不确定，()()f x f x --是奇函数， ()()f x f x +-是 偶函数，所以选D.【思路点拨】依次设各选项中的函数为()h x ，再利用()h x -与()h x 关系确定结论.【题文】5.设,a b 为实数，命题甲：2ab b > .命题乙：110b a<< ，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10a<， 10a <<成立，则可得a ，b 均为负值，且a ＜b ，由不等式的性质两边同除以b 可得2ab b >，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选B. 【思路点拨】举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．【题文】6.定义两种运算：a b a b ⊕=⊗=则函数()()222xf x x ⊕=-⊗（ ）A. 是奇函数B. 是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数【知识点】函数奇偶性的判断. B4【答案解析】A 解析：根据题意得：()f x =240x-≥得22x -≤≤22x x =-=-，所以()f x ==[)(]2,00,2x ∈-因为()()f x f x-===-，()f x 是奇函数，所以选A. 【思路点拨】先利用新定义把f （x ）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f （x ）与f （-x ）的关系得结论．【题文】7.已知函数()(ln ,f x x =若实数,a b 满足()()20f af b +-=则a b += （ ）【知识点】函数的奇偶性.单调性的判定. B3 B4【答案解析】D 解析：因为函数的定义域为R ，且()(ln ln f x x -=-+==(()ln x f x -+=-，所以()f x 是R 上的奇函数.显然x [)0,+∞的增函数，所以()f x 是R 上的增函数.因为()()20f a f b +-=，所以()()()2f b f a f a -=-=-，所以2,b a -=-从而2a b += 所以选D.【思路点拨】先判定函数是奇函数，再判定此函数是R 上增函数，所以()()20f a f b +-=为()()2f b f a -=-，所以2,b a -=-从而2a b +=.【题文】8.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()21,f a f a f -+≤则a 的取值范围是 （ ）A. [)1,0- [].0,1B [].1,1C - [].2,2D -【知识点】函数的奇偶性，解不等式. B4 E3【答案解析】C 解析：因为()()222,02,0x x x f x f x x x x ⎧-≤⎪-==⎨+>⎪⎩，所以()f x 是偶函数，所以()()()21,f a f a f -+≤为()()13f a f ≤=，解得11a -≤≤，所以选C.【思路点拨】先确定()f x 是偶函数，所以()()()21,f a f a f -+≤为()()13f a f ≤=，解得11a -≤≤.【题文】9.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线()y f x =，另一种平均价格曲线()y g x =，如()23f =表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；()23g =表示2小时内的平均价格3元，下面给出了四个图像，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（ ）.【知识点】函数的图象与图象变化．B8【答案解析】C 解析：解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A ，D 错误； 开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故A ，B ，D 均错误．故选C ．【思路点拨】根据已知中，实线表示即时曲线y=f （x ），虚线表示平均价格曲线y=g （x ），根据实际中即时价格升高时，平均价格也随之升高，价格降低时平均价格也随之减小的原则，对四个答案进行分析即可得到结论【题文】10.偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且在[]0,1x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程()110xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在[]0,4x ∈上解的个数是（ ） 【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4【答案解析】 解析：解：∵()()11f x f x -=+∴()()2f x f x =+∴原函数的周期T=2又∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=.又∵x ∈[0，1]时，()f x x =，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f （-x ）=f （x+2）．()121,10x y f x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭方程()110x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 根的个数，即为函数y 1=f （x ）的图象（蓝色部分）与2110x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象（红色部分）交点的个数．由以上条件，可画出y 1=f （x ），2110x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象： 又因为当x=1时，y 1＞y 2，∴在（0，1）内有一个交点．∴结合图象可知，在[0，4]上y 1=f （x ），2110x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭共有4个交点． ∴在[0，4]上，原方程有4个根．故选D ．【思路点拨】根据已知条件推导函数f （x ）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．【题文】11.直线y x =与函数()22,42,x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图像恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[1,2)- B. [1,2]- C. [2,)+∞ D. (,1]-∞-【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案解析】A 解析：解：根据题意，直线y=x 与射线y=2（x ＞m ）有一个交点A （2，2），并且与抛物线y=x 2+4x+2在（-∞，m]上的部分有两个交点B 、C 由242y x y x x =⎧⎨=++⎩，联解得B （-1，-1），C （-2，-2） ∵抛物线y=x 2+4x+2在（-∞，m]上的部分必须包含B 、C 两点，且点A （2，2）一定在射线y=2（x ＞m ）上，才能使y=f （x ）图象与y=x 有3个交点 ∴实数m 的取值范围是-1≤m＜2故答案为：-1≤m＜2【思路点拨】根据题意，求出直线y=x 与射线y=2（x ＞m ）、抛物线y=x 2+4x+2在（-∞，m]上的部分的三个交点A 、B 、C ，且三个交点必须都在y=f （x ）图象上，由此不难得到实数m 的取值范围 【题文】12.已知()0,1x ∈时，函数()21221x f x x x+=-的最小值为b ，若定义在R 上的函数()g x 满足：对任意()()()g m n g m g n b +=++，则下列结论正确的是（ ）A. ()1g x -是奇函数B. ()1g x +是奇函数C. ()3g x -是奇函数D. ()3g x【知识点】导数的应用；函数的奇偶性.B4 B12【答案解析】D 解析：()()()()()()2222221221211221x x x x x x f x x x ''+---+'=- ()()222222222812112121x xx x x x x x ⎛⎫----++ ⎪-⎝⎭- ()()()()22222228121212411x x x x x x x ---+--()()24422224414411x x x x x x --+--20=，得12x =± 因为()0,1x ∈所以12x =，所以12b f ⎛⎫== ⎪⎝⎭对于()()()g m n g m g n +=++，取0mn ==得()0g =取n m =-得()()()0g g m g m =+-+()()g m g m -=-令()()h x g x =()()h x h x -=-所以()h x 是奇函数，从而()g x +是奇函数，故选D.【思路点拨】先对原函数求导，然后解出b 的值，再令n m =-即可进行判断.第ⅠⅠ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）【题文】13.设()()22:2310,:2110p x x q x a x a a -+≤-+++≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 .【知识点】命题及其关系.A2 【答案解析】102a ≤≤ 解析：解：21231012x x x -+≤⇒≤≤，1:2p x ∴⌝<或x>1，()()221101x a x a a a x a -+++≤⇒≤≤+，:1q x a x a ∴⌝<>+或，p q ∴⌝⌝是的充分不必要条件，只需满足1102211a a a ⎧≤⎪⇒≤≤⎨⎪+≥⎩【思路点拨】根据题意求出p 与q ，再求出,p q ⌝⌝，利用条件可求出a 的范围.【题文】14.已知集合2{x |x 40}M =->，{}2|61340N x z x x a =∈-+-<，M ∩N 的0}={x|x ＜-2，或x ＞2}， {}2|61340N x z x x a =∈-+-<{xZ |3131331313}a x a ， 31313a ≤4，所912a [1313，）出集合M ，求出N ，然后求出范围．【题文】15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 小时后，学生才能回到教室.【知识点】根据实际问题选择函数类型；指数函数.B6 B10【答案解析】 解析：0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴, 由题意可得10.254y ≤=，即0.111164t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 即10.10.62t t -≥⇒≥ 【思路点拨】。
衡水中学高三下学期一调考试理数学试题
河北衡水中学2016年高三年级一调考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数(),z x yi x y R =+∈，且有11x yi i =+-，则z =（ ） A ．5 B ．5 C ．3 D ．32.已知全集U R =，集合{}21|60,|04x A x x x B x x +⎧⎫=--≤=>⎨⎬-⎩⎭，那么集合()U A C B ⋂=（ ） A ．{}|24x x -≤< B ．{}|34x x x ≤≥或 C ．{}|21x x -≤<- D ．{}|13x x -≤≤3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．3D ．2 4.执行所示框图，若输入6,4n m ==，则输出的p 等于（ ）A ．120B ．240C ．360D ．7205.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）A ．144种B ．150种C ．196种D ．256种6.在ABC 中，三边之比::2:3:4a b c =，则sin 2sin sin 2A B C -=（ ） A ．1 B ． 2 C ．-3 D ．128.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 9.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．4πB ．283π C ．443π D ．20π 10.已知n S 和n T 分别为数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项和，且4511,,()n b n n n a e S eS e a e n N ++==-=∈，则当n T 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或611.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12.已知函数()()234201523420151,123420152342015x x x x x x x x f x x g x x =+-+-++=-+-+--，设函数()(3),()(4)F x f x G x g x =+=-，且函数()F x 的所有零点均在区间[](),,a b a b Z ∈，则b a -的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()5111x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中r x （r Z ∈且15r -≤≤）的系数为0，则r = . 14.设,x y 满足约束条件32000,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()20,0z ax by a b =+>>的最大值为1，则22114a b +的最小值为 .15.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若ABC 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .16.在等腰梯形ABCD 中，已知,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==，则AE AF ⋅的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠），12,1,2n N a a +∈==，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.⑴求q 的值和{}n a 的通项公式； ⑵设2221log ,n n n a b n N a +-=∈，求数列{}n b 的前n 项和.18（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生体检表，并得到如图的频率分布直方图.⑴若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；⑵学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1-50名和951-1000名的学生进行调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；⑶在⑵中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1-50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附：19.（本小题满分12分）如图，在ABC 中，O 是BC 的中点，,22AB AC AO OC ===，将BAO 沿AO 折起，使B 点与图中'B 点重合.⑴求证：AO ⊥平面'B OC ；⑵当三棱锥'B AOC -的体积取最大时，求二面角'A B C O --的余弦值；⑶在⑵条件下，试问在线段'B A 上是否存在一点P ，使CP 与平面'B OA 所成角的正弦值为23？证明你的结论.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点()0,2M 是椭圆的一个顶点，12F MF 是等腰直角三角形.⑴求椭圆C 的方程；⑵设点P 是椭圆C 上一动点，求线段PM 的中点Q 的轨迹方程；⑶过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且128k k +=，探究AB 是否过定点，并说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()(),ln x f x e g x x m ==+.⑴当1m =-时，求函数()()()f x F x x g x x=+⋅在()0,+∞上的极值； ⑵若2m =，求证：当()0,x ∈+∞时，1()()10f x g x >+. （参考数据：ln 20.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946====）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径. ⑴求AC AB的值； ⑵若3BC ，求2O 到弦AB 的距离.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :3sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B . ⑴若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标； ⑵若2PA PB OP ⋅=，其中(3P ，求直线l 的斜率.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =++-+⑴求a b c ++的值； ⑵求2221149a b c ++的最小值.参考答案一、选择题1-5 BDACB 6-10 BBDBC 11-12 CD二、填空题 13. 2 14. 8 15. 32 16.2918三、解答题又因为1q ≠，所以232a a ==由31,2a qa q =∴=当()21n k k N+=-∈时，12212n n k a a --== 当()2n k k N +=∈时，222n n k a a ==所以数列{}n a 的通项公式为1222,2,nn n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数; (2)由(1)，得22121log ,2n n n n a n b n N a +--==∈、 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则01111112222n n S n -=⨯+⨯+⨯ 121111122222n n S n =⨯+⨯+⨯ 上述两式相减，得 0121111111222222n n n S n -=++++-⨯ 222n n +=-124,2n n n S n N +-+∴=-∈ 所以数列{}n b 的前n 项和为124,2n n n S n N +-+=-∈ 18.(1)设各组的频率为()1,2,3,4,5,6i f i =由图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，因为后四组的频数成等差数列所以后四组频数依次为27,24,21,18所以视力在5.0以下的频率为0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82故全年级视力在5.0以下的人数约为10000.82820⨯=；(2)()221004118329300 4.110 3.8415050732773K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；(3)依题意9人中年级名次在150名和9511000名的人数分别为3人和6人所以X 可能的取值为0,1,2,3 ()5021P X ==，()15128P X ==，()3214P X ==，()1084P X == X 的分布列为()0123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.(1) AB AC =，且O 是BC 的中点AO BC ∴⊥，即',AO OB AO OC ⊥⊥又'OB OC O AO ⋂=∴⊥平面'B OC(2)在平面'B OC 内，作'B D OC ⊥于点D则由(1)可知'B D OA ⊥，又'OC OA O B D ⋂=∴⊥平面OAC即'B D 是三棱锥'B AOC -的高又''B D B O ≤∴当D 与O 重合时，三棱锥'B AOC -的体积最大过O 点作'OH B C ⊥于点H ，连接AH由(1)知，AO ⊥平面'B OC 'B C ⊂平面'B OC ，'B C AO ∴⊥'AO OH O B C ⋂=∴⊥平面',AOH BC AH ∴⊥，所以AHO ∠即为二面角'A B C O --的平面角在Rt AOH 中，22,2AO OH == 321,cos 23OH AH AHO AH ∴=∴∠== (3)存在，且为线段'AB 的中点，以O 为坐标原点，建立，如图所示的空间直角坐标系设()2,0,AP AB λλλ==-，()22,1,CP CA AP λλ=+=--又平面'B OA 的一个法向量为()0,1,0m = 2222203211033585CP mCP m λλλλ⋅∴=⇒=⇒-+=⋅-+ 解得：1111,210λλ⎛⎫==> ⎪⎝⎭舍去 20.(1)由已知可得()222,28b a b ===所以所求椭圆方程为22184x y +=； (2)设点()00,,P x y PM 的中点坐标为(),Q x y ，即2200184x y +=由0000,22x y x y ++==，得002,2x x y y ==，代入上式，得()22112x y +-=； (3)若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±设()()1122,,,A x y B x y ，由()22222112428084x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪∴+++-=⎨⎪=+⎩ 2121222428,1212km m x x x x k k -+==++，由已知1212228y y x x --+= 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即()1212228x x k m x x ++-= 所以14222km k m k m -=∴=-+ 故直线AB 的方程为112,222y kx k y k x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭即 所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为'x x =设()()'''',,,A x y B x y - 由已知'''''22182y y x x x ---+=∴=- 此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 21.(1) ()()()()'2ln 1,1ln x xe e F x x x F x x x x x=+-∴=-+ ()F x ∴在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以极小值为()11F e =-，无极大值；(2)构造函数()()()ln 2x h x f x g x e x =-=--()1x h x e x∴=-在区间()0,+∞上单调递增()'120,ln 202h h ⎛⎫=<> ⎪⎝⎭，()'h x ∴在区间()0,+∞上有唯一零点01,ln 22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 001x e x ∴=，即00ln x x =-，由()h x 的单调性 有()()000001ln 22x h x h x e x x x ≥=--=+- 构造函数()12t t tϕ=+-在去甲()0,ln 2上单调递减 ()00111,ln 2,ln 222ln 210x x ϕ⎛⎫∈∴>+-> ⎪⎝⎭即()0110h x >，()()()111010h x f x g x ∴>∴>+. 22.(1)设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE 因为圆1O 与圆2O 内切于点A ，所以点2O 在AD 上， 所以,AD AE 分别是圆1O 与圆2O 的直径所以,2ABD ACE BDCE π∠=∠=∴23AC AE AB AD ∴== (2)若BC =，由⑴的结果可知，AB =面6,AD =∴在Rt ABD 中，30A ∠=︒，又由22AO =，得2O 到弦AB 的距离为1.23.(1)将曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，化为普通方程，得2214x y+= 当3πα=，设点M 对应的参数为0t直线l 的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的普通方程2214x y +=即21356480t t ++=设直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t 则12028213t t t +==- 所以点M的坐标为12,13⎛ ⎝⎭； (2)将2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程2214x y += 得()()222cos 4sin 4cos 120t t αααα++++= 因为1222127cos 4sin PA PB t t αα⋅===+，得25tan 16α=由于()32cos cos 0ααα∆=->故tan α=，所以直线l24.(1)因为()()()f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++ 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立又0,0a b >>所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为4，所以4a b c ++=；(2)由(1)知4a b c ++=，由柯西不等式，得()222114912314923a b a b c c ⎛⎫⎛⎫++⨯++≥⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()216a b c =++= 故222118497a b c ++≥ 当且仅当11818232,,,231777b ac a b c =====即时等号成立 故2221149a b c ++的最小值为87.。
【恒心】2015届河北省衡水市重点中学高三下学期一调考试数学(理科)试题及参考答案
河北省衡水市重点中学2015届高三下学期一调考试数学理试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I AC B 等于（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2、复数z 满足2(1)(1)i z i -+=+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、已知正数组成的等比数列{}n a ，若120100a a ⋅=，那么214a a +的最小值为（ ）A ．20B ．25C ．50D ．不存在4、已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++的取值范围是（ ） A ．[]1,5 B ．[]2,6 C ．[]2,10 D ．[]3,116、已知函数()sin()f x x ϕ=-，且()2300f x dx π=⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 7、已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（ ）A．5B ．52CD ．38、利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2210x y +=内有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、已知点(1,0)A -，若函数()f x 的图象上存在两点,B C 到点A 的距离相等，则称该函数()f x 为“点距函数”，给定下列三个函数:①2(12)y x x =-+-≤≤；②y =；③4y x =+ 5()2x ≤，其中“点距函数”的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310、设直线l 与曲线()321f x x x =++有三个不同的交点,,A B C ，且AB BC ==则直线l 的方程为（ ）A ．51y x =+B ．41y x =+C ．1y =+D ．31y x =+11、四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形，点,,,,S A B C D 半球面上，则当四棱锥S ABCD -的台最大时，底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A ．2B ．2C 1 12、已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x =+，当[)0,2x ∈时()22+4f x x x =-，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a ()n N *∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（ ）A ．1122n --B ．2142n --C ．122n -D ．1142n --第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
【恒心】2015届衡水高三第四次联考数学(理科)试题及参考答案【PDF高清版】【衡水点睛大联考】
) 是符合题目要求的 。
( ( (
) ) )
{ } A. x | x⩾-2 A. a<b<c A. y=-1
{ } B. x | x>-1 B. c<a<b 1 B. y=-1 6
{ } C. x | x<-1 C. b<a&2 D. b<c<a 1 D. x=1 6
在一点 , 使得以该点为圆心 , 半径为 1 的圆与圆 C 有公共点 , 则 k 的最小值是 4 3 B. 5 4 C. 3 5
A. -
D. -
5 3
(
)
已知底面边长为 2, 各侧面均为直角三角形的正三棱锥 P-A 1 3. B C 的四个顶点都在同一球面 某宾馆安排 A 、 每个房间至少住1 人 , 且 A、 1 4. B、 C、 D、 E 五人入住3 个房间 , B 不能住同一房
衡水点睛文化 · 数学试卷 ( 理数 ) 第 2 页 共6页
。
( 在 △A 角 A、 函 数 f( 1 7. 1 2 分) B C 中, B、 C 所 对 的 边 分 别 为a、 b、 c, x) =2 c o s x s i n( x-A ) +
) 三、 解答题 ( 本大题共 6 个小题 , 共7 解答应写出文字说明 、 证明或演算步骤 。 0分,
3 B. 4
3 C. 5
4 D. 5
(
)
(
)
D.5
(
)
2 2 在平面直角坐标系 x 圆 C 的方程为x 若直线 y=k 1 2. O +y -8 x+1 5=0, x+2 上至少存 y 中,
2 2, 1 ) ( C. 3 3
4 , 3) 4 3 ( 或( B. - , ) 5 5 5 5
【解析版】2015届河北省衡水中学高三一模考试数学理科试卷
2014-2015学年度下学期高三年级三调考试数学试卷（理科）【试卷综述】试题试卷结构稳定，考点分布合理，语言简洁，设问坡度平缓，整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷，选择题、填空题比较平和，立足课本，思维量和运算量适当.内容丰富，考查了重点内容,渗透课改，平稳过渡.针对所复习的内容进行考查，是优秀的阶段性测试卷.【题文】第Ⅰ卷【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、已知集合2{|11},{|560}A x x B x x x =-≤≤=-+≥，则下列结论中正确的是（ ）A ．AB B = B ．A B A =C ．A B ⊂D ．R C A B =【知识点】集合的运算；集合的关系A1【答案】【解析】C 解析：因为{}2{|560}|32B x x x x x x =-+≥=≥≤或，又因为 {|11}A x x =-≤≤，故易知A B ⊂，故选C.【思路点拨】先求出集合B ，再进行判断即可。
【题文】2、复数122i i+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i - C ．i D ．i - 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L1 【答案】【解析】D 解析：复数===i ．所以复数的122i i +-的共轭复数是：﹣i ．故选D【思路点拨】复数的分母实数化，化简为a+bi 的形式，然后求出它的共轭复数即可．【题文】3、某工厂生产,,A B C 三种不同的型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ）A ．24B ．30C ．36D ．40【知识点】分层抽样方法．I1【答案】【解析】C 解析：∵新产品数量之比依次为:5:3k ，∴由，解得k=2，则C 种型号产品抽取的件数为120×，故选：C 【思路点拨】根据分层抽样的定义求出k ，即可得到结论．【题文】4、如图给出的是计算111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】C 解析：∵S=111124620++++并由流程图中S=S+，故循环的初值为1，终值为10、步长为1，故经过10次循环才能算出S=111124620++++的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴应i ＞10，应满足条件，退出循环，填入“i＞10”．故选C.【思路点拨】由本程序的功能是计算111124620++++的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i ＞10应退出循环输出S 的值，由此不难得到判断框中的条件． 【题文】5、将函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．23πB ．3πC ．8π D ．56π 【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．C3 C4 【答案】【解析】A 解析：y=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣）然后向左平移m （m ＞0）个单位后得到y=2sin （x+m ﹣）的图象为偶函数，关于y 轴对称， ∴2sin（x+m ﹣）=2sin （﹣x+m ） ∴sinxcos（m）+cosxsin （m ）=﹣sinxcos （m ）+cosxsin （m ） ∴sinxcos（m）=0∴cos（m ）=0 ∴m =2k π+，m=．∴m 的最小值为．故选A ．【思路点拨】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y 轴对称得到2sin （x+m ﹣）=2sin （﹣x+m ﹣），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m 的值，从而得到最小值．【题文】6、已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】B 解析：因为3462,16a a a ==，所以2446316a a a q ==，即44q =， 则()4684101268684q a a a a q a a a a --===--，故选B. 【思路点拨】结合已知条件得到44q =，再利用等比数列的性质即可。