初二上期末复习资料 第3讲 直角三角形
人教版八年级数学上直角三角形
直角三角形知识导引1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。
2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。
4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
典例精析例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60°例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结CD 。
（1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：CD ⊥BE 。
例3：如图所示，四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE= 。
例3—1：如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等并说明理由。
例4：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF 。
例5：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交其延长线于点E ，求证：CE=21BD例：小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△DEF纸片的直角顶点D落在纸片△ABC的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上。
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中，直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件：如果两个三角形 中有两个角分别相等，则这两 个三角形相似。
在直角三角形中，由于一个角 是90度，因此只需要再证明一 个角相等即可判定两个直角三 角形相似。
常见的证明方法包括利用余角 相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系：如果两个三角形的三边长度成比例，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长，进而判断三边是否 成比例。
需要注意的是，由于直角三角形的特殊性，有时候只需要证明两边成比例即可判定 相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即a² + b² = c²，其 中a、b为直角边，c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数，称为勾 股数。例如，3、4、5是一组勾股数 ，因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三 角形，其中c为最长边。
初二直角三角形
初二直角三角形1. 引言直角三角形是初中数学中重要的几何概念之一，它具备一个90度的直角和两个其他角度的锐角或钝角。
掌握直角三角形的性质和定理，对于研究和解决几何问题具有重要的意义。
本文将介绍直角三角形的定义、性质和一些常见的定理。
2. 直角三角形的定义和性质2.1 定义：直角三角形是一个具有一个直角（90度）和两个锐角或钝角的三角形。
2.2 性质：- 直角三角形的两个锐角的和等于90度。
- 直角三角形的斜边是其他两条边的最长边。
- 直角三角形的两条直角边的长度满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
3. 直角三角形的常见定理3.1 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
3.2 正弦定理：对于一个三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，边长分别为a、b、c，若A为直角，则有如下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3.3 余弦定理：对于一个三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，边长分别为a、b、c，若A为直角，则有如下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
4. 应用实例4.1 测量三角形中的未知边长：利用勾股定理，可以通过已知的直角边求解未知边的长度。
4.2 求解角度大小：根据已知边长和角度大小，可以利用正弦定理或余弦定理计算三角形中其他角的大小。
4.3 解决实际问题：直角三角形的应用十分广泛，例如测量高楼的高度、计算飞机的航程等。
5. 总结直角三角形是初中数学中的重要知识，具备丰富的性质和定理，掌握直角三角形的定义和常见定理，能够帮助我们解决几何问题和应用实际生活中。
通过研究和练，我们可以更好地理解和应用直角三角形的知识，提高数学水平。
参考资料：- 《初中数学课程标准》- 《数学大辞典》- 《高中数学教程》以上文档介绍了初二直角三角形的定义、性质，并给出了常见的定理和应用实例。
八年级数学《直角三角形》知识点
八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+5、射影定理(了解)在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ CD ⊥AB 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.三、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外，一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+(勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：ABAD AC •=2ABBD BC •=2练习：一、选择题1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ）A 、4 cmB 、8 cmC 、10 cmD 、12 cm2。
北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+2729【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解.举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得．∴ ．同理．∴ ．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．22222151281BD AB AD =-=-=9BD =22222131225CD AC AD =-=-=5CD=②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ 在Rt △CDM 中，，∴ ．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：.2222AM BM CM +=()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+222CD DM CM +=2222AM BM CM +=22AB AD BD CD -=⋅【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：……①在Rt △ADM 中：……②由①－②得： ＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25，∴BE 2+EF 2=BF 2，∴∠BEF=90°，222AB AM BM =+222AD AM DM =+22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ． (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． (2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】 解：(1)猜想：AP=CQ 证明：在△ABP与△CBQ中， ∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60° ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ∴ AP=CQ (2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60° ∴△PBQ为正三角形∴ PQ=4a 于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，．5、如果ΔABC 的三边分别为，且满足，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由，得 ： ∴ ∵ ∴ ∵ , ∴ . 由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?22212513+=222AD BD AB +=22281,9DC AC AD DC =-==a b c 、、222506810a b c a b c +++=++222506810a b c a b c +++=++2226981610250a a b b c c -++-++-+=222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，，3,4, 5.a b c ===222345+=222a b c +=【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得．在图③中，由勾股定理，得．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？222311130AB =+=22268100AB =+=cm cm【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。
八年级数学上册直角三角形的性质课件ppt
A
（2）用右图的添线方法，完成性质定理2的证明
已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，
CM是斜边AB上的中线.
求证：
CM=
1 2
AB.
E
（3）练习册 19.8(1)
C
M
B F
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
∠A +∠2=90 ° ∠A +∠B=90 °
∠1 +∠B=90 °
∠1 +∠2=90 °
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
直角三角形的判定定理
有两个角互余的三角形是直角三角形。
练习：(直接写出答案） 1）Rt△ABC中，∠C=90 ° ，∠B=28°， 则∠A=__. 2） 若∠C =∠A+∠B, 则△ABC是______ 三角形. 3）在△ABC中，∠A=90°， ∠B=3∠C，
中点
A
直角三角形斜边上的中点 等腰三角形底边上的中点
E
F
B
C
D
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一试 ：
直角三角形的性质
如图1，在Rt △ ABC与Rt △ ACE中， ∠ ABC= ∠ AEC=90 °，
∴ MP ⊥ BE （等腰三角形三线合一）
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
八年级数学上册《直角三角形》知识点整理浙教版
八年级数学上册《直角三角形》知识点整理浙教版知识点一、解直角三角形定义：已知边和角→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：初中数学复习提纲②角的关系：A+B=90°③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
二、对实际问题的处理初中数学复习提纲俯、仰角方位角、象限角坡度：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
例题解析已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD的长为16，一艘货轮从B港口以40/h的速度沿Bc方向航行，15in后达到c处，现测得c处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离Ac的长.考点：解直角三角形的应用-方向角问题。
分析：根据在Rt△ADB中，sin∠DBA=，得出AB的长，进而得出tan∠BAH=，求出BH的长，即可得出AH以及cH的长，进而得出答案.解：Bc=40×=10，在Rt△ADB中，sin∠DBA=，sin53.2°≈0.8，所以AB==20，过点B作BH⊥Ac，交Ac的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAc-∠DAB=63.6°-37°=26.6°，tan∠BAH=，0.5=，AH=2BH，BH2+AH2=AB2，BH2+2=202，BH=4，所以AH=8，在Rt△BcH中，BH2+cH2=Bc2，cH=2，所以Ac=AH-cH=8-2=6≈13.4，答：此时货轮与A观测点之间的距离Ac约为13.4.点评：此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据已知构造直角三角形得出BH的长是解题关键.。
新人教版八年级上册《直角三角形》知识点归纳总结-(1)
新人教版八年级上册《直角三角形》知识
点归纳总结-(1)
直角三角形是初中数学中的重要内容，本文将对新人教版八年
级上册《直角三角形》的知识点进行归纳总结。
1. 直角三角形的定义和性质
- 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
- 直角三角形的边中，有一个边与直角的两个边相连，这两个
边称为直角边，另一个边为斜边。
2. 勾股定理
- 勾股定理是直角三角形中最基本的定理，它描述了直角三角
形三条边的关系。
- 勾股定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2，其中c为斜边的长度，a和b为直角边的长度。
3. 特殊直角三角形
- 特殊直角三角形是指具有特定边长比例的直角三角形。
- 常见的特殊直角三角形包括：3-4-5直角三角形、5-12-13直
角三角形和8-15-17直角三角形等。
4. 直角三角形的应用
- 直角三角形的应用非常广泛，常用于解决与长度、角度和面
积相关的问题。
- 例如，可以利用勾股定理求解直角三角形的边长，也可以利
用正弦定理和余弦定理求解三角形的角度。
以上是新人教版八年级上册《直角三角形》的知识点归纳总结，希望对你的学习有所帮助。
如需更详细的内容，请查阅相关教材或
参考资料。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（第8题图）
杭州北苑实验中学八年级（上）期中数学复习资料
第三讲 直角三角形
[知识要点]
1．会判定一个三角形是直角三角形．掌握两个直角三角形全等的条件(HL ) ． 2．正确掌握直角三角形的主要性质：（1）直角三角形的两锐角互余；（2）直角三角形的斜边上的中线等
于斜边的一半；（3）勾股定理；（4）如果直角三角形中有一个锐角为30︒，那么30︒角所对的直角边等于斜边的一半；反过来，如果直角三角形中有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30︒．
3．勾股定理的逆定理： ． 4．角平分线的性质定理： 。
5．角平分线逆定理 ．
[基础训练]
1．（10湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．1，2，3 B ．2，3，4 C ．3，4，5
D ．4，5，6
2．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90︒，D 为AC 上一点，则x 可能是（ ） A ．10︒
B ．20︒
C ．30︒
D ．40︒
3．（10眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
4．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A
等于（ ）A ．25º B ．30º C ．45º
D ．60º
5．在直角三角形中，已知两边为3、4，则第三边的长为 ． 6．△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则三角形的周长是 ． 7．（10吉林）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴 影部分的面积是________cm 2．
8．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90︒，将△ABP 绕点A 逆时针 旋转到△ACP ′处如果AP =1，那么PP ′的长为 ．
9．如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB =3
则图中阴影部分的面积为___________．
10．如图，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB =∠COD =90º，D 在AB
（1）求证：△AOC ≌△BOD ； （2）若AD =1，BD =2，求CD 的长．
6x C D
A
B （第2题图）
（第9题图）
E （第4题图）
E
（第（第10题图）
（第3题图） A
B
C
[典型范例]
例1 如图，∠C =90 ，AD 平分∠CAB ，BC =4，CD =2
3，求△ABC 的面积．
例2 如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且
l 1、l 2之间的距离为1，l 2、l 3之间的距离为2，求AC 的长．
例3 取一张长方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把长方形ABCD 对折，折痕为MN ，如图（1）；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B `，得Rt △AB ′E ，如图（2）；第三步：沿EB ′线折叠得折痕EF ，如图（3）．利用展开图（4）探究：△AEF 是什么三角形？
例4 如图，在Rt △ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM =MN ．
A
C
M
N
(4) (3)
(2)
(1)
A
F
F
N A
A
A
D
D
D
D
l 1
l 2 l 3
A
C B
（第5题图）
A
B C
图1
图2
第3讲 直角三角形作业
1．a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列条件中，不能判定△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．b 2=a 2-c 2
B ．a 2∶b 2∶c 2=1∶3∶4
C ．∠A ∶∠B ∶∠C
=3∶4∶5 D ．∠C =∠A -∠B 2．如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子顶端下滑1
米，梯子底端的滑动距离（ ）A ．等于1米 B ．大于1米 C ．小于1米 D ．不在确定
3．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有
一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
B ．12≤a ≤15
C ．5≤a ≤12
D ．5≤a ≤13
4．（10包头）如图，已知△ACB 与△DEF 是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为
10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B 、C 、F 、
D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的△ACB 绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点
E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）． 5．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直 角三角形围成的．若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的 直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的 外围周长是 ．
6．如图，△ABC 中，∠B = 90︒，AB =6cm ，BC =3cm ，点P 从点B 开始以每秒2 cm 的速度沿AB 边向点B 移动，
点Q 从点B 开始以每秒1cm 的速度沿BC 边向点C 移动，它们同时出发，是否存在某个时刻使BP =BQ ？如果不存在，请说明理由；若存在，请求出此时P 、Q 两点间的距离．
7．如图，△ABC 中，CE 、BD 分别是边AB 和AC 上的高，P 是BC 的中点，Q 是DE 的中点，证明：PQ ⊥DE ．
8．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm ，高为55cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（ ） A ．10cm
B ．20cm
C ．30cm
D ．35cm
9．(09四川初二竞赛)如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转30︒到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部
A
B
D Q
P C E B
Q C
（第2题图）
（第3题图）
A E
C (F )
D
B
图（1）
E
A
G
B
C (F )
D 图（2）
（第4题图）
45︒
60︒
A ′
B
M
A
O D
C
（第11题图）
分的面积为（ ）A ．1-3
3 B ．
3
3 C ．1-
4
3
D ．
2
1
10．（09四川初二竞赛）四边形ABCD 中，∠DAB =60°，∠B =∠D =90°，BC =1，CD =2，则对角线AC 的长为（ ）A ．21 B ．
3
21 C ．
3
212 D ．
3
215
11．（10绵阳）如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB =a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为 ．
12．如图，△ABC 中，AB =AC ．（1）若P 为BC 边上的中点，连结AP ，求证：AB 2–AP 2=BP ·CP
（2）若P 为BC 边的任意一点，（1）中结论是否还成立，请说明理由．
（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的数量关系，请证明你的结论．
13．P 是长方形ABCD 内一点，PA =6，PB =7，PC =8，求PD 的长．
14．Rt △ABC 中，∠A =90︒，AB =AC ，O 为BC 中点，（1）比较点O 到△ABC 三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系；（2）如果点M 、N 分别在AB 、AC 上移动，但满足AN = BM ， 请判断△OMN 的形状，并加以证明．
15．如图，在△ABC 中，AB = 5，AC = 13，边BC 上的中线AD = 6，求BC 的长．
A
D
B
C
P
A B
C
O
N
M B C
A
D
（图1）
A
C （图2）
A
B
C P （图3）
A
D
A
B
C
（第10题图）。