2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第五章平面向量、复数 5.2 Word版含解析

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2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第五章 5.1 平面向量的概念及线性运算含解析

§5.1　平面向量的概念及线性运算最新考纲　1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示　不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量？提示　λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示　如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．(　√　)(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(　×　)(4)若向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(　×　)AB → CD →(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(　√　)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)题组二　教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且＝a ，＝b ，则＝________，＝OA → OB → DC → BC →________.(用a ，b 表示)答案　b －a －a －b解析　如图，＝＝－＝b －a ，DC → AB → OB → OA →＝－＝－－＝－a －b .BC → OC → OB → OA → OB →3．在平行四边形ABCD 中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD 的形状为________．AB → AD → AB → AD →答案　矩形解析　如图，因为＋＝，AB → AD → AC →－＝，AB → AD → DB → 所以||＝||.AC → DB →由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．题组三　易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案　12解析　∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则Error!解得λ＝μ＝.126．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC .若＝λ1＋λ2(λ1，λ21223DE → AB → AC →为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案　12解析　＝＋＝＋DE → DB → BE → 12AB → 23BC→＝＋(＋)＝－＋，12AB → 23BA → AC → 16AB → 23AC → ∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.162312题型一　平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且＝，则ABCD 为平行四边形；AB → DC →④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案　③解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以AB → DC → AB → DC → AB → DC →四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案　A解析　只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二　平面向量的线性运算命题点1　向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|答案　A解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二　利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设＝a ，＝b ，AB → AD →由|a ＋b |＝|a －b |知，||＝||，AC → DB →从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.命题点2　向量的线性运算例2 (1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设＝a ，＝b ，AB → AD →则向量等于( )BF →A.a ＋b B ．－a －b13231323C ．－a ＋bD.a －b 13231323答案　C解析　＝＝(＋)BF → 23BE → 23BC → CE →＝＝－a ＋b ，23(b －12a )1323故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则等于( )EB →A.－B.－34AB → 14AC → 14AB → 34AC →C.＋D.＋34AB → 14AC → 14AB → 34AC →答案　A解析　作出示意图如图所示．＝＋＝＋EB → ED → DB → 12AD → 12CB → ＝×(＋)＋(－)1212AB → AC → 12AB → AC → ＝－.34AB → 14AC →故选A.命题点3　根据向量线性运算求参数例3　在锐角△ABC 中，＝3，＝x ＋y ，则＝________.CM → MB → AM → AB → AC →x y 答案　3解析　由题意得＋＝3(－)，CA → AM → AB → AM →即4＝3＋，AM → AB → AC →亦即＝＋，AM → 34AB → 14AC → 则x ＝，y ＝.3414故＝3.x y思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1 (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且＝2，＝3，若＝a ，BD → DC → CE → EA → AB →＝b ，则等于( )AC → DE →A.a ＋bB.a －b 13512131312C ．－a －bD ．－a ＋b135********答案　C解析　＝＋＝＋DE → DC → CE → 13BC → 34CA→＝(－)－13AC → AB → 34AC→＝－－＝－a －b ，故选C.13AB → 512AC → 13512(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若＝x ＋yAB → AE → (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.AF →答案　2解析　由题意得＝＋＝＋，AE → AB → BE → AB → 12AD →＝＋＝＋，AF → AD → DF → AD → 12AB → 因为＝x ＋y ，AB → AE → AF →所以＝＋，AB → (x ＋y 2)AB → (x 2＋y )AD → 所以Error!解得Error!所以x －y ＝2.题型三　共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明　∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )BD → BC → CD →＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5，AB → ∴，共线．AB → BD →又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解　假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.引申探究　1．若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？BC → BC →解　＋＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，BC → CD →即＝4a ＋(m －3)b .BD →若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使＝λ.BD → AB →即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以Error!解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解　因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．所以Error!所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且＝m ＋n (m ，n ∈R )．OP → OA → OB →(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明　(1)若m ＋n ＝1，则＝m ＋(1－m )＝＋m (－)，OP → OA → OB → OB → OA → OB →∴－＝m (－)，OP → OB → OA → OB →即＝m ，∴与共线．BP → BA → BP → BA →又∵与有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．BP → BA →(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使＝λ，BP → BA →∴－＝λ(－)．OP → OB → OA → OB →又＝m ＋n .OP → OA → OB →故有m ＋(n －1)＝λ－λ，OA → OB → OA → OB →即(m －λ)＋(n ＋λ－1)＝0.OA → OB →∵O ，A ，B 不共线，∴，不共线，OA → OB →∴Error!∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB → BC → CD →A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线答案　B解析　∵＝＋＝2a ＋6b ＝2，BD → BC → CD → AB →∴与共线，由于与有公共点B ，BD → AB → BD → AB →因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么等于( )EF →A.－B.＋12AB → 13AD →14AB → 12AD → C.＋ D.－13AB → 12DA →12AB → 23AD →答案　D解析　在△CEF 中，有＝＋.EF → EC → CF → 因为点E 为DC 的中点，所以＝.EC → 12DC →因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以＝.CF → 23CB →所以＝＋＝＋EF → 12DC → 23CB → 12AB → 23DA →＝－，故选D.12AB → 23AD →4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足＋＋＝0.若存在点O ，使得＝，GA → GB → GC → OG → 16BC →且＝m ＋n ，则m －n 等于( )OA → OB → OC →A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案　D解析　∵ ＋＋＝0，GA → GB → GC →∴－＋－＋－＝0，OA → OG → OB → OG → OC → OG →∴＝＝＝，OG → 13(OA → ＋OB → ＋OC → )16BC → 16(OC → －OB → )可得＝－－，OA → 12OC → 32OB →∴m ＝－，n ＝－，m －n ＝－1，故选D.32125.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则AB → AC → AD →等于( )A ．a －b B.a －b 1212C ．a ＋b D.a ＋b 1212答案　D 解析　连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以＝＋＝＋＝a ＋b ，故选D.AD → AO → AC → 12AB → AC → 126.如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，则实数m 的值为( )AN → 13AC → AP → AB → 211AC →A. B.911511C. D.311211答案　B解析　注意到N ，P ，B 三点共线，因此＝m ＋＝m ＋，AP → AB → 211AC → AB → 611AN →从而m ＋＝1，所以m ＝.6115117．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.AB → AC → AB → AC → AB → AC →答案　23解析　因为||＝||＝|－|＝2，AB → AC → AB → AC →所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，AB → AC →所以|＋|＝2.AB → AC →38．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC 的形OB → OC → OB → OC → OA →状为________．答案　直角三角形解析　因为＋－2＝－＋－OB → OC → OA → OB → OA → OC → OA →＝＋，－＝＝－，AB → AC → OB → OC → CB → AB → AC →所以|＋|＝|－|，AB → AC → AB → AC →即·＝0，AB → AC →故⊥，△ABC 为直角三角形．AB → AC →9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．CM → MB → AM → AB → AC →答案　34解析　由题设知＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，CM MB则＝＝＝，MN AC BN BA BM BC 14从而＝，AN AB 34又＝λ＋μ＝＋＝＋，AM → AB → AC → AN → NM → 34AB → 14AC →所以λ＝.3410．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝2e 1－3e 2，＝λe 1＋6e 2，MN → NP →若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案　－4解析　因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得＝k ，MN → NP →所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得Error!解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且＋＝－2，求△ABC 与△AOC 的面积之OA → OC → OB → 比．解　取AC 的中点D ，连接OD ，则＋＝2，OA → OC → OD →∴＝－，OB → OD →∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示向量.AC → AO →解　方法一　由D ，O ，C 三点共线，可设＝k 1＝k 1(－)＝k 1DO → DC → AC → AD → (b －12a )＝－k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，12同理，可设＝k 2＝k 2(－)BO → BF → AF → AB →＝k 2＝－k 2a ＋k 2b (k 2为实数)， ①(12b －a )12又＝＋＝－a ＋BO → BD → DO → 12(－12k 1a ＋k 1b )＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ， ②12所以由①②，得－k 2a ＋k 2b ＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ，1212即(1＋k 1－2k 2)a ＋b ＝0.12(12k 2－k 1)又a ，b 不共线，所以Error!　解得Error!所以＝－a ＋b .BO → 2313所以＝＋AO → AB → BO →＝a ＋＝(a ＋b )．(－23a ＋13b )13方法二　延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点，所以＝＝×(＋)＝(a ＋b )．AO → 23AE → 2312AB → AC → 1313．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若＝λ＋μ(λ，μDE → AB → AD →为实数)，则λ2＋μ2等于( )A. B. C ．1 D.5814516答案　A解析　＝＋＝＋DE → 12DA → 12DO → 12DA → 14DB →＝＋(＋)＝－，12DA → 14DA → AB → 14AB → 34AD →所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.14345814．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )OC → OA → OB →A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，]D ．(－1,0)2答案　B解析　设＝m ，则m >1，OC → OD →因为＝λ＋μ，OC → OA → OB →所以m ＝λ＋μ，OD → OA → OB →即＝＋，OD → λm OA → μm OB →又知A ，B ，D 三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m ，λm μm所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足＝OP → 13，则点P 一定为△ABC 的( )(2OA → ＋12OB → ＋12OC → )A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点答案　B解析　设BC 的中点为M ，则＋＝，12OC → 12OB →OM → ∴＝(＋2)＝＋，OP → 13OM → OA → 13OM → 23OA →即3＝＋2，也就是＝2，OP → OM → OA → MP → PA →∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案　②③解析　①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第五章平面向量与复数5.5 含解析

§5.5 复数1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：满足条件(a ，b 为实数) 复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )题组二教材改编2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( )A ．0 B.12 C ．1 D. 2答案 C解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i 答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1答案 A解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.题组三易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C. 6．(2019·葫芦岛模拟)若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析由题意，∵z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，∴z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B.7．i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＋i 2 018＋i 2 019＋i 2 020＝________. 答案－i解析原式＝i 2＋i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝－i.题型一复数的概念1．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则复数z 的虚部为( ) A.35 B ．－35C.35i D ．－35i答案 B解析因为(1＋2i)z ＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋2i ＝(1－i )(1－2i )5＝－1－3i5，因此复数z 的虚部为－35，故选B.2．(2019·大连质检)复数2＋i1＋i 的共轭复数是( )A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12iD.32＋12i 答案 D解析由复数2＋i 1＋i ＝()2＋i (1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，所以共轭复数为32＋12i ，故选D.3．(2018·抚顺模拟)已知复数a ＋2i2－i是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于( ) A ．－4 B ．4 C ．1 D ．－1 答案 C 解析a ＋2i 2－i ＝(a ＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2a －2＋(a ＋4)i5，∵复数a ＋2i 2－i 为纯虚数，∴2a －2＝0且a ＋4≠0，解得a ＝1.故选C.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i －i －i 2＝3＋i. (2)i ()2＋3i 等于( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．－3－2i D ．－3＋2i答案 D解析 i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. 命题点2 复数的除法运算例2 (1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i 1－2i 等于( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案 D解析 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D.(2)(2019·通辽诊断)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝2z ＋1，则z 等于( ) A ．－25－15iB.25＋15i C ．2＋i D ．2－i答案 A解析由i z ＝2z ＋1，得(2－i)z ＝－1，解得z ＝－12－i ＝－(2＋i )5，即z ＝－25－15i ，故选A.命题点3 复数的综合运算例3 (1)(2019·盘锦模拟)已知z (1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则||z 等于( )A. 2 B ．3＋4i C ．5 D ．7答案 C解析 z ＝－1＋7i 1＋i ＝(－1＋7i )(1－i )2＝3＋4i ，故z ＝3－4i ⇒|z |＝5，故选C.(2)(2018·乌海模拟)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③⎪⎪⎪⎪αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ， ①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，故②正确； ③⎪⎪⎪⎪αβ＝||－i ＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，故④正确．故选C. 思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1 (1)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a 为( ) A ．1或－1 B ．1C ．－1D ．不存在的实数答案 A解析由题意得z ＝3－a i ，故z ·z ＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1，故选A.(2)(2019·铁岭质检)已知复数a ＋b i ＝(1－i )21＋i (i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b 等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 A解析由复数的运算法则，可得(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )()1－i ＝－2i －22＝－1－i ，结合题意可得a ＋b i ＝－1－i ，即a ＝－1，b ＝－1，据此可得a ＋b ＝－2.故选A. 题型三复数的几何意义例4 (1)(2018·赤峰质检)复数z 满足(2＋i)z ＝||3－4i ，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 ∵(2＋i)z ＝||3－4i ＝9＋16＝5， ∴()2－i (2＋i)z ＝5()2－i ， 5z ＝5()2－i ，z ＝2－i ，z 在复平面内对应的点为()2，－1，在第四象限，故选D.(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练2 (1)(2018·阜新模拟)已知复数z ＝5i3＋4i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案 A解析 ∵z ＝5i 3＋4i ＝5i·()3－4i ()3＋4i ·()3－4i ＝45＋35i ，∴z ＝45－35i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限．故选A.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．答案 5解析由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)， ∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5.1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2等于( )A ．－8－6iB ．－8＋6iC ．8＋6iD ．8－6i答案 C解析 ∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ， ∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i 2＝8＋6i. 2．(2019·包头质检)若复数z 满足(1＋2i)·z ＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则|z |等于( ) A.35 B.45 C ．1 D ．2 答案 C解析由题意可得z ＝2＋i1＋2i，则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 1＋2i ＝||2＋i ||1＋2i ＝55＝1.故选C. 3．已知i 为虚数单位，则复数21＋i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 2＝1－i ，在复平面内对应的点为(1，－1)，所以在第四象限，故选D.4．已知i 为虚数单位，若复数z 满足z ＋iz －i ＝1＋i ，那么|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 5 D ．5答案 C解析 ∵z ＋iz －i ＝1＋i ，z ＋i ＝(1＋i)()z －i ，i z ＝(2＋i)i ，∴z ＝2＋i ，∴|z |＝1＋4＝5，故选C.5．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若i －2a －i 为纯虚数，则a 等于( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 B解析由题意知i －2a －i ＝()i －2()a ＋i ()a －i ()a ＋i＝(－2a －1)＋(a －2)i a 2＋1＝－2a －1a 2＋1＋a －2a 2＋1i ，又由i －2a －i为纯虚数，所以－2a －1＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选B.6．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75iB ．－15＋75iC ．－125－725iD ．－125＋725i答案 D解析由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i ，故选D.7．已知复数z 满足z 2＝12＋16i ，则z 的模为( ) A ．20 B ．12 C ．2 5 D ．2 3 答案 C解析设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则由z 2＝12＋16i ，得a 2－b 2＋2ab i ＝12＋16i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝12，2ab ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－2，即|z |＝a 2＋b 2＝16＋4＝2 5.故选C.8．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．9．(2018·江苏)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．答案 2解析由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ， ∴z 的实部为2.10．(2018·天津)i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i ＝________.答案 4－i 解析6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.11．已知复数z 满足z ＋3z ＝0，则|z |＝________.答案3解析由复数z 满足z ＋3z ＝0，则z 2＝－3，所以z ＝±3i ，所以|z |＝ 3.12．若复数z ＝1－i ，则z ＋1z 的虚部是________．答案－12解析 z ＋1z ＝1－i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 2＝32－12i ，故虚部为－12.13．(2018·营口质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 3，则|z |＝________. 答案22解析由题意知z ＝i 31－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－i ＋12＝12－12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 14．(2019·乌海调研)已知i 为虚数单位，复数z (1＋i)＝2－3i ，则z 的虚部为________．答案－52解析由z (1＋i)＝2－3i ，得z ＝2－3i 1＋i ＝(2－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－5i 2＝－12－52i ，则z 的虚部为－52. 15．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数； ②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝⎛⎭⎫1－5a 2＋b 2i.又z ＋3＝a ＋3＋b i 的实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. 所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.17．(2018·本溪模拟)若复数a ＋i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析由题意得z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2，因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，1－a >0，所以－1<a <1.故选C. 18．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i 3＋i∈R ，则复数z ＝________. 答案 3解析 ∵复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝()a ＋3i ()3－i ()3＋i ()3－i ＝3()1＋a ＋(3－a )i 4＝3()1＋a 4＋3－a 4i ∈R ， ∴3－a 4＝0，即a ＝3. 则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.19．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,8]B.⎣⎡⎦⎤－916，1C.⎣⎡⎦⎤－916，7 D.⎣⎡⎦⎤916，7 答案 A解析由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋4sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋4sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－4sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－4sin θ＋4＝4sin 2θ－4sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－122－1，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－4sin θ∈[－1,8]．20．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则a ＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误； z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理

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解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
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下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC

(江苏专用)2020版高考数学总复习第五章第一节平面向量的概念及线性运算课件苏教版

+
2
2

CA
)=- 1 a+ 1 b,③正确; AF
= 1 AB
=- 1 a- 1 b,④正确; AD

+ BE

+ CF
= 1 AB
+ 1 AC
22
2
22
22
+ 1 BC + 1 BA+ 1 CB+ 1 CA=0,⑤正确.
2 222

6.在△ABC中,O为其内部一点,且满足 OA+ OC +3 OB =0,则△AOB与

∴ AB , BD共线,又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
探究1 若将本例(1)中“ BC =2a+8b”改为“ BC =a+mb”,则m为何值时,A,B,D三点共线?
3-1 已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则
向量a+b+c=
.
答案 0 解析因为(a+b)∥c,(b+c)∥a,设a+b=αc,b+c=βa,两式相减得a-c=αc-βa, 移项得(1+α)c=(1+β)a,因为向量a,c不平行,所以1+α=0,1+β=0,即α=-1,β= -1,也就是a+b=-c,即a+b+c=0.

2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第五章 5.4 平面向量的综合应用含解析

→→ 为钝角，M 是 BC 边的中点，则AM·AO等于( )
A．3 C．5
B．4 D．6
答案 C 解析 ∵M 是 BC 边的中点，
→ 1→ → ∴AM＝ (AB＋AC)，
2 ∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，
→→ → → ∴AO·AB＝|AO|·|AB|cos∠BAO
1→ 1
＝ |AB|2＝ ×(2 3)2＝6.
∴△ABC 为直角三角形． →→
3．平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足OP·OA＝4，则点 P 的轨迹方程是____________．答案 x＋2y－4＝0
→→ 解析由OP·OA＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即 x＋2y＝4.
题组三易错自纠
→
→
4．在△ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且△ABC 的一个内角为直角，则实数 k 的值
4
→→ → → → → →→ 故AD·AC＝AD·(AD＋DC)＝|AD|2＋AD·DC
π ＝(2 2)2＋2 2×2cos ＝12.
4 方法二如图，建立平面直角坐标系 xAy.
依题意，可设点 D(m，m)， C(m＋2，m)，B(n,0)，其中 m>0，n>0，
→→ →→ 则由AB·AC＝2AB·AD，
故PA·PB＋PA·PC＝PA· PB＋PC
→→ ＝2PA·PO＝2(x2＋y2－2y) ＝2[x2＋(y－1)2]－2≥－2，当且仅当 x＝0，y＝1 时等号成立．
→→ →→ 所以PA·PB＋PA·PC的最小值为－2.
题型二向量在解析几何中的应用
→
→→
例 2 (1)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP|＝1，PM＝MC，

2020版高考数学新增分大一轮讲义习题第五章平面向量、复数 5.3 Word版含解析

§平面向量的数量积考情考向分析主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．．向量的夹角已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠就是向量与的夹角，向量夹角的范围是[，π]．．平面向量的数量积定义设两个非零向量，的夹角为θ，则数量·θ叫做与的数量积(或内积)，记作·投影θ叫做向量在方向上的投影，θ叫做向量在方向上的投影几何意义数量积·等于的长度与在的方向上的投影θ的乘积拓展：向量数量积不满足：①消去律，即·＝·⇏＝；②结合律，即(·)·⇏·(·)．．向量数量积的运算律()·＝·.()(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·.()(＋)·＝·＋·.．平面向量数量积的有关结论已知非零向量＝(，)，＝(，)，与的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模＝＝夹角θ＝θ＝⊥的充要条件·＝＋＝·与的关系·≤＋≤概念方法微思考．在方向上的投影与在方向上的投影相同吗？提示不相同．因为在方向上的投影为θ，而在方向上的投影为θ，其中θ为与的夹角．．两个向量的数量积大于，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为°时，数量积也大于.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√) ()由·＝可得＝或＝.(×)()(·)＝(·)．(×)()两个向量的夹角的范围是.(×)()若·>，则和的夹角为锐角；若·<，则和的夹角为钝角．(×)题组二教材改编。

2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第五章平面向量与复数5.3 含解析

§5.3 平面向量的数量积1．两个向量的夹角 (1)定义已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉． (3)向量垂直如果〈a ，b 〉＝π2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量．OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos θ. 3．向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉． (2)向量数量积的性质①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0； ③a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ；④cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b | (|a||b |≠0)；⑤|a·b |≤|a||b |.(3)向量数量积的运算律 ①交换律：a·b ＝b·a .②对λ∈R ，λ(a·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． ③分配律：(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则 ①a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ②a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0；③|a |＝a 21＋a 22；④cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22·b 21＋b 22. 概念方法微思考1．a 在b 方向上的正投影与b 在a 方向上的正投影相同吗？提示不相同．因为a 在b 方向上的正投影为|a |cos θ，而b 在a 方向上的正投影为|b |cos θ，其中θ为a 与b 的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × )(4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (6)若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二教材改编2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的正投影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b 在a 方向上的正投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 题组三易错自纠4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正投影为________．答案322解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，由定义知，AB →在CD →方向上的正投影为 AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案－32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一平面向量数量积的基本运算1．已知a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，若(a ＋b )⊥b ，则x 等于( ) A ．8 B ．10 C ．11 D ．12 答案 D解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)， ∴a ＋b ＝(x －2,5)，又(a ＋b )⊥b ，∴(x －2)×(－2)＋20＝0， ∴x ＝12.2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 答案 B解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．(2019·铁岭模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( ) A.49 B.89 C.269 D.263答案 C 解析如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC → ＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. 思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解．题型二平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模例1 (1)(2019·抚顺模拟)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝6，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝－5，则|BD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析如图所示，设AD →＝kAB →，所以CD →＝AD →－AC →＝kAB →－AC →，所以AB →·CD →＝AB →·(kAB →－AC →) ＝kAB →2－AB →·AC → ＝25k －5×6×12＝25k －15＝－5，解得k ＝25，所以|BD →|＝⎝⎛⎭⎫1－25|AB →|＝3. (2)如果||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4，则||a －2b 的值是( ) A ．24B ．2 6C ．－24D ．－2 6答案 B解析由||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4，得||a －2b ＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝4＋36－4×4＝2 6. 命题点2 求向量的夹角例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a －b )＝3，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 B解析由题意得a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×1×cos α＝4－2cos α＝3， ∴cos α＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解析由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2 ＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22 ＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a |＝x 2＋y 2. ②利用|a |＝a 2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |＝________. 答案3解析 ∵|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝1， ∴4－4|b |cos 30°＋b 2＝1，整理得|b |2－23|b |＋3＝(|b |－3)2＝0，解得|b |＝ 3.(2)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 B解析 ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4.题型三平面向量与三角函数例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．解 (1)a ·b ＝cos3x 2cos x 2－sin 3x 2·sin x 2＝cos 2x . ∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x2， ∴|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4， ∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．已知a ，b 为非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析根据向量数量积的定义式可知，若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或零角，若a 与b 的夹角为锐角，则一定有a ·b >0，所以“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B. 2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2答案 B解析向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，则k a －2b ＝()k －4，k ＋6.若k a －2b 与a 垂直，则k －4＋k ＋6＝0，解得k ＝－1.故选B.3．(2018·乌海模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5答案 A解析根据题意，|a －b |＝3＋2＝5，则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝5－2a ·b ＝5，可得a ·b ＝0，结合|a |＝1，|b |＝2，可得(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4＋4＝8，则||2a －b ＝22，故选A.4．(2018·辽阳模拟)非零向量a ，b 满足：|a －b |＝|a |，a ·(a －b )＝0，则a －b 与b 夹角θ的大小为( ) A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°答案 A解析 ∵非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0， ∴a 2＝a ·b ，由|a －b |＝|a | 可得， a 2－2a ·b ＋b 2＝a 2，解得|b |＝2|a |， ∴cos θ＝(a －b )·b |a －b ||b |＝a ·b －|b |2|a ||b |＝|a |2－2|a |22|a |2＝－22，∴θ＝135°，故选A.5．(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量a －b 在向量a 方向上的正投影为( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12答案 D解析由题意可得 |a |＝|b |＝1，且 a ·b ＝|a |×|b |×cos 60°＝12，a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－12＝12，则向量a －b 在向量a 方向上的正投影为 (a －b )·a |a |＝121＝12.故选D.6．(2018·通辽质检)已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点，则MA →·MB →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1,2] C ．[－1,3] D ．[－1,4]答案 C解析如图所示，由题意可得，点M 所在区域的不等式表示为(x －1)2＋(y －1)2≤1(0≤x ≤2,0≤y ≤2)．可设点M (x ，y )， A (0,0)，B (2,0)．∴MA →·MB →＝(－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝－x (2－x )＋y 2＝(x －1)2＋y 2－1，由(x －1)2＋y 2∈[0,2]， ∴MA →·MB →∈[－1,3]，故选C.7．(2018·营口模拟)若平面向量a ，b 满足()a ＋b ·b ＝7，|a |＝3，|b |＝2，则向量a 与b 的夹角为________．答案 π6解析 ∵(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2＝7， ∴a ·b ＝7－b 2＝3.设向量a 与b 的夹角为α，则cos α＝a ·b |a ||b |＝323＝32.又0≤α≤π，∴α＝π6，即向量a 与b 的夹角为π6.8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝2，则a 在b 方向上的正投影为________．答案－33解析向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝2， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋3＋2a ·b ＝2，解得a ·b ＝－1.a 在b 方向上的正投影为a ·b |b |＝－13＝－33.9.如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，则BA →·AD →的值为________．答案－17解析如图，建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，D (0,2)．则BA →＝(3，－4)，AD →＝(－3,2)． ∴BA →·AD →＝3×(－3)－4×2＝－17.10.如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边BC 的中点，则AD →·BC →＝________.答案－52解析利用向量的加减法法则可知， AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(－AB →＋AC →)＝12(－AB →2＋AC →2)＝－52. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，求P A →·(PB →＋PC →)的最小值．解方法一设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →) ＝2(PE →2－EA →2)．而AE →2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时P A →·(PB →＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.方法二以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝⎛⎭⎫12，32.P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝⎛⎭⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12＋y ·⎝⎛⎭⎫y －32 ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －342－34. 因此，当x ＝－14，y ＝34时，P A →·(PB →＋PC →)取最小值，为2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32.13．(2018·南宁摸底)已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( ) A.33 B.12 C.32D.23答案 A解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OA →＋OB →＝－OC →， ∴O 为三角形的重心，∴△OBC 的面积为△ABC 面积的13，∵AB →·AC →＝2，∴|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝2， ∵∠BAC ＝60°，∴|AB →||AC →|＝4，△ABC 的面积为12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A. 14．(2019·衡阳模拟)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是( ) A.23 B.63C.23D.53答案 B解析设BC 的中点为D ，因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，再令|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则AB →·AC →＝bc cos 120°＝－3，所以bc ＝6，所以|AG →|2＝19(|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2)＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23，所以|AG →|≥63，当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故选B.15.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝2，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若CE →·BD →＝－2，则向量CD →在向量BC →上的投影为________．答案－12解析如图，以BC ，BA 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则C (2,0)，B (0,0)，A (0，2)，E ⎝⎛⎭⎫0，22.设AD ＝a ，则D (a ，2)，则CE →＝⎝⎛⎭⎫－2，22，BD →＝(a ，2)，∴CE →·BD →＝－2a ＋1＝－2，a ＝32，CD →＝⎝⎛⎭⎫－12，2， ∴CD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－12，2·(2,0)＝－1， ∴CD →在BC →方向上的投影是－12.16.如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 的中点，求OA →·OM →的最大值．解设∠OBC ＝θ，则B ()2cos θ，0，C ()0，2sin θ，A ⎝⎛⎭⎫2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， M ⎝⎛⎭⎫2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， OA →·OM →＝⎣⎡⎦⎤2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3×⎣⎡⎦⎤2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3×sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝4cos 2θ＋2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π3－6cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θ⎝⎛⎭⎫12cos θ－32sin θ＝2＋cos 2θ＋33sin θcos θ＝52＋12cos 2θ＋332sin 2θ＝52＋7sin ()2θ＋φ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝39. ∴OA →·OM →的最大值为52＋7.。

(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积及其应用课件

+ 23 DA
= 12 BC
- 23 AD
= 12 ( AC

- AB
)- 13 ( AB

+ AC
)= 16 AC
- 56

AB ,

CE

= CD

+ DE
= 12 CB
+ 23 DA
= 1 CB
- 2 AD
= 1 ( AB

- AC
)- 1 ( AB
1 3
2
AB

.

∵ AB

· AC

=6 AO

·E C
,

∴ AB · AC
=3
2
AC
-1
2
AB

+ ABຫໍສະໝຸດ ·A C,2
2

∴ AB
2

=3 AC
2
,

∴| AB
|= 3

| AC
|,
∴ AB
AC
= 3
.
一题多解由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系.
因为E,F是AD上的两个三等分点,
2
2 2
2
所以 AD =9 FD , ED =4 FD ,

由①-③可得8 FD
2
2
=5,即 FD
= 85 .

由②③可得 BE ·C E

= BF

·C F
2
+3F D
=-1+1 85 =78 .

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§5.2平面向量基本定理及坐标表示
考情考向分析主要考查向量的加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题．
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，
λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x21＋y21.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
概念方法微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示
不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．
2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)
(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)
(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)
(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x1x2＝y1y2
.(×) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)
(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)
题组二教材改编
2．[P79练习T6]已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为．答案(1,5)
解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝5. 3．[P82T8]已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n
＝. 答案－12
解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，
得m a ＋n b ＝(2m －n ,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．
由m a ＋n b 与a －2b 共线，。