2020届西藏自治区拉萨中学高三第八次月考数学(理)试卷word版含答案

2020届西藏自治区拉萨中学高三第八次月考数学（理）试卷（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）一、选择题（本大题共12小题；共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={x ∈R|x ＞0}，B={x ∈R|x 2≤1}，则A∩B =（ ） A. （0，1） B. （0，1] C. [-1，1] D. [-1，+∞）2.已知i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知条件p ：k=；条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则￢p 是￢q 的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.若变量x ，y 满足不等式组 ，且z =3x -y 的最大值为7，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 7C. ﹣1D. ﹣75.等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 且4a 1 ， 2a 2 ， a 3成等差数列，若a 1=1，则S 10=（ ）A. 512B. 511C. 1024D. 1023 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 5 7.将函数的图象向右平移 个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则 的最小值是（ ） A.B. C. D.8.若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条ii +-1)1(23⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤a y x y x y 1252+522+54+)(sin cos 3R x x x y ∈+=)0(>m m m 12π6π3π65π件可能为（ ）A. x ＞3B. x ＞4C. x ≤4D. x ≤59.2017年5月30日是我们的传统节日——”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是豆沙馅”，则P （B|A ）=（ ） A.B. C. D. 10.函数 的图象大致为（ ）A. B. C. D.11.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著 的《详解九章算法》一书里就出现了．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年． 那么，第2017行第2016个数是（ ）A. 2016B. 2017C. 2033136D. 203011212. 对于函数 和 ，设，，若存在，使得 ，则称 和 互为“零点相邻函数”，若函数 与 4341101103x x f x x cos 2121)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)(x f )(x g {}0)(=∈x f x α{}0)(=∈x g x ββα,1≤-βα)(x f )(x g 2)(1-+=-x e x f x 3)(2+--=a ax x x g互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ） A.B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题；共20分）13.在二项式 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数是________．14.已知向量． 15.若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则 的最大值是________ . 16.在三棱锥A ﹣BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC ，△AC D ，△ADB 的面积分别为， ， ， 则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的体积为________ 三、解答题（本大题共6小题；共70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若cosB =， b =2，求△ABC 的面积S ．18.北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能 AIphaGO 与韩国棋手李世石进行最后一轮较量， AIphaGO 获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格 1∶4。

人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有 95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？[]4,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,37[]3,2nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12x ()()1,2,2,y ,3+2a b a b a b =-=-r r r r r r且∥，则＝_________22y x +222326bac B C A -=-2cos cos 2cos ACsin sin 41（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为 。

若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，期望 和方差 .附：，其中 .19.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，，AB ⊥AC ，D 是棱BB 1的中点．（Ⅰ）证明：平面A 1DC ⊥平面ADC ；（Ⅱ）求平面A 1DC 与平面ABC 所成二面角的余弦值．20.已知椭圆的短轴长为2，且椭圆 过点. （1）求椭圆 的方程；X X )(X E )(X D ))()()(()(22d b ca d cb a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=121AA AC AB ==)0(1:2222>>=+b a b x a y C C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,22C（2）设直线 过定点，且斜率为，若椭圆 上存在 两点关于直线 对称， 为坐标原点，求 的取值范围及 面积的最大值.21.已知函数的图象在处的切线为．（为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若k ∈Z ，且对任意∈R 恒成立，求的最大值． 考生在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （）=．l 与C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P （0，-2），求|PA |+|PB |的值． 23.选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知函数 ．解不等式 ； （Ⅱ）已知 均为正数．求证：． l ⎪⎭⎫⎝⎛-0,21)0(1≠-k k C B A ,lO k AOB ∆)(2)(2R x b a x e x f x ∈++-=0=x bx y =e 0)253(21)(2≥--+k x x x f x k ⎩⎨⎧==ααsin cos 5y x α4πθ+212)(+--=x x x f x x x f 2)(2-≥z y x ,,zy x xy z zx y yz x 111++≥++2020届西藏自治区拉萨中学高三第八次月考数学（理）试卷参考答案1~5B CBA D 6~10 BCB AC 11~12 C D二、填空题13. 56 14. 15. 16. π三、解答题17.【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π ∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而列联表如下将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意，从而的分布列为. .19.【答案】解：（Ⅰ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，∴AC⊥平面ABB1A1，∵A1D⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1D，设AB=a，由，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．得，AA1=2a，则+ ，∴AD⊥A1D，∵AD∩AC=A，∴A1D⊥平面ADC．又∵A1D⊂平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）解：如图所示，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=1，则A（0，0，0），D（1，0，1），C（0，1，0），A1（0，0，2）．显然是平面ABC的一个法向量，设平面A1DC的法向量，由令z=1，得平面A1DC的一个法向量，∴= ，即平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值为．【考点】平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）由侧棱AA1⊥底面ABC，得AA1⊥AC，结合AB⊥AC，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面ABB1A1，进一步得到AC⊥A1D，AB=a，通过求解三角形可得AD⊥A1D，得到A1D⊥平面ADC．由线面垂直的判定可得平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=1，求得A，D，C，A1的坐标，进一步求出平面ABC与平面A1DC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：∵椭圆的短轴长为2，∴，即.又点在上，∴，∴.∴椭圆的方程为（2）解：由题意设直线的方程为，由，消去得，，∴，即，①且，，∴线段中点的横坐标，纵坐标，即线段的中点为.将代入直线可得，，②由①，②可得，，∴.又，且原点到直线的距离，∴，∵，∴，∴当时，取得最大值【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用【解析】【分析】（1）由椭圆短轴长为2，且过点，,列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1， y1），B（x2， y2），直线AB的方程为y = k x + m ( k ≠ 0 )代入椭圆中，得到关于x的一元二次方程，由判别式求出k的取值范围，和用k表示的x1+x2， x1x2的表达式，从而建立关于k的函数表达式，求解即可．21.【答案】解：（I）f′（x）=e x﹣2x，f′（0）=1=b，f（0）=1+2a+b=0，联立解得b=1，a=﹣1．（II）由（I）可得：f（x）=e2﹣x2﹣1．f（x）+ （3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立⇔k≤e x+ ﹣x﹣1对∀x∈R恒成立．令h（x）=e x+ ﹣x﹣1，h′（x）=e x+x﹣，h″（x）=e x+1＞0恒成立．∴h′（x）在R上单调递增．h′（0）= ＜0，h′（1）= ＞0，= ＜0，= ﹣﹣=0．∴存在唯一零点x0∈，使得h′（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，h′（x0）＜0，函数h（x）在（﹣∞，x0）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h′（x0）＞0，函数h（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（x0）= + ﹣﹣1，又h′（x0）= +x0﹣=0，∴= ﹣x0，∴h（x0）= ﹣x0+ ﹣﹣1= ，∵x0∈，∴h（x0）∈．又k≤e x+ ﹣x﹣1对∀x∈R恒成立⇔k≤h（x0），k∈Z．∴k的最大值为﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（I）f′（x）=e x﹣2x，f′（0）=1=b，f（0）=1+2a+b=0，联立解得b，a．（II）由（I）可得：f（x）=e2﹣x2﹣1．f（x）+ （3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立⇔k≤e x+ ﹣x﹣1对∀x ∈R恒成立．令h（x）=e x+ ﹣x﹣1，h′（x）=e x+x﹣，h″（x）=e x+1＞0恒成立．可得h′（x）在R上单调递增．h′（0）＜0，h′（1）＞0，＜0，＞0．可得存在唯一零点x0∈，使得h′（x0）=0，利用单调性可得：h（x）min=h（x0）= + ﹣﹣1，进而得出结论．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为C：5x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ ）= ，即ρcosθ﹣ρsinθ=2，l：y=x﹣2．（Ⅱ）点P（0，﹣2）在l上，l的参数方程为（t为参数）代入5x2+y2=1整理得，3t2﹣2 t+3=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=23.【答案】解：（Ⅰ）函数，当时，不等式为，∴，即；当时，不等式为，解得，即；当时，不等式为，∴．综合上述，不等式的解集为：．（Ⅱ）证明：因为都为正数，所以①同理可得②③当且仅当时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：．。