第2章 自动控制系统的数学模型(a)

第二章控制系统的数学模型••••••建立控制系统数学模型的方法•分析法：建立系统数学模型的几个步骤：•实验法：黑匣子输入（已知）输出（已知）例１RLC 电路。

（2）. 根据电路原理列出微分方程：（3）. 消去中间变量，得到微分方程：（线性定常二阶微分方程式）建立动态微分方程c c （1）. 确定输入量，输出量为u r (t ) 、u c (t )（线性定常二阶微分方程式）相似系统。

相似量。

对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出的数学模型却是不同的。

利用相似系统的概念，我们可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系统的理论出现了仿真研究法。

例3 列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。

u a 取为输入量，θm 为输出量。

电磁转矩与电枢电流之间的关系（2）动态联系：转子转速d θm (t)/dt 与反电动势e a (t )之间的关系m ⋅转轴力矩平衡方程2m mdt dt激励绕组电枢电压平衡方程a))m m m c 消去中间变量三阶线性常系数微分方程描述了电机转角忽略电枢电感m mm mmm33())m m am a d t L f L dt θ()c a dM t dt例4m am m θr 为输入量，θc 为输出量。

机械手指令信号电动机m m m cLL L＝c c c s a ms a m a aL机械手指令信号电动机s a m m ec c二阶线性常系数微分方程c c c s a m s a m a aLU aM max U O －U Oθ=f(u) －M max电磁驱动力矩M=f ‘(u)非线性元件 伺服电机＋ －U a θU aθU O －U O死区（不灵敏区）在控制系统中非线性是绝对的，而线性是相对的非线性模型的线性化：方法：X0－X0xy推动饱和特性的放大器机械系统非线性微分方程模型的线性化一．假设：二．近似处理：原非线性方程的线性化增量方程三．数学方法：y y =非线性微分方程模型的线性化△注意：非线性微分方程模型的线性化两个变量的非线性函数y=f （x 1，x 2）⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−∂∂+−−∂∂∂+−∂∂+−∂∂+−∂∂+==])201(2)20,10()20)(10(21)20,10(2)101(1)20,10([!21)]202(2)20,10()101(1)20,10([)20,10()2,1(222222x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x f x x f y 10201020非线性微分方程模型的线性化例，输出U i 根据基尔霍夫电压定律：为感应电势，等于线圈中磁链ψ的变化率非线性、非齐次微分方程（一阶）线性化ru iψi Lu )(i L Rrui iψψ)(i L00000铁芯线圈的线性化增量方程线性化增量方程小偏差法。

总结（传递函数•∫∞−−=0)()(dtet f s F ts 0拉普拉斯变换的性质序号 时域 f(t)复频域 F(s)1 线性性 a f1(t)+b f2(t)aF1 (s)+bF2 (s)2 尺度性 f(at) a>03 时移性 f(t-t0) U(t-t0) t0>04 频移性 f(t) e-a t F(s+a)5 时域微分 sF(s)－f(0-)6 时域积分7 复频域微分(-1)n t n f(t)8 复频域积分9 时域卷积 f1(t)* f2(t)F1(s)F2(s)10 复频域卷积f1(t) f2(t)11 初值定理12 终值定理⎟⎠⎞⎜⎝⎛asFa1)(0sFe t s−t dtfd)(ssF)(∫−tdf)(ττnndssFd)(ttf)(∫∞s dssF)()()(2121sFsFj∗π)(lim)(lim)0(ssFtffst∞→→+==+)(lim)(lim)(ssFtffst→∞→==∞•定义传递函数线性系统在零初始条件下c c c r0011m m−•传递函数的两种表达形式零极点时间常数1110111101() ()()mm m i m m ig nn nn njjs zb s d s d s dG s Ka s c s c s cs p−−=−−=+++++==+++++∏∏1011110111(1)1()1(1)mm m im m inn nn nijsb f s f s f sG s Ka e s e s e sT sτ−−=−−=+++++==+++++∏∏210011m m−dtdS⇔微分方程传递函数⇔G1(s) G2(s) G3(s)R(s)C1(s) C2(s)C (s)21典型环节及其传递函数•比例环节实例：特点：•积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当()1x t =y kt=()y t t实例：1i oCsoRCiuouθiu'θ齿轮组典型环节及其传递函数•惯性环节典型环节及其传递函数特点：t T非周期环节22210R R i o 11i o o Cs Cs惯性环节实例惯性环节实例-R2Ci u ou +R1RCiu ou典型环节及其传递函数•微分环节：特点：1ty(t)(理想)y(t)(实际)y(t)/r(t)121212微分环节实例微分环节实例)(sUc)(sUr1sτ+1KTs+传递函数：0021)ζ−2(1)T ζζ±−典型环节及其传递函数•振荡环节：[分析]：阻尼系数无阻尼振荡圆频率n1sn222111tζζζ−−−•振荡环节：ωntξ=0.2ξ=0.5ξ=1y(t)/r(t)特点：m2km mk 振荡环节例子振荡环节例子1τ典型环节及其传递函数•延迟环节x(t)ty(t)τt特点：实例：惯性环节惯性环节与延迟环节的区别：τ)(t c )(t r 延迟环节•其他环节：典型环节及其传递函数2121()()U sKU sRKR=−=)(1sU)(2sU2R1R∞−+R21()1()U sU s TsT RC=−=)(1sU R)(2sUC∞−+R21()1()1U sU s TsT RC=−+=)(1s UR)(2sUCR∞−+R21231423423()1()1(1)()/,()U s s K U s Ts K s K R R R T R CR R R C R R τττ+=−+≈−+=+==+＋1()U s 1R 0R 2R C 3R4R 2()U s ∞−+控制系统的传递函数•电位计U (s)K pθ(s)•角差传感器e1e2u•测速发电机¾永磁式直流发电机¾交流测速发电机•电枢控制直流伺服电机¾电磁转矩与电枢电流之间的关系¾转子转速dθm(t)/dt与反电动势eb(t)之间的关系m¾转轴力矩平衡方程12（12（）1m¾电枢电压平衡方程a¾输出轴转角方程m拉普拉斯变换m a am a传递函数¾m m¾a m••（输入量）控制系统的结构图结构图的组成()s UU()U s()U s±()R s()s()G s( C s（1）信号线：（2）引出点（测量点）：（3）比较点（综合点）：（4）方框（环节）：结构图的概念U1R系统动态结构图)(1s G )(2s G R C −)(1s G )(2s G RC)(1s G RC±)(2s G )(1s G )(2s G RC)(1s G )(2s G ±RC)()(1)(211s G s G s G ∓RC几种基本的结构框图系统动态结构图的建立建立控制系统各元部件的微分方程。

拉氏变换各变量的传递顺序例1.两级RC网络的结构图系统动态结构图的建立带有隔离放大器的两级RC网络。