自动控制原理第二章1_数学模型
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自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
《自动控制原理》课件第二章
Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
自动控制原理--第六版第二章【可编辑全文】
解： X (s) Lx(t ) testdt 0
t est s
0
1 e st dt 0s
1 s2
X (s) Lt L 1(t)dt
1 s
L1(t )
1 1(1) (0) s
1 s2
第二十三页，共101页。
例2-5 求正弦函数x(t) = sinωt 的拉氏变换。
解： sin t e jt e jt
第十页，共101页。
相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中
，占据相同位置的量，相似量。
上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。
例2-1
m
d2 dt
y
2
f
dy dt
ky
F (t)
模拟技术：当分析一个机械系 统或不易进行试验的系统时， 可以建造一个与它相似的电模 拟系统，来代替对它的研究。
ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD ，从而使电枢旋转，拖动负载运动。 Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场
中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与
第十二页，共101页。
激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。
下面推导其微分方程式。
（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量；
1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法 ，得到数学模型。
建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模型－简化
2.2 系统微分方程的建立
2.2.1 列写微分方程式的一般步骤
1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞
自动控制原理课件chapter2_1
d d 2 ( )0 ,( 2 )0 , di f di f
Rn +1
0 if 0
图2-3
小偏差线性化示意图
图2-4
RL网络
例2-3，设铁芯线圈电路如图2-4所示，其磁通与线圈中电 流之间的关系如图2-5所示，试写出以为输入，为输出的 微分方程。 解（1）设铁芯线圈磁通 变化时产生的感应电势为：
图2-5磁通与线圈中电流之间Biblioteka 关系(2.3） (2.4)
或
d u c (t ) d u c (t ) T1 + T2 + u c (t ) = u r (t ) 2 dt dt
2
uc (t ) =
1 i (t )dt C∫
式中T1=LC，T2=RC为电路的时间常数，单位为秒。 式(2.3)和式(2.4)是线性定常二阶线性微分方程。
二、非线性方程的线性化
（一）R-L-C电路 电路 图2-1所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。求出uc(t)与ur(t)的微分方程。
图2-1 R-L-C 无源电路
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = ur (t ) dt C
(2.1)
（2）式中i(t)是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：
1 u c (t ) = C
∫ i(t )d t
( 2 .2 )
(3) 消去式(2.1)、式(2.2)的中间变量i(t)后，输入输出 微分方程式：
d 2uc (t ) duc (t ) LC + RC + uc (t ) = ur (t ) 2 dt dt
自动控制原理第2版全篇
=
△
- + - 其中:△称为系统特征式 △= 1 ∑La ∑LbLc ∑LdLeLf+…
—∑La 所有单独回路增益之和
∑L∑和dLLebLLf—c—所有所三有个互两不两接互触回不路接增益触乘回积路之增和益乘积之
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
△k称为第k条前向通路的余子式 去掉第k条前向通路后所求的△
x0
(x x0 )
1 d 2 f (x)
2!
dx2
x0
(x x0 )2
忽略二阶以上各项，可写成
y
f
(x0 )
df (x)
dx x0
(x
x0 )
2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量 为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作 点为y0＝ f(x10, x20) 。
注意：相加点和分支点一般不能变位
25
2.3.3闭环传递函数
1、给定输入单独作用下的系统闭环传递函数
(s) G1G2 G1G2 1 G1G2H 1 Gk
2、扰动输入单独作用下的闭环系统
n
(
s)
1
G2 G1G2
H
G2 1 Gk
3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信 号的拉氏变换之比。
（1）给定输入单独作用下的闭环系统
Er
(
s)
1
1 G1G2
H
1 1 Gk
（2）扰动输入单独作用下的闭环系统
En
(
s)
1
G2 H G1G2
H
G2H 1 Gk
4)给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输
出量和偏差输出量
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1 1 2 4
如图所示
2( s 2) C2 s )] L1 L s 1 s 4 ( s 1)( s 4)
(2) (3) (4)
et 4t e
C1 lim
2( s 2) 2 s 1 s 4 3
C 2 lim
2( s 2) 4 s 4 s1 3
(5)
4 1 2 t 4 4t 2 1 k ( t ) L1 3e 3e 3 s 1 3 s 4 2( s 2) 2s 4 C ( s) G( s) 2 ( s 1)( s 4) s 5 s 4 R( s )
§2.3.1 传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
G( S )
C ( s) R( s )
§2.3.2 传递函数的标准形式
微分方程一般形式：
anc( n) an1c( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) ... b1r b0r (t )
E0 RC s E0 C 0 lim s 0 1 s( s ) RC C lim ( s 1 ) E0 RC E 0 1 1 s 1 RC s( s ) RC RC
1 t RC
U c ( s)
E0 s
E0 u ( 0) c 1 1 s s RC RC
uc (t ) E0 E0e
uc (0) e
1 t RC
uc (t ) E0 [ E0 uc (0)] e
1 t RC
非线性微分方程的线性化
严格来说，实际物理系统或元件都具有不同程度 的非线性，所以输出变量与输入变量之间的函数关系 应当用非线性动态方程描述。 但非线性方程的性质一般比线性方程复杂得多， 因此工程上常常在一定条件下将非线性方程近似转化 为线性方程。这称为非线性方程的线性化。 常用方案：用泰勒级数的展开式取出非线性方程的主 要部分（展开注意应当选在工作点附近）。
线性定常微分方程求解
经典法 拉氏变化法 计算机求解
线性定常微分方程求解
例5
R-C 电路计算
c uc ur RCu
ur ( t ) E 0 1( t ) U r ( s) E0 s
ur Ri uc c i Cu c uc ur RCu
RC[ sU c ( s) uc (0)] Uc ( s) Ur ( s)
( s 2 5 s 4)C ( s ) ( 2 s 4) R( s ) 5c 4c 2r 4r L1 : c
消去中间变量可得：
K1 K 2 K 3 K 4 K m 1 K1 K 2 K 3 K 4 K m L L L ur Tm Tm Tm
线性系统的基本特性
用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性系统或 线性元件 线性系统满足叠加定理，具有叠加性和均匀性。
即：当两个外作用同时加于线性系统所产生的总输出， 等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；当 外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大通用 的倍数。
o x
K1 K 2 K1 i xo x K1 K 2 K1 K 2
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 X-Y 记录仪
反馈口： u ur u p 放大器： u K 1 u K u 电动机： Tm m m m 减速器： 2 K 3 m 绳 轮： L K 3 2 电 桥： u p K 4 L
运动的模态
线性微分方程的解是一个特解与对应的齐次微分 方程的解之和。其中齐次微分方程的解代表对象的自 由运动，由微分方程的特征根决定。
1 2 n
如果n阶微分方程的特征根是 , , ，且无重根， 则把函数e t , e t ,e t称为该微分方程所描述运动的模态， 也叫振型。模态只取决于齐次微分方程，与系统的输入 变量无关。每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次 微分方程的解则是它们的线性组合，即
o 2 0
m x o ) K 2 xo K 1 ( xi xm ) f ( x
m K1 x i K2 x o K1 x m x i x K2 K o 2 xo x o x K1 f
K1 K 2 K K1 o 2 xo i x x K1 f K1 K 2
§2 控制系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
• §2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i(t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
( RCs 1) Uc ( s) U r ( s) RCuc (0)
RCuc (0) E0 RCuc (0) U ( s) U c ( s) r RCs 1 RCs 1 s( RCs 1) RCs 1
E 0 RC u ( 0) C u ( 0) C1 c 0 c 1 1 1 1 s s( s ) s s s RC RC RC RC
例7 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
试求：（1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5）
2 1 c( t ) 1 e t e 4 t 3 3 系统的传递函数； 系统的特征根及相应的模态； 画出对应的零极点图； 求系统的单位脉冲响应； 求系统微分方程；
解 .（ 1）
C ( s)
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
h h0
d ( h0 h) 1 1 ( h0 h) (Qr 0 Qr ) dt S S 2 h0 dh0 Qr 0 h0 dt S S
dh 1 h Qr 上两式相减可得线性化方程 dt S 2 S h0
§2 控制系统的数学模型
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系
的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
1 2 n
式中系数是由初始条件决定的一组常数。
运动的模态
如果特征根中有重根，则模态会具有形如 tet , t 2et ,的函 数；如果特征根中有共轭复数，则共轭复模态可写成 实函数模态 e at sinbt 与 e at cosbt 的形式，它们是一对共轭 复模态的线性组合。
传递函数的基本概念
§2.3
传 递 函 数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型 之一。利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系 统在输入作用下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的 影响 --分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的 要求---综合
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程
dh 1 h Qr dt S S
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Qr 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
d h 1 |h0 h h0 h dt 2 h0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程 例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K 1 ( xi xm ) m x o ) Fm f ( x B : F K x
1 2 1 1 1 2( s 2) s 3 s 1 3 s 4 s( s 1)( s 4) C ( s) C ( S ) 2( s 2) G( s) s G( s) R( s ) 1s ( s 1)( s 4)
§2.3.3 传递函数的性质(2)
•
•
• •
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数 §2.3.3 传递函数的性质
(1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联；
(4) G(s) = L[ k(t) ]；
(5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。
§2.3.3 传递函数的性质(1)
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤
1、根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出量；
2 、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理 （或化学）定律，列写出各部件的动态方程，一般为微分方程组；
3、消去中间变量，写出关于输入、输出变量的微分方程； 4、将微分方程标准化。即：将与输入有关的各项放在等号的右侧，与 输出有关的各项放在等号的左侧，并按降幂排列。最好将系数归化为 具有一定物理意义的形式。
如图所示
2( s 2) C2 s )] L1 L s 1 s 4 ( s 1)( s 4)
(2) (3) (4)
et 4t e
C1 lim
2( s 2) 2 s 1 s 4 3
C 2 lim
2( s 2) 4 s 4 s1 3
(5)
4 1 2 t 4 4t 2 1 k ( t ) L1 3e 3e 3 s 1 3 s 4 2( s 2) 2s 4 C ( s) G( s) 2 ( s 1)( s 4) s 5 s 4 R( s )
§2.3.1 传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
G( S )
C ( s) R( s )
§2.3.2 传递函数的标准形式
微分方程一般形式：
anc( n) an1c( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) ... b1r b0r (t )
E0 RC s E0 C 0 lim s 0 1 s( s ) RC C lim ( s 1 ) E0 RC E 0 1 1 s 1 RC s( s ) RC RC
1 t RC
U c ( s)
E0 s
E0 u ( 0) c 1 1 s s RC RC
uc (t ) E0 E0e
uc (0) e
1 t RC
uc (t ) E0 [ E0 uc (0)] e
1 t RC
非线性微分方程的线性化
严格来说，实际物理系统或元件都具有不同程度 的非线性，所以输出变量与输入变量之间的函数关系 应当用非线性动态方程描述。 但非线性方程的性质一般比线性方程复杂得多， 因此工程上常常在一定条件下将非线性方程近似转化 为线性方程。这称为非线性方程的线性化。 常用方案：用泰勒级数的展开式取出非线性方程的主 要部分（展开注意应当选在工作点附近）。
线性定常微分方程求解
经典法 拉氏变化法 计算机求解
线性定常微分方程求解
例5
R-C 电路计算
c uc ur RCu
ur ( t ) E 0 1( t ) U r ( s) E0 s
ur Ri uc c i Cu c uc ur RCu
RC[ sU c ( s) uc (0)] Uc ( s) Ur ( s)
( s 2 5 s 4)C ( s ) ( 2 s 4) R( s ) 5c 4c 2r 4r L1 : c
消去中间变量可得：
K1 K 2 K 3 K 4 K m 1 K1 K 2 K 3 K 4 K m L L L ur Tm Tm Tm
线性系统的基本特性
用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性系统或 线性元件 线性系统满足叠加定理，具有叠加性和均匀性。
即：当两个外作用同时加于线性系统所产生的总输出， 等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；当 外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大通用 的倍数。
o x
K1 K 2 K1 i xo x K1 K 2 K1 K 2
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 X-Y 记录仪
反馈口： u ur u p 放大器： u K 1 u K u 电动机： Tm m m m 减速器： 2 K 3 m 绳 轮： L K 3 2 电 桥： u p K 4 L
运动的模态
线性微分方程的解是一个特解与对应的齐次微分 方程的解之和。其中齐次微分方程的解代表对象的自 由运动，由微分方程的特征根决定。
1 2 n
如果n阶微分方程的特征根是 , , ，且无重根， 则把函数e t , e t ,e t称为该微分方程所描述运动的模态， 也叫振型。模态只取决于齐次微分方程，与系统的输入 变量无关。每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次 微分方程的解则是它们的线性组合，即
o 2 0
m x o ) K 2 xo K 1 ( xi xm ) f ( x
m K1 x i K2 x o K1 x m x i x K2 K o 2 xo x o x K1 f
K1 K 2 K K1 o 2 xo i x x K1 f K1 K 2
§2 控制系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
• §2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i(t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
( RCs 1) Uc ( s) U r ( s) RCuc (0)
RCuc (0) E0 RCuc (0) U ( s) U c ( s) r RCs 1 RCs 1 s( RCs 1) RCs 1
E 0 RC u ( 0) C u ( 0) C1 c 0 c 1 1 1 1 s s( s ) s s s RC RC RC RC
例7 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
试求：（1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5）
2 1 c( t ) 1 e t e 4 t 3 3 系统的传递函数； 系统的特征根及相应的模态； 画出对应的零极点图； 求系统的单位脉冲响应； 求系统微分方程；
解 .（ 1）
C ( s)
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
h h0
d ( h0 h) 1 1 ( h0 h) (Qr 0 Qr ) dt S S 2 h0 dh0 Qr 0 h0 dt S S
dh 1 h Qr 上两式相减可得线性化方程 dt S 2 S h0
§2 控制系统的数学模型
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系
的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
1 2 n
式中系数是由初始条件决定的一组常数。
运动的模态
如果特征根中有重根，则模态会具有形如 tet , t 2et ,的函 数；如果特征根中有共轭复数，则共轭复模态可写成 实函数模态 e at sinbt 与 e at cosbt 的形式，它们是一对共轭 复模态的线性组合。
传递函数的基本概念
§2.3
传 递 函 数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型 之一。利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系 统在输入作用下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的 影响 --分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的 要求---综合
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程
dh 1 h Qr dt S S
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Qr 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
d h 1 |h0 h h0 h dt 2 h0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程 例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K 1 ( xi xm ) m x o ) Fm f ( x B : F K x
1 2 1 1 1 2( s 2) s 3 s 1 3 s 4 s( s 1)( s 4) C ( s) C ( S ) 2( s 2) G( s) s G( s) R( s ) 1s ( s 1)( s 4)
§2.3.3 传递函数的性质(2)
•
•
• •
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数 §2.3.3 传递函数的性质
(1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联；
(4) G(s) = L[ k(t) ]；
(5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。
§2.3.3 传递函数的性质(1)
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤
1、根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出量；
2 、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理 （或化学）定律，列写出各部件的动态方程，一般为微分方程组；
3、消去中间变量，写出关于输入、输出变量的微分方程； 4、将微分方程标准化。即：将与输入有关的各项放在等号的右侧，与 输出有关的各项放在等号的左侧，并按降幂排列。最好将系数归化为 具有一定物理意义的形式。