自动控制原理第二章
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自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
自动控制原理(第二章)
F ( s ) = L[ f (t )] =
∫
∞ 0
f (t )e st dt
南理工泰州科技学院
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Bas与象函数之间的对应 关系列成对照表的形式.通过查表, 关系列成对照表的形式.通过查表,就能 够知道原函数的象函数, 够知道原函数的象函数,或象函数的原函 常用函数的拉氏变换的对照表如表2 数,常用函数的拉氏变换的对照表如表2-3 所示. 所示.
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
拉氏变换的基本定理
(3)积分定理. )积分定理. (4)位移定理. )位移定理.
L[ ∫
t 0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
L[ f (t τ0 )1(t τ0 )] = eτ0s F(s)
静态数学模型:静态条件下, 静态数学模型:静态条件下,描述各变量间关系的 代数方程; 代数方程; 动态数学模型: 动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分 方程. 方程.
建立控制系统数学模型的方法:分析法和 建立控制系统数学模型的方法:分析法和实验 法.
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
∫
∞ 0
f (t )e st dt
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Bas与象函数之间的对应 关系列成对照表的形式.通过查表, 关系列成对照表的形式.通过查表,就能 够知道原函数的象函数, 够知道原函数的象函数,或象函数的原函 常用函数的拉氏变换的对照表如表2 数,常用函数的拉氏变换的对照表如表2-3 所示. 所示.
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
拉氏变换的基本定理
(3)积分定理. )积分定理. (4)位移定理. )位移定理.
L[ ∫
t 0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
L[ f (t τ0 )1(t τ0 )] = eτ0s F(s)
静态数学模型:静态条件下, 静态数学模型:静态条件下,描述各变量间关系的 代数方程; 代数方程; 动态数学模型: 动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分 方程. 方程.
建立控制系统数学模型的方法:分析法和 建立控制系统数学模型的方法:分析法和实验 法.
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
02 自动控制原理—第二章
Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
自动控制原理第2章
传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
第二章 自动控制原理(傅里叶变换到拉普拉斯变换)
dt
1 T
T2 T 2
f
(t )T
e int dt
dn
1 T
T2 T 2
fT (t)
cos nt isin nt
dt 1 T
T2 T 2
f
(t )T
eint dt
cn
n 1,2, (cn cn )
合并为：cn
1 T
T 2
T 2
fT
(t)eint dt
n 0, 1, 2,
级数化为(指数形式)：
➢拉普拉斯变换的定义
设函数 f (t) 满足: ① t 0 时 f (t) 0 ，
②t 0时
f
(t) 分段连续，且
0 |
f
(t )e st
|
dt
则拉普
拉斯变换的定义为：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
t 0
拉普拉斯反变换：f (t) L1[F (s)] 1 j F (s)estds
f (t)dt
F (s) f 1(0) f 2 (0)
L
n个
sn
sn
s(n1)
f n (0)
s
式中f 1(0)、f 2 (0)、 f n (0)为函数f (t)的各次重积分在 t=0时的值。
如果f 1(0) f 2 (0) f n (0) 0，则
L
n个
f
(t
)dt
eat 1
构成一变换对
sa
2）单位脉冲函数
f
(t)
(t)
lim 0
1
0t
0 t 0 t
F(s) L (t) lim (t)est dt lim 1est dt 1
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at
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
的代数方程； （2）动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 目的：如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，既可以得到系统的输出量表 达式，并由此对系统的性能进行分析。 建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分析法和实验辨识法。 分析法： 依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法 。 辨识法：给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近 系统的输入输出特性。这种方法也称为系统辨识。 在控制系统中，数学模型有多种形式，时域中常用的有：微分方程（连续系统）、差分方 程（离散系统）及状态方程等，复数域中常用的方法有传递函数、结果图，频域中方法有频率 特性曲线等等。 本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图等数学模型的建立和应用，其数 学基础为拉普拉斯变换。
§2-1傅立叶变换与拉普拉斯变换
2.1.1 傅立叶级数 一周期为T（角频率ω＝2π/T）的函数f(t) 可以展开成傅立叶级数的形式：
1 f (t ) a0 (an cos nt bn sin nt ) 2 n 1
1 T a 0 2T f (t )dt T 2 2 T an 2T f (t ) cos ntdt T 2 2 T bn 2T f (t )sin ntdt T 2
t
在实际工程中，这个假设是可以做到的，因为我们可以将外作用加到系 统的开始瞬间选为t=0，而t<0的行为，即外作用施加到系统之前的行为， 可以在初始条件内考虑。
例2 3：求正弦函数 f(t) sint的拉氏变换。
解： 1 j t jt 欧拉公式： sin t (e e ) 2j F ( s) L(sin t ) sin te dt
积分 | f (t ) | dt存在
T 2 T 2
2.1.2 傅立叶变换
对非周期函数f(t)不能展开成傅立叶级数 的形式，引入傅立叶变换：
1 逆变换（时间函数）：（ f t）= 2
正变换(频谱函数)：（ F ）=
－
f (t )e jt dt
－
F ( )e jt d
重要概念
• • • • • 反馈概念 开环控制、闭环控制、前向通道、反馈通道 自控系统的三个基本要求 4种典型的输入信号 自控系统的分类
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 傅里叶变换与拉普拉斯变换 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型
§2.4
§2.5
控制系统的结构图与信号流图
1. 阶跃信号（Step Function）
R r (t ) R (t ) 0
r（t） R 1
t0 t0
单位阶跃 信号
时间
阶跃信号含宽频带谐波分量，产生容易。 实际中，电源的突然接通、负载的突变等均可近似看作 阶跃信号。 在时域分析中， 阶跃信号用得最为广泛。
2. 斜坡信号（Ramp Function）
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 运行结果为 : y =3e-2xsin（5x）
本章小结
1.4 自动控制系统的基本要求
基本要求的提法
典型外作用
1.4.2 典型外作用
在工程实践中，自动控制系统承受的外作用形式多种多样， 既有确定性外作用，又有随机外作用，对不同形式的外作用， 系统被控量都变化情况（即响应）各不相同，为了便于统一都 方法研究和比较控制系统的性能，通常选用几种确定性函数作 为典型外作用。 选取原则: （1）在现场及实验中容易产生 （2）系统在工程中经常遇到，并且是最不利的外作用。 （3）数学表达式简单，便于理论分析。 目前，在控制工程设计中，常用都典型外作用函数有阶跃 函数、斜坡函数、冲击函数以及正弦函数等确定性函数，此外 还有伪随机函数。
1 f (t ) t
象函数 F ( s )
s
F ( s)ds
e at f (t )
t 0
t
F ( s a)
lim sF ( s )
s
lim f (t )
lim f (t )
10 终值
11 卷积
t
lim sF ( s )
ε
R
r（t）
t
当R=1，ε→0时称为单位脉冲δ(t)
δ（t）
(t ) 0
t 0 t0
(t )
d (t ) dt
t
(t )dt 1
4. 正弦信号（Sine Function）
f (t ) K sin(t )
振幅：K
f (t )
2
但增加衰减因子后，满足 e 则： F ( ) e 1(t)e dt e
t
1(t)dt
1(t)dt
t
j t
( j )t
0
dt
1 j
令：s=σ＋jω 则得到拉普拉斯变换。
1.拉普拉斯变换
正变换：F （s）=
s n F ( s) s nr 1 f ( r ) (0)
1 [ F ( s) f ( 1) (0)] s d F ( s) ds
r 0 n 1
f (t )dt
tf (t )
3. 拉普拉斯变换基本性质（续）
基本运算 7 对s积分
8 s域平移 9 初值
原函数 f (t )
方波可以分解为各种频率的谐波分量；各种不同频率的谐波可以 合成方波。
f(t) A
基波分量
一次谐波
0
t
0
t
各种不同频率的 谐波可以合成方波。 所含谐波越多，越 接近方波。低次谐 波影响顶部，高次 谐波影响跳变沿。
合成波形
三次谐波
0
t
五次谐波
0
t
狄里赫莱（Dirichlet）条件
• 周期函数能展成傅立叶级数必须满足Dirichlet 条件： （1）在一个周期内只有有限个不连续点； （2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值 （3）在一个周期内，信号f(t)满足绝对可积， 即：
2aA |F(ω )|
dt Ae
a
a
jt
dt
2A
sin a
-a 0
a
t
3 a
2 a
a
0
a
2 a
3 a
ω
方波的频谱图
2.1.2 拉普拉斯变换
• 对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件， 但引入一衰减因子e t 后，可以满足绝对收敛的条 件。 例如：阶跃函数1(t)不满足
＋
F （s）=
－ ＋
f (t )e st dt
(双边)
0
f (t )e st dt
(单边)
1 逆变换：f (t )= 2j
j
－j
F ( s)e st ds
f (t )——原函数； F (s) ——象函数
引入 e 的目的是加快收敛速度，但是当t—-∞的时候，所起到的是反作 用，为此需假设t<0时，f(t)=0。
n=0 —— 直流分量 n=1 ——基波谐波 n=2 ——二次谐波 ：
(n 1, 2,3
)
例1： 求周期方波的傅立叶级数展开式。
0 f (t ) A 0 , , , T T t 2 4 T T t 4 4 T T t 4 2
f(t) A
st 0 0
1 1 1 ( ) 2 2 j s j s j s 2
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
的代数方程； （2）动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 目的：如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，既可以得到系统的输出量表 达式，并由此对系统的性能进行分析。 建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分析法和实验辨识法。 分析法： 依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法 。 辨识法：给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近 系统的输入输出特性。这种方法也称为系统辨识。 在控制系统中，数学模型有多种形式，时域中常用的有：微分方程（连续系统）、差分方 程（离散系统）及状态方程等，复数域中常用的方法有传递函数、结果图，频域中方法有频率 特性曲线等等。 本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图等数学模型的建立和应用，其数 学基础为拉普拉斯变换。
§2-1傅立叶变换与拉普拉斯变换
2.1.1 傅立叶级数 一周期为T（角频率ω＝2π/T）的函数f(t) 可以展开成傅立叶级数的形式：
1 f (t ) a0 (an cos nt bn sin nt ) 2 n 1
1 T a 0 2T f (t )dt T 2 2 T an 2T f (t ) cos ntdt T 2 2 T bn 2T f (t )sin ntdt T 2
t
在实际工程中，这个假设是可以做到的，因为我们可以将外作用加到系 统的开始瞬间选为t=0，而t<0的行为，即外作用施加到系统之前的行为， 可以在初始条件内考虑。
例2 3：求正弦函数 f(t) sint的拉氏变换。
解： 1 j t jt 欧拉公式： sin t (e e ) 2j F ( s) L(sin t ) sin te dt
积分 | f (t ) | dt存在
T 2 T 2
2.1.2 傅立叶变换
对非周期函数f(t)不能展开成傅立叶级数 的形式，引入傅立叶变换：
1 逆变换（时间函数）：（ f t）= 2
正变换(频谱函数)：（ F ）=
－
f (t )e jt dt
－
F ( )e jt d
重要概念
• • • • • 反馈概念 开环控制、闭环控制、前向通道、反馈通道 自控系统的三个基本要求 4种典型的输入信号 自控系统的分类
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 傅里叶变换与拉普拉斯变换 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型
§2.4
§2.5
控制系统的结构图与信号流图
1. 阶跃信号（Step Function）
R r (t ) R (t ) 0
r（t） R 1
t0 t0
单位阶跃 信号
时间
阶跃信号含宽频带谐波分量，产生容易。 实际中，电源的突然接通、负载的突变等均可近似看作 阶跃信号。 在时域分析中， 阶跃信号用得最为广泛。
2. 斜坡信号（Ramp Function）
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 运行结果为 : y =3e-2xsin（5x）
本章小结
1.4 自动控制系统的基本要求
基本要求的提法
典型外作用
1.4.2 典型外作用
在工程实践中，自动控制系统承受的外作用形式多种多样， 既有确定性外作用，又有随机外作用，对不同形式的外作用， 系统被控量都变化情况（即响应）各不相同，为了便于统一都 方法研究和比较控制系统的性能，通常选用几种确定性函数作 为典型外作用。 选取原则: （1）在现场及实验中容易产生 （2）系统在工程中经常遇到，并且是最不利的外作用。 （3）数学表达式简单，便于理论分析。 目前，在控制工程设计中，常用都典型外作用函数有阶跃 函数、斜坡函数、冲击函数以及正弦函数等确定性函数，此外 还有伪随机函数。
1 f (t ) t
象函数 F ( s )
s
F ( s)ds
e at f (t )
t 0
t
F ( s a)
lim sF ( s )
s
lim f (t )
lim f (t )
10 终值
11 卷积
t
lim sF ( s )
ε
R
r（t）
t
当R=1，ε→0时称为单位脉冲δ(t)
δ（t）
(t ) 0
t 0 t0
(t )
d (t ) dt
t
(t )dt 1
4. 正弦信号（Sine Function）
f (t ) K sin(t )
振幅：K
f (t )
2
但增加衰减因子后，满足 e 则： F ( ) e 1(t)e dt e
t
1(t)dt
1(t)dt
t
j t
( j )t
0
dt
1 j
令：s=σ＋jω 则得到拉普拉斯变换。
1.拉普拉斯变换
正变换：F （s）=
s n F ( s) s nr 1 f ( r ) (0)
1 [ F ( s) f ( 1) (0)] s d F ( s) ds
r 0 n 1
f (t )dt
tf (t )
3. 拉普拉斯变换基本性质（续）
基本运算 7 对s积分
8 s域平移 9 初值
原函数 f (t )
方波可以分解为各种频率的谐波分量；各种不同频率的谐波可以 合成方波。
f(t) A
基波分量
一次谐波
0
t
0
t
各种不同频率的 谐波可以合成方波。 所含谐波越多，越 接近方波。低次谐 波影响顶部，高次 谐波影响跳变沿。
合成波形
三次谐波
0
t
五次谐波
0
t
狄里赫莱（Dirichlet）条件
• 周期函数能展成傅立叶级数必须满足Dirichlet 条件： （1）在一个周期内只有有限个不连续点； （2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值 （3）在一个周期内，信号f(t)满足绝对可积， 即：
2aA |F(ω )|
dt Ae
a
a
jt
dt
2A
sin a
-a 0
a
t
3 a
2 a
a
0
a
2 a
3 a
ω
方波的频谱图
2.1.2 拉普拉斯变换
• 对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件， 但引入一衰减因子e t 后，可以满足绝对收敛的条 件。 例如：阶跃函数1(t)不满足
＋
F （s）=
－ ＋
f (t )e st dt
(双边)
0
f (t )e st dt
(单边)
1 逆变换：f (t )= 2j
j
－j
F ( s)e st ds
f (t )——原函数； F (s) ——象函数
引入 e 的目的是加快收敛速度，但是当t—-∞的时候，所起到的是反作 用，为此需假设t<0时，f(t)=0。
n=0 —— 直流分量 n=1 ——基波谐波 n=2 ——二次谐波 ：
(n 1, 2,3
)
例1： 求周期方波的傅立叶级数展开式。
0 f (t ) A 0 , , , T T t 2 4 T T t 4 4 T T t 4 2
f(t) A
st 0 0
1 1 1 ( ) 2 2 j s j s j s 2