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2025届高考数学一轮复习讲义函数之函数的奇偶性、周期性与对称性

D 都有 x ＋ T ∈ D ，且⑨
f ( x ＋ T )＝ f (做周期函数.非零
常数 T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数 f ( x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫
做 f ( x )的⑩
注意
最小
正周期.
并不是所有的周期函数都有最小正周期，如 f ( x )＝5.
1
f(x)＝＋｜x｜

4. 已知函数 f ( x )为R上的偶函数，且当 x ＜0时， f ( x )＝ x ( x －1)，则当 x ＞0时，
f ( x )＝ x ( x ＋1)
.
⁠
5. 已知定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x )＝ f ( x －2)，当 x ∈[0，2)时， f ( x )＝ x 2－4
x ，则当 x ∈[4，6)时， f ( x )＝
x 2－12 x ＋32
.
⁠
[解析] 设 x ∈[4，6)，则 x －4∈[0，2)，则 f ( x －4)＝( x －4)2－4( x －4)＝ x 2－12 x
＋32.又 f ( x )＝ f ( x －2)，所以函数 f ( x )的周期为2，所以 f ( x －4)＝ f ( x )，所以当 x
a ｜；
(2)若函数 f ( x )的图象既关于点( a ，0)对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的周
期为2｜ b － a ｜；
(3)若函数 f ( x )的图象既关于直线 x ＝ a 对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的
周期为4｜ b － a ｜.
二、基础题练习
⁠
，那么
⁠

2022年高考数学一轮复习专题3-3 函数的奇偶性与周期性(含答案解析)

又由，可得， , ,
则，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与对称性，周期性，解题关键是由奇函数的性质和对称性得出函数为周期函数．
12.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则＝（）
A.﹣2B.﹣1C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得的值，即可得到答案．
∴1＝2－，∴a＝2.
（2）由（1）知f(x)＝x－，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－＝－x＋＝－(x－ )＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
【点睛】本题考查函数解析式中参数的求解，利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，属综合基础题.
高频考点二：函数奇偶性的应用
对于选项 ,令，则．
在中，将换为，得，
【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，涉及函数奇偶性的应用，属综合基础题.
14.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）
A.2019B.1C.0D.-1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意推导出函数的对称性和周期性，可得出该函数的周期为，于是得出
可得出答案．
【详解】函数是上的奇函数，则，
对于D选项，令，则，，且，
所以，函数为非奇非偶函数.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
【知识拓展】
（1）奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-3函数的奇偶性与周期性-教师版

专题3.3函数的奇偶性与周期性练基础1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简“(0)0f =”和“函数()f x 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f =，所以0b =，函数()f x 为奇函数，所以()()0f x kx b f x kx b -=-+=-=--=，所以0b =.所以“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =-B ．()1x f x x=-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-【答案】C 【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．xx y ee =-﹣D ．2log y x=【答案】C 【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数y =的定义域是[0,)+∞，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1y x x=+在()0,1上单调递减，故错误；C.因为()()()xx x x f x ee e ef x --=---=-=﹣，所以函数是奇函数，且在()0,1上单调递增，正确；D.因为()()22log =log f x x x f x -=-=，所以函数是偶函数，故错误；故选：C ．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【答案】C 【解析】当m 为有理数时恒有()()D x m D x +=，所以()D x 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x 是有理数还是无理数总有()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称．当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，若x 为有理数，则x -也为有理数，()()D x D x ∴=-，若x 为无理数，则x -也为无理数，()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称，∴选项B 错误，选项C 正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD 【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-= ，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值是（）A ．0B ．12C ．712D ．1【答案】BC 【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x -<，解得1233x <<，只有BC 满足．故选：BC ．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【解析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.【答案】3x （答案不唯一）【解析】分析可知函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，可取()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而()2021(1)1f f ==.【详解】函数关于点()2,0对称，则()(4)f x f x =--，又()y f x =为R 上的奇函数，则()(4)(4)f x f x f x =--=-，因此函数的周期为4，因此()2021(1)1f f ==.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．【答案】32-【解析】通过计算(1)(1)g g +-可得．【详解】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=，即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-．故答案为：32-．练提升1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间【答案】C 【解析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，结合()f x 为奇函数可得大小关系.【详解】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>= ，0.822<即：0.8331log log 9.1210->>又()f x 是定义在R 上的减函数()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22xx a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22xxf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．4．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f £=，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（）A ．()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得(4)()f x f x +=，结合函数的解析式可得当(3,2)x ∈--时函数的解析式，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则有(1)(1)f x f x +=--+，即(2)()f x f x +=--，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有(2)()f x f x +=-，即有(4)()f x f x +=，当[1x ∈，2]时，()1|2|1f x x x =--=-，若(3,2)x ∈--，则4(1,2)x +∈，则(4)(4)13f x x x +=+-=+，则当(3,2)x ∈--时，有()3f x x =+，则()f x 为增函数且()(3)0f x f >-=；故()f x 在(3,2)--上为增函数，且()0f x >；故选：CD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ．(0,0)B ．(,())m f m --C ．(,())m f m --D ．(,())m f m -【答案】ABC 【解析】根据任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，得到()f x 是奇函数判断.【详解】因为任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，又x ∈R ，所以令0x =，则(0)(0)f f -=-，得(0)0f =，所以点(0,0)，且点(,())m f m --与(,())m f m --也一定在()y f x =的图象上，故选：ABC ．7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤【答案】BCD 【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错；对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对；对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对；对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对．故选：BCD ．8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =【答案】AC 【解析】根据[]x 定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪⎪+=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪⎪∴=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，可画出函数图像，如图：可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于D ，取1x =-()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，故D 错误.故选：AC ．9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x =-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-【答案】CD 【解析】利用函数图象变换画出选项A ，B ，C ，D 对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但()ln 1f x x =-的定义域为{}0x x R ≠≠，所以选项B 错误；函数2()2f x x x =-的定义域是R ，在(),1-∞-，()0,1单调递减，在()1,0-，()1,+∞单调递增，但()()()2020f f f -===有3个零点，选项A 错误；函数2()1f x x x =-++的定义域是R ，当()0,x ∈+∞时，2()1f x x x =-++的图象对称轴为12x =，其图象是开口向下的抛物线，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，由图得()f x 恰有2个零点，选项C 正确；函数()2xf x e =-的定义域是R ，在(),ln 2-∞-，()0,ln 2单调递减，在()ln 2,0-，()ln 2,+∞单调递增，且()()ln 2ln 20f f -==有2个零点，选项D 正确.故选：CD.10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.【答案】7由题设可知()f x 的周期为2，结合已知区间的解析式及()3x g x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∴()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：()()f m x f x +=有()f x 的周期为||m .练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B．是奇函数，且在11(,22-单调递减C．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A．[)1,1][3,-+∞ B．3,1][,[01]-- C．[1,0][1,)-⋃+∞D．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，满足o1−p =o1+p ．若o1)=2，则o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=()A.−50B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，且o1−p =o1+p ，所以o1+p =−o −1)∴o3+p =−o +1)=o −1)∴=4,因此o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=12[o1)+o2)+o3)+o4)]+o1)+o2)，因为o3)=−o1)，o4)=−o2)，所以o1)+o2)+o3)+o4)=0，∵o2)=o −2)=−o2)∴o2)=0，从而o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=o1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e-=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。

2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.3 函数的奇偶性与周期性 (含解析)

§2.3函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．(2)f (x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )题组二教材改编2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①f (x )＝2x 4＋3x 2； ②f (x )＝x 3－2x ； ③f (x )＝x 2＋1x ；④f (x )＝x 3＋1. 答案 ②③3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案－2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．函数f (x )＝lg (1－x 2)|x ＋3|－3是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)答案奇解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x ＋3|－3≠0，得－1<x <0或0<x <1，即f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1)，∴f (x )＝lg (1－x 2)x ，∴f (－x )＝lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝________. 答案 18解析由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123＝18. 7．若函数f (x )＝x(x ＋2)(x －a )为奇函数，则实数a 的值为________，且当x ≥4时，f (x )的最大值为________．答案 2 13解析由f (x )为奇函数易知a ＝2，当x ≥4时，f (x )＝1x －4x 在[4，＋∞)上单调递减，∴当x ＝4时，f (x )max ＝13.函数的奇偶性命题点1 判断函数的奇偶性例1 (2020·日照模拟)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1,4]； (2)f (x )＝ln2－x2＋x；(3)f (x )＝1a x －1＋12(a >0，且a ≠1)； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)f (x )的定义域为(－2,2)，f (－x )＝ln 2＋x 2－x ＝－ln 2－x2＋x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，其定义域关于原点对称，并且有 f (－x )＝1a －x －1＋12＝11a x －1＋12＝a x 1－a x ＋12＝－(1－a x )－11－a x ＋12＝－1＋11－a x ＋12＝－⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12＝－f (x )．即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．命题点2 函数奇偶性的应用例2 (1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案－2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.(2)已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝________.答案 5解析由f (lg 3)＝a sin(lg 3)＋b 3lg 3＋4＝3得a sin(lg 3)＋b 3lg 3＝－1，而f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f (－lg 3)＝－a sin(lg 3)－b 3lg 3＋4＝－[a sin(lg 3)＋b 3lg 3]＋4＝1＋4＝5.命题点3 函数的对称性例3 已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．f (π)<f (3)<f (2) B ．f (π)<f (2)<f (3) C ．f (2)<f (3)<f (π) D ．f (2)<f (π)<f (3) 答案 C解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数， ∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)， ∴f (3)＝f (1)，f (π)＝f (4－π)． ∵0<4－π<1<2，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减， ∴f (4－π)>f (1)>f (2)， ∴f (2)<f (3)<f (π)，故选C.思维升华 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题．(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f (x ＋a )为偶函数(奇函数)，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(关于点(a,0)对称)．跟踪训练1 (1)(2019·黄冈模拟)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋sin 2x B ．f (x )＝x 2－cos x C ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案 D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＝－⎝⎛⎭⎫3x －13x ＝－f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( ) A ．|g (x )|是偶函数 B ．f (x )g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是偶函数 D ．f (x )＋g (x )是奇函数答案 D解析 f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，f (x )为偶函数． g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．|g (－x )|＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确； f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )]＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确； f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确； f (x )＋g (x )＝2e x ，f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠－[f (x )＋g (x )]，所以f (x )＋g (x )不是奇函数，D 错误，故选D.(3)设函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g (x )＝f (x ＋1)为偶函数，则不等式g (2－2x )<0的解集为________．答案 (0,2)解析由已知g (x )在[0，＋∞)上为增函数，g (2)＝0，又g (x )为偶函数，∴g (2－2x )<0可化为g (2－2x )<g (2)， ∴|2－2x |<2，∴－2<2x －2<2，解得0<x <2.函数的周期性1．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝______. 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________. 答案－2－ 3解析由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－ 3.3．(2019·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案－1解析因为f (x )＝f (2－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12.因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝124－1＝1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝－1. 4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2－1解析依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＝122－1＋20－1＝2－1. 思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．函数性质的综合应用命题点1 函数的奇偶性与单调性相结合例4 (2017·全国Ⅰ改编)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________．答案 [1,3]解析因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，所以1≤x ≤3.命题点2 函数的奇偶性与周期性相结合例5 设 f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 019)＝________. 答案 12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 019)＝f (－1)＝－1×12＋1＝12.命题点3 函数的奇偶性与对称性相结合例6 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 018)＝________.答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (2 018)＝f (2＋252×8)＝f (2)＝2.命题点4 函数的周期性与对称性相结合例7 已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于x ＝－1对称，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.答案 216解析由f (x ＋4)＝f (x －2)，得f (x ＋6)＝f (x )．故f (x )是周期为6的函数．所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．因为f (x )的图象关于x ＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．又x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，所以f (－3)＝6－(－3)＝216.从而f (1)＝216，故f (919)＝216.思维升华函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．跟踪训练2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )＝f (x ＋6)，当x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，则f (x )在下列哪个区间上单调递减( )A ．[3,7]B ．[4,5]C ．[5,8]D ．[6,10]答案 B解析依题意知，f (x )是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，所以f (x )在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f (x )在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f (x )在[4,5]上单调递减．(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.故选C.(3)(多选)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (x )＋f (2)成立，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则下列结论正确的有( ) A ．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝0B ．直线x ＝－5是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴C ．函数y ＝f (x )在[－7,7]上有5个零点D ．函数y ＝f (x )在[－7，－5]上为减函数答案 ABD解析根据题意，函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0；对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (x )＋f (2)成立，当x ＝2时，有f (0)＝2f (2)＝0，则有f (2)＝0，则有f (2－x )＝f (x )，即x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；又由f (x )为奇函数，则f (2－x )＝－f (－x )，变形可得f (x ＋2)＝－f (x )，则有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故函数f (x )是周期为4的周期函数，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则函数f (x )在区间[0,1]上为增函数，又由y ＝f (x )是R 上的奇函数，则f (x )在区间[－1,1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，f (x ＋2)＝－f (x )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (1)＋f (3)]＋[f (2)＋f (4)]＝0， f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝505×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0，A 正确；对于B ，x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，且函数f (x )是周期为4的周期函数，则x ＝5是函数f (x )的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x ＝－5是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，B 正确；对于C ，函数y ＝f (x )在[－7,7]上有7个零点：分别为－6，－4，－2,0,2,4,6，C 错误；对于D ，f (x )在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，函数y ＝f (x )在[－5，－3]上为增函数，又由x ＝－5为函数f (x )图象的一条对称轴，则函数y ＝f (x )在[－7，－5]上为减函数，D 正确．。

高三数学第一轮复习 11：函数的奇偶性

高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。

奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。

2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。

[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。

模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。

（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。

（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。

（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。

（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。

苏教版高考总复习一轮数学精品课件主题二函数第三章第三节函数的奇偶性、周期性与对称性

对称
二、函数的周期性
1.周期函数：对于函数 = ，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任
+ =
何值时，都有________________，那么就称函数
= 为周期函数，称为这个函
数的周期.
最小
正
2.最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个______的____数，那么这
此时， =
4− 2
+3 −3
=
4− 2
，

∴ − = − ，∴ 是奇函数.
［对点训练1］（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( D )
A. = + sin 2B. = 2 − cos C. = 2 +
1
D.
2
= 2 + sin
= 1（答案不唯一， = cos 也符合题意）
0 = 1，则函数可以为________________________________________________.
（写出一个即可）
[解析]令 = ，则 + − = ，所以 − = ，所以函数为偶
（4）函数 = log
1 + 2 2 ± ( > 0且 ≠ 1)是奇函数.
+
log
−
自测诊断
1.已知函数 = 2 −
16
2
∈ ，则的图象() B
A.关于直线 = 2对称B.关于点 2,0 对称
C.关于直线 = 0对称D.关于原点对称
函数，可取 = ，则 + = − = = = ，所以∀, ∈ ，

江苏高考一轮复习函数的奇偶

江苏高考一轮复习函数的奇偶函数的奇偶性教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．（一）主要知识：1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．（二）主要方法：641.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；()2图象法；()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D DD =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．（三）典例分析：问题1．判断下列各函数的奇偶性：()1()(f x x =- ()2 2lg(1)()|2|2x f x x -=--；()3())f x x=；()422(0)()(0)x x xf xx x x⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩问题2．()1已知()f x是R上的奇函数，且当(0,)x∈+∞时，()(1f x x=+，则()f x的解析式为()2(04上海)设奇函数()f x[]0,5x∈时,()f x的图象如右图,则不等式(f问题3．已知函数()f x满足：()()2()()f x y f x y f x f y++-=⋅对任意的实数x、y总成立，且(1)(2)f f≠.求证：()f x为6464偶函数.问题4．()1已知函数21()log 1x f x x x-=-++，求1()2005f -1()2004f +-1()2004f +1()2005f +的值； ()2已知函数21()ax f x bx c+=+（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，求a 、b 、c 的值 .64问题5．()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则A .12()()f x f x ->- B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-()2设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围（四）巩固练习：1.已知函数2()f x axbx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=642.已知1()21xf x m =++为奇函数，则(1)f -的值为3.已知5)(357++++=dx cx bx axx f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f _______4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数64)()()(x f x f x F +=的图象关于.A x轴对称 .B y轴对称.C 原点对称.D 以上均不对5.函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f.A 是奇函数 .B 是偶函数.C 可能是奇函数也可能是偶函数.D 不是奇函数也不是偶函数64（五）课后作业：1.判断下列函数的奇偶性：()1()f x =； ()2()212()2x xf x +=；()311()212x f x =+-； ()4()3()log 132x xf x -=++；()51()log 1axf x x+=-（其中0a >，1a ≠）642.给出下列函数①cos y x x=②2sin y x=③2y x x=-④x xy e e -=-，其中是奇函数的是（） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④3.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，xx x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________4.已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =5.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么1()2f 的值为 .A.B.C.D 96.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x = ， ()g x =7.定义在)1,1(-上的函数1)(2+++=nx x m x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____8.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f .9.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。

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函数的奇偶性
教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利
用函数的奇偶性解决问题．
教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．
（一）主要知识： 1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：
()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；
()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的
单调性.
3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．
4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
（二）主要方法：
1.判断函数的奇偶性的方法：
()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；
()2图象法；
()3性质法：①设
()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域
1
2D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，
()
1()
f x f x =±-．（三）典例分析：
问题1．判断下列各函数的奇偶性：
()1 ()(f x x =- ()2 2lg(1)
()|2|2
x f x x -=--；
()3 ())f x x =； ()4 22
(0)()(0)x x x f x x x
x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩
问题2．()1已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞
时，()(1f x x =，
则()f x 的解析式为
()2(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[
5,5- ()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <
问题3．已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y
总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.
问题4．()1已知函数2
1()log 1x
f x x x
-=-++，
求1()2005f -
1()2004f +-1()2004f +1()2005f +的值； ()2已知函数21
()ax f x bx c
+=
+（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，求a 、b 、c 的值 .
问题5．()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，
若120,0x x <>，且12||||x x <，则
A .12()()f x f x ->-
B .12()()f x f x -<-
C .12()()f x f x ->-
D . 12()()f x f x -<-
()2设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，
求实数m 的取值范围
（四）巩固练习：
1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=
2.已知1
()21
x f x m =
++为奇函数，则(1)f -的值为
3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f _______
4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于
.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对
5.函数)0)(()1
22
1()(≠-+
=x x f x F x
是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f .A 是奇函数 .B 是偶函数
.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数
（五）课后作业：
1.判断下列函数的奇偶性：
()
1()f x = ()2()
2
12()2x x
f x +=
；
()311()212x
f x =
+-； ()4()3()log 132
x
x f x -=++；
()51()log 1a
x
f x x
+=-（其中0a >，1a ≠）
2.给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，
其中是奇函数的是（） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④
3.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时， )(x f 的解析式为_______________
4.已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，
4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =
5.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，那么1()2f 的值为
.A
.B .C .D 9
6.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1
()()1
f x
g x x +=
-，则()f x = ， ()g x =
7.定义在)1,1(-上的函数1
)(2
+++=
nx x m
x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____
8.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，
()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f .
9.已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
10.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当1-≤x ≤1时，3)(x x f =，()1证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴；
()2当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式
（六）走向高考：
1.已知函数1()lg
1x
f x x
-=+，若()f a b =，则()f a -=
.A b
.B b - .C
1b
.D 1b
-
2.已知函数()1
,21
x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =
3.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a =
.A 0 .B 1 .C 1- .D 1±
4.设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（）
.A ()()f x f x ⋅-是奇函数 .B ()()f x f x ⋅-是奇函数 .C ()()f x f x +-是偶函数
.D ()()f x f x --是偶函数
5.已知()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=
6.若函数21
()sin 2
f x x =-()x R ∈，则()f x 是（） .A 最小正周期为
π
2
的奇函数
.B 最小正周期为π的奇函数
.C 最小正周期为2π的偶函数
.D 最小正周期为π的偶函数
7.设函数(1)()
()x x a f x x
++=
为奇函数，则a =
8.设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a =
9.设2()lg 1f x a x ⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是
.A (10)-， .B (01)， .C (0)-∞，
.D (0)(1)-∞+∞，，
10.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =
在5x =处的切线的斜率为 .A 1
5
- .B 0
.
C 1
5
.D 5
11.设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．
()1讨论()f x 的奇偶性； ()2求 ()f x 的最小值．
12.已知函数2()a
f x x x
=+
(0x ≠，常数)a R ∈. ()1讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由
()2若()f x 在[)2,x ∈+∞上是增函数，求a 的取值范围.。

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