函数的奇偶性专题复习
函数的奇偶性专题复习
函数的奇偶性专题复习
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：
⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数；
⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质
①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，
判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；
②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
（1）x x x f 2)(3+= （2）2
432)(x x x f += （3）1)(2
3--=x x x x f
（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x
=+.
例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；
奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；
两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；
奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的6个结论.
结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。
结论3 )(x f 是任意函数，定义域关于原点对称，那么)(x f 是偶函数。
结论4 函数)()(x f x f -+是偶函数，函数)()(x f x f --是奇函数。
结论 5 已知函数)(x f 是奇函数，且)0(f 有定义，则0)0(=f 。
结论6 已知)(x f 是奇函数或偶函数，方程0)(=x f 有实根，
那么方程0)(=x f 的所有实根之和为零； 若)(x f 是定义在实数集上的奇函数，则方程0)(=x f 有奇数个实根。
五、关于函数奇偶性的简单应用（各种类型题）
1.利用定义解题
例1：已知1()21
x f x a =-+为奇函数，则a =________。 已知21()(32)()
x f x x x a +=+-为偶函数，则 ________。 2.利用奇偶性，求函数值
例2：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，求)2(f 的值
a =
x 0
y 1 x 0 y 1 x 0 y 1 x
0 y 1 （2）定义R 上单调递减的奇函数()f x 满足对任意t R ∈，若22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围.
8.利用图像解题
例8：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当
x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式()0 解是 . （2）若函数()f x 在(,0)(0,)-∞?+∞上为奇函数， 且在(0,)+∞上单调递增,(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为 . 9.利用性质选图像 例9：（1）设1a >，实数,x y 满足1||log 0a x y -=，则y 关于x 的函数的图像形状大致是（ ） A B C D （2）函数x x x x e e y e e --+=-的图象大致为 奇偶性专题训练 1.已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 2.已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．3 1=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3.如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a = 4.若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 5.若a x f x x lg 22)(--=为奇函数，则实数=a ． 6.函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 ． 7.已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 8.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x x x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b 1 9.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ） A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对 10.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0 11.下列四个函数中，是奇函数且在定义域上不是单调函数的是（ ） A ． 3y x = B ．y x = C ．1y x = D ．1()2 x y = 12.若函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 13.设函数(),() f x g x的定义域为R，且()f x是奇函数， g x是偶函数，则下列结论中正确的是（）() A．()() f是 f x g x是偶函数B．)(|)(|x g x 奇函数 C．|)(|)(x g f是奇函数D．|)()(|x g x f是 x 奇函数 14.定义在]1 -上的函数) [， 1 f y=是减函数，且是奇函数，若 (x - f a f，求实数a的范围。 a + -a )5 - 4( )1 (2> 15．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围． 16. 若f（x）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 17.设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x、y满足f（x·y）＝f（x） 专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x / ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=) 0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 ~ 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。 命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。 命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数f(x)=???∈+=∈=) ,12(,),2(,2N n n x x N n n x x 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。 命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。 此命题正确。由函数奇偶性易证。 > 命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 此命题正确。由奇函数的定义易证。 命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。 此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x)=0，则f(-x)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。 五、关于函数按奇偶性的分类 全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。 六、关于奇偶函数的图像特征 例1：已知偶函数)(x f y =在y 轴右则时的图像如图（一）试画出函数y 轴右则的图像。 函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 函数的奇偶性专题复习 函数的奇偶性专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等， 判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称； ②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3+= （2）2 432)(x x x f += （3）1)(2 3--=x x x x f （4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x =+. 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的6个结论. 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 【函数的奇偶性】专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3 += （2）2 4 32)(x x x f += (3）1 )(2 3--=x x x x f （4）2 )(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2 |2|1)(2 -+-=x x x f ； （7）2211)(x x x f -+-= （8）2 21()lg lg f x x x =+； （9）x x x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数???<≥-=) 0() 0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集） ： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0) (0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +?∈? ?≠+?????∈??+=??=???+≠≠??=+≠??==常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：1)x ????? ? ? ???? ?? ???? ?????=±????两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。 专题六 函数的奇偶性及周期性 [知识能否忆起] 一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )， 那么函数f (x )是偶函数 关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )， 那么函数f (x )是奇函数 关于原点对称 二、周期性 1．周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． [小题能否全取] 1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e x D ．y ＝ln x 2＋1 解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln (－x )2＋1＝ln x 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数． 2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－1 3 B.13 C.12 D ．－12 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3 .又f (－x )＝f (x )， 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． （2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+； （2）1()f x x x =； 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是 考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； 例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3 函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(，（2） x x x f -=3)( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 第三讲 函数的奇偶性与周期性 考点分析： 1．判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用． 复习指导： 复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题． 知识梳理：、 1、奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和（差）是奇函数，两个奇函数的积（商）是偶函数； ②两个偶函数的和（差）、积（商）都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积（商）是奇函数．一个奇函数，偶函数的和（差）是非奇非偶函数 ▲奇奇＝奇，奇×奇＝偶，偶偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 关于周期函数的常用结论： 1、若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有： 抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为 高考数学专题：函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 知识梳理 1.函数的奇偶性 2. (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.() (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.() (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.() (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错. 答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.（·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是() A.y＝x B.y＝e x C.y＝cos x D.y＝e x－e－x 解析 A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中y ＝cos x 为偶函数. D 中函数定义域为R ，又f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数. 答案 D 3.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13 B.13 C.12 D.－12 解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝1 3. 答案 B 4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝???－4x 2＋2，－1≤x <0， x ，0≤x <1，则 f ? ?? ?? 32＝________. 解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ? ????32＝f ? ???? －12， 又∵当－1≤x <0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ? ????32＝f ? ????－12＝－4×? ????－122 ＋2＝1. 答案 1 5.（·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1). 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3).∴f (－1)＝3. 答案 3 考点一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2； (3)f (x )＝? ??x 2＋x ，x <0， －x 2＋x ，x >0. x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
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