(完整)复变函数试题及答案[1],推荐文档

二．判断题（每题3分，共30分）
1．n
z z z f =)(在0=z 解析。

【 】
2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。

【 】 3．z
e z
f =)(是周期函数。

【 】
4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。

【 】 5． 设级数
∑∞
=0
n n
c
收敛，而
||0
∑∞
=n n
c
发散，则∑∞
=0
n n n z c 的收敛半径为1。

【 】
6． 1
tan()z
能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。

【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln n
z n z =成立。

【 】
8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。

【 】 9．如果u 是D 内的调和函数,则y
u i x u f ∂∂-∂∂=
是D 内的解析函数。

【 】10．
2122
3
3||||2
2
1
1
12|2(1)
1z z z z dz dz i i z z z z ππ==
=
=
==--⎰
⎰。

【 】 三．（8分）y e v px
sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。

四．（8分） 求())
2)(1(--=
z z z
z f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。

五．（8分）计算积分
dx x x x
⎰∞
+∞-++54cos 22。

六．（8分）设⎰
-++=
C
d z
z f ξξξξ1
73)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。

七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)
1.3
ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ；3. 2
3z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e 1 ；7. 3
22)
1(2
6+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()
2(1
)2(1[
21++-+++-ωπδωπδωωj j 。

二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。

三(8分) 解: 1)在2||1<<z
11000111111
()()(()())()21222n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞
+====-=--=-+--∑∑∑-----4分
2) 在1|2|z <-<∞
2
111111
()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)
2
n n n f z z z z z z z z ∞
+==+=+=+---+----+-∑--4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
]2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz
ix +-++=++⎰∞
+∞-π --------3分
)2sin 2(cos 54))2((lim 22
2i e
z z e i z i iz i z -=+++--=+-→π
π --------6分 故 2cos 254Re 254cos 222e
dx x x e dx x x x ix π
=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分 五.(8分) 解: 22371
()()C
f z d z ξξξξ++'=-⎰Ñ -------3分 由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故
i C
i d i i f +='++=+-++=+'⎰122
2|)173(2))1((1
73)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到
λ
λ
π
π
θ
--=z
a z
a
i e e
e
z f )( (映射不唯一,写出任何一个都算对)
七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:
1
3
)(3))0()(()0()0()(`2+=
--+'--s s Y y s sY y sy s Y s 代入初始条件,得3
21
13
)(2-+++=s s s s Y --------4分
)1)(3(1
)1)(3)(1(3-++-++=s s s s s 3
81185143
++-++-
=s s s
故, t
t t e e e t y 38
18543)(--++-
= ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)1.3
ln 2i k e
+-π ；2. 三级极点 ；3. 2
3z ； 4. 0 ；5. 0 ；6.
e
1
；7. 1cos 1sin - ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。

二.判断1.错；2.错；3.正确 ；4. 错 ；5.正确 ；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。

三.(8分) 解:因为y e
v px
sin =是调和函数,则有
02
222=∂∂+∂∂y
v x v ,即 0sin )1(sin sin 22=-=-y e p y e y e p px
px px 故1±=p ---------2分 1) 当 1=p 时, y e v x
sin =, 由C-R 方程, y e y v x u x cos =∂∂=∂∂, 则)(cos ),(y g y e y x u x +=, 又由 y e x
v
y g y e y u x x sin )(sin -=∂∂-='+-=∂∂，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。

则 c e z f z
+=)( ----------3分
2) 当 1-=p 时, y e v x
sin -=, 由C-R 方程, y e y v x u x cos --=∂∂=∂∂, 则)(cos ),(y g y e y x u x +-=-, 又由 y e x
v
y g y e y u x x sin )(sin =∂∂-='+=∂∂-，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。

则 c e z f z
+-=-)( 四(8分) 解: 1)在2||1<<z
11000111111
()()(()())()21222
n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞
+====-=--=-+--∑∑∑-----4分
2) 在1|2|z <-<∞
2
0)2(1)1(21)
)
211)(2(1
1(21)1211(21)(+∞
=--+-=-+-+-=+-+-=∑n n n
z z z z z z z z f -------4分
五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有
一个一级极点 -2+i, 故
]2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz
ix +-++=++⎰∞
+∞-π --------3分
)2sin 2(cos 54))2((lim 22
2i e
z z e i z i iz i z -=+++--=+-→π
π --------6分 故 2cos 254Re 254cos 222e
dx x x e dx x x x ix π
=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分
六.(8分) 解: 22371
()()C
f z d z ξξξξ++'=-⎰Ñ -------3分 由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故
i C
i d i i f +='++=+-++=+'⎰12
2
2|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ )136(2i +-=π -------8分 七. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到
λ
λ
π
π
θ
--=z
a z
a i e e e z f )( (映射不唯一,写出任何一个都算对)。