河南省周口市中英文学校2013-2014学年高二10月抽考数学试题 word版含答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个
选项中只有一项是符合题目要求的．
1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式恒成立的是( )．
A ．a 2＋b 2＞2ab
B ．a ＋b ≥2ab
C.1a ＋1b ＞2ab
D.b a ＋a b ≥2
2.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )． A ．58
B ．88
C ．143
D ．176
3.设变量x ，y 满足约束条件⎝ ⎛
x ＋2y ≥2，
2x ＋y ≤4，
4x －y ≥－1，
则目标函数z ＝3x －y 的取值
范围是( )．
A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，－1 C ．[－1,6]
D.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－6，32 4. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 的解集为( )．
A ．{x |－2＜x ＜1}
B ．{x |－1＜x ＜2}
C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫ |x x ＜1
2或x ＞2
D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
12＜x ＜2
5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千
克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A ．1800元
B ．2400元
C ．2800元
D ．3100元
6．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．0150
7．在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C ＝( )．
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．30°或150°
8．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )．
A ．3
B ．4 C.92 D.11
2
9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100
项和为( )．
A.
100101 B.99101 C.99
100
D.101
100
10．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π3，π
11．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝( )．
A ．10
B ．12
C ．15
D ．20
12. 设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )．
A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项
B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0
D ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列
二．填空题: 本大题共4小题，每小题５分，满分2０分．
13．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝1.则1a ＋1
b 的最小值为______
14． 在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4，则b ＝___
15．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π
2
＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝___
16．设二元一次不等式组⎩⎨⎧
x ＋2y －19≥0，
x －y ＋8≥0，
2x ＋y －14≤0
所表示的平面区域为M ，使函
数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是______
三．解答题:（本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）．设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)． (1)求a ，b 的值；
(2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值．
18．（本小题满分12分）► 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A ＝π
6
，(1＋3)c ＝2b . (1)求角C ；
(2)若CB →·CA
→＝1＋3，求a ，b ，c . 19．（本小题满分12分）．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1， S n ＋1＝4a n ＋2.
(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
20．（本小题满分12分）．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B
＝2c －a b .
(1)求
sin C
sin A
的值； (2)若cos B ＝1
4，b ＝2，求△ABC 的面积S .
21. （本小题满分12分）解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.
22. (本小题满分12分) ．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.
(1)设b n＝
a n
2n－1
.证明：数列{b n}是等差数列；
(2)求数列{a n}的前n项和S n.
(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1， ∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增．
∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1， 解得m ＝1±3.∵m ＜1，∴m ＝1－ 3.
18．解 (1)由(1＋3)c ＝2b ，得b c ＝12＋32＝sin B
sin C
，
则有sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π－π6－C sin C ＝sin 5π6cos C －cos 5π6sin C sin C
＝
12t a n C ＋32＝12＋32
， 得t an C ＝1，即C ＝π
4
.
19.解(1)证明 由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，
有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，
∴b 1＝a 2－2a 1＝3，由S n ＋1＝4a n ＋2，① 则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2.②
①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．
又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列，
(2)解 由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴
a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝3
4
. ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为3
4的等差数列，
∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －1
4
，
(2)由
sin C
sin A
＝2，得c ＝2a . 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝1
4，
得4＝a 2＋4a 2－4a 2×1
4，解得a ＝1，从而c ＝2.
又因为cos B ＝14，且0＜B ＜π，所以si n B ＝15
4.
因此S ＝12ac si n B ＝12×1×2×154＝15
4.
21. 解 不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，
即(ax －1)(x －2)＜0.
(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1a (x －2)＜0.
①若0＜a ＜12，则1
a ＞2，
此时不等式的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，1a ；
②若a ＝1
2，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；
③若a ＞12，则1a ＜2，此时不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ，2.
(2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．
22．：(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴
a n ＋12n ＝a n
2n －1
＋1.即有b n ＋1＝b n ＋1， 所以{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n ，从而a n ＝n ·2n －1.
S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1， ∴2S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n . 两式相减得，
S n ＝n ×2n －20－21－22－…－2n －1＝n ×2n －2n ＋1＝(n －1)2n ＋1.。