电磁场分布型问题的数值积分法

取步长 h 1 ， x 、 y 方向的网格数为 m 16, n 10 ，共有 16 10 160 个网孔， 17 11 187 个节点， 其中槽内节点（电位待求点）有 15 9 135 个，边界节点（电位已知点）有 187 135 52 个。设迭代 精度为 106 ，利用 MATLAB 编写的计算程序如下： % 用简单迭代法求矩形槽内的电位分布 hx=17; hy=11; %设置网格节点数 v1=ones(hy,hx); %设置行列二维数组 %上下两行的 Dirichlet 边界条件值 v1(hy,:)=ones(1,hx)*100; vi(1,:)=zeros(1,hx); %左右两行的 Dirichlet 边界条件值 for i=1:hy; v1(i,1)=0; v1(i,hx)=0; end v2=v1; maxt=1; t=0; %初始化 k=0 while(maxt>1e-6) %由 v1 迭代，算出 v2，迭代精度为 0.000001 k=k+1 %计算迭代次数 maxt=0; for i=2:hy-1 %从 2 到 hy-1 行循环 for j=2:hx-1 %从 2 到 hx-1 列循环 v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4; %拉普拉斯方程差分式 t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t; end
【结论】（结果） ：
12 100 80 8 60 6 40 20 0 10 15 5 5 0 0 10 -2 0 5 0 4
100V
10
0V
பைடு நூலகம்0V
2
0V
10
15
【指导教师评语及成绩】 ：
1 ( i , j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j ) ，用围绕它的四个点 4
的电位的平均值作为它的新值，当所有的点计算完后，用它们的新值代替旧值，即成了一次迭代计算。然后再进行 下一次迭代计算，直到每一点计算的新值和旧值之差小于指定的范围为止。 特点是用前一次迭代得到的网络点电位作为下一次迭代的初值。 (i, j ) 点在 n+1 次迭代后公式为
dE
dq dy 2 4 0 r 4 0 (a 2 r 2 )
方向如图所示。由于对称性，这些电荷元在 P 点产生的场强在 y 轴方向的分量大小相等，方向相反，互相抵消，所 以合场强方向的分量为零，即 dEy 0 ， E y 0 ，在 x 轴方向的分量大小为： 鲨鲨滋一———盈毽豳翟 把以上四式相加，得： 显然，在将以上四式相加的过程中， h 的所有奇次方项都抵消了。所以，上是在略去 h 及其以上的项所得到的， 其精度为 h 的二次项。 由于场中任何点 (i, j ) 都满足泊松方程 2
4 4
2 2 F ( x, y) ，式中， F ( x, y) 为场源。则上可变为： x 2 y 2
i , j ( i , j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j )
1 4
h2 F ( x, y) 4
1 ( i , j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j ) 4
北华大学开放实验报告
实验项目名称 所属课程名称 实验类型 实验日期 班 学 姓 成 级 号 名 绩
电磁场分布型问题的数值积分法 电磁场与电磁波 验证性
电子 10-1 班 27 号
【实验题目名称】 电磁场分布型问题的数值积分法 ： 【实验目的与要求】 1、了解电磁场分布型问题的数值积分法； ：
2、了解使用 Matlab 编程求解电磁场分布型问题的数值积分法。
对于无源场， F ( x, y) 0 ，则二维拉普拉斯方程的有限差分形式为： i , j
上式表示任意点的电位等于围绕它的四个等距离点的电位的平均值，距离 h 越小则结果越精确。用方程(4-19) 式可以近似求解二阶拉普拉斯方程。 简单迭代法： 1、 对某一网格点设一初值，这个初值完全可以任意给定，称为初值电位。虽然， 问题的最终结果与初值无关，但若初值选择得当，则计算步骤会得到简化 （当利用计算机来实现迭代计算时，为了简化程序，初值电位一般可取为零值） 2、 初值电位给定后，按一个固定顺序（点的顺序是从左到右，从下到上）依次计算 每点的电位，即利用 i , j
【实验环境】（所需教学仪器设备） ： 计算机，Matlab R2012a 【实验原理及方案设计】 ：
均匀带电直导线： 解析法：均匀带电细棒可以看作带电直导线处理，电荷线密度
q 。 l
取棒的中点 O 为原点，沿中垂线向右为 x 轴，沿细棒向上为 y 轴。在 x 轴上任取一点 P , P 点离 O 点的距离为 a 。 将细棒分割成无限多个线元，任取一线元 dy ，它所带电量 dq dy ， dq 在 P 点产生的场强大小为：
end end v1=v2 end subplot(1,2,1),mesh(v2) %画三维曲面图 axis([0,17,0,11,0,100]) subplot(1,2,2),contour(v2,15) %画等电位线图 hold on x=1:1:hx; y=1:1:hy; [xx,yy]=meshgrid(x,y); %形成栅格 [Gx,Gy]=gradient(v2,-0.6,-0.6); %计算梯度 quiver(xx,yy,Gx,Gy,+0.8,'r') %根据梯度数据画箭头 axis([-1.5,hx+2.5,-2,13]) %设置坐标边框 plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy,hy,1,1],'k') %画导体边框 text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11); %下标注 text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11); %上标注 text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11); %左标注 text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11); %右标注 hold off; xlswrite('场域内网格点电位的计算结果.xls',v1); 这个程序运行的结果计算是：迭代次数为 k= 222，即导体矩形槽的节点经过 222 次迭代后，电位数值 解收敛于某一固定值。场域内所划分的网格点电位的计算结果如表。
in, 1 ( in, j 1 in, j 1 in1, j in1, j ) j
1 4
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） ：
用简单迭代法求矩形槽内的电位分布：横截面为矩形的无限长槽由 3 块接地导体板构成，如图所 示，槽的盖板接直流电压 100V，求矩形槽内的电位分布。
y
b
100
提示：矩形槽内电位函数 满足拉普拉斯方程，即
0
0
O
0
a
x
2 2 0 x 2 y 2
边界条件满足 Dirichlet 边界条件：
( x, y) x0 0 ( x, y) xa 0
( x, y ) y 0 0
( x, y ) y b 1 0 0