5.5.1利用平均不等式求最大(小)值 课件(人教A版选修4-5)
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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
2019数学人教A版选修4-5优化课件：第一讲 一 不等式 3 三个正数的算术-几何平均不等式
2．已知 x，y∈R＋且 x2y＝4，试求 x＋y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值．
3 1 3 1 1 1 2 解析：∵x，y∈R＋且 x y＝4，∴x＋y＝ x＋ x＋y≥3 x y＝ 3 ×4＝3， 2 2 4 4
2
x x 当且仅当 ＝ ＝y 时等号成立． 2 2 又∵x2y＝4. ∴当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
a b c b c a 解析：(b＋ c＋a)(a＋b＋ c ) bc ac ab a2 b2 c2 ＝3＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋bc＋ca＋ab a b c 6 bc ac ab a2 b2 c2 ≥ 3＋ 6 · · · · · ＝9. a2 b2 c2 bc ca ab 当且仅当 a＝b＝c 时取等号．
[双基自测] a b c 1．已知 a，b，c 为正数，则b＋c ＋a有( A．最小值 3 C．最小值 2 )
B．最大值 3 D．最大值 2
abc b· c· a＝3，故选 A.
a b c 解析：∵a，b，c∈R＋，∴b＋c ＋a≥3
答案：A
a b c b c a 2．已知 a，b，c>0，则(b＋c ＋a)(a＋b＋c )≥____________.
3 三个正数的算术几何平均不等式
考
纲
定
位
重
难
突
破
重点：1.了解三个正数的算术－几何
1.理解定理3、定理4，会用两个定理 解决函数的最值或值域问题． 2.能运用三个正数的算术－几何平均 不等式解决简单的实际问题. 平均不等式． 2.会用平均不等式求一些特定 函数的最大(小)值． 难点：会用不等式解决实际中的应用
用平均不等式证明不等式
设 a，b，c∈R＋，求证：
人教A版高中数学选修4-5 1.1三个正数的算术-几何平均不等式c (共15张PPT)
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！ 3.三个正数的算术--几何平均数
复习：
定理1.如果 a, b R，那么 a 2 b 2 2ab
（当且仅当a b 时取“=”）
1．指出定理适用范围：a, b R
思考
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均 数与几何平均数的关系，这个不等式能否 推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的 不等式成立呢？
类比、猜想：若a,b.cR,那么
abc 3 abc,当且仅当abc时， 3
等号成立。
如果a,b,cR, 那么a3 b3 c3 3abc
等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．
加等于 定值.
当 2 x1x,x3 2时 ,yma x2 4.7
例2.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四 个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解：设剪去的小正方形的边长为x
则V 其 容1积4 为x:(V a 2 x(xa) (2 ax )22 ,(x0)xa 2)即当剪去的aa2x
4
小正方形边
1 4[4x(a2x 3)(a2x)]32 2 a37长为
a 时 ,铁 6
当且 4x 仅 a2x,当 xa 6时 ,V ma x 2 2 a37积合是的最大容 2 a 3 .
27
课
堂 1 .均 值 定 理 的 应 用 范 围 广 泛 , 要 关 注
小 变量的取值要求和等号能否成立, 还 要 注 意 它 的 变 式 的 运 用 ,如 :
复习：
定理1.如果 a, b R，那么 a 2 b 2 2ab
（当且仅当a b 时取“=”）
1．指出定理适用范围：a, b R
思考
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均 数与几何平均数的关系，这个不等式能否 推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的 不等式成立呢？
类比、猜想：若a,b.cR,那么
abc 3 abc,当且仅当abc时， 3
等号成立。
如果a,b,cR, 那么a3 b3 c3 3abc
等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．
加等于 定值.
当 2 x1x,x3 2时 ,yma x2 4.7
例2.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四 个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解：设剪去的小正方形的边长为x
则V 其 容1积4 为x:(V a 2 x(xa) (2 ax )22 ,(x0)xa 2)即当剪去的aa2x
4
小正方形边
1 4[4x(a2x 3)(a2x)]32 2 a37长为
a 时 ,铁 6
当且 4x 仅 a2x,当 xa 6时 ,V ma x 2 2 a37积合是的最大容 2 a 3 .
27
课
堂 1 .均 值 定 理 的 应 用 范 围 广 泛 , 要 关 注
小 变量的取值要求和等号能否成立, 还 要 注 意 它 的 变 式 的 运 用 ,如 :
5.1不等式的基本性质 课件(人教A版选修4-5)
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。 思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1， -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c，给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)ห้องสมุดไป่ตู้a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.
1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应 的点分别为A, B，那么, 当点A在点B的左 边时, a<b; 当点A在点B的右边时, a>b。 A a a< b B b
x
B b a>b
A a
x
2. 关于实数a, b的大小关系，有以下事实：
a b ab0 a b ab0 a b ab0
(乘法法则) (同向加)
3.不等式的基本性质:
(4) a b, c 0 ac bc; a b, c 0 ac bc
a b 0, c d 0 ac bd (同正同向乘) n n (5) a b 0 a b (n N , n 2) (乘方法则) n n (6) a b 0 a b (n N , n 2)
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
作业：P 2. 3
5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
1 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵
x 1
∴
x 1 0
1 0 x 1
1 1 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1 ∴x = x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 当且仅当 x 1 x x 1 即 x 0 时 x 1 有最小值1
（２）已知
a, b, c, d
都是正数，求证
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac bd ab cd ac bd 0 ab cd 0 2 2 (ab cd )(ac bd ) abcd 4
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
[研一题] [例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内 接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最
大的体积．
[精讲详析] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问
题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利 用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几 何平均不等式求最大值．
1 1 12 1 1 故 a ＋b ＋c ＋(a＋b＋ c) ≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋
2 2 2
2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1不等式3.三个正数的算术几何平均不等式课件新人教A版选修4_5
14
[证明] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc ＝1，
故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ab＋abbcc＋ca ＝1a＋1b＋1c. 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
15
(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) ＝24， 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
22
[解] 设圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面积为 πr2 平方米，侧面积为 2πrh 平方米．
设用料成本为 y 元，则 y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为π2， ∴πr2h＝π2， ∴rh＝21r.
16
用平均不等式求解实际问题
【例 2】如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正
中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子
边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不
亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和
电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正
比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝
5
已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值为 3
B．最大值为 3
C．最小值为 2
D．最大值为 2
A [ab＋bc＋ac≥3 3 ab×bc×ac＝3， 当且仅当ab＝bc＝ac，即 a＝b＝c 时，取等号．]
6
教材整理 2 基本不等式的推广 阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们 的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝… ＝an 时，等号成立．
2新人教A版高中数学(选修4-5)《基本不等式》ppt课件
2
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
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ymin 9
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x 下面解法是否正确？为什么？ 9 解法2：由 x 0 知 4 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 由 4 x 2 及x 0, 得x 3 , x 4 9 4 3 3 3 当x 时, ymin 12 4 18 4 9
当x
3
9 3 时, ymin 3 36 . 2
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x
下面解法是否正确？为什么？
9 解法1：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 y 4 x 2 x 3x 2 33 x 3x 2 9 x x x
小结： 利用平均值定理求函数最值. 1.(1)若n个正数的积是一个常数,那么当且 仅当这n个正数相等时,它们的和有最小值.
(2)若n个正数的和是一个常数,那么当且 仅当这n个正数相等时,它们的积有最大值. 简称：积定和最小，和定积最大． 2. 应用定理时需注意“一正二定三相等” 这三个条件缺一不可；不可直接利用定理 时，要善于转化; 分式造积定,高次造和定.
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x 9 解：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 3 3 2x 2x y 4x 2 2x 2x 2 3 3 36 2 x x x 9 9 由2 x 2 及x 0, 得x 3 x 2
练习：
3
5.若x , y R , xy 4则x 2 y的最小值是( B )
2
A、4
3 B、 4
3
C、6
D、非上述答案
6.已知a , b, c R , 且a b c 1, 则 1 1 1 9 的值不小于 _____ a b c
1 1 1 7.设M ( 1)( 1)( 1)且a b c 1(a , b, c R ), a b c 则M的取值范围是 ( D ) 1 A. 0 , 8 1 B . , 1 8 1 C . 1 , 8 D. 8 ,
补充作业
1.已知x 0, y 0, 且x y 1, 求x y的最大值;
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y 2 2.已知x, y 0, 且x 1, 求x 1 y 的最大值. 4
2
2
9 9 1 y 4 x 2 2 4 x 2 12 x x x
1. 若n个正数的积是一个常数,那么当且仅 当这n个正数相等时,它们的和有最小值. 简称：积定和最小
2. 应用定理时需注意 “一正二定三相等” 这三个条件缺一不可;不可直接利用定理时， 要善于转化; 分式函数造积定的策略:均分.
1 例2 求函数f ( x ) x (1 3 x ) , x [0, ] 的最大值. 3
2
1. 若n个正数的和是一个常数,那么当且 仅当这n个正数相等时,它们的积有最大值.
简称：和定积最大 2. 高次函数造和定
3 36 3 2 2 1.函数y 2 x ( x 0)的最小值为 ____ . x 16 2 2.函数y 4 x 2 的最小值是 ____ 8 2 ( x 1) 1 3 3.若a , b R 且a b, 则a 最小值为 __ (a - b)b 4 2 4.函数y x (2 x )(0 x 2)的最大值是 （ D） 32 16 A、0 B、1 C、 27 D、27