高考

广东省揭阳市2013届高中毕业班第二次高考模拟考试试题数学(文科)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数12x y =-的定义域为A.[0,)+∞B.(,0]-∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞ 2．若12(1)ai bi i +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi +=A ．12i + B ．5C ．52D ．543．已知点A (1,5)-和向量a =（2,3），若3AB a =，则点B 的坐标为A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5，14) 4．设函数()f x =cos(2)3cos()2x x ππ-+-，则函数的最小正周期为A.2πB.πC.2πD.4π 5．以椭圆22143x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为A. 2213y x -=B.2213y x -=C. 22143x y -=D. 22134x y -= 6．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若129m a a a a =+++ ，则m 的值为 A ．37B ．36C ．20D ．197．设定义在[-1，7]上的函数()y f x =的图象如图（1）示， 则关于函数1()y f x =的单调区间表述正确的是 图（1） A.在[-1,1]上单调递减 B.在(0,1]单调[1,3)上单调递增；C.在[5,7]上单调递减D.在[3, 5]上单调递增8. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(2)示，则该几何体的体积为A.7B.223 C.476 D.233图（2）俯视图侧视图正视图9.若直线10ax by -+=平分圆22:2410C x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围是 A.1(,]4-∞ B.1(,]8-∞ C.1(0,]4 D.1(0,]810．已知点(,)P x y 满足01,0 2.x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（9－13题）11．若点(,1)a -在函数13log y x =的图象上，则4tanaπ的值为 ． 12．已知函数()4||21f x a x a =-+．若命题：“0(0,1)x ∃∈，使0()0f x =”是真命题，则实数a 的取值范围为 . 13．对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合A ，B ，定义集合{()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,12}B =，则用列举法写出集合A B ∆的结果为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线过圆C ：22cos()4πρθ=-的圆心C ，且与直线OC 垂直，则直线的极坐标方程为 ． 15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）示，,C D 是半圆周上的两 个三等分点，直径4AB =，CE AB ⊥，垂足为E ，BD 与 CE 相交于点F ，则BF 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数12sin(2)4()cos x f x xπ--=， （1）求函数()f x 的定义域；（2）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值．17. （本小题满分12分）图 3FE DC BAo某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试， 规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90 分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有100人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图（4）.(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这100名学生测试 的平均成绩；(3)现在成绩[110,130)、[130,150] （单位：分） 的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到 高编号为12345,,,,A A A A A ，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130,150]的概率．18．（本小题满分14分）数列{}n a 中，13a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为的等比数列．（1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式．19．（本小题满分14分） 如图（5），已知三棱柱BCF-ADE 的侧面CFED 与ABFE 都是边长 为1的正方形，M 、N 两点分别在AF 和CE 上，且AM=EN ．（1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ； （2）求证： MN//平面BCF ；（3）若点N 为EC 的中点，点P 为EF 上的动点，试求PA+PN 的最小值．1500.0170(分数)0.0065130110907050300.00450.0050频率/组距0.00300.0140图（5）MN F DCBAE20. （本小题满分14分）如图(6)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为，焦点为F ， 圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点作倾斜角 为3π的直线t ，交于点A ，交圆M 于点B,且||||2AO OB ==．（1）求圆M 和抛物线C 的方程；（2）试探究抛物线C 上是否存在两点Q P ,关于直线 图（6）()():10m y k x k =-≠对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln f x ax x =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）当18a =时，证明：方程2()()3f x f =在区间（2，+∞）上有唯一解； （3）若存在均属于区间[1，3]的,αβ且1βα-≥，使()f α=()f β， 证明：ln 3ln 2ln 253a -≤≤．tlyXO MFBA揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明一．选择题：BCDCB ABDBB 解析：2．由12(1)ai bi i +=-得1,12a b ⇒==225||2a bi ab ⇒+=+=,选C ， 3．设(,)B x y ，由3AB a = 得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D4．函数()2sin()6f x x π=+，故其最小正周期为2π，故选C.6．由129m a a a a =+++ 得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ． 7. 函数1()y f x =当x=0，x=3，x=6时无定义，故排除A 、C 、D ，选B. 8．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为. 3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.9．依题意知直线10ax by -+=过圆C 的圆心（-1,2），即 21a b +=，由112228a b ab ab =+≥⇒≤，故选B.10．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.故选B. 二．填空题：11.3;12. 12a >(或1(,)2a ∈+∞)；13. {1，6，10，12}；14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()24πρθ-=）；15.233解析：11．依题意得3a =，则4tana π=4tan 3π=3。

12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >.13．要使()()1A B f x f x ⋅=-，必有{|x x x A ∈∈且}x B ∉⋃ {|x x B ∈且}x A ∉={1，6，10，12，16} ，所以A B ∆={1，6，10，12}2u=2-1v=u-1v=u 12o vu14．把22cos()4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()24πρθ-=.15.依题意知30DBA ∠= ,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以233BF =. 三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠，解得,2x k k Z ππ≠+∈，------2分即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵12sin(2)4()cos x f x xπ--=2212(sin 2cos 2)22cos x x x --=1cos 2sin 2cos x x x+-=--------6分 22cos 2sin cos cos x x xx-= 2(cos sin )x x =-----------------------8分由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+= ∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=-------------------------10分∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．---------------------------------------------------12分17.解： (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为：100×(0.0050＋0.0045＋0.0030)×20＝25人．----------------3分 (2)设100名学生的平均成绩为x ，则x ＝[30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0045＋130＋1502×0.0030]×20＝78.4分．------------------------------------6分 (3) 成绩在[110,130)的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在[130,150)的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在[130,150)中抽取615×5=2人，从成绩在[110,130)中抽取915×5=3人，故45,[130,150)A A ∈，----------------------------------8分从12345,,,,A A A A A 中任取两人，共有1213141523(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A A A A A A2425343545(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A A A A 十种不同的情况，-----------10分其中含有45,A A 的共有7种，所以至少有1人的成绩在[130,150)的概率为710．-----12分18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分 ∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， --------------------------------3分 解得0c =或3c =． --------------------------------4分 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．-------------------------------6分 （2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-，-------------8分1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=L ． -------------------------------10分又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+= ，，．------------------12分 当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．--------------------------------14分19．解：（1）∵四边形CFED 与ABFE 都是正方形∴,,EF DE EF AE ⊥⊥又DE EA E = , ∴EF ⊥平面ADE ，---------------2分 又∵//EF AB ，∴AB ⊥平面ADE∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE-------------------------4分 （2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分 ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF===∴11MM NN =--------------------------------7分 ∴四边形11MNN M 为平行四边形，---------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面----------10分[法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FGNE MA GE== //NG CF ∴-----------------------------------------------------------6分N 1M 1E A BC DFNMGEABCDFNM,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，------------7分同理可证得//MG BCF 面，又MG NG G = , ∴平面MNG//平面BCF--------9分 ∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面．--------------------------------------------10分] （3）如图将平面EFCD 绕EF 旋转到与ABFE 在同一平面内，则当点A 、P 、N 在同一直线上时，PA+PN 最小，------------------------------------11分 在△AEN 中，∵2135,1,2AEN AE NE ∠===由余弦定理得2222cos135AN AE EN AE EN =+-⋅ ，------13分 ∴102AN =即min 10()2PA PN +=．-----------------------14分 20. 解：(1)∵1cos 602122p OA ==⨯= ，即2p =， ∴所求抛物线的方程为24y x = --------------------------------3分∴设圆的半径为r ，则122cos 60OB r =⋅= ，∴圆的方程为22(2)4x y -+=.--------------6分(2) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D ----------------------7分 ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上，∴2233444,4y x y x ==-----------------------8分两式相减得：()()()3434344y y y y x x -+=---------------------------------9分∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--，∴02y k =------------------------11分∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上∴010x =-<，点()00,y x D 在抛物线外--------------------------------13分 ∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. --------------------------14分21．解：（1）函数()f x 的定义域(0,)+∞ ，2121()2ax f x ax x x-'=-= -------------2分0a > 令()0f x '>得：22ax a >，令()0f x '<得：202a x a <<----------4分 ∴函数()f x 的单调递减区间为2(0,)2a a ，单调递增区间为2(,)2aa+∞-------------5分（2）证明：当18a =时，21()ln 8f x x x =-，由（1）知()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞，--------------------------------------------6分P NCFBAED令2()()()3g x f x f =-，则()g x 在区间(2,)+∞单调递增且42212(2)(2)()0,()2ln 038183e g f f g e =-<=--+>，-----------------8分∴方程2()()3f x f =在区间（2，+∞）上有唯一解．----------------------9分（注：检验()g x 的函数值异号的点选取并不唯一）（3）证明：由()()f f αβ=及（1）的结论知22aaαβ<<，-------------10分 从而()f x 在[,]αβ上的最大值为()f α（或()f β），---------------------11分 又由1,,[1,3],βααβ-≥∈知12 3.αβ≤≤≤≤--------------------------12分故(1)()(2)(3)()(2)f f f f f f αβ≥≥⎧⎨≥≥⎩，即4ln 29ln 34ln 2a a a a ≥-⎧⎨-≥-⎩-----------------------13分从而ln 3ln 2ln 253a -≤≤．--------------------------------------------14分。