人教版 八年级上数学竞赛题
人教版 八年级数学上册 竞赛专题分式方程(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________． （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解． 例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=． 于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 － 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。
人教版数学八年级上册竞赛训练试卷八附参考答案
八年级数学比赛试卷（8）1．已知x 13 ，那么多项式 x 3 x 2 7x 5 的值是（）xA．11 B．9 C． 7 D．52．设 P 是质数，如有整数对（ a，b）知足a b (a)2P，则这样的整数对b，（）（a b）共有A．3 对B．4 对C．5 对D．6 对3．骰子相对两面上的数字和为 7，现同时掷出7 颗骰子后，向上7 个面上数字的≠10）的概率相等，那么 a 等于和是 10 的概率与向下 7 个面的数的和是 a（a（）A．7B．9C．19D．394．如图在四边形ABCD中，∠ DAB=∠BCD=90°，AB=AD，若这个四边形的面积是 10，则 BC+CD等于A．4 5B．2 10CD（）C．4 6 D．8 2A B1 5．线段y a （≤ x ≤，），当a的值由- 1增添到2时，该线段运动所经2 x1 3过的平面地区的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．106．5 个足球队进行循环赛，规定胜一场得 3 分，输一场得 0 分，平手各得 1 分．比赛结果， 4 个球队分别获取 1 分、 4 分、 7 分、 8 分，那么第 5 个球队起码获取分．7．如图△ ABC中，∠A=96°，延伸BC到 D，∠ ABC的均分线与∠ACD的均分线交于点 A1，∠ 1 的均分线与∠ 1 的均分线交于点2，以此类推，∠ 4 的A BC A CD A A BC均分线与∠A4 的均分线交于点5，则∠ 5 的大小是．CD A A8．如图，一个正三角形被切割成9 个小正三角形，把91 到 99 这九个数分别填入此中，并使与原三角形每边相邻的 5 个小三角形内的数之和均相等，这个和的最大值是．C B1A AA2 E B C D D AF 第 7 题第 8 题第 9 题9．如图，正方形ABCD的边长为 a， E 是 AB 的中点， CF均分∠DCE，交 AD 于 F，则 AF的长为．10．某种运动鞋进价是不超出200 元的整元数，按150%订价，节日优惠销售打9折，交易金额满 1000 元返还 60 元．那么，每笔交易起码双，店家每双能赢利45 元．11．一只猴子在一架共有n 级的梯子爬上爬下，每次或许上涨 18 级，或许降落 10 级．假如它能从地面爬到最上边的一级，而后再回到地面． n 的最小值是多少？12．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，边的地点，作∠ACE=12°，交 BD 于点 E，连接请说明原因．B AC 绕点 A 逆时针旋转 60°，至 AD AE．试判断△ AEC是什么三角形？DAEC13．如图 1，在一个 7×7的正方形 ABCD网格中，实线将它切割成 5 块，再把这 5 块拼成如图 2，中间会出现一个小孔，假如正方形 ABCD的边长为 a，试计算图2 中小孔的面积．A DB C图1图214．某市对电话费作了调整，原市话费为每3 分钟0.2 元（不足3 分钟按3 分钟计算）．调整后，前 3 分钟为 0.2 元，此后每分钟加收 0.1 元（不足 1 分钟按 1 分钟计算）．设通话时间 x 分钟时，调整前的话费为 y1元，调整后的话费为 y2元．（1）当 x=4，4.3，5.8 时，计算对应的话费值y1、 y2各为多少，并指出x 在什么范围取值时， y1≤ y2；（2）当 x=m（ m＞5，m 为常数）时，设计一种通话方案，使所需话费最小．八年级数学比赛试卷（8）答案一．选择题（每题 6 分，共 30 分）1． C 2． D 3． D 4．B 5． A二．填空题(每题 6 分，共 30 分)6．5 7．3 度8．478 9．35 a 10．8三．解答题（每題15 分，共 60 分）211．解： n=26 6 分猴子每次爬行后所处的地点（在梯子中的第几级）18,8,26,16,6,24,14,4,22,12,2,20,10,0 15 分12．△ AEC 是等腰三角形1 分连 CD ， ∵ AC 绕点 A 逆时针旋转 60°至 AD 的地点，∴ AD=AC ，∠ CAD=60°则△ ACD 是等边三角形， 5 分 ∴∠ ECD=72°， 7 分∵ AB=AC ，∠ BAC=36°，∴∠ BAC=108°， 9 分∴∠ DAB=168°，∴∠ ABD=∠ADB=6° 11 分∴∠ EDC=54°而∠ CED=180°-∠ EDC-∠ DCE=54° 13 分 ∴ CE=CD=AC 15 分即△ AEC 是等腰三角形13．解：1 a2 1 分49如图，连接 AE ，则S AEF1 2a 4a2 7 7S AED S ADF S AEF ∴GE=6a49∴EM=GM-GE=36a49∴小孔面积S=a(27 a491a 24a 2493a 2498 分36 a) a 2 15 分4914．解：（ 1）当 x=4 时， y 1=0.4， y 2=0.31 分 当 x=4.3 时， y 1=0.4， y 2=0.42 分 当 x=5.8 时， y 1=0.4， y 2=0.53 分 当 0＜ x ≤3 或 x ＞4 时， y 1≤ y 26 分（ 2）参照方案：设 n ≥ 2 且 n 是正整数，通话 m 分钟所需话费为 y 元，①当 3n-1 ＜ m ≤ 3n 时，使所需话费最小的通话方案是：分 n 次拨打，此中（ n-1 ）次每次通话 3 分钟，一次通话（ m-3n+3）分钟， 9 分最小话费是 y=0.2n②当 3n ＜ m ≤ 3n+1 时，使所需话费最小的通话方案是：分 n 次拨打，此中（ n-1 ）次每次通话 3 分钟，一次通话（ m-3n+3）分钟， 12 分最小话费是 y=0.2(n-1)+0.3=0.2n+0.1 ③当 3n+1＜ m ≤ 3n+2 时，使所需话费最小的通话方案是：分 n 次拨打，此中（ n-2 ）次每次通话 3 分钟，一次通话 4 分钟，一次通话（ m-3n+2）分钟，15 分最小话费是y=0.2(n-2)+0.6=0.2n+0.2 （注：其余切合要求的方案相应给分）。
人教版 八年级上册数学 竞赛专题：多边形的边和角(含答案)
人教版 八年级数学 竞赛专题：多边形的边与角（含答案）【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n 的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【例3】凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值．【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？M D EF GH能力训练A 级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11B ．12C ．13D ．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角． A ．5个B ．5个或3个C ．5个或3个或4个D ．4个8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．不能确定9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．AB CDA BDEF G第3题AB CD24x第4题第7题A B CD E FG第1题ABCD第2题10．—个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n 的值．11．平面上有A ，B ，C ，D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°．12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．B 级1．一个正m 边形恰好被正n 边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m ＝4，n ＝8的情况），若m ＝10，则n ＝＿＿＿＿．第1题A BCD EF 第2题1A 1B 2A 2B 3B 45B 3A 4A 5A 第3题2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，F A -CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝4BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（ ） A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．不能确定5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） A ．12B ．12或13C ．14D ．14或157．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．ABCD第4题OABCD第5题9．设有一个边长为1的正三角形，记作A 1如下左图，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A 2（如下中图）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如下右图）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，求A 4的周长．10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．参考答案例1 5 7 例2 B例3 n ＝17 提示：设此角为x ，则（n －2）×180°＝x ＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，x ＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为1A 2A 3A(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH都是等腰直角三角形.设GH ＝x ，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP ，∴67y +=++，∴3y =∵MN ＝QP ，∴x ＝3＋7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋3＝32.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜x ＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面. ⑵⑶略. B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为x ,y ,z ,w ,则116090120150(112)180x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得x =y =0,z =1,w =10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略. 8.n =324 9.649提示：从A 1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍.10.(1)108°;120°;()02180n n-⨯ (2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k 块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则()02180360nkn-⨯=g即24222nkn n==+--.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。
人教版初二数学竞赛试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. -2.5B. 3/4C. √16D. √22. 下列各式中，正确的是（）A. a + b = b + aB. a - b = b - aC. a × b = b × aD. a ÷ b = b ÷ a3. 若x² - 3x + 2 = 0，则x的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 1和34. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的面积为（）A. 24B. 32C. 36D. 405. 若a、b、c、d为等差数列，且a + b + c + d = 24，则d的值为（）A. 6C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知一元二次方程x² - 5x + 6 = 0，则其因式分解为______。
7. 若等边三角形的一边长为a，则其面积为______。
8. 若x + 1/x = 5，则x² + 1的值为______。
9. 若等差数列的第一项为a₁，公差为d，则第n项为______。
10. 若a、b、c、d为等比数列，且a + b + c + d = 16，则d的值为______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （10分）已知一元二次方程x² - 4x + 3 = 0，求：（1）方程的解；（2）方程的判别式。
12. （15分）已知等腰三角形底边长为8，腰长为10，求：（1）该三角形的周长；（2）该三角形的面积。
13. （15分）已知等差数列的第一项为3，公差为2，求：（1）该数列的前10项和；（2）该数列的第n项。
答案：一、选择题1. D2. A4. B5. D二、填空题6. (x - 3)(x - 1)7. (√3/4)a²8. 269. a₁ + (n - 1)d10. 2三、解答题11. （1）x₁ = 1，x₂ = 3；（2）判别式为Δ = 16 - 4×3×1 = 4。
八年级(上)数学竞赛试题及答案(新人教版)
一、精心填一填（本题共 10题，每题3分，共30分） 1. 函数y= JT 万中，字母a 的取值范围是 ______________ 2. 如图1, 3. 计算:4、写出一个图象经过点（-1,-1）,且不经过第一象限的函数表达式5. 已知点P 1 （a-1 , 5）和P 2 （2, b-1 ）关于x 轴对称，则（a+b ） 2005的值为6. 如图2,A ABC 中边AB 的垂直平分线分别交 BC AB 于点D 、E , AE=3cm △ ADC?勺周长为9cm 则厶ABC 的周长是 ________________7. 如图 3, AE = AF , AB = AC, / A = 60°,/ B = 24°，则/ BOC= ___________ . 8.如图4,在厶ABC 中，AB=AC / A=36°, BD CE 分别为/ ABC 与/ ACB 的角平分线，且相交于点 F ,贝U 图中的等腰三角形有 个。
9 •如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数11 12 19*31 =10•如图5所示，圆的周长为 4个单位长度，在圆的4等分点处标上0, 1, 2, 应的数与数轴上的数一1所对应的点重合， 将与圆周上的数字 __________ 重合./戴尊7 *J)八年级（上）数学竞赛试卷考试时间：100分钟总分：100分/仁/ 2,由AAS 判定△ ABD^A ACD 则需添加的条件 20072-2006 X 2008=3 •先让圆周上数字0所对 那么数轴上的数一2007 再让数轴按逆时针方向绕在该圆上, 、相信你一定能选对！ 下列各式成立的是（ a-b+c=a- a-b-c=a- 已知一次函数 （A ） x > 0 11.A C 12. (b+c ) (b+c ) （本题共 ） B 6题，每题 图 53分，共18分）.a+b-c=a- (b-c ) .a-b+c-d= (a+c ) - (b-d ) y=kx+b 的图象(如图6),当y v 0时，x 的取值范围是()(B ) x v 0(C ) x v 1( D ) x > 1图3图6图713.在厶ABC 中，/ B =Z 。
人教版八年级上册数学竞赛
雷州五中八年级数学竞赛（满分100分，时间：45分钟） 班级 姓名 成绩一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1、△ABC 的内角为∠A ，∠B ，∠C ，且∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠A+∠C ，则∠1、∠2、∠3中( )A ．至少有一个锐角 ；B ．一定都是钝角；C ．至少有两个钝角；D ．可以有两个直角2.周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( )A ．23P m P <≤B ．23P m P <<C ．23P m P ≤<D ．23P m P ≤≤3．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．直角或钝角三角形5、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=130°，将它向右平移到△DEF 的位置，使AB=BE ，若BD 和AF 相交于点M ，则∠BMF 等于( )A ．130°B ．142.5°C ．150°D ．155°第5题图6．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC=CE ，∠1＝∠2＝∠3，则DE 的长等于( )A ．DCB ． BC C ．ABD ．AE+AC7．如图，AB ∥CD ，AC ∥DB ，AD 与BC 交于O ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，那么图中全等的三角形有( )A ．5对B ．6对C ． 7对D ．8对第7题图 第8题图8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠C 的平分线与∠B 的外角平分线交于E 点，连结AE ，则∠AEB 是( )A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°9. 附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（）A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF10．考查下列命题( )(1)全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；(2)两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；(3)两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；(4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )A．4个 B．3个 C． 2个 D．1个二、填空题（共5题，每题4分，共20分）11、若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是．12、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a的取值范围是．13、如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上的高，且AB= A′B′，AD＝A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件) ． (黑龙江省中考题)第13题图14、如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，则∠DCE ＝． (用α、β表示)第14题图 第15题图15、.如图，在.面直角坐标系中，已知点A （4-，0），B （0，3），对AOB ∆连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是_______________，第（2016）个三角形的直角顶点坐标是____________________三、解答题（共3题，共40分）16、（10分）如图，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交B C 延长线于M ，求证：∠M=21（∠ACB －∠B ）17、（10分）如图，已知在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 上截取BD = AC ，在CF 的延长线上截取CG = AB ，连结AD 、AG ，则AG 与AD 有何关系？试证明你的结论．18（20分）(1)如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m , CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .证明:DE =BD +CE .(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ,若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状.A B C E （图1） （图2） （图3） m A B C DE。
人教版2022-2023学年八年级数学上册竞赛试卷
人教版2022-2023学年度第一学期八年级数学竞 赛 试 卷班级： . 姓名 .一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）1．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．1cm 、2cm 、3cmB ．1cm 、4cm 、2cmC ．2cm 、3cm 、4cmD ．6cm 、2cm 、3cm2．下列计算正确的是( )A. a 2+a 3=a 5B. a 2⋅a 3=a 6C. a 6÷a 3=a 3D. (a 3)2=a 93．如图，在△ABC 中，∠B+∠C=100°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是（ ）4．计算(23)2003×(1.5)2002×(−1)2002的结果是（ ） A ．23 B ．32 C ．﹣23 D ．﹣325．等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是（ ）A ．30°B ．100°或40°C ．40°D ．80°6．计算(1-a )(a +1)的结果正确的是( )A. a 2+1B. 1-a 2C. a 2-2a -1D. a 2-2a +17．若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值等于（ ）A ．3B ．﹣5C ．﹣7或1D ．7或﹣18．如图，点A 、B 、C 在同一条直线上，△ABD 、△BCE 均为等边三角形，连接AE 和CD ，AE 分别交CD 、BD 于点M 、P ，CD 交BE 于点Q ，连接PQ ，BM 、下列结论： ①△ABE ≌△DBC ；②∠DMA=60°；③△BPQ 为等边三角形；④PQ=BM ，其中结论不一定成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 A ．30° B ．40°C ．50°D ．60°二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）9．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 ．10．如图，AB=AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．11．已知点（a ﹣1，3）与点（2，b+3）关于y 轴对称，则（a+b ）2018= ．12．如图，AD ∥BC ，BG ，AG 分别平分∠ABC 与∠BAD ，GH ⊥AB ，HG=5，则AD 与BC 之间的距离是 ．13．若x+4y=3，则2x •16y 的值为 ．14．如图，三角形纸片ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，BC =16，折叠纸片，使点C 和点A 重合，折痕与AC ，BC 交于点D 和点E ，则折痕DE 的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共52分）15．（9分）在实数范围内分解因式：（1）x （x ﹣10）+25 （2）（x 2﹣3）2﹣2（x 2﹣3）+1（3）2ax 4﹣8ay 416．（12分）计算： （1）（p ﹣6q ）（p 2+pq+q 2）（3）（x+2）2﹣（x+1）（x ﹣1）第10题 第12题 第14题 （2）(−1)2018−(√5−1)0+√(−2)2+(13)−117．（5分）已知a﹣b=10，ab=20，求下列代数式的值：（1）a2+b2；（2）（a+b）2．18．（5分）先化简：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，再求值．其中x=﹣1，y=﹣2017．19．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE、CD 相交于点F，连接AF．求证：(1)△AEB≌△ADC；(2)AF平分∠BAC．20．（7分）（1）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：BD=DE﹣CE；（2）上题中，变成如图，B，C在AE的异侧时，BD，DE，CE关系如何？并加以证明．21．（8分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）求证：BD=AE；（2）若△ACB不动，把△DCE绕点C旋转到使点D落在AB边上，如图2所示，问上述结论还成立吗？若成立，给予证明．。
八年级(上)数学竞赛试卷(解析版)
八年级（上）数学竞赛试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：点的坐标．分析：应先判断出所求点P的横坐标、纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．解答：解：∵点P（﹣1，2）的横坐标﹣1＜0，纵坐标2＞0，∴点P在第二象限．故选：B．点评：本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．（3分）下列语句是命题的是（）A．作直线AB的平行线B．在线段AB上取一点CC．同角的余角相等D．垂线段最短是吗？考点：命题与定理．分析：根据命题的定义分别进行判断．解答：解：作直线AB的平行线；在线段AB上取一点C，它们为描叙性语言，不是命题；垂线段最短吗？它是疑问句，不是命题；同角的余角相等是命题．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．3．（3分）满足不等式3x﹣5＞﹣1的最小整数是（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．3考点：一元一次不等式的整数解．分析：首先解不等式3x﹣5＞﹣1，求得解集，即可确定不等式的最小整数解．解答：解：解不等式3x﹣5＞﹣1，移项得：3x＞﹣1+5，则3x＞4，∴x＞，则最小的整数是2，故选C．点评：本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．4．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C． 5 D．6考点：勾股定理的证明．分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．解答：解：过D点作DE⊥BC于E．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD===3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选：A．点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质．5．（3分）下列判断正确的是（）A．顶角相等的两个等腰三角形全等B．有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等C．腰相等的两个等腰三角形全等D．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．专题：推理填空题．分析：举出反例图形，根据图形即可判断A、C；如果是直角边和斜边相等，即可判断B；根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠E，根据全等三角形的判断AAS即可判断D．解答：解：A、如图：等腰△ABC和△DEF，∠A=∠D，但两三角形不全等，故本选项错误；B、△ABC和△DEF，∠C=∠F=90°，BC=ED，∠A=∠D，但△ABC和△DEF不全等，故本选项错误；C、如图：△ABC和△DEF，AB=AC，DE=DF，AB=DE，但△ABC和△DEF不全等，故本选项错误；D、∵△ABC和△DEF，AB=AC，DE=DF，BC=EF，∠A=∠D，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A），∠E=∠F=（180°﹣∠D），∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和全等三角形的性质和判定等知识点的运用，解此题的关键是熟练地运用定理进行推理，难度不大，题型较好．6．（3分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100°B．120°C．20°或120°D．36°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题：分类讨论．分析：本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．解答：解：设两内角的度数为x、4x；当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选C．点评：此题是一个两解问题，考生往往只选A或B，而忽视了20°或120°都有做顶角的可能．7．（3分）根据下列条件判断，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5B．a=30，b=60，c=90C．a=1，b=，c=D．a：b：c=5：12：13考点：勾股定理的逆定理．分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解答：解：A、（3）2+（4）2=（5）2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；B、302+602=4500≠902，故不是直角三角形，故本选项符合题意；C、12+（）2=（）2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；D、52+122=132，故是直角三角形，故本选项不符合题意．故选B．点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．（3分）已知点P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（）A．72013B．﹣1 C．1D．（﹣3）2013考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：∵点P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，∴a﹣1=2，b=﹣4，解得a=3，b=﹣4，∴（a+b）2013=（3﹣4）2013=﹣1．故选B．点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．9．（3分）下列判断正确的是（）A．若|﹣a|＜|﹣b|，则a＞b B．若a＜0，则2a＜aC．若a≠b，则a2一定不等于b2D．若a＞0，且（1﹣b）a＜0，则b＜1考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质分别判断得出即可．解答：解：A、若|﹣a|＜|﹣b|，则当a，b为负数时，a＜b，故此选项错误；B、若a＜0，则2a＜a，根据负数的性质得出，此选项正确；C、若a≠b，则a2不一定不等于b2，故此选项错误；D、若a＞0，且（1﹣b）a＜0，则1﹣b＜0，则b＞1，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了不等式的性质，熟练根据不等式的性质举出反例是解题关键．10．（3分）已知点E，F，A，B在直线l上，正方形EFGH从如图所示的位置出发，沿直线l向右匀速运动，直到EH与BC重合．运动过程中正方形EFGH与正方形ABCD重合部分的面积S随时间t变化的图象大致是（）A B C D考点：动点问题的函数图象．专题：应用题；分类讨论．分析：本题是小正方形向大正方形中平移，分四段进行讨论，①GF在AD左边，②EF 在AD右边，且HE在AD左边，③正方形EFGH在正方形ABCD的内部，④EF在BC右边，且HE在BC左边；分别讨论其面积关系，易得答案．解答：解：根据题意可知，分四种情况讨论，①GF在AD左边，重合部分的面积S为0；②EF在AD右边，且HE在AD左边，重合部分的面积S逐渐增大；③正方形EFGH在正方形ABCD的内部，重合部分的面积S不变；④EF在BC右边，且HE在BC左边；重合部分的面积S逐渐减小，且与第②变化对称；故答案为C．点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，在本题中只要根据题意得到重合面积大小变化的规律即可．11．（3分）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：两条直线相交或平行问题．分析：根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．解答：解：∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，∴k＜0；故①正确∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴，∴a＜0；当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，∴y1＞y2，故②③错误．故选：B．点评：本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．12．（3分）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则下列说法正确的个数是（）①DC′平分∠BDE；②BC长为（+2）a；③△BCD是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．A．①②③B．②④C．②③④D．③④考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断各式正误即可．解答：解：∵∠BDC′=22.5°，∠C′DE=45°，∴①错误；根据折叠的性质知，△C′ED≌△CED，且都是等腰直角三角形，∴∠DC′E=∠DCE=45°，C′E=CE=DE=AD=a，CD=DC′=a，∴AC=a+a，BC=AC=（+2a）a，∴②正确；∵∠ABC=2∠DBC，∴∠DBC=22.5°，∵∠DCB=45°，∴∠BDC=112.5°，∴△BCD不是等腰三角形，故③错误；∴△CED的周长=CE+DE+CD=CE+C′E+BC′=BC，故④正确．故选B．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）用不等式表示a与3的和的5倍不小于6：5（a+3）≥6．考点：由实际问题抽象出一元一次不等式．分析：a与3的和为a+3，不小于即大于等于，据此列出不等式．解答：解：由题意得，5（a+3）≥6．故答案为：5（a+3）≥6．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．14．（3分）一个长方形的周长为20，一边长为x，则它的另一边长y为关于x的函数解析式为y=10﹣x（0＜x＜10）．考点：根据实际问题列一次函数关系式．分析：先设出长方形的另一条边长，再根据长方形的周长公式即可求出x关于y的函数解析式；再根据长方形的边长一定为正数即可求出x的取值范围．解答：解：设长方形的另一条边长为y，则y=，即y=10﹣x，∵y＞0，∴10﹣x＞0，x＜10，∵x＞0，∴0＜x＜10．∴y关于x的函数解析式是y=10﹣x；x的取值范围是0＜x＜10．故答案为：y=10﹣x（0＜x＜10）．点评：本题考查的是长方形的周长公式，即周长=长+宽，需要注意的是长方形的边长均为正数．15．（3分）若关于x的不等式组有解，则写出符合条件的一个a的值0．考点：解一元一次不等式组．专题：开放型．分析：先分别解的两个不等式得到x≥﹣a和x＜1，由于原不等式组有解，则﹣a＜1，解得a＞﹣1，然后在此范围内取一值即可．解答：解：，解①得x≥﹣a，解②得x＜1，∵不等式组有解，∴﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a可以取0．故答案为0．点评：本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．16．（3分）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为﹣．考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：将点（3，5）代入直线解析式，可得出b﹣5的值，继而代入可得出答案．解答：解：∵点（3，5）在直线y=ax+b上，∴5=3a+b，∴b﹣5=﹣3a，则==．故答案为：﹣．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意直线上点的坐标满足直线解析式．17．（3分）把点M（﹣10，1）沿y轴正方向平移4个单位，则所得的像点M1的坐标是（﹣10，5）．考点：坐标与图形变化－平移．分析：根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减进行计算即可．解答：解：点M（﹣10，1）沿y轴正方向平移4个单位，则所得的像点M1的坐标是（﹣10，1+4），即（﹣10，5），故答案为：（﹣10，5）．点评：此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的平移中，坐标的变化规律．18．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=30°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．解答：解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°，∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故答案为：30．点评：本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．19．（3分）下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是76．考点：勾股定理．分析：通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．解答：解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．∵∠BCD=90°∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2∴BD=13∴AD+BD=6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．故答案为：76．点评：本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．20．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE 沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为6cm．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，根据折叠的性质，即可得AD=A′D，AE=A′E，又由等边三角形ABC的边长为2cm，易得阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC，则可求得答案．解答：解：∵等边三角形ABC的边长为2cm，∴AB=BC=AC=2cm，∵△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，∴AD=A′D，AE=A′E，∴阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=2+2+2=6（cm）．故答案为：6．点评：此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．三、解答题（共60分）21．（8分）解不等式（组）（1）≥（2）．考点：解一元一次不等式组；解一元一次不等式．分析：（1）去分母、去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1即可求解；（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：（1）去分母，得：3（2+x）≥4（2x﹣1），去括号，得：6+3x≥8x﹣4，移项，得：3x﹣8x≥﹣4﹣6，合并同类项得：﹣5x≥﹣10，系数化为1得：x≤2；（2）解①得x＜1，解②得x≤﹣4则不等式组的解集是：x≤﹣4．点评：本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．22．（8分）已知一次函数的图象过M（1，3），N（﹣2，12）两点．（1）求函数的解析式；（2）试判断点P（2a，﹣6a+8）是否在函数的图象上，并说明理由．考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．分析：（1）利用待定系数法把点（1，3）和点（﹣2，12）代入y=kx+b可得关于k、b的方程组，再解方程组即可得到k、b的值，进而得到解析式；（2）要判断点（2a，﹣6a+8）是否的函数图象上，只要把这个点的坐标代入函数解析式，观察等式是否成立即可．解答：解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得．∴y=﹣3x+6．（2）∵当x=2a时，﹣3×2a+6=﹣6a+6≠﹣6a+8，∴P（2a，﹣6a+8）不在函数图象上．点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及画函数图象，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．23．（10分）如图，Rt△ADE≌Rt△BEC，∠A=∠B=90°，使A、E、B在同一直线上，连结C D．（1）求证：∠1=∠2=45°（2）若AD=3，AB=7，请求出△ECD的面积．（3）若P为CD的中点，连结P A、P B．试判断△APB的形状，并证明之．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）由全等三角形的性质就可以得出DE=EC，∠DEC=90°，就可以得出结论；（2）由全等三角形的性质就可以得出AD=BE，AE=BC，由勾股定理就可以求出ED的值而得出结论；（3）连结PE，由等腰直角三角形的性质就可以得出PD=PC=PE，就可以得出△ADP≌△BEP，进而结论．解答：解：（1）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，DE=EC，AD=BE，AE=BC，∠AED=∠BCE．∴∠1=∠2．∵∠DAE=∠ABC=90°，∴∠3+∠AED=90°，∴∠4+∠AED=90°，∴∠DEC=90°，∴∠1=∠2=45°；（2）∵AD=3，AB=7，∴AE=4．在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=5，∴EC=5，∴S△CED==12.5；（3）△APB为等腰直角三角形，连结PE，∵P是CD的中点，∴PD=PC=C D．∵ED=EC，∠DEC=90°，∴∠5=∠DEC，∠EPD=90°，PE=C D．∴∠5=45°．PE=P D．∴∠5=∠1．∴∠5+∠4=∠1+∠3，∴∠PEB=∠PD A．在△BEP和△ADP中，，∴△BEP≌△ADP（SAS），∴P A=PB，∠APD=∠BPE．∵∠APD+∠APE=90°，∴∠BPE+∠APE=90°，∴∠APB=90°．∵P A=PB，∴△APB为等腰直角三角形．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，等腰直角三角形的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．24．（10分）义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A 型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x﹣20）元，根据，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元可列方程求解．（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60﹣m）块，根据需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，可列不等式组求解．解答：解：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x﹣20）元，5x+4（x﹣20）=820，x=100，x﹣20=80，购买A型100元，B型80元；（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60﹣m）块，，∴20＜m≤22，而m为整数，所以m为21或22．当m=21时，60﹣m=39；当m=22时，60﹣m=38．所以有两种购买方案：方案一购买A21块，B 39块、方案二购买A22块，B38块．点评：本题考查理解题意的能力，关键根据购买黑板块数不同钱数的不同求出购买黑板的钱数，然后要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，列出不等式组求解．25．（10分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若P A=PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究P A的长．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理．专题：新定义．分析：应用：连接P A、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②P A=PC，③P A=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②P A=PC，③P A=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．解答：应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若P A=PC，连接P A，同理可得P A≠PC，③若P A=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，设P A=x，则x2+32=（4﹣x）2，∴x=，即P A=，②若P A=PC，则P A=2，③若P A=PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．故P A=2或．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．26．（14分）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知一次函数y=﹣2x的图象为直线l1，求过点P（1，4）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式，并在坐标系中画出直线l1和l2的图象；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，过坐标原点O作OC⊥AB，垂足为C，求l1和l2两平行线之间的距离OC的长；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值，并求取得最小值时Q点的坐标．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）考点：一次函数综合题．分析：（1）设直线l2的解析式为y=﹣2x+b，把点P（1，4）代入即可求得b的值，进而求得函数的解析式；（2）首先求出A和B的坐标，然后根据三角形的面积公式求得；（3）B关于y轴的对称点B'（﹣3，0），连结B'P交y轴于Q，求得PB'的解析式，则Q的坐标即可求得；（4）分B、M和P分别是等腰三角形的顶角的顶点三种情况进行讨论，依据等腰三角形的性质即可求解．解答：解：（1）∵l1∥l2，∴设直线l2的解析式为y=﹣2x+b，把点P（1，4）代入得，4=﹣2+b，b=6∴y=﹣2x+6（1分），画图如右图所示（2）直线l2与y轴、x轴的交点A、B的坐标，分别为（0，6），（3，0）；∵OA=6，OB=3，则AB=，又S△AOB=2OA×OB=AB×OC，∴（或）（3）∵B关于y轴的对称点B'（﹣3，0），连结B'P交y轴于Q，∴QP+QB的最小值为，∵直线B'P的解析式为y=x+3，∴Q（0，3），（4）过P作PD⊥x轴于点D，则D的坐标是（1，0），当P是等腰△PBM的顶角顶点时，M的坐标是（﹣1，0）；在直角△PBD中，PB===2，则当B是等腰△PBM的顶角的顶点时，M的坐标是（3+2，0）或M（3﹣2，0）；PB的中点是（2，2），设过（2，2）且与AB垂直的直线的解析式是：y=x+c，则1+c=2，解得：c=1，则函数的解析式是y=x+1．当y=0时，x+1=0，解得：x=﹣2．则M的坐标是（﹣2，0）．总之，M（﹣1，0）或M（﹣2，0）或M（3+2，0）或M（3﹣2，0）．点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及等腰三角形的性质，正确进行讨论是本题的关键．第21页（共21页）。
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2016-2017学年度八年级（上）数学竞赛试题
（满分：100分；考试时间：90分钟）
班级：__________ 姓名：_________ 总分：___________
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．观察下列等式：
31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…
解答下列问题：3+32+33+34+…+32015的末位数字是( )
A．0B．1C．3D．9
2.下面各组线段中，能组成三角形的是（）
A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14
3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据
所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一
样的依据是（）
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
4.等腰三角形的一个角是50︒，则它的底角是（）
A. 50︒
B. 50︒或65︒C、80︒. D、65︒
5，一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形
的边数是（）
A.5
B.6
C.7
D.8
6.下列各组图形中，是全等形的是（）
图1
B
A.两个含60°角的直角三角形
B.腰对应相等的两个等腰直角三角形
C.边长为3和4的两个等腰三角形
D.一个钝角相等的两个等腰三角
形
7．如图1,AD AE =,= = =100 =70BD CE ADB AEC BAE ︒
︒，，∠∠∠,下列结论错误
的是（ ）
A ．△ABE ≌△ACD
B ．△ABD ≌△ACE
C ．∠DAE =40°
D ．∠C =30°
8．等腰三角形的周长为18cm ，其中一边长为5cm ，则等腰三角形的底边长为（ ）
A 、5cm 或８cm
B 、6.５cm
C 、5cm Ｄ、８cm
9．如图2，从下列四个条件：
①BC ＝B ′C ,②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ）A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC BD ，
为折痕，则
CBD ∠的度数为（ ）
A
E
C
图3
B A ′
E ′
D
图1
O D
图3A
C
F
E
B
A ．60°
B ．75°
C ．90°
D ．95°二、填空题（每小题5分，共25分）
11、李明星期天上午复习功课，不知不觉半天过去了，他猛抬头看见镜子中身后墙上的挂钟已是1点20分，请问实际时间是____________.12.如图1，P M⊥OA,PN⊥OB ,PM =PN ，∠BOC =30°，则∠AOB = .
13.如图2，在△ABC 和△
FED 中， A D =FC ，AB =FE ，当添加条件
______
时,只需填写一个你认为正确的条件)14．若5的立方根，则= ，= 2b a b 15、一个三角形的三边长分别为2、5、x ，另一个三角形的三边分别为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x+y= 三、解答题 (45分)
16. （7分）如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.
17、（7分）已知如图，△ABC ≌△ADE ，∠B =30°，∠E =20°，
∠BAE =105°，
求∠BAC 、∠DAB 的度数.
4
321
D C
B A
B
D
2
1E
C
D
B
A
图8
A
B
C
D
E
18．（9分）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，△ABC 面积是282
cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm ，求DE 的
长．
19. （9 分）如图，在ABC ∆中，0
90=∠ACB ，CE BE BC AC ⊥=,于E ，
AD CE ⊥于D.（1）求证：△ADC≌△CEB.
（2）,5cm AD =cm DE 3=，
求BE 的长度.
20. （13 分）已知：如图，△ABC,AB=BC,AD 为中线，E 为BC 延长线上
的一点，且CE=CB.求证：∠1
=∠2.
2013—2014学年度八年级（上）数学竞赛试题答案
12345678910C
D
D
B
C
B
C
A
B
C
二、11、（0，-1）；（0,1）；12、60°；13、BC=ED(或∠A=∠F 或AB∥EF);
14、30 ； 15、15 ；16、2 。
三、17、解：设∠1=x 度，则∠1=∠2=x 度 18、解：∵△ABC ≌△ADE ∵∠3=∠1+∠2=2x 度 ∴∠C=∠E =20°∠BAC=∠DAE
000
000
243963139139
18063218042234=-=∠-∠=∠∴=∠∴=∴=++∴=∠+∠+∠=∠=∠∴BAC DAC x x x BAC x 解得度Q 0
000
0000
251051301301302030180180=∠∴-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=--=∠∴=∠+∠+∠DAB DAE DAE DAB BAC DAE BAC BAC C B Q 19、解：（1）图略 20、解：∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F （2）A 1(-1,2);B 1(-3,1);C 1(2，-1) ∴DE=DF
(3) 4.5
∵S △ABC =S △ABD +S △ACD =
DF AC DE AB ⋅+⋅2
1
21 ∴
=28)820(2
1
+DE ∴DE=2
21、（1） 22、（1）证明：∵BE⊥AC,CF⊥AB 证明：∵∠ACB=90°，AD⊥CE,BE⊥CE ∴∠BAC+∠ACF=∠CAB+∠ABE=90°∴∠BCE+∠DCA=∠DCA+CAD=90°, ∴∠ACF=∠ABE ∴∠BCE=∠CAD 在△ABD 和△GCA 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AC BD ACG ABD CG
AB 在△BCE 和△CAD 中 ∴△ABD≌△GCA
⎪⎩
⎪
⎨⎧
==∠=∠∠=∠BC AC CDA BEC CAD BCE 0
90∴△BCE≌△CAD ∴AD=AG
解：(2)由（1）知△BCE≌△CAD 解： (2) AD 与AG 的位置关系是：AD⊥AG ∴AD=CE=5,BE=CD 由（1）已证△ABD≌△GCA ∵CD=CE-DE=5-3=2 ∴∠AGC=∠DAB
∴BE=2㎝ ∵CF⊥AB,则∠AGF+∠GAF=90° ∴∠DAB+∠GAF=90°即 AD⊥AG
D
F
C
E
B
A
23（1）证明：连接AC
∵AE 是BC 边的中线，且AE⊥BC ∴AG=AC
∵AF 是CD 边的中线，且AF⊥CD ∴AD=AC ∴AB=AD
(2)∠EAF=∠BAE+∠DAF
证明：由已知得AE 是BC 的中垂线，AF 是CD 的中垂线∴AB=AC,AD=AC
∴AE 是∠BAC 的平分线，AF 是∠CAD 的平分线∴∠BAE =∠CAE,∠CAF=∠DAF ∴∠EAF =∠EAC+∠FAC=∠BAE+DAF
24、证明：延长AD 到F ，使DF=AD,连接CF ∵AD 是BC 边的中线∴BD=CD
在△ABD 和△FDC 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CD BD FDC
ADB DF AD ∴△ABD ≌△FDC ∴AB=CF ,∠B=∠DCF ∵AB=BC
∴BC=CF ,∠BAC=∠BCA
∠ACF =∠ACB+∠DCF=∠BAC+∠B ∵∠ACE=∠BAC+∠B ∴∠ACF=∠ACE
在△ACF 和△ACE 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CF ACE
ACF AC AC ∴△ACF ≌△ACE ∴∠1=∠2。