【数学】河南省名校2018届高三压轴第二次考试数学(理)试题 含答案

河南名校2018届高三第二次考试数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若31zi i=+-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{}|A x x a =>，{}2|430B x x x =-+≤，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．3a ≥C ．1a ≤D ．1a < 3.各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2a ，312a ，1a 成等差数列，则4523a a a a ++的值为（ ） ABD4.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A ．13 B ．25 C. 23 D ．455.将曲线11:sin()26C y x π=+上各点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2:()C y g x =，则()g x 在[]0π-，上的单调递增区间是（ ） A ．5[,]66ππ-- B ．[,]6ππ-- C.2[,0]3π- D ．2[,]36ππ-- 6.若不等式组32420x y x y λ≤⎧⎪≤⎨⎪--+≥⎩表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()2-∞，B ．[1,2] C.[]24， D ．()2+∞，7.如图，“大衍数列”：024812，，，，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入7m =，则输出的S =（ ）A ．64B ．68 C.100 D ．140 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．483π-B ．283π- C.24π- D ．24π+ 9.如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v g t =的图像大致为（ ）A ．B ． C.D ．10.已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A，()B p ，且PA||BF 等于（ ）A ．112 B ．5 C. 92D ．4 11.正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点.,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．平面DMN ⊥平面11BCC B B ．三棱锥1A DMN -的体积为定值C. DMN ∆可能为直角三角形 D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π12.定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，31||212,012()3,12x x x f x x --⎧-≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩，函数32()3g x x x m =++.若对任意[)4,2s ∈--，存在[)4,2t ∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]4-∞，B ．(]8-∞， C.(]12-∞-， D ．312⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量m 与向量n 互相垂直，且()211,2m n -=-，若||5m =，则||n = ． 14.已知11eea dx x=⎰，则二项式6(1)a x -的展开式中3x -的系数为 ．15.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为 ．16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第m 次“扩展”后得到的数列为12211,,,,,2n x x x -，并记212log (12)n t a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21,n t n N *=-∈，则数列{}n a 的前n 项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在锐角ABC ∆中，D 为边BC 的中点，且AC =，AD =,O 为ABC ∆外接圆的圆心，且1cos 3BOC ∠=-.（1）求sin BAC ∠的值； （2）求ABC ∆的面积.18.某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准：85分及以上，记为A 等级；分数在[)7085，内，记为B 等级；分数在[)6070，内，记为C 等级；60分以下，记为D 等级.同时认定等级为,,A B C 的学生成绩合格，等级为D 的学生成绩为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[]50100，内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90,100分组作出甲校样本的频率分布直方图（如图1所示），乙校的样本中等级为,C D 的所有数据的茎叶图（如图2所示）.（1）求图1中x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C 等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.如图，在空间几何体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ACB ，ACD ∆与ACB ∆都是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影在ABC ∠的平分线上，已知BE 和平面ACB 所成角为60︒.（1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点分别为12,F F ，上焦点1F 到直线43120x y ++=的距离为3，椭圆C 的离心率12e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆22223:116y x E a b+=，设过点(0,1)M 斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得()PA PB PM PAPBλ=+？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21. 已知函数()ln m x x x =.（1）设2()[()1]f x a m x x '=--(0)a ≠，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围； （2）设()[()1]bg x bm x x '=--+(0)b >，对任意121,[,]x x e e∈，有12|()()|2g x g x e -≤-成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，直线2:4x tl y t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）与曲线C 相交于,M N 两点. （1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）点(2,4)P --，若PM MN PN 、、成等比数列，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADBAD 6-10:ABCBC 11、12：CA 二、填空题13.5 14. -160 15.(()22,++∞16.13234n n n S ++-=三、解答题17.解：（1）由题设知，2BOC BAC ∠=∠，∴cos cos 21BOC ABC ∠=∠=212sin 3BAC -∠=-，∴22sin 3BAC ∠=，sin BAC ∠=. （2）延长AD 至E ，使2AE AD =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，∴CE AB =，在ACE ∆中，2AE AD ==AC ，ACE BAC π∠=-∠，cos cos 3ACE BAC ∠=-∠=-，∴由余弦定理得，2222AE AC CE AC =+-cos CE ACE ∠，即222CE =+-3()3CE -，解得2CE =，∴2AB CE ==， ∴1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠122=⨯=18.解析：（1）由题意，可知100.012100.05610x +⨯+⨯0.018100.010101+⨯+⨯=， ∴0.004x =.∴甲学校的合格率为(1100.004)100%-⨯⨯=0.96100%96%⨯=，乙学校的合格率为2(1)100%0.96100%96%50-⨯=⨯=.∴甲、乙两校的合格率均为96%. （2）样本中甲校C 等级的学生人数为0.01210506⨯⨯=，乙校C 等级的学生人数为4. ∴随机抽取3名学生中甲校学生人数X 的可能取值为0,1,2,3.∴343101(0)30C P X C ===，12643103(1)10C C P X C ==，21643101(2)2C C P X C ===，363101(3)6C P X C ===.∴X 的分布列为数学期望()013010E x =⨯+⨯23265+⨯+⨯=. 19.解析：（1）证明：由题意知，ABC ∆与ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO DO ，，则B O A C ⊥，DO AC ⊥.又∵平面ACD ⊥平面ABC ，DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么EF DO ∥，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成角为60︒，∴60EBF ∠=︒.∵2BE =，∴E F D O ==∴四边形DEFO 是平行四边形，∴DE OF ∥，∴DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .（2）由已知，,,OA OB OD 两两互相垂直，故以,,OA OB OD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，得B ，(1,0,0)C -，1E .∴(1,BC =-，(0,1BE =-，设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =.∵2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴0x y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩.令1z =，∴取2()n =-， 又∵平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =，∴12121213cos ,13||||n n n nn n ⋅<>==. 又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴ 二面角E BC A --的余弦值为13.20.解析：（1）由已知椭圆C 方程为22221(0)y x a b a b+=>>，设椭圆的焦点1(0,)F c ，由1F 到直线43120x y ++=的距离为3，得|312|35c +=，又椭圆C 的离心率12e =，所以12c a =，又222a b c =+，求得24a =，23b =.椭圆C 方程为22143y x +=. （2）存在.理由如下：由（1）得椭圆22:1164x y E +=，设直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22(41)8120k x kx ++-=.22(8)4(41)12k k ∆=++⨯2256480k =+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841k x x k +=-+，1221241x x k =-+. 假设存在点(0,)P t 满足条件，由于()||||PA PBPM PA PB λ=+，所以PM 平分APB ∠. 易知直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，∴0PA PBk k +=.即12120y t y tx x --+=，即2112()()0x y t x y t -+-=.（*） 将111y kx =+，221y kx =+代入（*）并整理得12122(1)()0kx x t x x +-+=， ∴2212(1)(8)204141t k k k k -⨯--⋅+=++，整理得3(1)0k k t +-=，即(4)0k t -=，∴当4t =时，无论k 取何值均成立. ∴存在点(0,4)P 使得()||||PA PBPM PA PB λ=+. 21.解析：()ln 1m x x '=+（1）函数2()ln (0)f x a x x a =+≠的定义域为(0,)+∞，∴22()2a x af x x x x+'=+=.①当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，取10ax e-=，则112()1()0a a f e e --=-+<，（或：因为00x <<01x e<时，所以20000()ln ln f x a x x a x =+<1ln 0a a a e+<+=.）因为(1)1f =，所以0()(1)0f x f <，此时函数()f x 有一个零点.②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以()f x在上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x 在)+∞上单调递增.要使函数()f x有一个零点，则02a f a ==，即ln()12a -=，2a e =-.综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >.（2）因为对任意121,[,]x x e e∈，有12|()()|2g x g x e -≤-成立，因为12|()()|g x g x -≤max min [()][()]g x g x -，所以max min [()][()]2g x g x e -≤-. 所以()ln bg x b x x =-+，所以1(1)()b b b b x g x bx x x ---'=+=. 当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在1[,1)e 上单调递减，在(]1e ，上单调递增，min [()](1)1g x g ==， ∵1()b g b e e -=+与()b g e b e =-+，所以max 1[()]max{(),()}g x g g e e=. 设1()()()h b g e g e =-=2(0)b b e e b b --->，则()220b b h b e e -'=+->=， 所以()h b 在()0+∞，上单调递增，故()(0)h b h >，所以1()()g e g e>.从而max [()]()b g x g e b e ==-+.所以12b b e e -+-≤-即10b e b e --+≤,设()1(0)b b e b e b ϕ=--+>，则()1b b e ϕ'=-.当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0+∞，上单调递增.又(1)0ϕ=，所以10b e b e --+≤，即()(1)b ϕϕ≤，解得1b ≤.因为0b >，所以b 的取值范围为(0,1].22.解析：（1）因为2sin2cos a ρθθ=，所以2(sin )2cos a ρθρθ=，即曲线C 的普通方程为22(0)y ax a =>，由2:4x t l y t =-+⎧⎨=-+⎩，得直线l 的普通方程为2y x =-. （2）直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入22y ax =，得到2)t a t -+8(4)0a ++=，8(4)0a a ∆=+>.设点,M N 分别对应参数12,t t ，恰为上述方程的根，则有12)t t a +=+，128(4)t t a ⋅=+，则120t t ⋅>.又1PM t =，2PN t =，12MN t t =-.因为2MN PM PN =⋅，所以221212()()t t t t -=+12124t t t t -⋅=⋅2(4)5(4)0a a +-+=，得1a =，或4a =-.因为0a >时，所以1a =. 23.解析：（1）当5m =时，52(1)()3(11)52(1)x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为33{|}22x x -<<. （2）由二次函数223y x x =++=2(1)2x ++，该函数在1x =-取得最小值2，因为2(1)()2(11)2(1)m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥。