高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明 大招总结定理1曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222x y a b +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P 的坐标是(,)a b ±,或(,)a b ±-.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P 的坐标是()(000,x y x ≠±a ,且)0y b ≠±,所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k -=-≠. 由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,得 ()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=由其判别式的值为0,得()()222222200000200xa k x y k yb x a --++=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 由此,得2222001PA PB k k x y a b ⋅=-⇔+=+进而可得欲证成立.定理2（1）双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222x y a b +=-; （2）抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理3过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线PA,PB,则.PA PB ⊥证明:设P 点坐标()00x y由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--= 由其判别式的值为0, 得()()222222200000200x akx y k y b x a --+-=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 22222200220,1,PA PBy b x y a b k k PA PB x a -+=+⋅==-⊥- 定理4设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,交椭圆于点A,B,O 为原点,则OP,AB 的斜率乘积为定值22OP AB b k k a⋅=-定理5设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,O 为原点,则OA,PA 的斜率乘积为定值22OA PA b k k a ⋅=-,且OB,PB 的斜率乘积为定值OB k ⋅22(PB b k a=-垂径定理)定理6过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,O 为原点,则PO 平分椭圆的切点弦AB.证明:P 点坐标()00,x y ,直线OP 斜率00OP y k x =由切点弦公式得到AB 方程200022201,AB x x y y b x k a b a y +==-22OP ABb k k a⋅=-,由点差法可知,OP 平分AB,如图M 是中点定理7设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,延长PA,PB 交伴圆O 于两点C,D,则//CD AB . 证明:由性质2可知,M 为AB 中点.由蒙日圆性质可知,90APB ︒∠=,所以MA MB MP ==. 同理OP OC OD ==.因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠, 所以//AB CD .典型例题(例1.)(2020春-安徽月考)已知点P 为直线40ax y +-=上一点,PA,PB 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两条切线,若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥,则椭圆C 的离心率为 解方法1:设(,)P m n ,过点P 的切线方程为()y n k x m -=-,联立222()1y n k x m x y a-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22222212()()10k a x ka n km x a n km ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 直线与椭圆相切,()24222224()41()10k a n km a k a n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()2222210am k mnk n -++-=,若切线PA,PB 的斜率均存在,分别设为12,k k ,212221,1n PA PB k k a m-⊥∴⋅==--,即2221m n a +=+, ∴点P 在以(0,0)为圆心,即(0,0)到直线40ax y +-=d ∴==,解得a =1,a a >∴=若切线PA,PB 分别与两坐标轴垂直,则(,1)P a 或(,1)a -或(,1)a -或(,1)a --, 存在点(,1)P a ,将其代入直线40ax y +-=中,解得a =综上所述,a =又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===. 故答案为. 方法2:在方法1中,实际上证明了一遍蒙日圆,如果知道结论,可得P 的轨迹2221x y a +=+,且此圆与40ax y +-=相忉.其中(0,0)到直线40ax y +-=的距离d =d ∴==,解得a =1,a a >∴=又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===.故答案为. (例2.)(2020春-安徽月考)已知两动点A,B 在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上,动点P 在直线3410x y +-0=上,若APB ∠恒为锐角,则椭圆C 的离心率的取值范围为解由结论可知:椭圆2221x y a+=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是冡日圆2221x y a +=+,若APB ∠恒为锐角,则直线34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离,>,又1,1a a >∴<<,.c e a ⎛∴=== ⎝⎭故答案为:⎛ ⎝⎭.例3.已知22:1O x y +=.若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是解(,1][1,-∞-⋃+∞).在下图中,若小圆(其圆心为点O ,半径为r )的过点A 的两条切线AB,AD 互相垂直（切点分别为E,F ）,得正方形AEOF,所以|||OA OE ==,即点A 的轨迹是以点O 为圆心为半径的圆.由此结论可得:在本题中,点P 在圆222x y +=上.所认本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点,进而可得答案.例4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.解（1）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22194x y +=. （2）当两条切线的斜率存在时,设过()00,P x y 点的切线为()00y y k x x -=-. 联立()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222004918360k xk y kx ++--=判别式()()()222222000018364940x k y kx k y kx ⎡⎤∆=+--+--=⎣⎦,化简得()2200940y kx k ---=,即()2220000924x k x y k y --+-.依题意得201220419y k k x -⋅==--,即220013x y +=(可由222200x y a b +=+直接可得答案) (例5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的标准方程;（II ）记线段OP 与椭圆交点为Q ,求|PQ|的取值范围;（III ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切,l 与圆M 相交于另一点A ,点A 关于原点O 的对称点为B ,试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系,并证明你的结论.解（I）由题意可知:c c e a ===,则2223,4a b a c ==-=,∴椭圆的标准方程:22194x y +=; （III ）由题意可知:||||||||PQ OP OQ OQ =-=,设()221111,,194x y Q x y +=, ||OQ ∴===由1[3,3]x ∈-,当10x =时,min ||2OQ =,当13x =±时,max ||3OQ =,||PQ ∴的取值范围2]; （III ）证明:由题意,点B 在圆M 上,且线段AB 为圆M 的直径,所以PA PB ⊥.分3种情况讨论,（1）当直线PA x ⊥轴时,易得直线PA 的方程为3x =±,由题意,得直线PB 的方程为2y =±, 显然直线PB 与椭圆C 相切.（2）同理当直线//PA x 轴时,直线PB 也与椭圆C 相切. （3）当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时,设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ,则0k ≠,直线PB 的斜率1k-, 所以直线()00:PA y y k x x -=-,直线()001:PB y y x x k-=--, 由()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()()()220000941892360.k x y kx kx y kx ++-+--=因为直线PA 与椭圆C 相切,所以()()()22210000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦, 整理,得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦ 同理,由直线PB 与椭圆C 的方程联立,得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦.（2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,所以220013x y +=,即220013y x =-.代入（1）式,得()()22200009290x k x y k x --+-=, 代入（2）式,得()()()2222200000002214414492492(9x x y k y k x x y k k k⎡⎤⎡∆=--++-=--++-⎣⎦⎣)220x k ⎤⎦, ()()222000021449290x k x y k x k⎡⎤=--+-=⎣⎦. 所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上,直线PB 与椭圆C 相切. 例6.(2021-安徽模拟)已知圆22:5O x y +=,椭圆2222:1(0)x y a b aΓ+=>>的左,右焦点为12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和.（I ）求椭圆的标准方程;（II ）如图P 为圆上任意一点,过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点. （i ）若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；（ii ）作PQ AB ⊥于点Q ,求证:12QF QF +是定值.解（I）由题意可得2,21b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2,1,a b c ===所以椭圆的方程为2214x y +=.（II ）（I ）设()00,P x y ,切线()00y y k x x -=-,则22005x y +=, 由()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,化简得()()()2220000148440,k x k y kx x y kx ++-+--=,由0∆=得()2220004210x kx y k y -++-=,设切线PA,PB 的斜率分别为12,k k ,则()2200122200111445y y k k x y --===----, 又直线PA 的斜率为2,则直线PB 的斜率为12-. （II ）当切线PA,PB 的斜率都存在时,设()()1122,,,A x y B x y ,切线PA,PB 的方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=, 由（1）得()2224210,1,2,(*)i i i i i x k x y k y i -++-==又A,B 点在椭圆上得,221,1,2,(*)4i i x y i +== 得2202i i i x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即,1,24i i i x k i y =-=,氻线PA,PB 的方程为1,1,24i i x xy y i +==,又过,点P ,则001,1,24i i x xy y i +==,所直线AB 的方程为0014x xy y +=,(可直接代㔹点弦方程)由PQ AB ⊥的直线PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-,联立直线AB 方程为0014x xy y +=,解得()()22000000222200004131341,165165Q Q x y y y x x y y x y x y ++====++, 由22005x y +=得,点Q 轨迹方程为2255116x y +=,且焦,点恰为12,F F ,故122QF QF +==,当切线PA,PB 的斜率有一个不存在时,易得12QF QF +=.综上,125QF QF +=. 自我检测1.(2021-全国二模)已知双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA,MB,若0MA MB ⋅=,则实数a 的取值范围是(）A.B.C.)+∞D.)+∞ 答案：方法1:双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若MA0MB =,可知MAOB 是正方形,MO =,所以a ∈.故选B.方法2:过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若0,MA MB M ⋅=点轨迹即为蒙日圆222x y +=,且此圆与双曲线2221(1)4x y a a -=>有公共点M ,所以a ∈.故选B2.给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,称圆心在原点O ,C 的“准圆”.已知椭圆C 的一个焦点为F ,其短轴的一个端点到点F （I ）求椭圆C 及其“准圆”的方程（II ）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆C 上的相异两点,且BD x ⊥轴,求AB AD ⋅的取值范围;（III)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(,)P s t ,过点P 作两条直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,且12,l l 分别与椭圆的“准圆”交于M,N 两点.证明:直线MN 过原点O .答案：（I ）解:由题意知c a ==,解得1b =,∴椭圆C 的方程为2213x y +=,其“准圆”为224x y +=.（II ）解:由题意,设((,),(,),B m n D m n m -<<则有2213m n +=, 又A 点坐标为(2,0),故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--,2222(2)4413m AB AD m n m m ⎛⎫∴⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,又243[0,732m m ⎛⎫<<∴-∈+ ⎪⎝⎭.AB AD ∴⋅的取值范围是[0,7+. （III ）设(,)P s t ,则224s t +=,当s =,1t =±,则12,l l 其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,12l l ∴⊥.当t ≠,设过(,)P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k , 则l 的方程为()y t k x s -=-,代人椭圆C 的方程,得:223[()]3x k x s t +-+=,即()222316()3()30k x k t ks x t kt +--+--=,由()222236()4313()30k t ks k t kt ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,得()2223230tkstk t -++-=,其中230t -≠,设12,l l 的斜率分别为12,k k ,则12,k k 分别是上述方程的两个根,12121,k k l l ∴=-∴⊥.综上所述,12l l ⊥,MN ∴是准圆的直径,∴直线MN 过原点O .3.已知A 是圆224x y +=上的一个动点,过点A 作两条直线12,l l ,它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N（1）若(2,0)A -,求直线12,l l 的方程;（2）（1）求证:对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; （2）求AMN 面积的取值范围.答案：(1)解:设直线的方程为(2)y k x =+,代人椭圆2213x y +=,消去y ,可得()222213121230k x k x k +++-=由0∆=,可得210k -=设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-= ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+;(2)(1)证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l的方程为x =,此时1l与圆的交点坐标为1±),所以2l 的方程为1y =(或)121,y l l =-⊥成立,同理可证,当1l的方程为x =,结论成立;当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(,)A m n ,且224m n += 设方程为()y k x m n =-+,代人椭圆方程,可得()22136()3()230k xk n km x n km ++-+--=由0∆=化简整理得()2223210mkmnk n -++-=224m n +=()2223230m k mnk m ∴-++-=设12,l l 的斜率分别为121212,,1,k k k k l l ∴=-∴⊥成立 综上,对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; (2)记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,22124,d d AMN +=∴面积()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈4]S ∴∈.4.过P 点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直,设圆心到切点弦的距离为1,d P 到切点弦的距离为2d 证明12d d 之积为常数.答案：证明:如图所示,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,那么在椭圆上A,B 两处切线的交点P 在圆2222(\neq )a x y a b x +=+,现设)Pθθ,那么AB 的直线方程为220xb ya a b θθ+-=.原点到切点弦AB 的距离221d =切线交点P 到切点弦AB 的距离是42422d==所以221222a b d d a b=+(常数).5.(2021贵州模拟)已知椭圆22:1,2x C y M +=是圆223x y +=上的任意一点,MA,MB 分别与椭圆切于A,B.求AOB 面积的取值范围.答案：设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得1212:1,:122x x x x MA y y MB y y +=+=,且2203x y += 由()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得010201021,122x x x x y y y y +=+=,从而00:12x xAB y y +=将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,得 ()22200034440y x x x y +--+=. 所以,20012122200444,33x y x x x x y y -+==++, 因此,)202013y AB y +=+.又原点O 到直线AB的距离d ==所以01||22OABS AB d =⋅=令[1,2]t =,得到21222,2332OABt St t t⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+6.(2021河北模拟)设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ,曲线C 的两条切线PA,PB 交于点P ,且与C 分别切于A,B 两点,求PA PB ⋅的最小值.答案：设两切线为12,l l(1)当1l x ⊥轴或1//l x 轴时,对应2//l x 轴或2l x ⊥轴,可知(2)P ±; (2)当1l 与x 轴不垂直且不平行时,x ≠设1l 的斜率为k ,则20,k l ≠的斜率为11,l k-的方程为y -()00y k x x =-,联立22154x y +=, 得()()()222000054105200k x y kx kx y k ++-+--=,因为直线与椭圆相切,所以0∆=,得()()()2222000055440y kx k k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,()220020440k y kx ⎡⎤∴-+--=⎣⎦,()22200005240x k x y k y ∴--+-=,所以k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根, 同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根, 2020415y k k x -⎛⎫∴⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=,其中x ≠所以点P的轨迹方程为229(x y x +=≠, 因为(3,2)P ±±满足上式,综上知:点P 的轨迹方程为229x y +=.设,PM PB x APB θ==∠=,则在AOB 与APB 中应用余弦定理知,2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠ 222cos PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠,即()3322\38cdo 3233cos 102c s t o x x x x θθ︒+-⋅⋅-=+-⋅,即 29(1cos )1cos x θθ+=-||||cos cos PA PB PA PB APB x x θ⋅=⋅∠=⋅9(1cos )cos 1cos θθθ+=-令1cos (0,2]t θ=-∈,则cos 1t θ=-. ()29329(2)(1)293t t t t PA PB t t t t -+--⎛⎫⋅===⋅+ ⎪-⎝⎭9233)t ⎛⎫⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭且仅当2t t=,即t =时,PA PB ⋅取得最小3).7.(衡水中学模拟)如图,在平面直角坐标系xOy,设点()00,M x y 是椭圆22:12412x y C +=上一点,从原点O 向圆()()22008M x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P,Q .（1）若M 点在第一象限,且直线OP,OQ 互相垂直,求圆M 的方程; （2）若直线OP,OQ 的斜率存在,分别记为12,k k .求12k k ⋅的值;（3）试问22||||OP OQ +是否为定值?若是求出该定值;若不是,说明理由.答案：(1)由圆M的方程知圆M的半径r=因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆M相切,所以||4OM==,即220016x y+=又点R在椭圆C上,所以2212412x y+=联立(1)(2),解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以,所求圆M的方程为22((8x y-+-=.(2)因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R相切,(3)==化简得212288yk kx-⋅=-,因为点()00,R x y在椭圆C上,所以2212412x y+=,即22001122y x=-,所以2122141282xk kx-⋅==--(3)(1)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设()()1122,,,P x y Q x y,由(2)知12210k k+=,所以121221y yx x=,故2222121214y y x x=,因为()()1122,,,P x y Q x y,在椭圆C上,所以222211221,124122412x y x y+=+=即222211221112,1222y x y x=-=-,所以222212121111212224x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;整理得221224x x+=,所以222212121112121222y y x x⎛⎫⎛⎫+=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2222221122241236OP OQ x y x y+=+++=+=.(2)当直线OP,OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=.综上:2236OP OQ +=结论：设点()00,M x y 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上任意一点,从原点O 向圆()20:(M x x y -+-)222022a b y a b=+作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为12,k k .8.(2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟)已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率e =且经过点⎛ ⎝⎭,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 与椭圆1C 的一个焦点重合. （I ）过F 的直线与抛物线2C 交于M,N 两点,过M,N 分别作抛物线2C 的切线12,l l ,求直线12,l l 的交点Q 的轨迹方程;（II)从圆22:5O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线,切点为A,B,证明:AOB ∠为定值,并求出这个定值.答案：（I ）设椭圆的半焦距为c ,则c a =,即a =,则b =,椭圆方程为2222132y x c c +=,将点⎛ ⎝⎭的坐标代人得21c =,故所求的椭圆方程为22132y x +=焦点坐标(0,1)± 故抛物线方程为24x y =.设直线()()1122:1,,,MN y kx M x y N x y =+, 代人抛物线方程得2440x kx --=, 则12124,4x x k x x +==-,由于214y x =,所以12y x '=, 故直线1l 的斜率为111,2x l 的方程为 ()22111111111, ?´ 2224y x x x x y x x x -=-=-同理2l 的方程为2221124y x x x =-,令22112211112424x x x x x x -=-,即 ()()()12121212x x x x x x x -=-+,显然12x x ≠,()1212x x x =+,即点Q 的横坐标是()1212x x +,点Q 的纵坐标是()221111*********124244y x x x x x x x x x =-=+-==-即点(2,1)Q k -,故点Q 的轨迹方程是1y =-.(阿基米德三角形)（II ）证明：(1)当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点P 在第一象限,则此时P ,代人圆的方程得P此时两条切线方程分别为x y ==此时2APB π∠=若APB ∠的大小为定值,则这个定值只能是2π. (2)当两条切线的斜率都存在时,即x ≠, 设()00,P x y ,切线的斜率为k , 则切线方程为()00y y k x x -=-, 与椭圆方程联立消元得()()()2220000324260k xk y kx kx y ++-+--=.由于直线()00y y k x x -=-是椭圆的切线,故()()()222200016432260ky kx k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()22200002230x k x y k y -++-=.切线PA,PB 的斜率12,k k 是上述方程的两个实根,故2012232y k k x -=--, 点P 在圆225x y +=上,故220032y x -=-,所以121k k =-,所以2APB π∠=综上可知:APB ∠的大小为定值2π,得证.。
蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得B A H F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________. 解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
蒙日圆的定义与方程及结论(全了)
三、蒙日圆的性质
23Biblioteka 456【例题】已知两动点
A、B
在椭圆 C
:
x2 a2
+
y2
=
1(a
> 1)
上，动点 P 在直线 3x+4y－10=0 上，若∠APB 恒为锐角，则
椭圆 C 的离心率的取值范围为_ (0, 6 ) 3
3x+4y－10=0 与蒙日圆 x2+y2=a2+1 相离，∴d>r即 | −10 | =2 > a2 +1 ⇒ a2 < 3 32 + 42
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蒙日圆的定义与方程及结论
蒙日是法国数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做蒙日圆
筷子夹汤圆 圆锥曲线蒙日圆， 切线垂直要齐全。 交点轨迹有两种， 椭双成圆抛准线。
一、蒙日圆的定义 过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆。 二、蒙日圆的方程
高中数学蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220a x b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以： 2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii 所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+. 证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线.得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-a b y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
圆锥曲线专题：蒙日圆在高考及模拟中的应用
蒙日圆结论的证明
（点评：消元，整式化）
（点评：①增强主元意识；②按照主元降幂排列；③按层次分别找准主元的二次项、一次项的系数及常数项；④若与主元无关，则视为常数项，不必展开；⑤按照先正后负顺序排列）
（点评：公因式化简（公因式4a2），能相约，则必相约（先约去4a2）
（点评：暂时不展开(n−mk)2，因为可以相消）
（点评：(n−mk)2为整体，则为两个含有两项的多项式乘法展开，可相消）
（点评：先约去b2）
（点评：主元为斜率k，按照斜率k降幂排列）
一、什么是蒙日圆
在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于长半轴（实半轴）与短半轴（虛半轴）平方和（差）的算术平方根，这个圆叫蒙日圆。
蒙日圆问题的拓展变式研究
48中学数学研究2020年第8期(上)蒙日圆问题的拓展变式研究*广东省中山市中山纪念中学(528454)鞠火旺摘要本文以蒙日圆问题为切入点,将两条切线从垂直约束条件(即斜率之积为定值−1),推广到它们的斜率之和差积商分别为定值的情况,求出了椭圆的“伴随曲线”的轨迹方程并对其性质进行了研究.关键词圆锥曲线;蒙日圆;伴随曲线;Geogebra蒙日圆问题的一般情形为:椭圆x2a2+y2b2=1的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2+y2=a2+b2,2014年广东高考卷文、理第20题就是以此问题为背景命制的.文[1]对蒙日圆问题作了详尽的证明,文[2]借助信息技术对蒙日圆的性质作了详尽的探讨,并将约束条件“两条垂直的切线”拓广到“两条切线夹角为定角θ”的情形,文[3]将椭圆中的蒙日圆问题平行地推广到了双曲线和抛物线中.受文[4]研究思路的启发,我们将蒙日圆问题的约束条件“两条垂直的切线”改为“两条切线的斜率之和差积商为定值”,并称切线交点的轨迹为相应圆锥曲线的伴随曲线,通过在Geogebra实验环境中探究,我们发现了伴随曲线的性质并给出了证明.结论1过椭圆C:x2a2+y2b2=1外一点P引椭圆的两条切线P A和P B,若k P B·k P A=δ,其中δ为常数且δ=0,则两切线的交点P的轨迹方程为δx2−y2=δa2−b2,且OA、OB的斜率之积为定值,即k OA·k OB=1δ·b4 a4.证明设点P(x0,y0),切线P A、P B的斜率分别为k1和k2,切线方程为y−y0=k(x−x0).联立x2a2+y2b2=1y−y0=k(x−x0)得(a2k2+b2)x2−2a2(kx0−y0)kx+a2((kx0−y0)2−b2)=0,由于直线与椭圆相切,于是∆=(−2a2(kx0−y0)k)2−4(a2k2+b2)a2((kx0−y0)2−b2)=0,化简整理得(a2−x20)k2+2x0y0k+(b2−y20)=01⃝因为k1、k2为1⃝式的两根,由韦达定理得k1k2=b2−y20 a2−x20=δ,从而两切线交点P的轨迹方程为δx2−y2=δa2−b2,该伴随曲线的类型取决于δ的取值范围.当δ=−1即两条切线互相垂直时,伴随曲线为x2+y2=a2+b2,这就是蒙日圆.当δ<0且δ=−1时,伴随曲线x2a2−b2δ+y2b2+δa2= 1是椭圆,见图1.当δ=b2a2时,伴随曲线为两条直线y=±bax在椭圆C 外的部分,见图2.当δ>0且δ=b2a2时,伴随曲线为双曲线,其中,当δ∈(0,b2a2)时,伴随曲线是双曲线y2b2−δa2−x2b2δ−a2=1在椭圆C外的部分;当δ∈(b2a2,+∞)时,伴随曲线是双曲线x2a2−b2δ−y2δa2−b2=1在椭圆C外的部分,分别见图3和图4.图1.δ<0且δ=−1的情形图2.δ=b2a2的情形图3.δ∈(0,b2a2)的情形图4.δ∈(b2a2,+∞)时的情形下证OA、OB的斜率的乘积为定值,为此不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H,切点弦方程为x0xa2+y0yb2=1,即y=−b2x0a2y0x+b2y02⃝又A(x1,y1)∈l,于是k P A=−b2x1a2y1,又k OA=y1x1,因此k P A·k OA=−b2a23⃝*本文是中山市2018年教育科研课题“新课标下高中数学课本例题与习题的变式教学策略研究”的研究成果,课题编号:B2018123.同理k P B ·k OB =−b 2a 2,于是k P A ·k OA ·k P B ·k OB =b 4a 4,而k P A ·k P B=δ,故k OA ·k OB =1δ·b 4a4.结论2过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1外一点P 引椭圆的两条切线P A 和P B ,若k P Bk P A=δ,其中δ为常数且δ=±1,则两切线的交点P 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=1+[(1−δ)xy (1+δ)ab]2,且OB 、OA 的斜率之比为定值,即k OBk OA=δ.证明因为k 1、k 2为1⃝式的两根,于是由韦达定理得k 1+k 2=−2x 0y 0a 2−x 20,k 1k 2=b 2−y 20a 2−x 20,由于k 2k 1=δ,于是 (1+δ)·k 1=−2x 0y 0a 2−x 20,δk 21=b 2−y 20a 2−x 20,消去k 1整理得x 20a 2+y 20b 2=1+[(1−δ)x 0y 0(1+δ)ab]2,于是两切线的交点P 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=1+[(1−δ)xy (1+δ)ab]2,δ=±1.(∗)注意到方程(∗)是x 、y 的幂都是偶数,因此伴随曲线关于x 轴,y 轴是轴对称的.又由问题的实际意义可知,当δ=1时轨迹不存在,当δ=−1即k P B =−k P A 时,轨迹是椭圆外与坐标轴重合图5.δ=−1的情形的四条射线,见图5.由于方程x 2a 2+y 2b 2=1+(1−δ)2x 2(1+δ)2a 2·y 2b 2可以变形为x 2a 2−1=[(1−δ)2x 2(1+δ)2a 2−1]·y2b 2,解得y =b |1+δ|√x 2−a 2√(1−δ)2x 2−(1+δ)2a2,于是y ′=−4δa 2b |1+δ|·x√x 2−a 2[(1−δ)2x 2−(1+δ)2a 2]324⃝当x →1+δ1−δa 时,由4⃝式知y ′→∞,此时无论δ→−∞还是δ→+∞都有1+δ1−δa →−a ,这表明伴随曲线有垂直渐近线x =−a ;又由于它关于y 轴轴对称,于是x =a 也是其垂直渐近线.再注意到伴随曲线的方程中x 、y 是对称的,于是y=±b 是其水平渐近线.借助Geogebra 软件我们可以清晰地看到该伴随曲线的图像,见图6∼图9.图6.δ<0且δ=−1的情形图7.δ→−∞时的情形图8.δ>0的情形图9.δ→+∞的情形结论3过椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1外一点P 引椭圆的两条切线P A 和P B ,若k P B +k P A =δ,其中δ为常数且δ=0,则两切线的交点P 的轨迹方程为δx 2−2xy =δa 2,且OA 、OB 的斜率的倒数之和为定值,即1k OA +1k OB =−δa 2b2.证明由1⃝式结合韦达定理知k 1+k 2=−2x 0y 0a 2−x 20=δ,从而两切线交点P 的轨迹方程为δx 2−2xy =δa 2,注意到该方程可以化为y =δ2x −δa 22x,这是常见的“双刀型”函数.当δ<0时,伴随曲线在(−∞,0)及(0,+∞)都是单调递减的;当δ>0时,伴随曲线在(−∞,0)及(0,+∞)都是单调递增的,即两切线交点所形成的椭圆的伴随曲线是“双刀型”函数y =δ2x−δa22x在椭圆C 外的那一部分,其图像见图10和图11.图10.δ<0的情形图11.δ>0的情形由3⃝式知k P A =−b 2a 2·1k OA ,同理k P B =−b 2a 2·1k OB,于是k P A +k P B =−b 2a 2(1k OA +1k OB),故1k OA+1k OB=−a 2b 2(k P A +k P B )=−δa 2b2.结论4过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1外一点P 引椭圆的两条切线P A 和P B ,若k P B −k P A =δ,则两切线的交点P的轨迹方程为δ2x 4−2(a 2δ2+2b 2)x 2−4a 2y 2+a 2(a 2δ2+4b 2)=0,且OA 、OB 的斜率的倒数之差为定值,即1k OB−1k OA=−δa 2b2.证明将k 2−k 1=δ代入2⃝式得 2k 1+δ=−2x 0y 0a 2−x 2,k 1(k 1+δ)=b 2−y 2a 2−x 20,消去k 1并化简整理得δ2x 40−2(a 2δ2+2b 2)x 20−4a 2y 20+a 2(a 2δ2+4b 2)=0,于是两切线的交点P 的轨迹方程为δ2x 4−2(a 2δ2+2b 2)x 2−4a 2y 2+a 2(a 2δ2+4b 2)=05⃝将y 用x 表示出来(为方便起见,我们只研究y >0的情形),得到函数y =f (x )=12a √δ2x 4−2(a 2δ2+2b 2)x 2+a 2(a 2δ2+4b 2),该函数的定义域为D =(−∞,min (√a 2δ2+4b 2δ,min (−a,−√a 2δ2+4b 2δ)))∪(max (−a,√a 2δ2+4b 2δ),min (a,−√a 2δ2+4b 2δ))∪(max (√a 2δ2+4b 2δ,max (a,−√a 2δ2+4b 2δ)),+∞),由f ′(x )=x (δ2x 2−a 2δ2−2b 2)a √δ2x 4−2(a 2δ2+2b 2)x 2+a 2(a 2δ2+4b 2)=0,得x =−√a 2δ2+2b 2δ或x =0或x =√a 2δ2+2b 2δ,结合函数的定义域及单调性可得函数y =f (x )的图像如图12所示,因此由5⃝式确定的伴随曲线的图像如图13所示,这与直接作图产生的轨迹曲线是相吻合的;此外,定值的证明与结论3中的方法类似,这里略去.图12.函数y =f (x )的图像图13.伴随曲线的图像至此,我们对椭圆的伴随曲线作了较详细的研究,在双曲线及抛物线中也有类似的性质,限于篇幅,我们就不再一一赘述.参考文献[1]甘志国.蒙日圆及其证明[J],河北理科教学研究,2015(5):11-13.[2]张志勇.GeoGebra 环境中圆锥曲线的两定夹角切线交点轨迹探求[J],中国数学教育,2016(5):60-64.[3]陈经纬.不畏浮云遮望眼只因“背景在心中—–探究一道圆锥曲线小题的命制背景[J],中学数学研究(华南师范大学版),2019(6):21-22.[4]鞠火旺,马建.探究圆锥曲线中一类动直线的性质[J],中学数学研究(华南师范大学版),2019(7):41-45.。
高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明
高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明一、引言在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛应用，还在物理、天文等领域有所涉及。
蒙日圆，作为圆锥曲线的一种特殊形态，具有独特的性质和证明方法。
本文旨在探讨蒙日圆及其证明的深度拓展。
二、蒙日圆的基本性质蒙日圆，也被称为极坐标圆或椭圆的垂直平分线投影圆，其独特性质在于它与原始椭圆的关系。
在椭圆上任取一点P，作PP1垂直于长轴，作PP2垂直于短轴，则P1P2的垂直平分线与原始椭圆相切于点P。
这个性质表明，对于椭圆上的任意一点，其关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线，都与椭圆相切于该点。
三、蒙日圆的证明对于蒙日圆的证明，我们可以采用以下步骤：1、在椭圆上任取一点P，以点P为圆心，作一圆与椭圆相切。
这个圆的半径可以由点P到椭圆中心的距离决定。
2、根据几何性质，我们可以知道这个圆与椭圆的切点在椭圆的长轴和短轴的垂直平分线上。
3、由于这个圆是以点P为圆心，因此点P关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线必然经过这个圆心。
这就意味着这个垂直平分线与椭圆相切于点P。
4、因此，我们证明了在椭圆上任意一点都有一条过该点的直线与椭圆相切。
也就是说，我们找到了一个与椭圆相切的圆，即蒙日圆。
四、结论通过以上分析，我们证明了蒙日圆的存在及其性质。
这个知识点不仅在高考数学中具有重要作用，也是解析几何中的一个重要知识点。
希望通过本文的探讨，能够帮助同学们更深入地理解和掌握这一部分的知识。
蒙日圆以及应用蒙日圆是一种特殊的几何图形，它由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）发现并以其名字命名。
蒙日圆在几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及应用。
一、蒙日圆的定义蒙日圆也被称为“最小圆”或“极圆”，它是指在平面上，一个集合内所有点均在该集合的凸包内的最小圆。
也就是说，蒙日圆内包含着集合内的所有点，且其半径最小。
(甘志国)蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）2 2高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的a b一个焦点为（-5,0），离心率为〈.3（1）求椭圆C的标准方程；⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2 2答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •9 4这道高考题的背景就是蒙日圆•普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是2 2定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a bx2 y2 =a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。
= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是y -y° =k(x -x°)(k =0).“ 2 2由＜a2 b2，得y —y。
=k(x —x。
)(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0由其判别式的值为0，得%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k PA k PBy °2b 2~2 2x 0 —a由此，得k PA k PB = -1x 02 y 02二 a 2 b 2进而可得欲证成立•定理1的证法2点P 的坐标是（_a, b ）,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为或（二a,_b ）. 0时，可得当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是（X o ,y °）（x 。
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蒙日圆及其证明
高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
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的一个焦点为
(1)求椭圆的标准方程；
C (2)若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P C 的轨迹方程．
答案：(1)22
194
x y +=；(2)2213x y +=． 这道高考题的背景就是蒙日圆.
普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是
定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆1:22
22=+Γb
y a x .
2222b a y x +=+定理1的结论中的圆就是蒙日圆.
先给出定理1的两种解析几何证法：
定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是，或.
),(b a ±),(b a -±当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是且，所以可设曲线的过点P 的切线方程是
,)(,(000a x y x ±≠)0b y ±≠Γ.由，得
)0)((00≠-=-k x x k y y ⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+)(10022
22x x k y y b y a x
0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a 由其判别式的值为0，得 )0(02)(220220002220≠-=++--a x b y k y x k a x 因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以 PB PA k k ,k 220220a x b y k k PB
PA -+=⋅ 由此，得进而可得欲证成立.
2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可。