山东省临沂第十八中学2017-2018学年高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

2017-2018学年 数学试卷（山东卷理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若23iz i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．1122i - B ．1122i -- C ．1122i + D ．1122i -+2.已知集合{}11x x A =-≤≤，{}220x x x B =-≤，则（ ）A ．A =B B ．[]0,1A B =C ．A B =BD ．()R R A B = ð3.某校兴趣小组在某小商品批发市场统计了某商品的销售量y （单位：件）与销售价格x （元/件）的10组数据并画成了如图所示的散点图，则x ，y 的线性回归方程可能为（ ）A ．ˆ10190yx =-- B ．ˆ10190y x =+ C ．ˆ10210yx =- D ．ˆ10210y x =-+4.已知:p ()00,1x ∃∈20log x ≤，:q R x ∀∈，0xe >，则真是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝5.函数()()sin f x x ωϕ=A +的部分图象如图所示，则函数()f x 图象上的最高点坐标为（ ） A ．,22k π⎛⎫⎪⎝⎭（k ∈Z ） B ．(),2k π（k ∈Z ） C ．,212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭（k ∈Z ） D ．2,26k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭（k ∈Z ）6.若定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，函数()()()3log 020x x x g x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则[]4,4x ∀∈-，方程()()f x g x =不同解的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77.已知圆C :228150x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ）A ．43-B ．54- C ．35-D ．53-8.某大学数学系需要安排6名大四同学到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校安排2名同学，已知甲不能到A 学校，乙和丙不能安排到同一所学校，则安排方案的种数有（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．729.已知圆台的一个底面的半径为6，母线5AB =，高1O O =（ ）A ．55π或116πB ．55π或65πC ．55π或150πD ．65π或116π10.设函数()2,0142,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩．若[)00,1x ∈且()()[)00,1f f x ∈，则0x 的取值范围是（ ）A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23log ,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．33log ,12⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.执行下边的程序框图，若输入sin15a =，cos15b =，则输出的a b ⊗的值为 ．12.已知4a x ⎫⎪⎭（0a >）的展开式的各项系数和与其展开式的二项式系数和相等，则其展开式中的常数项为 ．13.若x ，y 满足条件222x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则6y x z x -=-的最大值为 ．14.对于函数()f x 的定义域D 内的任意x ，都有()f x ≥M ，定义M 的最大值为()f x 的下确界，如()22f x x x =-的下确界为1-．若1a b +=（0a >，0b >），则函数()12,2f a b a b=+的下确界为 ．15.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>，长轴AB 上的100等分点从左到右依次为点1M ，2M ，⋅⋅⋅，99M ，过i M （1i =，2，⋅⋅⋅，99）点作斜率为k （0k ≠）的直线i l （1i =，2，⋅⋅⋅，99），依次交椭圆上半部分于点1P ，3P ，5P ，⋅⋅⋅，197P ，交椭圆下半部分于点2P ，4P ，6P ，⋅⋅⋅，198P ，则198条直线1AP ，2AP ，⋅⋅⋅，198AP 的斜率乘积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知()2sin sin 444f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）已知C ∆AB A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12f A =，求a 的最小值．17.（本小题满分12分）如图1，平行四边形CD AB 中，2AB =，C B =D 45∠BA =，O 为CD 中点，将C ∆BO 沿OB 边翻折，折成直二面角C A -BO -，如图所示，E 为C A 中点．（I ）求证：D //E 平面C BO ；（II ）求直线C A 与平面CD B 所成角的正弦值．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，()()2223n n n a n a a n --⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且数列{}n a 前n 项和为n S ． （I ）求数列{}n a 的通项公式及21m S -； （II ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值．19.（本小题满分12分）微信已成为现代生活信息交流的重要工具，对某市年龄在20岁至60岁的微信用户进行抽样调查发现，有三分之一的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他都在1小时以上；将这些微信用户按年龄分成青年人（2040 岁）和中年人（4060 岁），其中四分之三是青年人；平均每天使用微信时间超过1小时的为经常使用微信，经常使用微信的用户中有三分之二是青年人．现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”调查，采用随机抽样的方法选取容量为180的一个样本，假设该样本与调查结果吻合．（I ）计算青年人（2040 岁）和中年人（4060 岁）中经常使用微信和不经常使用微信的人数，并填写下面的22⨯列联表；（II ）根据（I ）中的数据，利用独立性检验的方法判断是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++，（III ）从该市微信用户中任意选取3人，其中经常使用微信的中年人的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．20.（本小题满分13分）已知已知点A 是直线1:l 1x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，点()F 1,0，线段F A 的垂直平分线与2l 交于点P ．（I ）求点P 的轨迹C 的方程；（II ）若点M ，N 是直线1l 上两个不同的点，且∆PMN 的内切圆方程为221x y +=，直线F P 的斜率为k ，若22k λ=MN ，求实数λ的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数()x f x e ax =+（R x ∈）． （I ）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（II ）若0x ≥时，()()1ln 1f x x ≥-+，求实数a 的取值范围．2016年高三第三次模拟考试数学试卷（山东卷理科）参考答案及评分标准一、选择题（1-5）ABDCC (6-10)CACBC 二、填空题4 13.1 14.92 15.9912-三、解答题16.解：（I ）()2sin sin 444f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos 44x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112sin 2cos 2sin 222222x x x x ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………3分令222262k x k πππππ-+≤+≤+，222233k x k ππππ-+≤≤+，解得 36k x k ππππ-+≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．…………………6分 （II ）因为()1sin 262f π⎛⎫A =A += ⎪⎝⎭，0π<A <，所以3πA =．…………………8分由1sin 2S bc =A 122bc =，得4bc =．…………………9分 由余弦定理，得222222cos 4a b c bc b c bc bc =+-A =+-≥= 所以a 的最小值为2．…………12分 17.解：（I ）连结D B ，由余弦定理222D D 2D cos 452B =A +AB -A ⋅AB⋅=所以改为222D D A +B =AB ，∴D 90∠A B =…………………2分所以1F//2E AB ，又1D//2O AB ，∴F//D E O ，∴四边形F D E O 为平行四边形．…………………4分故D //F E O ，又D E ⊄平面C BO ，F O ⊂平面C BO ，∴D //E 平面C BO …………………6分（II ）以O 为坐标原点，分别以D O ，OB ，C O 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：则()0,0,0O ，()D 1,0,0，()0,1,0B ，()C 0,0,1，()2,1,0A ，…………………7分设平面CD B 的法向量为(),,n x y z =，()D 1,1,0B =- ，()C 0,1,1B =-由D 0C 0n x y n y z ⎧⋅B =-=⎪⎨⋅B =-=⎪⎩ ，取1y =，则1x =，1z =， 所以平面CD B 的一个法向量为()1,1,1n =…………………10分()C 2,1,1A =- ，设直线C A 与平面CD B 所成夹角为θ，则C sin 3C n nθA⋅==A 因此C A 与平面CD B…………………12分18. 解：（I ）当n 为奇数时，22n n a a --=，因此数列{}n a 的奇数项依次构成以11a =为首项，2为公差的等差数列，所以11212n n a n +⎛⎫=+-=⎪⎝⎭；…………………2分 当n 为偶数时，23n n a a -=，即23nn a a -=，因此数列{}n a 的偶数项依次构成以22a =为首项，3为公比的等比数列，所以1223n n a -=⋅；…………………4分故()()1223nn n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，…………………5分 ()()2113212422m m m S a a a a a a ---=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231m m m m m ---+-=+=+--．…………………8分（II ）由12m m m a a a ++=，①若2m k =（k *∈N ），则22122k k k a a a ++=，即2131k k +=⇒=，即2m =．…………………10分②若21m k =-（k *∈N ），即21221k k k a a a -+= 即()1212321k k k --⋅⋅=+，1223121k k -⋅=+- 123k -⋅为正整数，∴221k -为正整数，即211k -=，即1k =，但此时式为0233⋅=不合题意，综上2m =．…………………12分19.解：（I ）在容量为180的样本中，青年人、中年人的比例分别为34，14，其人数分别是135、45；不经常使用微信的人数、经常使用微信的人数的比例分别为13，23，其人数分别是60、120；在经常使用微信的人里，青年人的比例为23，所以人数是80，中年人的人数是40；在不经常使用微信的人里，青年人的人数是55，中年人的人数是5；22⨯列联表如下：…………………4分（II ）根据（I ）中数据，()2218080540554013.33310.82812060135453⨯-⨯K ==≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”；…………………6分（III ）由题意知X 可能的取值为0、1、2、3，根据样本估计总体，从该市微信用户中任意选取3人，经常使用微信的中年人的概率为4021809p ==，所以23,9⎛⎫X B ⎪⎝⎭， ()0303273430C 99729⎛⎫⎛⎫P X === ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1213272941C 99729⎛⎫⎛⎫P X ===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212327842C 99729⎛⎫⎛⎫P X === ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332783C 99729⎛⎫⎛⎫P X === ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X 的分布列为X 的数学期望为343294848201237297297297293EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（也可以直接利用 23,9⎛⎫X B ⎪⎝⎭，则22393np EX ==⨯=）．…………………12分 20.解：（I ）依题意，点P 到点()F 1,0的距离等于它到直线1l 的距离，…………………1分∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线1:l 1x =-为准线的抛物线．…………………2分 ∴曲线C 的方程为24y x =．…………………3分（II ）设点()00,x y P ，点()1,m M -，点()1,n N -， 直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++，…………………4分 化简，得()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=．∆PMN 的内切圆方程为221x y +=，∴圆心()0,0到直线PM 的距离为11=．…………………5分故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++．易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=．…………………6分同理，有()()20001210x n y n x -+-+=．…………………7分∴m ，n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根． ∴0021y m n x -+=-，()0011x mn x -+=-．…………………8分 ∴()()()()22220020414411x y m n m n mn x x +MN =-=+-=+--．…………………9分2004y x =，0y =，∴()()()()220000220004414116111x x x x x x x +-+MN =+=---．直线F P 的斜率001y k x =-，则()()22002200411y x k x x ==--． ∴2022000011414x k x x x x λ===+-MN -+．…………………10分 函数1y x x=-在()1,+∞上单调递增， ∴001110x x ->-=．∴00144x x -+>． ∴00110144x x <<-+．…………………12分 ∴104λ<<．…………………13分 21.解：（I ）当1a =-时，()x f x e x =-，则()1x f x e '=-．…………………1分 令()0f x '=，得0x =．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．…………………2分 ∴函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． ∴当0x =时，函数()f x 取得最小值，其值为()01f =．…………………4分 （II ）若0x ≥时，()()1ln 1f x x ≥-+，即()ln 110xe ax x +++-≥．（*） 令()()ln 11xg x e ax x =+++-， 则()11x g x e a x '=+++．…………………6分 ①若2a ≥-，由（I ）知1x e x -+≥，即1x e x -≥-，故1x e x ≥+．∴()()1112011x g x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++．…………………8分 ∴函数()g x 在区间[)0,+∞上单调递增．∴()()00g x g ≥=．∴（*）式成立．…………………10分②若2a <-，令()11x x e a x ϕ=+++， 则()()()()222111011x x x e x e x x ϕ+-'=-=≥++． ∴函数()x ϕ在区间[)0,+∞上单调递增．由于()020a ϕ=+<，()111110111a a e a a a a a aϕ--=++≥-++=+>---． 故()00,x a ∃∈-，使得()00x ϕ=．…………………12分 则当00x x <<时，()()00x x ϕϕ<=，即()0g x '<． ∴函数()g x 在区间()00,x 上单调递减．∴()()000g x g <=，即（*）式不恒成立．…………………13分 综上所述，实数a 的取值范围是[)2,-+∞．…………………14分。