云南省玉溪一中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)新人教A版

玉溪一中2013-2014学年上学期期中考试高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =的定义域是（ ）A. ),2[]1,(+∞-∞B. ]2,1[C.)2,1(D. ),2()1,(+∞-∞2.已知3π=a，3log π=b ，)13ln(-=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．a b c <<B. b c a << C ．c b a << D ．b a c <<3.已知α为第二象限角,51cos sin =+αα,则=α2cos （ ）A ．2524-B ．2524 C ．257 D ．257-【答案】D 【解析】试题分析：因为cos 2α公式较多，本题关键是选用哪个公式，这里我们选用cos 2α=22cos sin (cos sin )(cos sin )αααααα-=+-，从而要求我们首先求出cos sin αα-，而cos sin αα-与cos sin αα+的联系是2(cos sin )αα-+2(cos sin )αα-2=，由已知可求得249(cos sin )25αα-=，由于α为第二象限角,故cos 0,sin 0αα<>，从而cos sin 0αα-<，所以7cos sin 5αα-=-，7cos 225α=-．选D ．考点：余弦的二倍角公式及三角函数的符号．4.设βα,分别为两个不同的平面，直线α⊂l ，则“β⊥l ”是 “βα⊥”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.执行如下图所示的程序框图,输出的结果是( )A ．11B ．12C ．13D ．146.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示, 12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有（ ） A ．12x x ＞,12s s ＜B ．12x x =,12s s ＜C ．12x x =,12s s ＞D ．12x x ＜,12s s ＞【答案】B7.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是 直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为 ( )A ．21+B ．222+C ．13D ．22+8.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）A ．26, 16, 8,B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，99.已知{}{}(,)6,0,0,(,)4,0,20x y x y x y A x y x y x y Ω=+≤≥≥=≤≥-≥，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29 【答案】D 【解析】试题分析：本题我们只要作出区域Ω(如图OMN ∆内部(含边界)，以及区域A(OBC ∆内部含边界)，利用解方程组得到各坐标：M(6,0)，N(0,6)，C(4,2)，B(4,0)，计算出OMN∆的面积为18，OBC ∆的面积为4，根据几何概型性质，得点P 落在区域A 内的概率为42=189． y xCBNMO考点：几何概型．10.设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（ ）A. 8B. 4C. 1D.1411.在ABC ∆中,P 是边BC 中点,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,若0cAC aPA bPB ++=,则ABC ∆的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形. 【答案】A 【解析】12.已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠且, 且(1)f x +奇函数.当1x <时,()f x =22x -x -1,那么函数()f x ,当1x >时, ()f x 的递减区间是 ( )A.5[,)4+∞B.5(1,]4C.7[,)4+∞D.7(1,]4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =-，.若//a b ,则实数 k = __________.14.某地区对某段公路上行驶的汽车速度监控,从中抽取200辆汽车进行测速分析,得到如图所示的频率分布直方图,根据该图,可估计这组数据的平均数和中位数依次为 .15.命题:p 关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；命题:q 函数(52)x y a =--是减函数，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 . 【答案】(]2-∞-，）0.01 0.02 0.03 0.0416.已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,365,36a S ==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2) 设2n a nb =,求数列}{n b 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员. 已知参加此次考核的共有56名运动员.（1）考核结束后，从参加考核的运动员中随机抽取了8人，发现这8人中有2人没有达标，有3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数；（2）经过考核，决定从其中的A、B、C、D、E五名一级运动员中任选2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同）. 写出所有可能情况，并求运动员E被选中的概率.（Ⅱ）依题意，从这五人中选2人的基本事件有：（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）（B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E），共10个其中“E被选中”包含：（A、E）（B、E）（C、E）（D、E）4个基本事件，因此所求概率42.105P == 考点：(1)随机抽样；（2）古典概型概率问题.19.(本小题满分12分)已知函数)(1cos 2)62sin()(2R x x x x f ∈-+-=π （1）求)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知21)(=A f ，c a b ,,成等差数列，且9AB AC =，求边a 的值.试题解析：解：（1）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π )62sin(2cos 212sin 23π+=+=x x x 令)(226222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ)(x f 的单调递增区间为)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ20.(本小题满分12分)在三棱锥ABC S -中, ABC ∆是边长为2的正三角形,平面⊥S A C 平面ABC ,SA SC ==F E ,分别为SB AB ,的中点.(1)证明:SB AC ⊥;(2)求锐二面角B CE F --的余弦值;【答案】（1）见试题解析；（2）13．21.．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；(2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.(2)3(8)5m n k m n m n k m n 或--=---+=+-，关于k 的方程由无穷多解，则有20803050m n m n m n m n 或--=-+=⎧⎧⎨⎨--=+-=⎩⎩，故31351(,)(,)2222P P 或--. 考点：(1)点到直线距离公式；（2）方程解的个数问题．22.(本小题满分12分)对于函数()f x 若存在0x R ∈,使得00()=f x x 成立,则称0x 为()f x 的不动点.已知2()=(1)-1(0)f x ax b x b a +++≠(1)当=1,=-2a b 时,求函数(f x ）的不动点;(2)若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,若=()y f x 图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点,且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称,求b 的最小值.(2)即x b x b ax x f =-+++=1)1()(2有两个不等实根,转化为012=-++b bx ax。