数学物理方程期中考参考答案

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学2011 -2012 学年第一学期期中考试A 卷课程名称：数学物理方程 考试形式：闭卷 考试日期： 2011年11月 11日 考试时长：90分钟 本试卷试题由四部分构成，共五页。

一、（ 30分）假设21(),,x C C ϕψ∈∈考虑一维波动方程的初值问题：22222000,0,,(),(),.t t u u a t x t x uu x x x t ϕψ==⎧∂∂-=>-∞<<+∞⎪⎪∂∂⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩证明它的解(,)u x t 由下述的达朗贝尔(D ’Alembert)公式给出:11(,)[()()]().22x atx at u x t x at x at y dy aϕϕψ+-=-+++⎰ 解： 令at x -=ξ，,x at η=+则ηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂uu x u x u x u ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ξηηηξξu u a t u t u t u ， ηξηξ∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 22222222， 222222222.u u u u a t ξηξη⎛⎫∂∂∂∂=+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 代入022222=∂∂-∂∂x u a t u 中，得2240.u a ξη∂-=∂∂………密………封………线………以………内………答………题………无………效……由于02≥a ，即可知 20.uξη∂=∂∂把它关于η积分一次，再关于ξ积分一次，可知它的通解为 ()()(),,u F G ξηξη=+其中F 和G 是任意两个可微的单变量函数。

将ξ和η替换回原来的自变量，则原方程的通解为()()().,at x G at x F t x u -++=由初始条件可得0()()(),t u F x G x x φ==+= （1）()0()()().t ua F x G x x t ψ=∂''=-+=∂ （2） 由（2）式两边积分，得 ()0()()(),xx a F x G x C d ψαα-++=⎰（3）其中0x 是任意一点，而C 是积分常数。

由（1）和（3），解得0011()()(),22211()()().222x x x x C F x x d a aC G x x d a a φψααφψαα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩⎰⎰ 把F, G 代入u 的表达式中，就可得原问题的解11(,)[()()]().22x at x at u x t x at x at d aφφψαα+-=-+++⎰ 将此表达式代入原方程组，易知：若21(),,x C C ϕψ∈∈它确实是一维波动方程的柯西问题的经典解。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……二、（ 25分）求解下面的半无界弦的振动问题：2222000sin ,0,0,(),(),0,0,t t x u ux t x t x u u x x x tu ϕψ===⎧∂∂-=><<+∞⎪∂∂⎪∂⎨==≤<+∞⎪∂⎪=⎩ 其中21(),,x C C ϕψ∈∈并且满足(0)(0)''(0)0.ϕψϕ=== 解：由叠加原理，原问题的解可分解为(),,21u u t x u +=其中1u 和2u 分别是下面问题的解：22220000,0,0,(),(),0,()0,t t x u ut x t x u u x x x I tu ϕψ===⎧∂∂-=><<+∞⎪∂∂⎪∂⎨==≤<+∞⎪∂⎪=⎩和2222000sin ,0,0,0,0,0,()0,t t x u ux t x t x u u x II tu ===⎧∂∂-=><<+∞⎪∂∂⎪∂⎨==≤<+∞⎪∂⎪=⎩问题（I ）对应的柯西问题的解，由达朗贝尔公式给出：()()()()()111,.22x tx tv x t x t x t d φφψαα+-=++-+⎰由题意知()()x x ψϕ,仅在∞<<x 0上给出，为利用达朗贝尔解，必须将()()x x ψϕ,开拓到0<<∞-x 上，为此利用边值条件，得()()()()10.2ttt t d φφψαα-=++⎰因此对任何t 可以令………密………封………线………以………内………答………题………无………效……()()(),0,ttt t d φφψαα-=--=⎰即()(),x x φψ可以奇开拓到0<<∞-x 上。

记开拓后的函数为()()x x ψΦ,：()()()()()()⎩⎨⎧≤--≥=ψ⎩⎨⎧≤--≥=Φ.0,,0,,0,,0,x x x x x x x x x x ψψϕϕ 此时解为 ()()()()()11,.22x tx tU x t x t x t d αα+-=Φ++ψ-+ψ⎰问题（II ）对应的柯西问题的解，可由齐次化原理给出：()()20()1,sin .2x t t x t v x t d d ττξξτ+---=⎰⎰因为sin ξ是奇函数，故（II ）的解奇延拓到全空间后即为()2,v x t 。

因此原问题的解为()()()()()()()111,sin .222x t x t t x t x t u x t x t x t d d d ττααξξτ+-+---=Φ++ψ-+ψ+⎰⎰⎰当t x ≥时，()()()()()⎰⎰⎰-+--+-++-++=)()(0sin212121,τττξξααψϕϕt x t x ttx t x d d d t x t x t x u ()()()()111[2sin sin()sin()];222x tx t x t x t d x x t x t φφψαα+-=++-++-+--⎰当0x t <<时，()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰-+----+---+-+++--+=)()()()(0sin 21sin 212121,τττττξξτξξααψϕϕt x t x t xt t x xt x t t x x t d d d d d x t t x t x u ()()()()111[2sin sin()sin()].222x tt x x t t x d x x t x t φφψαα+-=+--++-+--⎰ 若21(),,x C C ϕψ∈∈并且满足相容性条件：(0)(0)''(0)0,ϕψϕ===则(),u x t是此半无界问题的经典解。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……三、（ 30分）求解下面的初边值问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂=<<>=∂∂-∂∂====.0,0,2sin ,0,0,0,00002222l x x t t x u u l x t u u l x t x ut u π 解： 首先分离变量。

令 )()(),(t T x X t x u =，将它代入方程得 ()()()()0.X x T t X x T t ''''-=则存在常数λ使得()()0,()()0.X x X x T t T t λλ''+=⎧⎨''+=⎩由边界条件得：()()0,(0)0,()0.X x X x X X l λ''+=⎧⎨'==⎩ (1)求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。

1 0<λ时，方程的通解为xxe c ec x X λλ---+=21)(由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=------lle c ec λλλλ解以上方程组，得01=c ，02=c ，故0<λ时得不到非平凡解。

2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+=由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非平凡解。

3 0>λ时，方程的通解为x c x c x X λλsin cos)(21+=………密………封………线………以………内………答………题………无………效……由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得 0cos 2=l c λλ。

为了使02≠c ，必须 0cos=l λ，于是2212⎪⎭⎫⎝⎛+==πλλl n n )2,1,0( =n且相应地得到 x ln x X n π212sin)(+= )2,1,0( =n 将λ代入方程0)()(=+''t T t T λ，解得 t ln B t l n A t T n n n ππ212s i n 212c o s )(+++= )2,1,0( =n 于是 ∑∞=++++=0212sin )212sin 212cos(),(n n n x ln t l n B t l n A t x u πππ 再由初始条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=∑∑∞=∞=00212sin 2122sin 212sin 0n n n n xl n B ln l x x l n A ππππ 解得 0=n Aξπξξππd ln l n B ln 212sin 2sin )12(40++=⎰⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,00,2n n lπ 故原问题的解为 2(,)sinsin.22ltxu x t llπππ=将此表达式代入方程以及初边值条件中验算，可知(,)u x t 是该初边值问题的经典解。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……四、（15分）论述并举例说明惠更斯原理以及波的弥散现象。

要点：由波方程柯西问题的解的泊松公式可知，波的无后效现象（惠更斯原理）和有后效现象（波的弥散）取决于空间维数的奇偶性。

（1）惠更斯原理：奇数维空间（一维除外）中的球面波，传过之后不会留下后续效应。

若波方程的行波解的速度为a,则由泊松公式可知，在离声源M0距离为r的一点M1,只有在时间t=r/a的时候才受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，而过后马上回复到扰动前的状态。

在现实中，如果初始扰动发生在某个有界区域，则一段时间后，影响的区域是一个半径一致的球面簇，其前后阵面（包络面）可以被容易地观察到。

例子：三维的声波。

从某个声源发出声波后，过一段时间传入耳中，并且声音的长短和发出的声音是一样的。

（2）波的弥散：在偶数维空间或一维空间中，波的传播有后续效应。