2010年北京丰台区高考一模试题：数学(理)(1)
北京市丰台区一摸试卷(理)
北京市丰台区2010年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（理）注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2．本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰.3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效.4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损.一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如果aiaiz +-=11为纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．-1或12．设集合[)(]}1,0,log |{},,0,)21(|{2∈==+∞∈==x x y y N x y y M x，则集合N M 是（ ）A ．[)+∞-∞,1)0,(B ．[)+∞,0C ．(]1,∞-D ．)1,0()0,( -∞ 3．若,)21(2210n n n x a x a x a a x ++++=- 则2a 的值是 （ ）A ．84B ．-84C ．280D ．-2804．奇函数)0,()(-∞在x f 上单调递增，若,0)1(=-f 则不等式0)(<x f 的解集是（ ） A ．)1,0()1,(⋃--∞ B ．),1()1,(+∞⋃--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞⋃-5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 （ ） A ．36 B ．48 C ．52 D ．54 6．在ABC ∆，|"||"""AC =⋅=⋅是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设,24,0,0=++>>ab b a b a 则（ ）A ．a+b 有最大值8B ．a+b 有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8 8．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是 （ ） A ．（10，1） B ．（2，10） C ．（5，7） D ．（7，5） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是1cm 2，则CDF ∆的面积是 cm 2.10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是cm 3.11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值为 ，样本数据落在[)14,6内的频数为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==1t y tx （参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 1cos y x （参数[)πθ2,0∈），则圆心到直线l的距离是 .13．在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 .14．函数)10(12≤≤+=x x y 图象上点P 处的切线与直线1,0,0===x x y 围成的梯形面积等于S ，则S 的最大值等于 ，此时点P 的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（12分）已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I ）求实数a 、b 的值； （II ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点. （I ）求证：BD ⊥FG ；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由. （III ）当二面角B —PC —D 的大小为32π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.17．（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91（I ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（II ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ. 18．（13分）已知函数.ln )(xax x f += （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值. 19．（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.（I ）求轨迹C 的方程；（II ）当0=⋅时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点. 20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成： ①;212++<+n n n a a a ②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中 1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素； （II ）设}{n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 证明数列W S n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的M 的最小值M 0，都有)(*N n M d n n ∈≠. 求证：数列}{n d 单调递增.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） BCAABCBC二、填空题（每小题5分，共30分） 9．4 10．324 11．0.09,680 12．2 13．(]4,2 14．)45,21(,45 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a …………4分解得：1,3==b a…………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分 ],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x…………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分）证明：（I ）⊥PA 面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ， ⊂FG 平面PAC ， ∴BD ⊥FG …………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时， FG//平面PBD ， …………9分 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD. …………13分 （III ）作BH ⊥PC 于H ，连结DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ， ∴△PCB ≌△PCD ，∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 主是二面角B —PC —D 的平面角，…………11分即,32π=∠BHD ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角 …………12分连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π,,3tan EC BE EHBEBHE ===∠∴而 ,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC,22tan =∠∴PCA ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22 …………14分解：以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E （I ）),2,21,21(),0,1,1(am m ---=-=002121=+-++=⋅m m FG BDFG BD ⊥∴ …………5分（II ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而),21,21(a -=， 由EP FG λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-λλa a m 22121，解得,1=λ,43=m …………7分,43),0,43,43(G =∴∴故当AC AG 43=时，FG//平面PBD…………9分设平面PBC 的一个法向量为),,,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，而)0,1,0(),,1,1(=-=BC a PC ⎩⎨⎧==-+∴0y az y x ，取z=1，得)1,0,(a u =， 同理可得平面PBC 的一个法向量)1,,0(a =设,所成的角为0， 则,21|32cos||cos |==πθ ,21111,2122=+⋅+∴=a a 1=∴a…………12分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA …………14分17．（14分）解：（I ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p 1，则,419132322121==⨯p p 得 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41…………3分（II ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p ，由（I ）知，211=p所以364949492=⨯+⨯+⨯=p…………9分（III ）ξ的分布列为…………13分 ξ的期望为373644361233613236613610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………14分18．（13分）解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞ …………1分 221)('xax x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的. …………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增， 其最小值为,1)1(<=a f 这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增， 其最小值为,1)1(=f 同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减， 在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以， 函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f 由,,231ln e a a ==+得 …………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减， 其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减，其最小值为,21)(>+=eae f 仍与最小值是23相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e…………13分19．（13分）解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆，其方程为.1422=+y x …………3分（2）将b kx y +=，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k…………5分 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以.0)14(16)44)(41(464222222>+-=-+-=∆b k b k b k ① 设),,(),,(2211y x Q y x P ，则221221414,4128k x x k k x x +=+-=+ ② …………7分且.)()())((2212122121b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=⋅③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0）， 所以),,2(),,2(2211y x y x +=+= 由.0)2)(2(,02121=+++=⋅y y x x AQ AP 得 将②、③代入上式，整理得.05161222=+-b kb k …………10分所以,0)56()2(=-⋅-b k b k 即,562k b k b ==或经检验，都符合条件①当b=2k 时，直线l 的方程为.2k kx y += 显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点. 即直线l 经过点A ，与题意不符. 当k b 56=时，直线l 的方程为).65(56+=+=x k k kx y显然，此时直线l 经过定点)0,56(-点，且不过点A.综上，k 与b 的关系是：,56k b =且直线l 经过定点)0,56(-点…………13分 20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ， 取,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，① 故}{n a 不是集合W 中的元素， …………2分 对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时， 不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+,32433b b b <=+而且有5≤n b ，显然满足集合W 的条件①②，故}{n b 是集合W 中的元素. …………4分 （II ）}{n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c设其公比为q>0，,473323=++∴c q c q c 整理得0162=--q q1121,1,21-==∴=∴n n c c q 1212--=n n S …………7分 对于,212212122,222*+++=-<--=+∈∀n n n n n n n S S S N 有且,2<n S 故W S n ∈}{，且[)+∞∈,2M …………9分 （III ）证明：（反证）若数列}{n d 非单调递增，则一定存在正整数k ，使1+≥k k d d ，易证于任意的k n ≥，都有1+≥k k d d ，证明如下： 假设1,)(+≥≥=k k d d k m m n 时当n=m+1时，由,221212m m m m m m d d d d d d -<<+++++得 而0)2(11121≥-=-->-+++++m m m m m m m d d d d d d d 所以,21++>m m d d所以，对于任意的,,1+≥≥m m d d k n 都有 显然k d d d ,,,21 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以.),(0*00M d N n d d n n n =∈≥从而与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证.…………14分。
北京市丰台区2010—2011学年度第一学期12月模拟考试 高三数学(理科)
北京市丰台区2010—2011学年度第一学期模拟考试高三数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改法，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A C x x x A R S S 那么集合},032|{,2≤--==等于（ ）A ．}31|{>-<x x x 或B ．}13|{>-≤x x x 或C ．}31|{<≤-x xD ．}13|{≤<-x x 2．函数12-=x y 的反函数是（ ）A ．)1)(1(log 2>-=x x yB ．)0(log 12>+=x x yC ．)(121R x y x∈+=D ．)1(121≠=-x y x3．若函数ϕωϕω和则如图部分的图象,)()sin()(+=x x f 的取值是 （ ）A ．3,1πϕω-==B ．3,1πϕω==C ．6,21πϕω-==D ．6,21πϕω==4．若平面向量则且的夹角是与,53||,180)2,1(=-=等于 （ ）A ．（6，－3）B ．（3，－6）C ．（－3，6）D ．（－6，3）5．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若4-=⋅，则点A 的坐标是 （ ）A ．)22,2(),22,2(-B ．（1，2），（1，－2）C ．（1，2）D ．)22,2(6．过坐点原点且与0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为 （ ）A ．x y x y 313=-=或 B ．x y x y 313-=-=或C ．x y x y 313-==或D ．x y x y 313==或7．n xx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．把数列}12{+n 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，……，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第60个括号内各数之和为 （ ） A ．1112 B ．1168 C ．1176 D ．1192第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2010年北京高考试题数学理解析版
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）解析本试卷分第I卷和第n卷两部分。
第I卷1至2页、第n卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第I卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)集合P={x^Z 0Exc3}, M ={x w Rx2兰9}，则PI M =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0 w x<3} (D) {x|0 < x < 3}1, B •解析：P Jo,1,2〉, M = I-3 4,3】，因此P^M hb,1,2"（2）在等比数列taj中,印=1 ，公比q H1 .右a m = 8182838485，则m=解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为3—个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该4A .解析：基本的插空法解决的排列组合问题,几何体的俯视图为(A ) 9(B) 10(C) 11(D) 122, C.8m二內比比印比=q qm =11(B ) A8C9 AX (D ) A8C7将所有学生先排列，有A种排法，然后将两位老师插入9个空解析:2 3 4 10 10q q =q = ，因正（主）視图此有中，共有A 9种排法，因此一共有 A 8A 9种排法。
(5) 极坐标方程(;?-1 )^-7：) =0 ( T _0)表示的图形是(B )两条直线解析：原方程等价于 '二1或-二，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。
(6)若a , b 是非零向量，“ a 丄b ”是“函数f (x)二(xa - b)・(xb - a)为一次函数”的(A )两个圆(C ) 一个圆和一条射线(D ) —条直线和一条射线(A )充分而不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件6, B .解析：f (x) =(xa b)L(xb2—a) =(a b)x +(b— a )x —a ，b ，如a 丄b ，则有a ，b=0，如果同时有 b = a ,则函数恒为0,不是一次函数，因此不充分，而如果 f(x)为一次函数，则a ^0，因此可得a _b ，故该条件必要。
【数学】2010年高考真题北京卷(理)解析版
2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）解析本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} 1，B ． 解析：{}0,1,2P =，[]3,3M =-，因此P M = {}0,1,2（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）122，C ．解析：2341010123451m a a a a a a q q q q q a q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为3，C ．解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C4，A ．解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有88A 种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有29A 种排法，因此一共有8289A A 种排法。
（5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=0（ρ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 5，C ．解析：原方程等价于1ρ=或θπ=，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。
精选北京市丰台区高考一模数学(理)模拟试题有答案
丰台区高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B)(C)(D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1, (B)x<1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6 (C) n≥7 (D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D)=2cos (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2 (D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4 (B)8(C) 12 (D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1<x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C)(D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2010年高考《数学(理科)》试题及参考答案(北京卷)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．π1213B ．π127 C ．π125 D ．－π1254．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A ．54 B ．45 C ．43 D ．345．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+>+b a byax y b x a 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径xyxy xyxyOOOOABCD6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为( ) A ．（0，0），（0，－8） B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A ．42B ．30C ．20D ．1210．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A ．95B ．91C ．88D ．752003年普通高等学校春季招生考试A B CDEFG H JL数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号 二 三总 分 17 18 19 20 21 22 分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r ，则=rR14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）8815．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是16．若存在常数0>p ，使得函数 =)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log)2(log 21221-->--x x x18．（本小题满分12分）rr↑↓（1）（2）xyOPF 1F已知函数)(,2cos 4sin 5cos6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， EF ∩BD=G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .ABCD EFGB 1C 1D 1A 120．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.ABCO 1O 222．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线1l相切，点C在l上.x:-=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p 的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log)2(log21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1c o s 32c o s )1c o s 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一： 连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. （Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d 解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴GB B D BB H D 11111=，∴.1717161442221211=+===GB B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半， 即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴GB BB H D d（Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅===.31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ，整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x xx f BO n-1O nACABCDEFG B 1C 1D 1A 1B 1BG DD 1HB 1BG DD 1H所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---nn n n r r r r所以,12),2(3122111lra n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.① ② )332,31()32,3(-xy 42=l32-332xyA OB P(1,0)-1因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， 即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y . 又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x . 圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--.当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令.过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得.又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。
丰台区2010年高三统一练习数学(理科)C
丰台区2010年高三统一练习数学（理科）C一、选择题（共8小题；共40分）1. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为−1,1，若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是______A. 2,3π4B. 2,−5π4C. 2,11π4D. 2,−π42. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x1，x2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有______A. x1=x2，s1<s2B. x1=x2，s1>s2C. x1>x2，s1>s2D. x1=x2，s1=s23. 已知向量a=1,k，b=2,1，若a与b的夹角为90∘，则实数k的值为______A. −12B. 12C. −2D. 24. 直线x−y+1=0与圆x+12+y2=1的位置关系是______A. 相切B. 直线过圆心C. 直线不过圆心但与圆相交D. 相离5. 设p，q是简单命题，则" p∧q "为假是" p∨q "为假的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知函数f x=log2x，若∣f x∣≥1，则实数x的取值范围是______A. −∞,12B. 2,+∞C. 0,12∪2,+∞ D. −∞,12∪2,+∞7. 设f x,g x是R上的可导函数，fʹx，gʹx分别是f x，g x的导函数，且fʹx g x+f x gʹx<0，则当a<x<b时，有______A. f x g x>f b g bB. f x g a>f a g xC. f x g b>f b g xD. f x g x>f a g a8. 如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是______A. B. 1 C. 255D. 22二、填空题（共2小题；共10分）9. 椭圆x225+y216=1的焦点为F1、F2，过F2垂直于x轴的直线交椭圆于一点P，那么∣PF1∣的值是______．10. 对于各数互不相等的正数数组i1,i2,⋅⋅⋅,i n（n是不小于2的正整数），如果在p<q时有i p<i q，则称" i p "与" i q "是该数组的一个"顺序"，一个数组中所有"顺序"的个数称为此数组的"顺序数"．例如，数组2,4,3,1中有顺序" 2,4 "，" 2,3 "，其"顺序数"等于2．若各数互不相等的正数数组a1,a2,a3,a4,a5的"顺序数"是4，则a5,a4,a3,a2,a1的"顺序数"是______．三、解答题（共2小题；共26分）11. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．（1）求仅一次摸球中奖的概率；（2）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；（3）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列．12. 已知函数f x=x2+ax+2e x x,a∈R．（1）当a=0时，求函数f x的图象在点A 1,f1处的切线方程；（2）若f x在R上单调，求a的取值范围；（3）当a=−52时，求函数f x的极小值．答案第一部分1. D2. B3. C4. B5. B6. C7. A第二部分9. 34510. 6第三部分11. （1）设仅一次摸球中奖的概率为P1，则P1=2C52C102=49.（2）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则P2=C211−P1P1=4081.（3）因为ξ的取值可以是0，1，2，3，Pξ=0=1−P13=125729,Pξ=1=C31P11−P12=300729=100243,Pξ=2=C32P121−P1=240729=80243,Pξ=3=P13=64729,所以ξ的分布列如下表ξ0123 P125729100243802436472912. （1）当a=0时，f x=x2+2e x，fʹx=e x x2+2x+2，f1=3e，fʹ1=5e，所以函数f x的图象在点A 1,f1处的切线方程为y−3e=5e x−1，即5e x−y−2e=0．（2）fʹx=e x x2+a+2x+a+2，考虑到e x>0恒成立且x2系数为正，所以f x在R上单调等价于x2+a+2x+a+2≥0恒成立．所以a+22−4a+2≤0，所以−2≤a≤2，即a 的取值范围是−2,2．（3）当a=−52时，f x= x2−52x+2e x,fʹx=e x x2−12x−12.令fʹx=0，得x=−12,或x=1.令fʹx>0，得x<−12,或x>1.令fʹx<0，得−12<x<1.x，fʹx，f x的变化情况如下表x −∞,−12−12−12,111,+∞fʹx+0−0+f x↗极大值↘极小值↗所以，函数f x的极小值为f1=12e．。
2010年北京各区高考一模二模试题：数学
2010年北京丰台区高考一模试题：数学（理科）注意事项：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2．本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.作图题用2B铅笔作图，要求线条、图形清晰.3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效.4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损.一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．如果aiaiz+-=11为纯虚数，则实数a等于（）A．0 B．-1 C．1 D．-1或12．设集合[)(]}1,0,l og|{},,0,)21(|{2∈==+∞∈==xxyyNxyyM x，则集合NM是（）A．[)+∞-∞,1)0,(B．[)+∞,0C．(]1,∞-D．)1,0()0,(-∞3．若,)21(221nnn xaxaxaax++++=-则2a的值是（）A．84 B．-84 C．280 D．-2804．奇函数)0,()(-∞在xf上单调递增，若,0)1(=-f则不等式)(<xf的解集是（）A．)1,0()1,(⋃--∞B．),1()1,(+∞⋃--∞C．)1,0()0,1(-D．),1()0,1(+∞⋃-5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A．36 B．48 C．52 D．546．在ABC∆，|"||"""AC=⋅=⋅是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设,24,0,0=++>>ab b a b a 则（ ）A ．a+b 有最大值8B ．a+b 有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值88．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是（ ）A ．（10，1）B ．（2，10）C ．（5，7）D ．（7，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是1cm2，则CDF ∆的面积是 cm2.10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm3.11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值为 ，样本数据落在[)14,6内的频数为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==11t y x （参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+==θθsin 1cos y x （参数[)πθ2,0∈），则圆心到直线l 的距离是 .13．在右边的程序框图中，若输出i 的值是4， 则输入x 的取值范围是 .14．函数)10(12≤≤+=x x y 图象上点P 处的切线与直线1,0,0===xxy围成的梯形面积等于S，则S的最大值等于，此时点P的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（12分）已知函数xbxaxf cossin)(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I）求实数a、b的值；（II）若]2,0[π∈x，求函数)(xf的最大值及此时x的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.（I）求证：BD⊥FG；（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由.（III）当二面角B—PC—D的大小为32π时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.17．（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91（I）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（II）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ.18．（13分）已知函数.ln )(x ax x f +=（I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.19．（13分） 在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.（I ）求轨迹C 的方程； （II ）当0=⋅AQ AP 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成：①;212++<+n n n a a a②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素；（II ）设}{n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 证明数列WS n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的M 的最小值M0，都有)(*N n M d n n ∈≠. 求证：数列}{n d 单调递增.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1.B2.C3.A4.A5.B6.C7.B8.C二、填空题（每小题5分，共30分）9．4 10．32411．0.09,680 12．213．(]4,214．)45,21(,45 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a…………4分解得：1,3==b a…………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x …………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分） 证明：（I ）⊥PA面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ， ⊂FG平面PAC ，∴BD ⊥FG…………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时，FG//平面PBD ， …………9分 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD.…………13分（III ）作BH ⊥PC 于H ，连结DH ， ∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ， ∴△PCB ≌△PCD ， ∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 主是二面角B —PC —D 的平面角， …………11分即,32π=∠BHD∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角…………12分连结EH ，则PCEH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π,,3tan EC BE EH BEBHE ===∠∴而,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC,22tan =∠∴PCA∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22 …………14分解：以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E （I ）),2,21,21(),0,1,1(am m FG BD ---=-= 002121=+-++=⋅m mFG BD⊥∴…………5分（II ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而),21,21(a -=，由λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-λλa a m 22121，解得,1=λ,43=m…………7分,43),0,43,43(AC AG G =∴∴故当AC AG 43=时，FG//平面PBD …………9分设平面PBC 的一个法向量为),,,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BC u ，而)0,1,0(),,1,1(=-=BC a PC⎩⎨⎧==-+∴00y az y x ，取z=1，得)1,0,(a u =，同理可得平面PBC 的一个法向量)1,,0(a =设v u ,所成的角为0，则,21|32cos||cos |==πθ即,21111,21||||22=+⋅+∴=a a v u1=∴a…………12分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA …………14分17．（14分）解：（I ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p1，则,419132322121==⨯p p 得 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41…………3分（II ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p ，由（I ）知，211=p师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：9徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：所以3674191419442912=⨯+⨯+⨯=p …………9分（III ）ξ的分布列为…………13分ξ的期望为373644361233613236613610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………14分18．（13分）解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞…………1分221)('xax x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的.…………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论： ①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，其最小值为,1)1(<=a f这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增，其最小值为,1)1(=f同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减，在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以，函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f由,,231ln e a a ==+得…………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减，其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减，其最小值为,21)(>+=e a e f仍与最小值是23相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e…………13分19．（13分） 解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆，其方程为.1422=+y x…………3分（2）将b kx y +=，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k…………5分因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以.0)14(16)44)(41(464222222>+-=-+-=∆b k b k b k ① 设),,(),,(2211y x Q y x P ，则 221221414,4128k x x k k x x +=+-=+ ② …………7分且.)()())((2212122121b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=⋅③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0），所以),,2(),,2(2211y x y x +=+= 由.0)2)(2(,02121=+++=⋅y y x x AQ AP 得将②、③代入上式，整理得.05161222=+-b kb k…………10分 所以,0)56()2(=-⋅-b k b k即,562k b k b ==或经检验，都符合条件① 当b=2k 时，直线l 的方程为.2k kx y +=显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点.即直线l 经过点A ，与题意不符.当k b 56=时，直线l 的方程为).65(56+=+=x k k kx y显然，此时直线l 经过定点)0,56(-点，且不过点A. 综上，k 与b 的关系是：,56k b =且直线l 经过定点)0,56(-点 …………13分20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ，取,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，①故}{n a 不是集合W 中的元素， …………2分对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时，不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+ ,32433b b b <=+而且有5≤nb ， 显然满足集合W 的条件①②，故}{n b 是集合W 中的元素. …………4分（II ）}{n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和， ,47,4133==S c设其公比为q>0， ,473323=++∴c q c q c 整理得0162=--q q 1121,1,21-==∴=∴n n c c q1212--=n n S …………7分 对于,212212122,222*+++=-<--=+∈∀n n n n n n n S S S N 有 且,2<n S 故W S n ∈}{，且[)+∞∈,2M …………9分（III ）证明：（反证）若数列}{n d 非单调递增，则一定存在正整数k ，使1+≥k k d d ，易证于任意的k n ≥，都有1+≥k k d d ，证明如下：假设1,)(+≥≥=k k d d k m m n 时 当n=m+1时，由,221212m m m m m m d d d d d d -<<+++++得而0)2(11121≥-=-->-+++++m m m m m m m d d d d d d d所以,21++>m m d d所以，对于任意的,,1+≥≥m m d d k n 都有 显然k d d d ,,,21 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以.),(0*00M d N n d d n n n =∈≥从而与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证. …………14分。
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2010年北京丰台区高考一模试题：数学（理）(1)
一、选择题（共7小题；共35分）
1. 如果为纯虚数，则实数等于______
A. B. C. D. 或
2. 若，则的值是______
A. B. C. D.
3. 若在上是减函数，则的取值范围是______
A. B. C. D.
4. 从，，中取一个数字，从，，中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的
三位数的个数是______
A. B. C. D.
5. 在中，“ ”是“ ” 的______
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 设，，，则______
A. 有最大值
B. 有最小值
C. 有最大值
D. 有最小值
7. 已知整数对排列如下：，，，，，，，，，，
，，，则第个整数对是______
A. B. C. D.
二、填空题（共1小题；共5分）
8. 函数图象上点处的切线与直线，，围成的梯形面积等
于，则的最大值等于______，此时点的坐标是______．
三、选择题（共1小题；共5分）
9. 设集合，，则集合是______
A. B.
C. D.
四、填空题（共3小题；共15分）
10. 在平行四边形中，点是边的中点，与交于点，若的面积是，
则的面积是______ ．
11. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为
（参数），则圆心到直线的距离是______．
12. 在如图的程序框图中，若输出的值是，则输入的取值范围是______．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C
4. B
5. C
6. B
7. A
第二部分
8. ；
第三部分
9. C
第四部分
10.
11.
12.。