201X春九年级数学下册 第三章 圆小结与复习教学课件(新版)北师大版
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北师大版数学九年级下册《第三章 圆 章末复习》教学课件
O
M
A
N
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。
即：∵PA、PB 是的两条切线， ∴PA = PB， PO 平分∠BPA。
圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算 O
B
在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2.
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C +∠BAD = 180°，
∠B +∠D = 180°， ∠DAE = ∠C .
切线的性质与判定定理
（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一O 定理.
章末复习
北师版 九年级下册
《圆》知识点 知识回顾
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理、切线长定理 • 圆内正多边形 • 扇形弧长、面积公式
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定 长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中 ，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论.
圆心角定理
也即：①∠AOB =∠DOE ②AB = DE ③OC = OF ④ BAED
M
A
N
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。
即：∵PA、PB 是的两条切线， ∴PA = PB， PO 平分∠BPA。
圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算 O
B
在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2.
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C +∠BAD = 180°，
∠B +∠D = 180°， ∠DAE = ∠C .
切线的性质与判定定理
（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一O 定理.
章末复习
北师版 九年级下册
《圆》知识点 知识回顾
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理、切线长定理 • 圆内正多边形 • 扇形弧长、面积公式
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定 长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中 ，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论.
圆心角定理
也即：①∠AOB =∠DOE ②AB = DE ③OC = OF ④ BAED
北师大版九年级数学下册第三章《圆》小结与复习课件
半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为_2__5___2_．
考点五 切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切． 理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°， 即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所 对的圆心角
正多边 形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边 形的有 关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
考点五 切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切． 理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°， 即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所 对的圆心角
正多边 形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边 形的有 关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件(共39张PPT)
A．点P B．点Q C．点R D．点M
[解析] B 该是点Q.
圆心既在AB的中垂线上又在 BC的中垂线上，由图可以看出圆心应
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
►
考点二
垂径定理及其推论
第三章 圆 圆的复习
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
内心
.
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
[解析] B 该是点Q.
圆心既在AB的中垂线上又在 BC的中垂线上，由图可以看出圆心应
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
►
考点二
垂径定理及其推论
第三章 圆 圆的复习
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
内心
.
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，过点M的⊙O最长的弦为10 cm，
最短的弦长为8 cm，那么OM= _____3cm.
得到右端，也 可以从右端得
dp
点P在⊙O内
d＜到左r 端。 r
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d=r
d
r
p
d＞r P d
r
探究与实践
1、平面上有一点A，经过A点的圆有几个？ 圆心在哪里？
●
●O
● ●A O O
●O
●
O
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离
探究与实践
2、平面上有两点A、B，经过点A、B的圆 有几个？它们的圆心分布有什么特点？
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
❖ 如图,在以下五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
AB的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 ●B
┏ ●O
●C
两条垂直平分线的交点O的位置.
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
别是方程x －2 6x＋8＝0的两根，那么点A与⊙O的位置关系是
〔D〕
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
❖ 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ❖ 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
意一个角度α，都能与原来的图形重合。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 复习课件.ppt
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
别是方程x－2 6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是
（D）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
1、如图,已知⊙O的半径OA长 为5,弦AB的长8,OCA⊥C=ABBC于C, 则OC的长为 ___3____.
A
O
半径 弦心距
C 半弦长 B
E
2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
图2
4.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆 心角是＿＿6＿0度,圆周角是＿＿＿30＿或1＿50＿度.
O A
B
5：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，
如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 D
CD.
∵ ∠ AOC=140 ° ∴ ∠ D=70 °
A B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径
A
O
B ∴ ∠ACB=900
性质5: 圆内接四边形对角互补。
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°， OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，B4C0=_____；20 3
3
AB于P，则AP＝ 3 。
D
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
北师大版数学九下第三章圆章末复习课件
例4 如图3-Z-7所示, 在半径为 5, 圆心角等于45°的扇形AOB内部
作一个正方形CDEF, 使点C 在OA上, 点D, E在OB上, 点F在
上, 则阴影部分的面积为
. (结果保留π)
分析 如图3-Z-7所示, 连接OF, 由∠COD= 45°, 四边形CDEF是正方形 , 知OD=CD=DE=EF, 于是在Rt△OFE中, OE=2EF. ∵OF= EF 2+OE 2=OF 2, ∴EF 2+(2EF)2=5, 解得EF=1, ∴OD=CD=EF=1, ∴S阴影=S扇形OAB -S△OCD-S正方形CDEF=
相关题4 如图3-Z-8所示, 圆心角为120°的扇形OMN绕着正 六边 形ABCDEF的中心O 旋转, OM交AB于点H, ON 交CD于点K, OM>OA. (1)求证:△AOH≌△COK; (2)若AB=2, 求正六边形 ABCDEF与 扇形OMN重叠部分的面积.
解：(1)证明：如图，∵多边形 ABCDEF 是正六边形，
(2)如图，连接 CD.
∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴AD＝ DE2＋AE2＝ 62＋32＝3 5.
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°.
又∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，
∴AADE＝AADC，即3
3
5＝ AC ， 35
∴AC＝15，∴⊙O 的半径是 7.5.
解 (1)直线CD与⊙O相切. 理由：如图3-Z-5所示, 连接OC. ∵CA=CB, ∴OC⊥AB. ∵CD∥AB, ∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半径, ∴直线CD与⊙O相切. (2)∵CA=CB, ∠ACB=120°, ∴∠ABC=∠BAC=30°, ∴∠DOC=2∠ABC =60°, ∴∠D=90°-∠DOC =30°, ∴OD=2OC=4. 在Rt△ODC中, CD=
九年级数学下册第三章圆总结提升课件(新版)北师大版
本章总结提升
问题5 与圆有关的计算
怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形的面积公式？扇 形的面积公式有两个，具体计算时你知道如何选择吗？
本章总结提升
问题2 弧、弦与圆心角的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关 系？这些关系和圆的对称性有什么联系？
本章总结提升
例 2 如图 3－T－1，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠AOB＝40°，则∠ADC 的
度数是( C ) A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
图3－T－1
本章总结提升
1 [解析] 如图(a)，由垂径定理不难求得 CE＝2CD＝4 cm，连接 OC，则 OC＝5 cm， 由勾股定理易求 OE＝3 cm，所以 AE＝2 cm.同理，在图(b)中，AE＝8 cm.故答案 为 2 cm 或 8 cm.
本章总结提升
【归纳总结】垂径定理是解决线段相等、角相等、垂直关系等问 题的重要依据，应结合图形深刻理解、熟练掌握，并灵活运 用．应用时注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实 际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等； ②在利用垂径定理解决问题时，常常把问题转化到由半径、弦的 一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．
图3－T－2
本章总结提升
解：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°. ∵AP 过圆心 O，∴AP 平分∠BAC，AP 为⊙O 的直径， ∴∠CAP＝30°，∠ACP＝90°，
11 ∴∠CBD＝∠CAP＝30°，CP＝2AP＝2×10＝5(cm)． 在△CAP 和△CBD 中， AC＝BC，∠CAP＝∠CBD，AP＝BD，∴△CAP≌△CBD，∴CP＝CD. ∵∠CPD＋∠BPC＝∠BAC＋∠BPC＝180°， ∴∠CPD＝∠BAC＝60°，∴△PCD 为等边三角形，∴PD＝CP＝5 cm. (2)同(1)可证明得到△CAP≌△CBD，∠CPD＝∠BAC＝60°，则CP＝CD，
201X版九年级数学下册 第三章 圆 1 圆教学课件(新版)北师大版
第三章 圆
1圆
1.知道圆的有关定义及表示方法. 2.掌握点和圆的位置关系. 3.会根据要求画出图形.
人民币
硬币
美元
英镑
生
一石激起千层浪
活
剪
奥运五环
影
骆驼祥子
乐在其中
福建土楼 小憩片刻
观察车轮，你发现了什么？
车轮为什么做成圆形? 车轮做成三角形、正方形可以吗？
探究
（1）如图，A，B表示车轮边缘
当OP满足下列条件时，分别指出点Ａ与⊙Ｏ的位置关系：
当OP＝６cm时， 点Ａ在⊙Ｏ内部 ;
当OP＝10cm时， 点Ａ在⊙Ｏ上
;
当OP＝14cm时， 点Ａ在⊙Ｏ外部
.
3.已知⊙O的面积为25π，判断点P与⊙O的位置关系． （1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ； （2）若PO=4，则点P在 圆内 ； （3）若PO= 5 ，则点P在圆上． 4.已知圆P的半径为3，点Q在圆P外，点R在圆P上，点H在圆 P内，则PQ__＞____3，PR__＝____3,PH__＜____3.
5.一个点到已知圆上的点的最大距离是8，最小距离是2， 则圆的半径是_5_或__3__.
1.（上海·中考）矩形ABCD中，AB＝8，BC 3 5 ，点P在
边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径 的圆，那么下列判断正确的是（ ） A.点B，C均在圆P外 B.点B在圆P外、点C在圆P内 C.点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B，C均在圆P内 【解析】选C.由题意知，PB=6，PA=2，PD=7， PC=9， 所以点B在圆P内、点C在圆P外.
2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块
长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种
1圆
1.知道圆的有关定义及表示方法. 2.掌握点和圆的位置关系. 3.会根据要求画出图形.
人民币
硬币
美元
英镑
生
一石激起千层浪
活
剪
奥运五环
影
骆驼祥子
乐在其中
福建土楼 小憩片刻
观察车轮，你发现了什么？
车轮为什么做成圆形? 车轮做成三角形、正方形可以吗？
探究
（1）如图，A，B表示车轮边缘
当OP满足下列条件时，分别指出点Ａ与⊙Ｏ的位置关系：
当OP＝６cm时， 点Ａ在⊙Ｏ内部 ;
当OP＝10cm时， 点Ａ在⊙Ｏ上
;
当OP＝14cm时， 点Ａ在⊙Ｏ外部
.
3.已知⊙O的面积为25π，判断点P与⊙O的位置关系． （1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ； （2）若PO=4，则点P在 圆内 ； （3）若PO= 5 ，则点P在圆上． 4.已知圆P的半径为3，点Q在圆P外，点R在圆P上，点H在圆 P内，则PQ__＞____3，PR__＝____3,PH__＜____3.
5.一个点到已知圆上的点的最大距离是8，最小距离是2， 则圆的半径是_5_或__3__.
1.（上海·中考）矩形ABCD中，AB＝8，BC 3 5 ，点P在
边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径 的圆，那么下列判断正确的是（ ） A.点B，C均在圆P外 B.点B在圆P外、点C在圆P内 C.点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B，C均在圆P内 【解析】选C.由题意知，PB=6，PA=2，PD=7， PC=9， 所以点B在圆P内、点C在圆P外.
2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块
长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种
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十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式：
l n R 180
（2）扇形面积公式：
S nR2 1lR
360 2
A
O
S
l
B
考点一 圆的有关概念及性质
例1 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO 等于（ B ） A．30° B．40° C．50° D．60°
例2 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°, 则∠BAD的度数是（ B ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
三角形的内心到三角形的三边的距
A
离相等.
D
F
重要结论
I
r 2S ； abc
┐
E
C
九、圆内接正多边形
概念
A
A
F
圆心角
B
半径R
O圆心
弦心距r
类比学习
问题1
B中心角
圆内接正多边形
中心
O半径R
边心距r
E
弦a
C MD
CM D
外接圆的圆心
外接圆的半径
每一条边所 对的圆心角
正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
A
B
C
D
例3 ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d 分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位 置关系是（ D） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的 两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A 与 ☉O的关系.
例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设 钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
C
解析 设圆心为O，连接AO,作出过
点O的弓形高CD，垂足为D,可知
O
8mm
AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 A 进行计算，AD=4mm，所以
弦心距
正多边形的边心距
计算公式
1.正n边形的中心角= 3 6 0
n
2.正多边形的内角= (n 2) 180
n
F
E
a
3.正n边形的边长a，半径R，边心距r
A
O
D
之间的关系： R2 r2 (a)2.
2
R r
BP C
4.边长a，边心距r的正n边形面积的计算：
S 1nar 1lr. 22
其中l为正n边形的周长.
1
∠BAC= ∠BOC
2
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
D
E
C
O A
B
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是 同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
推论：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
C
A
O
B
六、直线和圆的位置关系
l d
r
●C
●
O
●B d ●A
点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
点到圆心的距离d与圆的半 径r之间的关系
d﹥r d=r d﹤r
三、圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是
它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一
个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
B D
AB=8mm.
（
针对训练
3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2, 连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为 E,F，连接EF，则EF的长度等于 2 .
AE C
F
O 图a
B
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆
（ （
上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等．
四、垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对
的两条弧.
C
A
B
M└
●O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
●r
直线与 圆心与直线 圆的位 的距离d与 置关系 圆的半径r
的关系
相离dLeabharlann r相切d=r相交
d﹤r
直线与 直线名称 圆的交
点个数
—
0
切线
1
割线
2
七、切线的判定与性质 1.切线的判定一般有三种方法： a.定义法：和圆有唯一的一个公共点 b.距离法： d=r c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2.切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径.
3.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线
段的长称为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长
相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
针对训练
1.如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°， 则∠BOD等于（ C ） A．50° B．40° C．100° D．80°
2.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为 劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的 度数是 135° .
A
D
O
B
C
图Pa
考点二 垂径定理
D
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦
C
所对的两条弧.
A ┗●M B
●O
n由 ① CD是直径 ③ AM=BM
D
可推得
②④CA⌒CD=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
五、圆周角和圆心角的关系 定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做 圆周角. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角的一半.
动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值
是3
.
C
D
A
PO P B
D’
图b
考点三 切线的判定与性质
例5 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直 径的☉O交AC于点D，连接BD.
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.
解：（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°. ∵AD=3，BD=4，∴AB=5. ∵∠CDB=∠ABC， ∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC，
第三章 圆
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、圆的基本概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组 成的图形叫做圆.
2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
．
(3)弦心距
O
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
二、点与圆的位置关系