7. 场论运算
场论
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
并 矢 并 矢
rr rr r r r r r r r r r rr rr AB⋅ CD = A B⋅ C D = A B⋅ C AD ≠ CD⋅ AB
(
)
(
)
(
)
两并矢的二次点乘
3( y − y′)( z − z′) ∂ z − z′ ∂ 1 =− 3 = ( z − z′) 3 ∂y r ∂y r r5
标量Байду номын сангаас与矢量场
r r ∂ r ∂ r ∂ r ∂A x ∂A y ∂A z r r ∇⋅ A = ex + ey + ez ⋅ ex A x + ey A y + ez A z = + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
(
)
r r ∂Az ∂Ay r ∂Ax ∂Az r ∂Ay ∂Ax ∇× A = ex − − − + ey + ez ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y
3 3 x − x′ 3 y − y′ = 3 + ( x − x′) − 4 + ( y − y′) − r4 r +L= 0 r r r
例题
证明 证：
r r r ∇⋅ ϕ A = ϕ∇⋅ A+∇ϕ ⋅ A
r ∂ ∂ ∂ ∇⋅ ϕ A = (ϕ Ax ) + (ϕ Ay ) + (ϕ Az ) ∂x ∂y ∂z
场论的相关数学理论word资料35页
场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场1、场的概念设有一个区域（有限或无限）V，如果V内每一点M，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(Muu=；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A)(M，其中M表示区域V中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz以后，空间中的点M由它的三个坐标x、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x、、y、zuu=（2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A)(x、、y、（2.1.2）来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面第 1 页第 2 页有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、数量场的等值面在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数zy x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
场论的名词解释
场论的名词解释引言：场论（Field Theory），是物理学中的一个重要分支。
它被广泛应用于粒子物理学、相对论、统计力学等领域，为我们理解自然界的基本原理提供了一种深入的思考方式。
本文将对场论进行详细解释和探讨，带领读者进入这个神秘而美妙的世界。
1. 场的概念与特性在物理学中，场是一种描述物质或物质运动的物理量分布的数学对象。
它可以是标量场（Scalar Field）、矢量场（Vector Field）、张量场（Tensor Field）等。
场具有局部性、连续性和相对性等基本特性。
局部性意味着场的值在空间中的任意一点都是独立的；连续性表示场的取值在空间中任意两点之间是连续变化的；相对性则是指场的取值与观察者的参考系有关。
2. 场的基本描述场论采用数学上的场方程来描述和推导物理现象。
典型的场方程包括著名的波动方程、麦克斯韦方程组和薛定谔方程等。
这些方程可以通过变分原理和作用量原理来推导，从而获得代表系统演化的微分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到描述场的物理量和它们随时间和空间的变化而变化的解。
3. 场与粒子的关系场论的一个重要概念是“场粒子二重性”。
根据量子力学的观点，场与粒子是密不可分的。
简单来说，场是描述粒子的数学对象，而粒子则是场的激发或扰动。
例如，在量子场论中，电子场和正电子场可以相互作用，从而产生电子-正电子对。
这种相互作用过程可以通过费曼图等图形进行描述，使我们对粒子的产生和湮灭有更直观的理解。
4. 场的量子化场论的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
在经典场论中，场是连续的，而在量子场论中，场被量子化成离散的粒子。
量子场论采用了量子力学和量子统计的框架，引入了算符和正则量子化方法等技巧，从而使得场可以像粒子一样被描述。
量子场论的发展为我们理解基本粒子和宇宙微观结构提供了理论基础。
5. 场论的应用和发展场论的应用广泛涉及微观和宏观世界的各个领域。
在粒子物理学中，场论为我们理解基本粒子的相互作用提供了框架。
场论运算
之间的距离，R 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点
和源点求R的梯度。
场源点
R
场点（观察点）
ห้องสมุดไป่ตู้
r
o 坐标原点
大理大学工程学院 罗凌霄编写
r
2
第一种情况：
源点固定，R是场点的函 数，对场点求梯度，则有
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
R ( x x)2 ( y y)2 ( z z)2
R ( y y) 同理可得： , y R R ( z z) z R
故得到： R ex R ey R ez R ex ( x x) ey ( y y) ez ( z z) x y z R R R
1 r r R e ( x x ) e ( y y ) e ( z z ) eR R x y z R R R
计算 r 的散度
x y z r 3 x y z r x y z 0 x y z
计算 R 的散度
R (r r ) r r 3 0 3
R (r r ) r r 0 3 3
ex r x x ex
ey y y ey y y
ez 0 z z ez 0 z z
8
计算 r 的旋度
大理大学工程学院 罗凌霄编写
r
x x
计算 R 的旋度
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
R (r r ) r r 0
场论知识点整理
*1.【圆函数】e (φ)=cos φi +sin φj .*2.a.弧长的微分ds =以点M 为界,当ds 位于s 增大一方时取正号;反之取负号.b.矢性函数的微分的模,等于(其矢端曲线的)弧微分的绝对值.矢性函数(其矢端曲线的)弧长s 的导数d r /ds 在几何上为一切单位矢量,恒指向s 增大的一方.+3.证明||.ds d d r t dt=证,d dx dy dz dtdt dtr i j k dt =++d dt r =由于ds 与dt 有相同的符号,故有.ds d dt dt r ===由此可知:矢端曲线的切向单位矢量.d d ds d d dt dt dt dtd r s r r r ==*4.【二重矢积】公式：a ×(b ×c )=(a ·c )b -(a ·b )c .+5.矢性函数A (t)的模不变的充要条件是.d d A A t•=0证假定|A |=常数,则有A 2=|A |2=常数.两端对t 求导[左端用导数公式],就得到.d d A A t •=0反之,若有.d d A A t •=0则有,d dt A =20从而有A 2=|A |2=常数.所有有|A |=常数.定常矢量A (t)与其导矢相互垂直.*6.''.A B A dt t B B A d ×=×+×∫∫''.A B A dt t B B A d •=•−•∫∫+7.一质点沿曲线r =rcos φi +rsin φj 运动,其中r,φ均为时间t 的函数.求速度v 在矢径方向及其垂直方向上的投影v r 和v φ.解将r 写成r =r e (φ),则有()().d dr d r dt dt v d r e e t ϕϕϕ==+1由此可知：,.r dr d v v r dt dtϕϕ==[使用圆函数e (φ)，则e (φ)及e 1(φ)之方向即为矢径方向及与之垂直的方向.]*8.【矢量线】A =A x i +A y j +A z k 为单值、连续且有一阶连续导数。
向量的场论和场方程
向量的场论和场方程向量场是在每个点上为向量的一组函数。
想象一个空间，其中所有点都有一个标量场。
描述这个场的标量只是描述每个点上的标量值。
但是，如果我们想在空间上描述物理过程，例如电磁场或流体流动，必须考虑到每个点上向量场的存在。
因此，我们需要一种方法，可以使我们描述向量场在空间上的行为。
这就是向量场论的目的。
场方程告诉我们如何计算场的变化，并告诉我们场如何随时间变化。
场方程是一种数学公式，它通过给出导致场变化的原因来描述该场。
场方程描述了场在空间上的行为和时间上的演变。
当考虑已知特定条件下的向量场时，我们可以通过求解场方程来获得解决这种固定问题的来获得方法。
场方程的解决方案可以告诉我们向量场在空间上的分布和随时间的演变。
一个经典的例子是电磁场的场方程。
描述电磁场的场方程分为两个部分，即“麦克斯韦方程组”和“洛伦兹力定律”。
麦克斯韦方程组描述了电和磁场如何相互作用，以及电磁波是如何传播的。
麦克斯韦方程组包含四个方程，其中两个描述电场如何随时间和空间变化，而另两个描述磁场如何随时间和空间变化。
洛伦兹力定律描述了电荷如何与电磁场相互作用。
当电荷在电场中运动时，它会受到力的作用。
这个力是由电场和磁场的交互作用引起的。
解决麦克斯韦方程组和洛伦兹力定律的解决方案可以告诉我们电磁场在空间上的分布和随时间的演变。
这有助于我们理解电磁波如何传播，以及电荷如何在电磁场里运动。
场方程不仅适用于电磁场，还适用于其他场。
场方程也适用于静态场，这些场在时间上没有变化。
场方程提供了描述物理过程的重要数学工具，它们可以告诉我们如何计算向量场的变化，并描述它们随时间和空间的演变。
在物理学中，场的存在导致了解决许多问题的新方法。
场理论提供了描述电磁场、引力场和其他场的工具。
通过研究向量场论和场方程，我们可以更好地理解这些场在空间上的分布和随时间的演变。
场论基础试题及答案
场论基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 场论中，场的强度定义为：A. 场源的密度B. 场源的分布C. 场对单位测试电荷的作用力D. 场源的总电荷量答案：C2. 电场强度的方向是：A. 从正电荷指向负电荷B. 从负电荷指向正电荷C. 垂直于等势面D. 与电场线平行答案：B3. 根据麦克斯韦方程组，变化的磁场可以产生：A. 恒定电场B. 变化的电场C. 恒定磁场D. 变化的磁场答案：B4. 电磁波在真空中的传播速度是：A. 光速B. 声速C. 光速的一半D. 声速的两倍答案：A5. 洛伦兹力的方向与电荷运动方向的关系是：A. 垂直B. 平行C. 相反D. 相同答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 电场强度的单位是________。
答案：牛顿/库仑2. 磁场强度的单位是________。
答案：特斯拉3. 电磁波的频率与波长的关系是________。
答案：频率与波长成反比4. 根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场可以产生________。
答案：电场5. 电磁波的传播不需要________。
答案：介质三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述电场和磁场的关系。
答案：电场和磁场是电磁场的两个方面，它们相互关联，可以相互转换。
变化的磁场可以产生电场，而变化的电场也可以产生磁场。
2. 什么是电磁波？请简述其特性。
答案：电磁波是由电场和磁场交替变化产生的波动现象。
电磁波的传播不需要介质，可以在真空中传播，具有波长和频率，且波速在真空中是一个常数。
3. 麦克斯韦方程组包含哪四个方程？请简述它们的意义。
答案：麦克斯韦方程组包括高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
高斯定律描述了电荷分布与电场的关系；高斯磁定律表明磁场是由电流产生的；法拉第电磁感应定律描述了变化的磁场产生电场的现象；安培环路定律则描述了电流和磁场之间的关系。
4. 洛伦兹力是如何定义的？请简述其作用。
答案：洛伦兹力是运动电荷在电磁场中受到的力，其大小和方向由电荷量、电荷速度、电场强度和磁场强度共同决定。
场论一些基本知识
在下面的公式中，r = xi + yj + zk 为矢径，r = r = x 2 + y 2 + z 2 是 r 的模，r = r r 是 单位矢径， f ( u ) 是 u 的复合函数。
两个矢量的数积(或称点积)
A 、 B 两矢量，夹角为 θ (≤ π ) ，其数积或点积定义为 Ai B = A B cos θ = Ax BxБайду номын сангаас+ Ay By + Az Bz
(A-1)
两矢量的数积中，既可将 B cos θ 看成是矢量 B 在 A 上的投影，也可将
A cos θ 看成是矢量 A 在 B 上的投影，因此，若 A 、 B 两大量相互垂直则必然有
ε ijk
上式表示 ε123 = ε 231 = ε 312 = 1 ， ε132 = ε 213 = ε 321 = −1 ，其余分量为 0。由此可知， ε ijk 中任 意两个自由指标对换，对应分量相差一个负号，如 ε132 = −ε123 故 ε ijk 称为置换符号。
二、哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算子
2.三种常见坐标系
柱坐标系、球坐标系及其速度分量 (a) 柱坐标系；(b) 球坐标系
1) x − y − z 直角坐标系 三个正交坐标轴的方向为 q1 = x, q2 = y, q3 = z 拉梅系数 h1 = h2 = h3 = 1
x, y, z 三个坐标方向的单位矢量为 e1 = i , e2 = j , e3 = k
速度矢量 v = vR eR + vθ eθ + vϕ eϕ
三、矢量与场论的基本定义与公式
A.1 矢量运算基本公式
直 角 坐 标 系 下 ， 任 意 矢 量 A 表 示 为 A = Ax i + Ay j + Az k ， 矢 量 A 的 模 为
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x y z 1 r r ex ey ez (ex x ey y ez z) er r r r r r r r r r ex ey ez 0 x y z
e x ( ) e y ( ) x x y y e z ( ) z z
(ex ey ez ) (ex ey ez ) x y z x y z
x x
x x
ey
y y
ez
z z
ex
ey
ez
2 2 2 2 2 2 ex ey ez z y y z x z z x y x x y 0
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计算r的梯度
r r r r ex ey ez x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r x2 y2 z2
r 1 2 x ( x y 2 z 2 ) 1 2 2 x x 2 r
场源点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r ex x ey y ez z r ex x ey y ez z
r 0 r 0
R ( r r ) r r 0 R ( r r ) r r 0
7
计算 r 的旋度
ex r x x ex r x x ey y y ey y y ez 0 z z ez 0 z z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r ex x ey y ez z r ex x ey y ez z
( f ) ( f ) f ( f ) f f f f f
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15
公式(d)
( f g ) g ( f ) f ( g )
f y f x f x f z z x z x y 2 fy 2 fx 2 fz xy xz yz
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12
设 , 代表标量场，g , f 代表矢量场
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1
, A , A
2 2 2
之间的距离，R 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点
和源点求R的梯度。
场源点
设 R ( x x ) ( y y ) ( z z )
为源点 r 与场点r
R
场点（观察点）
计算 r 的散度
x y z r 3 x y z x y z r 0 x y z
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计算 R 的散度
R (r r ) r r 3 0 3 R ( r r ) r r 0 3 3
r 0 r 0
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9
（Ⅰ）标量场的梯度必定为无旋场，即
0
f
（Ⅱ）（逆定理）反之，无旋场可表示为一个标量场的梯度。 若
f 0
则
（Ⅲ) 矢量场的旋度必定为无源场（无散场），即 f 0
R 1 ( x x) 2 2 2 1 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2( x x ) x 2 R
R ( y y ) , y R R ( z z ) z R
R R R ( x x) ( y y) ( z z) R ex ey ez ex ey ez x y z R R R 1 r r R e ( x x ) e ( y y ) e ( z z ) eR x y z R R R
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(Ⅲ)矢量场的旋度必定为无源场（无散场），即 f 0
ex ( f ) e x ey ez y z x x fx f z f y x y z y 2 fy 2 fx 2 fz yx zx zy 0 ey y fy ez z fz
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计算r'的梯度
r r r r ex ey ez x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r x2 y2 z2
r 1 2 x ( x y2 z2 ) 1 2 2 x x 2 r
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场源点 场点固定，R是源点的函 数，对源点求梯度，则有
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
R (xx)2 (y y)2 (z z)2
R R R R ex ey ez x y z
R 1 ( x x) 2 2 2 1 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2( x x )(1) x 2 R
( f ) f f ( f ) f f ( f g ) g ( f ) f ( g )
( )
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
r y , y r r z z r
x y z 1 r r ex ey ez (ex x ey y ez z) er r r r r r r r r r ex ey ez 0 x y z
(Ⅳ) （逆定理）无源场（无散场）可表示为一个矢量场的旋度，即 若
f 0
则
f A
10
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(Ⅰ)、标量场的梯度必定为无旋场，即
0
ex
ex
ey y y
ez z z
( )
ex r x x ex r x x
ey y y ey y y
ez 0 z z ez 0 z z
8
计算 r 的旋度
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计算 R 的旋度
( f g) (g ) f ( g) f ( f )g ( f )g
( ) 2
( g f ) f ( g ) ( f ) g g ( f ) ( g ) f
故
( )
也可以这样简洁地推演
( ) ( ) ( ) () ( )
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14
公式(b)
( f ) f f
ex ey ez x y z
( f ) ( f ) f ( f ) f f f f f
公式(c)
( f ) f f
2 ( f ) ( f ) f
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公式(a)
( )
ex ey ez x y z
( ) e x ( ) e y ( ) e z ( ) x y z
R ( y y ) , y R R ( z z ) z R
R R R ( x x) ( y y) ( z z) R ex ey ez ex ey ez x y z R R R 1 r r R e ( x x ) e ( y y ) e ( z z ) e x y z R R R R R
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计算 r 的散度
x y z r 3 x y z x y z r 0 x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r ex x ey y ez z r ex x ey y ez z
r
o 坐标原点
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r
2
场源点 源点固定，R是场点的函 数，对场点求梯度，则有
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
R (xx)2 (y y)2 (z z)2
R R R R ex ey ez x y z