高一段考考试数学试题
高一最难数学考试卷
高一最难数学考试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个不是奇函数？A. y = x^3B. y = sin(x)C. y = cos(x)D. y = |x|2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(x+1)的值。
A. 2x - 1B. 2x + 1C. 2x - 5D. 2x - 43. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，下列不等式中正确的是：A. a + b > 0B. a - b < 0C. a + b < 0D. a - b > 04. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，求前n项和Sn。
A. 2^(n+1) - n - 2B. 2^(n+1) - n - 1C. 2^(n+1) - 2n - 2D. 2^(n+1) - 2n - 15. 若复数z满足z^2 = 1，求z的值。
A. z = 1B. z = -1C. z = iD. z = -i6. 已知直线l1: y = 2x + 1与直线l2: y = -x + 3平行，求直线l3: ax + by + c = 0与l1垂直的条件。
A. a = -2bB. a = 2bC. b = -2aD. b = 2a二、填空题（每题4分，共20分）7. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是________。
8. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第10项a10的值是________。
9. 已知圆的方程为(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25，求圆心坐标是________。
10. 若向量a = (3, -1)，向量b = (2, 4)，则向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = ________。
11. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a = 5，b = 3，求椭圆的焦点到中心的距离c是________。
东北师范大学附属中学2024年高一上学期9月阶段性考试数学试题(解析版)
2024-2025学年东北师大附中 高一年级数学科试卷上学期阶段性考试考试时长：90分钟 试卷总分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1. 下列元素的全体可以组成集合的是（ ） A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上四大洋 D. 优秀的高中生【答案】C 【解析】【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.详解】由题意，选项ABD ，都不满足集合元素的确定性，选项C 的元素是确定的，可以组成集合. 故选：C.2. 若全集R U =，集合{}0,1,2,3,4,5,6A =，{|3}B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}【答案】A 【解析】【分析】根据图中阴影部分表示()U A B 求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示()U A B ，{}|3U Bx x =≥ ，则(){}3,4,5,6U B A = .故选：A3. 命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定为（ ）的【A. []1,3x ∃∈−，2320x x −+≥B. []1,3x ∃∈−，2320x x −+>C. []1,3x ∀∈−，2320x x −+≥D. []1,3x ∃∉−，2320x x −+≥【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.【详解】命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定是[]1,3x ∃∈−，2320x x −+≥. 故选：A4. 已知集合{}240A x x=−>，{}2430B x xx =−+<，则A B = （ ）A. {}21x x −<< B. {}12x x <<C. {}23x x −<<D. {}23x x <<【答案】D 【解析】【分析】解出集合,A B ，再利用交集含义即可.【详解】{}{2402A x xx x =−>=或}2x <−，{}{}2430|13B x xx x x =−+<=<<，则{}23A Bx x ∩=<<.故选：D.5. 若,,a b c ∈R ，0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b> B. a c b c >C. 2ab b >D. ()()2211a c b c −>−【答案】C 【解析】【分析】对BD 举反例即可，对AC 根据不等式性质即可判断. 【详解】对A ，因为0a b >>，则11a b<，故A 错误； 对B ，当0c =时，则a c b c =，故B 错误；对C ，因为0a b >>，则2ab b >，故C 正确； 对D ，当1c =时，则()()2211a c b c −=−，故D 错误. 故选：C.6. “2a <−”是“24a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出不等式24a >，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】24a >，解得2a >或2a <−，则“2a <−”可以推出“24a >”，但“24a >”无法推出“2a <−”， 则“2a <−”是“24a >”的充分不必要条件. 故选：A .7. 关于x 的一元二次方程(1)(4)x x a −−=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的说法是（ ） A. 当0a =时，11x =，24x = B. 当0a >时，1214x x << C. 当0a >时，1214x x <<< D. 当904a −<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x −−=的二实根为121,4x x ==，A 正确； 对于B ，方程(1)(4)x x a −−=，即2540x x a −+−=，254(4)0a ∆=−−>，解得94a >−， 当0a >时，1244x x a =−<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =−−，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确； 对于D ，当904a −<<时，12254(4,)4x x a =−∈，D 正确.故选：B8. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220Bx xax x x b =+++=，且 R A B ∩=∅ ，则集合B 的子集个数为（ ）．A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ∩=∅R 可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数. 【详解】由题设可知，[]{}{}Z |31,2A x x =∈<<=，又因为()A B ∩=∅R ，所以A B ⊆， 而()(){}22|20B x xax x x b =+++=，因为20x ax 的解为=0x 或x a =−，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=−， 所以1,2分属方程20x ax 与220x x b ++=的根，若1是20x ax 的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b × × ，解得=1=8a b −− ， 代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =−，故{}0,1,2,4B=−；若2是20x ax 的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b × × ，解得=2=3a b −− ，代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =−，故{}0,1,2,3B=−；所以不管1,2如何归属方程20x ax 与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16. 故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，则（ ） A. 0a < B. 不等式0ax c +>的解集是{|6}x x > C. 0a b c ++< D. 不等式20cx bx a −−<的解集为11(,)32【答案】BC 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集用a 表示,b c ，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，得1,6−是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，A 错误；对于B ，16,16b ca a−+=−−×=，则5,6b a c a =−=−， 不等式0ax c +>，即60ax a −>，解得6x >，B 正确； 对于C ，56100a b c a a a a ++=−−=−<，C 正确；对于D ，不等式20cx bx a −−<，即2650ax ax a −+−<，整理得()()31210x x −−>，解得13x <或12x >，D 错误. 故选：BC10. 已知x y 、都是正数，且满足2x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. xy 的最大值为1B.+的最小值为2C. 11x y+的最小值为2D. 2211x y x y +++的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.【详解】对于A ，由0,0x y >>，2x y +=，得2()12x y xy +≤=，当且仅当1xy ==时取等号，A 正确；对于B2+≤，当且仅当1xy ==时取等号，B 错误； 对于C，1111111()()(2)(22222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=， 当且仅当1xy ==时取等号，C 正确； 对于D ，222211111111111111x y x y x y x y x y x y −+−++=+=−++−+++++++ 11111111[(1)(1)]()(2)11411411y x x y x y x y x y ++=+=++++=++++++++1(214≥+=，当且仅当1111y x x y ++=++，即1x y ==时取等号，D 正确. 故选：ACD11. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥ ∗=−< ，已知集合222{0},{R |()(1)0}A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=|，则下面正确结论正确的是（ ）A. a ∃∈R ，()3C B =B. a ∀∈R ，()2C B ≥C. “0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件D 若{}R1S a A B =∈∗=∣，则()4C S = 【答案】AC 【解析】【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可. 【详解】对于A ，当2a =时，{}0,2,1B =−−，此时()3C B =，A 正确；对于B ，当0a =时，{}0B =，此时()1C B =，B 错误；.对于C ，当0a =时，{}0B =，则()1C B =，而{}0,1A =−，()2C A =，因此1A B ∗=；当1A B ∗=时，而()2C A =，则()1C B =或3，若()1C B =，满足2Δ40a a ==−< ，解得0a =； 若()3C B =，则方程20x ax 的两个根120,x x a ==−都不是方程210x ax ++=的根，且20Δ40a a ≠ =−=，解得2a =±，因此“0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件，C 正确； 对于D ，由1A B ∗=，而()2C A =，得()1C B =或3，由C 知：0a =或2a =±，因此{}0,2,2S =−， 3C S ，D 错误.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知集合{}A x x a =<，{}13B x x =<<，若A B B = ，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a ≥ 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由A B B = ，得B A ⊆，而{}A x x a =<，{}13B x x =<<，则3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥. 故答案：3a ≥13.若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______． 【答案】18 【解析】【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当()2722AB AC AB AC +=+⋅最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】如图所示：为在Rt ABC △中，90,A BC ==而直角三角形周长l AB BC CA AB CA =++=++，由勾股定理可知(222272AB CA BC +===，若要使l 最大，只需+AB AC 即()2222722AB AC AB AC AB AC AB AC +=++⋅=+⋅最大即可， 又22272AB AC AB AC ⋅≤+=，等号成立当且仅当6AB AC ==， 所以()2722144AB AC AB AC +=+⋅≤，12AB AC +≤，12l ≤+， 等号成立当且仅当6AB AC ==， 此时，其面积为11661822S AB AC =⋅=××=. 故答案为：18.14. 若不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立，则实数x 取值范围是______． 【答案】(]),2∞∞−−∪+【解析】【分析】根据主元法得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案.【详解】由不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立， 得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，令()()212g a x a x x =+−−+，得22(0)20(1)120g x x g x x x =−−+≤ =+−−+< ， 解得(]),2x ∈−∞−+∞，∴实数x的取值范围是(.故答案为：(]),2∞∞−−∪+.四、解答题（本题共3小题，共47分）15. 设集合U =R ，{}05Ax x =≤≤，{}13B x m x m =−≤≤． （1）3m =，求()U A B ∪ ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．的【答案】（1）{|5x x ≤或}9x > （2）12m <−或513m ≤≤. 【解析】【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得B A ，讨论集合B 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【小问1详解】当3m =时，可得{}|29B x x =≤≤，故可得{|2U B x x =< 或}9x >，而{}|05A x x =≤≤， 所以(){|5U A B x x ∪=≤ 或}9x >. 【小问2详解】由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件可得B A ； 当B =∅时，13m m −>，解得12m <−，符合题意； 当B ≠∅时，需满足131035m m m m −≤−≥ ≤，且10m −≥和35m ≤中的等号不能同时取得，解得513m ≤≤； 综上可得，m 的取值范围为12m <−或513m ≤≤. 16. （1）已知03x <<，求y =的最大值； （2）已知0x >，0y >，且5x y xy ++=，求x y +的最小值； （3）解关于x 的不等式()2330ax a x −++<（其中0a ≥）． 【答案】（1）92；（2）2+；（3）答案见解析 【解析】【分析】（1）化简得y，再利用基本不等式即可；（2）利用基本不等式构造出252x y x y + ++≤，解出即可；（3）因式分解为(3)(1)0ax x −−<，再对a 进行分类讨论即可.【详解】（1）()229922x x y +−=≤=，当且仅当229x x =−，即229x x =−，即x =时等号成立.则y =的最大值为92. （2）因为 0,0x y >>, 且 5x y xy ++=, 则252x y x y xy + ++≤，解得2x y +≥ 或 2x y +≤−（舍去），当且仅当1x y ==时等号成立，则x y +的最小值为2+.（3）不等式()2330ax a x −++<化为(3)(1)0ax x −−<，（其中0a ≥）， 当0a =时，解得1x >；当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a−−<，若0<<3a ，即31a>，解得31x a <<；若3a =，x 无实数解； 若3a >，即31a <，解得31x a<<， 所以当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >； 当0<<3a 时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<； 当3a =时，原不等式的解集为∅； 当3a >时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<. 17. 已知方程()220,x mx n m n −+−=∈R（1）若1m =，0n =，求方程220x mx n −+−=的解；（2）若对任意实数m ，方程22x mx n x −+−=恒有两个不相等的实数解，求实数n 的取值范围；（3）若方程()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，且()2121248x x x x +−=，求221221128x x x x x x +−+的最小值． 【答案】（1）2x =或1−；（2）2n <（3）【解析】【分析】（1）由题意得到220x x −−=，求出方程的根；（2）由根的判别式大于0得到()21124n m <++，求出()211224m ++≥，从而得到2n <； （3）由韦达定理得到1212,2x x m x x n +==−，代入()2121248x x x x +−=中得到24m n =，结合立方和公式化简得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，令8t m m =−，由单调性得到81333t −=≥，结合基本不等式求出22122112832x x t x x x x t +−=+≥+，得到答案. 【小问1详解】1m =，0n =时，220x x −−=，解得2x =或1−；【小问2详解】()222120x mx n x x m x n −+−=⇒−++−=，故()()2Δ1420m n =+−−>，所以()21124n m <++， 其中()211224m ++≥，当且仅当1m =−时，等号成立， 故2n <；【小问3详解】()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，()2Δ420m n =−−>，由韦达定理得1212,2x x m x x n +==−，故()2212124488x x x x m n +−=−+=，所以24m n =，此时80∆=>， 所以()()2222331211221212211212121212888x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +−+++−=−=−+++ ()()()221212121212336882x x x x x x m m n x x x x n m ++−−+ −=−+−，因为24m n =， 所以2222122221126284488883282244m m m m x x m m m x x x x m m m m m +−+ +−=−=−=−++−−−， 令8t m m =−，其在3m ≥上单调递增，故81333t −=≥，故22122112832x x t x x x x t +−=+≥+ 当且仅当32t t=，即=t 时，等号成立， 故221221128x x x x x x +−+的最小值为【点睛】关键点点睛：变形得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值.。
高一数学考试试题及答案
高一数学考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 3D. -3答案：A2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标为：A. (2,-1)B. (2,1)C. (-2,1)D. (-2,-1)答案：A4. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，则圆心坐标为：A. (2,3)B. (-2,-3)C. (-2,3)D. (2,-3)答案：A5. 直线y=2x+3与x轴的交点坐标为：A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3/2)D. (0, 3/2)答案：B6. 函数y=|x|的图像是：A. 一条直线B. 两条直线C. 一条曲线D. 两条曲线答案：B7. 已知等差数列{an}的前三项分别为2, 5, 8，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 函数y=sin(x)的周期为：B. 2πC. π/2D. 4π答案：B9. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, 5)，则a·b的值为：A. -1B. 11C. -11D. 1答案：C10. 圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，则该圆的半径为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=3x-2的反函数为______。
答案：y=(1/3)x+2/312. 已知等比数列{bn}的前三项分别为3, 6, 12，则该数列的公比为______。
13. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2+b^2=c^2，则该三角形为______三角形。
答案：直角14. 函数y=1/x的图像在第二象限内是______的。
答案：递减15. 已知向量a=(4, 1)，b=(2, -3)，则|a+b|的值为______。
成都七中2023届高一上期第一次阶段性考试——数学
成都七中2023届高一上期第一次阶段性考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列对象不能组成集合的是(A)不超过20的质数(B)π的近似值(C)方程21x 的实数根(D)函数2,R y x x 的最小值2. 函数()f x的定义域为(A)[3,1] (B)[1,3] (C)[1,3] (D)[3,1]3. 下列四组函数中,表示相等函数的一组是(A)()||,()f x x g x(B)2()()f x g x(C)21(),()11x f x g x x x (D)()()f x g x4. 当02x 时,22a x x 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)(,0) (B)(,0] (C)(,1] (D)(,1)5. 已知集合{|(1)(2)0},A x x x 集合{|0}1xB x x ,则A B (A){|20}x x (B){|12}x x (C){|01}x x (D)R6. 我们用card 来表示有限集合A 中元素的个数,已知集合2{R |(1)0}A x x x ,则card()A (A)0 (B)1 (C)2 (D)37. 已知实数,a b 满足4a b ,则ab 的最大值为(A)2 (B)4 (C) (D)8.设函数()f x 满足(0)1,f 且对任意,R,x y 都有(1)()()()2f xy f x f y f y x 则(1)f(A)2 (B)9. 已知函数212 ()2, 1x x xf x x x(A) (B)(C)10. 某公司2020一整年的奖金有如方案1：奖金10万元方案2：前半年的半年奖金4.5万元方案3：第一个季度奖金2万元方案4：第n 个月的奖金 基本奖金如果你是该公司员工,你选择的奖金(A)方案1 (B)方案2 (C)方案11.已知函数2()48f x kx x k 的值为(A)45(B)012. 已知函数1(),f x x x()g x (A)()()f x g x 是奇函数(B)f (C)()()f x g x 的最小值为4二、填空题：本大题共4小题,每小2 (C)1 ,0,0.x 则函数()y f x 的图象是(D)金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性,后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的,以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加7000元 200n 元 的奖金方案是 3 (D)方案4在[5,10]上单调递减,且()f x 在[5,10]上的最小(C)0或45(D)则下列结论中正确的是 ()()x g x 是偶函数(D)()()f x g x 的最小值为3第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.(D)1一次性发放). 1.2倍 上增加5000元 最小值为32 ,则实数0或1713.方程260x x p 的解集为,M 方程260x qx 的解集为,N 且{1},M N 那么p q14. 函数21,[3,5]x y x x的最小值是 15.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x 时,32()f x x x , 则(1)f16. 已知平行四边形ABCD 的周长为4,且30ABC ,则平行四边形ABCD 的面积的取值范围为三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(1)已知集合{1,2,3},{2,1,1,3},A B 全集,U A B 求()U C A B ；(2)解关于x 的不等式(1)()0x x a ,其中R.a18.(本小题满分12分)对于任意的实数,,a b min{,}a b 表示,a b 中较小的那个数,即,min{,}.,a a ba b b a b已知函数2()3,()1.f x x g x x(1)求函数()f x 在区间[1,1] 上的最小值；(2)设()min{(),()},R h x f x g x x ,求函数()h x 的最大值.19.(本小题满分12分)已知函数()f x(1)用描点法画出函数()f x 的图象；(2)用单调性的定义证明函数()f x 在1(,)2上单调递增.参考公式：a b ,其中0,0.a b 参考列表如下：20.(本小题满分12分)设函数()f x 是定义在区间I 上的函数,若对区间I 中的任意两个实数12,x x ,都有1212()()(,22x x f x f x f 则称()f x 为区间I 上的下凸函数. (1)证明：2()f x x 是R 上的下凸函数； (2)证明：已知0,0a b ,则221.(本小题满分12分)据百度百科,罗伯特 纳维利斯是一位意大利教师,他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说,家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成,据某位专家量化研究发现,适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升,过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0,一个填空题约量化为1.6,一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量m 对应的关联函数 4, 010, 40, 1020,()1003,2030, 10, 30.m m m h m m m m家庭作业量m 对应的学习成绩提升效果()f m 可以表达为坐标轴x 轴,直线x m 以及关联函数()h m 所围成的封闭多边形的面积()S m 与m 的比值(即()()S m f m m).通常家庭作业量m 使得()30f m 认为是最佳家庭作业量.(1)求(10),(10)S f 的值； (2)求()f m 的解析式；(3)成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题),问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量?22.(本小题满分12分)已知函数21()|1|,R.f x x x 我们定义211312()(()),()(()),,f x f f x f x f f x11()(()).n n f x f f x 其中2,3,.n(1)判断函数1()f x 的奇偶性,并给出理由； (2)求方程13()()f x f x 的实数根个数；(3)已知实数0x 满足00()(),i j f x f x m 其中1,0 1.i j n m 求实数m 的所有可能值构成的集合.。
2022-2023学年广东省中山市第一中学高一上学期第二次段考数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省中山市第一中学高一上学期第二次段考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,1,0,2,3A x x B =≤=-，则()R A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}0,1,2D ．{}1x x >-【答案】B【分析】先求得{}1R A x x =>，然后利用集合的交集运算求解即可.【详解】因为{}1A x x =≤，所以{}1R A x x =>，又因为{}1,0,2,3B =-，所以(){}2,3R B A ⋂=. 故选：B.2．命题“关于x 的方程220ax x --=在()0,∞+上有解”的否定是（ ）A ．()20,,20x ax x ∃∈+∞--≠B ．()2–,0,20x ax x ∃∈∞--=C ．()20,,20x ax x ∀∈+∞--≠ D ．()20,,20x ax x ∀∈+∞--=【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为原命题即为“()0,x ∃∈+∞，220ax x --=”是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即为“()0,x ∀∈+∞，220ax x --≠”， 故选：C3．函数()lg(31)f x x =+的定义域是（ ） A ．113⎛⎤- ⎥⎝⎦， B ．113⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．()1-∞，D ．13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【分析】利用函数有意义列出不等式组求解即可.【详解】解：()lg(31)f x x +有意义，则10310x x -≥⎧⎨+>⎩得113x ≤-<，故选：A.4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V 和五分记录法的数据L 满足510L V -=，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（注： 1.25） A ．0.6 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.5【答案】B【分析】当 4.9L =时50.10.11101010L V --===，即可得到答案. 【详解】由题意可得当 4.9L =时50.10.11110100.810 1.25L V --===≈= 故选：B5．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数x y e =为增函数，则0.501a e e =>=； 对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<； 对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 6．函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. 【详解】()10110f =-=-<，()1121022f =-=>， 且函数()21log f x x x=-的定义域是()0,∞+，定义域内2log y x =是增函数，1y x =-也是增函数，所以()f x 是增函数，且()()120f f <， 所以函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为()1,2. 故选：B【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.7．已知函数()228,11,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩的最小值为()1f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【分析】首先分析函数性质，得出最小值出现在228y x ax =-+上，再结合二次函数求最小值问题，以及分段函数最值，得出a 的范围，从而可以求解.【详解】因为1y x a x=++在()1,∞+上单调递增，无最小值，所以根据题意可知，()f x 的最小值必出现在228,1y x ax x =-+≤上.根据分段函数性质，228,1y x ax x =-+≤在1x =处取值小于或等于1y x a x =++在1x =处的取值，则1282a a -+≤+,解得73a ≥. 228y x ax =-+在1x =处取得最小值，由二次函数性质可得对称轴x a =在1x =的右边，即1a ≥.综上7,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，故A 不符合题意.故选：A8．已知函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,4]-B ．[2,4]-C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】A【分析】由题意根据复合函数的单调性，结合对数函数的性质，可得t ＝x 2﹣ax +4a ＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数，故有224240a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+⎩＞，由此解得a 的范围．【详解】∵函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2，+∞）上是减函数，又12log y t =是减函数， ∴t ＝x 2﹣ax +4a ＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数， ∴224240aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+⎩＞，解得﹣2＜a ≤4， 故选A ．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．二、多选题9．已知条件p ：2{|60}x x x +-=，条件q ：{|10}x xm +=，且p 是q 的必要条件，则m 的值可以是（ ） A ．12B ．13C ．-12D ．0【答案】BCD【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设2{|60}{3,2}A x x x =+-==-，{|10}B x xm =+=, 因为p 是q 的必要条件，所以B A ⊆，当B =∅时，由10+=mx 无解可得0m =，符合题意；当B ≠∅时，{2}B =或{3}B =-，当{2}B =时，由210m +=解得12m =-，当{3}B =-时，由310m -+=解得13m =. 综上，m 的取值为0，12-，13.故选：BCD10．下列各结论正确的是（ ）A ．“0xy >”是“0xy>”的充要条件 B 2C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=D ．若,a b c d >>，则()()ln ln ab cd > 【答案】AC【分析】根据充要条件、基本不等式、一元二次不等式的解、对数比较大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，由于00x xy y >⇔>，所以“0xy >”是“0xy>”的充要条件，A 选项正确.B2≥，=B 选项错误.C 选项，由于不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<， 所以1-是一元二次方程220ax x c ++=的根， 则20,2a c a c -+=+=，所以C 选项正确.D 选项，4,1,3,2,,,4,6a b c d a b c d ab cd ====>>==，此时()()ln ln ab cd <，所以D 选项错误. 故选：AC11．已知函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增，且()f x 关于1x =对称，则（ ） A ．()()13f f -< B ．()()211xf f +<C ．()1f x +为偶函数D ．任意R x ∈且0x ≠，都有()()23x xf f <【答案】CD【分析】由函数()f x 在[)1,+∞单调递增，且关于1x =对称，可知函数在(],1-∞上单调递减，结合指数函数的性质判断选项正误.【详解】对于A ，因为函数()y f x =图象关于1x =对称，所以(1)(3)f f -=，A 错误； 对于B ，因为20x >，所以211x +>，又因为函数()f x 在[)1,+∞单调递增， 所以(21)(1)x f f +>，B 错误；对于C ，因为()f x 的图象向左平移一个单位即(1)f x +的图象，函数()y f x =图象关于1x =对称，则(1)f x +的图象关于y 轴对称，是偶函数，C 正确；对于D ，函数()f x 在[)1,+∞单调递增，且关于1x =对称，函数在(],1-∞上单调递减， 当0x <时，321x x <<，所以(2)(3)x x f f <， 当0x >时，123x x <<，所以(2)(3)x x f f <， 综上，R x ∀∈且0x ≠，都有(2)(3)x x f f <，D 正确. 故选：CD.12．已知函数()12ax a f x x -+=+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞B ．当函数()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，32a = C ．当13a <时，()f x 在()2,+∞上单调递减D ．设定义域为R 的函数()g x 关于(2,2)-中心对称，若2a =，且()f x 与()g x 的图象共有2022个交点，记为(),i i i A x y （1i =，2，…，2022），则()()1122x y x y ++++()20222022x y ++的值为0【答案】ACD【分析】对A ：由20x +≠即可判断；对B ：由13()2af x a x -=++，可得()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，从而即可判断；对C ：13()2af x a x -=++，且130a ->，即可判断；对D ：由函数()f x 和()g x 图象关于(2,2)-对称，则()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，从而即可求解判断.【详解】解：对A ：要使函数1()2ax a f x x -+=+有意义，则20x +≠，即2x ≠-，∴()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞，所以选项A 正确； 对B ：∵1(2)21()22ax a a x a a f x x x -++--+==++132aa x -=++，∴()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，∴当函数()f x 的图象关于点(2,3)-成中心对称时，3a =，所以选项B 不正确； 对C ：由选项B 知13()2a f x a x -=++，当13a <时，130a ->，∴13()2af x a x -=++在(2,)-+∞单调递减，所以选项C 正确； 对D ：∵2a =，135()222a f x a x x --=+=+++， ∴()f x 的图象关于(2,2)-对称，又函数()g x 的图象关于(2,2)-对称， ∴()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，()()()112220222022x y x y x y ∴++++++()()()1220221220222022220222x x x y y y =++++++=⨯-+⨯404440440=-+=，所以选项D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2），则f （27）的值为____________． 【答案】3【分析】根据幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2）求出a 的值，再求f （27）的值.【详解】幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=13，∴f （x ）=13x ，∴f （27）=1327=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．设a b 23x ==，且111a b+=，则x 的值为______．【答案】6【分析】由2a=3b=x ，根据对数的定义，分别表示出a 与b ，代入111a b+=中，利用对数的运算法则即可求出x 的值．【详解】由a b 23x ==，得到x2a log =，x3b log =，代入111a b+=中得：x x 23111log log +=，即lg2lg3lg61lgx lgx lgx +==， 得到lgx lg6=，即x 6=． 故答案为6【点睛】此题考查学生掌握对数的定义及运算法则，是一道基础题．15．函数(),y f x x R =∈，且()(1)f x f x =-+，当(0,1]x ∈时，()3x f x =，则(2)f =_______． 【答案】3-【分析】根据所给函数的性质可推出(2)()f x f x +=，利用此性质结合(0,1]x ∈上函数的解析式即可求解.【详解】因为()(1)f x f x =-+，即(1)()f x f x +=-， 所以()(2)(1)()()f x f x f x f x +=-+=--=， 故(2)(3)(32)(1)3f f f f =-=--=-=-， 故答案为：3-16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t =有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围. 【详解】由题意知，令1242xx -=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点， 所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t <<四、解答题 17．计算：(1))320431682181-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)9log 26619log 8log 33++． 【答案】(1)518(2)3【分析】（1）根据指数幂运算法则运算求解即可； （2）根据对数运算法则运算求解即可.【详解】（1）解：)())33224340043331622821221181343---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+-+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝=⎭+⎢⎥⎣⎦32751328833⎛⎫=+= ⎪⎝=+⎭（2）解：91log 2366666619log 8log 32log 8log 32log 2log 333++=++=++= 18．已知集合()(){}(){}2340,30||1xA x x xB y y x =+-≥==+>．(1)求集合(),A B A B ⋂⋃R ；(2)若集合{}|22C x m x m =-≤≤且()A C C ⋂=R ，求m 的取值范围． 【答案】(1)[)4,A B =+∞，()3,2A B ∞⎛⎫⋃=-+ ⎪⎝⎭R(2)1(,2)(,2)2m ∈-∞-【分析】(1)利用一元二次不等式的解法以及指数函数的性质结合集合的交并补运算即可求解；(2)根据集合的包含关系分类讨论即可求解.【详解】（1）由()()2340x x +-≥解得32x ≤-或4x ≥，所以[)3,4,2A ⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦,因为0x >，所以31x >，所以312x y =+>， 所以()2,B =+∞. 所以[)4,A B =+∞，3,4,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R所以()3,2A B ∞⎛⎫⋃=-+ ⎪⎝⎭R（2）因为()A C C ⋂=R ，所以RC A ⊆，(i)若22m m ->，即2m <-，C =∅满足题意， （ii ）若22m m -≤，即2m ≥-，因为R C A ⊆，所以32224m m ⎧->-⎪⎨⎪<⎩，解得122m <<. 综上1(,2)(,2)2m ∈-∞-19．设函数()223y ax b x =+-+．(1)若1x =时，3,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值；(2)若=-b a ，求不等式1y ≤的解集． 【答案】(1)92(2)见解析【分析】（1）乘1法解决即可；（2）分0a =，0a ≠种情况讨论即可.【详解】（1）当1x =时，3,0,0y a b =>>, 所以2a b +=，所以122a b+=，所以141412529222222222a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22b aa b=，即2b a =， 因为2a b +=，所以24,33a b ==时，取等号，所以14a b +的最小值为92.（2）若=-b a ，则()223y ax a x =-++，因为不等式1y ≤， 所以2(2)20ax a x -++≤，①当0a =时，不等式化为220x -+≤，解得1x ≥，不等式的解集为{}|1,x x x ≥∈R ， ②当0a ≠时，不等式化为(1)(2)0x ax --≤，令2(2)20ax a x -++=，解得1221,x x a==， 所以 当0a >时，若2a =，不等式解得1x =；若2a >，因为21a <，不等式解得21x a ≤≤，不等式解集为2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若02a <<，因为21a <，不等式解得21x a ≤≤，不等式解集为21,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当a<0时，显然21a <，不等式解得2x a ≤或1x ≥，不等式的解集为[)2,1,a ∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【答案】(1)()0.125,()f x x g x ==(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，写出年收益的解析式，利用换元法可得.【详解】（1）由题意可设(),()f x mx g x ==由图知，函数()f x 和()g x 的图象分别过点(1,0.125)和(1,0.5)，代入解析式可得0.125,0.5m n ==，所以()0.125,()f x x g x ==（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，用于投资风险型产品的资金为20x -，年收益为y ，则10.125(8y x x =+=+，[0,20]x ∈令t =2211(420)[(2)24]88y t t t =---=---，[0,t ∈ 当2t =，即16x =时，max 3y =，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.21．已知函数()2121x x a f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数. (1)求实数a 的值；(2)解关于x 的不等式()()223130f x x f x +-+-<；(3)是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1 (2){}12x x -<<(3)存在，()3-+【分析】（1）根据()00f =求解并检验即可；（2）先证明函数单调性得()f x 在R 上为增函数，再根据奇偶性与单调性解不等式即可； （3）根据题意，将问题方程()()22120x x k k -+-=有两个不相等的实数根，再利用换元法，结合二次方程根的关系求解即可.【详解】（1）解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a =. 此时()2121x x f x -=+，()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，满足. 所以1a =（2）解：由（1）知，()2121x x f x -=+， 12,x x ∀∈R 且12x x <，则()()12121221212121x x x x f x f x ---=-++ ()()()()()()()()()21212121122121212122221212121x x x x x x x x x x -+--+-==++++. ∵12x x <，∴12220x x -<，1210x +>，2210x +> ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在R 上为增函数∴原不等式可化为()()22313f x x f x +-<--，即()()22331f x x f x +-<-∴22331x x x +-<-，∴220x x --<∴12x -<<，∴原不等式的解集为{}12x x -<<（3）解：设存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则()()22mn k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()()22m n f m k f n k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴方程()2x f x k =，即21221x x x k -=+有两个不相等的实数根 ∴方程()()22120x x k k -+-=有两个不相等的实数根令2x t =，则0t >，故方程()210t k t k -+-=有两个不相等的正根故()2140100k k k k ⎧++>⎪+>⎨⎪->⎩，解得30k -+< ∴存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 其中k的取值范围为()3-+.22．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点． 现新定义： 若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数22f x x 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 (2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值： (3)若函数()()12log 42x x h x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和1-； (2)23a =-； (3)[]0,1.【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.【详解】（1）依题意，设0x 为()f x 的不动点，即()00f x x =，于是得2002x x -=，解得02x =或01x =-，所以22f x x 是“不动点” 函数，不动点是2和1-.（2）因()112g x x =+是“次不动点”函数，依题意有()g a a =-，即112a a +=-，显然0a ≤，解得23a =-， 所以实数a 的值是23-. （3）设,m n 分别是函数()()12log 42x x h x b =-⋅在0,1上的不动点和次不动点，且,m n 唯一，由()h m m =得：()12log 42m m b m -⋅=，即142()2m m m b -⋅=，整理得：124m m b =-，令()124m m m ϕ=-，显然函数()m ϕ在0,1上单调递增，则()min (0)0m ϕϕ==，()max 7(1)4m ϕϕ==，则704b ≤≤， 由()h n n =-得：()12log 42n n b n -⋅=-，即422n n n b -⋅=，整理得：21n b =-，令()21n u n =-，显然函数()u n 在0,1上单调递增，min ()(0)0u n u ==，max ()(1)1u n u ==，则01b ≤≤，综上得：01b ≤≤，所以实数b 的取值范围0,1.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
广东省珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高一上学期阶段性考试数学试题
广东省珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高一上学期阶段性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题⋂⋂A．A B C二、多选题析正确的是（）A ．已知{4,5,6,7,9}A =，{3,5,6,8,9}B =，则{3,7,8}B A -=B ．如果A B -=∅，那么A B⊆C ．已知全集、集合A 、集合B 关系如上图中所示，则U B A B-⊆ðD ．已知{|1A x x =<-或3}x >，{|24}B x x =-≤<，则{|2A B x x -=<-或4}x ≥三、填空题（1）若A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围；（2）设:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.20．已知命题{}:620p x xx ∃∈≤≤∣，2x a <，命题:R q x ∀∈，220x x a +->．(1)若命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围．21．设a ，b ，R c ∈，求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为－1的充要条件是0a b c -+=.22．如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点.图1图2(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，在（1）中抛物线的第二象限部分是否存在一点P ，使PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由.。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________②对任意,,ÎÄ=Ä；③对任意()()()()a b R a b b aa b c R a b c c ab a c b c cÎÄÄ=Ä+Ä+Ä-，,,,2以下正确的选项是（）A．()202=0ÄÄB．()()ÄÄÄ2020=8C．对任意的,,a b c RÎ，有()()ÄÄ=ÄÄa b c b c aD．存在,,a b c RÎ，有()()()+ĹÄ+Äa b c a c b c五、解答题17．已知{}R ,{}A x x x m B x x =Î++==>∣∣2200，且A B Ç=Æ，求实数m 的取值范围.18．设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+£，2{|0}B x x a =+<.（1）当4a =-时，求A B Ç和A B È；（2）若()R C A B B =I ，求实数a 的取值范围．19．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为224m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？20．已知函数()2()24f x x a x =-++（a ∈R ）.(1)若关于x 的不等式()f x <0的解集为（1，b ），求a 和b 的值;(2)若对任意x ∈[]1,4，()1f x a ³--恒成立，求实数a 的取值范围.21．若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.(1)求ab bc ca ++的最大值；【分析】首先求解集合,B C 再根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，即可判断选项.【详解】由集合的定义可知，{}0,1A B ==，{}{}{}{},0,1,0,1C =Æ，所以A C Î.故选：AC 12．BCD【分析】根据给定的新运算得到a b Ä的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的选项.【详解】由题设有()()000020a b a b ab a b ab a b Ä=ÄÄ=Ä+Ä+Ä-´=++，对于A ，()2022222228ÄÄ=Ä=´++=，故A 错误；对于B ，()()200222ÄÄÄ=Ä，由①中结果可知()()20208ÄÄÄ=，故B 正确；对于C ，对任意()()(),,,a b c a b c a bc b c a bc b c a bc b cÎÄÄ=Ä++=++++++R abc ab ac bc a b c =++++++，而()()()ac a c b ac a c b ac a cb c a b =++=++++Ä+Ä+Äabc ab ac bc a b c =++++++，故()()a b c b c a ÄÄ=ÄÄ，故C 正确；对于④，取1,1a b c ===，则1212152Ä=´++=，而()()()1111211116Ä+Ä=´++=，故()()()1111111+ĹÄ+Ä，故D 正确.所以同时参加数学和化学小组的有故答案为：815。
中山纪念中学届高一第一学期段考数学试卷.doc
中山纪念中学201X届高一第一学期段考数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合集合，则（）A. B. C. D.2．函数的定义域为（）A．B． C． D．3、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C ．D．4．设则的大小关系是 ( )A．B． C． D．5．在同一坐标系中函数与的图象是（）6．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（）A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,37.已知，则①；②；③；④，上述等式正确的是（）A.①④B.①③C.②③D.②④8.下述三个事件按顺序分别对应三个图象，正确的顺序是（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速。
（a） (b) (c)A． abc B．bac Ｃ． cab Ｄ．acb9．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．Ｃ．Ｄ．10．已知某放射性元素经过2010年剩留原来质量的，设质量为的该元素经过年后的剩留量为，那么之间的函数关系是（）11．A． B． C.．Ｄ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上）11．已知函数，则；12．设全集为，则图中的阴影部分可以表示为；13．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则__________；14．已知以下四个命题：①不等式的解集是②函数与函数互为反函数；③函数与的图象关于轴对称；④若幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为；．其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）．三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分）已知集合，，求：（1）;（2）;(3)．（其中）16． (1) 求值: ；(2) 计算：，17．证明（1）若，则（2）若，则（3）若,试指出与的大小．18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，。
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班次_________ 学号___________ 姓名________________
高一阶段性测试数学试卷
（题量：共22题，满分：150分，时间：120分钟）
一、选择题(共10小题每小题5分，共50分，请将正确的选项填在本题后答题卡
上)
1．已知全集},,,,{e d c b a U =，集合},{c b A =，},{d c B =C U ，则()A C U ∩B 等于
A ．},{e a
B ．},,{d c b
C ．},,{e c a
D ．}{c
2. 巳知映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-，则( 4，3)在f 下的原象是 A. (10，5) B (2，1) C . (2，-1) D . (3，4)
3. 函数y = f( x )的定义域为(0,)+∞，且对定义域内的任意x ，y 都有f( xy )=f( x )+f( y )，且f( 2 ) = 1
，则f 的值为
A . 1
B .
12 C. - 2 D . 12
- 4. 函数f( x )在R 上单调递减，且f( m 2
) > f( -m )，则m 的取值范围是
A. (,1)-∞-
B. (0,)+∞
C. (1,0)-
D. (,1)(0,)-∞-+∞ 5. 设y = f( x )定义在R 上且f(-x )=f(x )对一切x 恒成立，且当(,0)x ∈-∞时，
()(1)f x x x =-，则在(0,)+∞上f( x )的表达式为
A. ()(1)f x x x =-+
B. ()(1)f x x x =+ C . ()(1)f x x x =-- D. ()(1)f x x x =-
6．已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是
A ．11()(2)()43f f f >>
B ．11
(2)()()34f f f >>
C ．11()()(2)43f f f >>
D ．11
()(2)()34f f f >>
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2-2n ，设由246,,,.a a a 构成的数列为{}n b ， 则{}n b 的通项公式为
A. 65n b n =-
B. 125n b n =-
C. 43n b n =- D . 83n b n =-
8．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验， 该商品若每个涨(降)1元，其销售量就减少(增加)20个，为获得最大利润，售价应定为 A ．92元
B ．94元
C ．95元
D ．88元
9. 在等差数列{}n a 中，39,a a 是方程2x 2 – x – 7 = 0的两根，则6a = A .
12 B. 14 C . 72- D. 74
- 10．若,lg lg 0(1,1),()()x x a b a b f x a g x b +=≠≠==
A ．关于直线y =x 对称
B ．关于x 轴对称
二、填空题（共6小题每小题4分，共24分）
11．已知等差数列中，a 7=9,则S 13=__________
12. 已知函数101()101
x x f x -=+则f(x )的反函数是______________
13. 巳知f( x ) = 3ax – 2a + 1，在区间[ -1，1 ]上存在00(1)x x ≠±。
使f( x 0 ) = 0，则实数a 的取值范围是_______________________。
14．若4
log 15
a <(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围是 ．
15．设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩
≤≥，若()3f x =，则x =_____________。
16. 已知函数lg(124)x x y m =++的定义域是(,1]-∞，则m 的取值范围是_______。
三 解答题(共6小题共76分，需写出解答或证明过程，否则不给分)
17．（12分）不等式280x ax --≥与220x ax b --<的解集分别为A ，B ， 试确定a ，b 的值，使A ∩{}54|<≤=x x B ，并求出A ∪B ．
18.(12分) 已知数列{a n }满,, 其中a 是非零常
数，设 1)求证：数列{}n b 是等差数列； 2)求数列{}n a 的通项公式.
19. (12分) 已知函数2lg(43)y mx mx m =-++ 1)若函数的定义域是R 求m 的取值范围？ 2)若函数的值域是R 求m 的取值范围？
20. (13分)已知函数22()2(21)()f x x a x a a R =-++∈,当[0,1]x ∈时， 求f(x)的最小值g(a).
21
1,2,2(2)n n a a a a a a n -==-≥1
n n a a
b -=
21．(13分) 季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；
10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式.
2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[5，10]，t∈N*，试问该服装第几周每件销售利润L最大?
22. (14分)已知二次函数f(x)=ax2+bx (a，b为常数，且a≠0)，满足f(1+x)=f(1-x),
且方程f(x)=x有等根.
1)求f(x)的解析式；
2)是否存在实数m，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.
参考答案
二 填空题
11，117；12，11()lg
(11)1x f x x x -+=-<<-13，1a <-或15a >；14，4
05
a <<或1a >； 15 16，3
4
m >-； 三 解答题
17 设22()8,()2f x x ax g x x ax b =--=--，由A ∩{}54|<≤=x x B 得(4)02
(5)05
f a
g b ==⎧⎧⇒⎨
⎨
==⎩⎩，所以2{|280}{|2A x x x x x =--≥=≤-或4}x ≥ 2{|450}{|15}B x x x x x =--<=-<<，{|2A B x x ∴=≤- 或1}x >-
18 (1)1112()n n n n a a a a a a a a a -----=-
= ，111111
()n n n n a a a a a a a a a
---==+---， 1211111
,,(2)n n n b b n a a a a a a
--∴
-=∴-=≥--，所以{}n b 是首项为1/a 公差为1/a 的等差数列. (2)由111(1)n n n n a b n a a a a a b n =
+-⋅=∴-==，.n a
a a n
∴=+ 19 (1) 由题意得00
01001m m m m >>⎧⎧⇒⇒<<⎨
⎨∆<<<⎩⎩
(2) 由题意得0
10m m >⎧⇒≥⎨
∆≥⎩
20 因2222()2(21)((21))341f x x a x a x a a a =-++=-+---
(1)当1<2a+1即a>0时，f(x)在[0,1]上递减，所以g(a)=f(1)=241a a -- (2)当2a+1<0即12
a <-时，f(x)在[0,1]上递增，所以g(a)=f(0)=a 2 (3)当1
02
a -≤≤时，f(x)的对称轴在[0,1]之间，所以g(a)=-3a 2-4a-1.
22241,(0)1()341,(0)2,(0)
a a a g a a a a a a ⎧-->⎪
⎪
∴=----≤≤⎨⎪
⎪>⎩
21.解析：
(1)P ＝ ⎪⎩
⎪
⎨⎧∈∈-∈∈∈∈+*]16,10[ 240*]10,5[
20*[0,5)
210N N N t t t t t t t t 且且且 (2)因每件销售利润＝售价－进价，即L ＝P －Q
t ∈[5，10]时t ∈N *时，L ＝0.125t 2－2t ＋16 即t ＝5时，L max ＝9.125
由以上得，该服装第5周每件销售利润L 最大.
22 (1)因方程f(x)=x 有等根，即2(1)0ax b x +-=有等根，所以b=1,
又f(1+x)=f(1-x)，则f(x)关于直线x=1对称，即211
1,,()222
b a f x x x a -
=∴=-∴=-+ (2)221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，11
33,26
m n m n <≤∴<≤
所以f(x)在[m ，n]上递增，2
213()32
()3132
m m m
f m m f n n n n n
⎧-+=⎪=⎧⎪∴∴⎨⎨
=⎩⎪-+=⎪⎩，又m<n 40m n =-⎧∴⎨=⎩ 所以存在m=-4，n=0使f(x)定义域为[m ，n]，值域为[3m ，3n].。