高考数学人教版a版一轮配套题库10-3二项式定理(理)

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人教版高考数学理科一轮总复习配套课件10.3二项式定理

�� 2
最大;
相等且最大.
n
0 ,其中C�� +
2 1 3 C�� +…= C�� + C�� +… =2n-1,即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二
项式系数的和,都等于 2n-1.
-5-
想一想二项展开式中的二项式系数与各项系数有何区别和联系?
�� 答案:二项展开式中各项的二项式系数是C�� (r=0,1,2,…,n),它只与
考点一
考点二
考点三
误区警示
-13-
举一反三 1(2013 陕西高考)设函数 f(x)=
时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( A.-20 C.-15 B.20 D.15
1 6 �� 1 6 �� .Tr+1=C6 ( ��
1 6 ��,x ��
< 0, 则当 x>0 - �� ,x ≥ 0,
10.3 二项式定理
-2-
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
-3-
1.二项式定理
0 1 2 �� (a+b)n= C�� a +C�� a b +C�� a b +…+C�� a b +…+C�� b (n∈N ) ,
�� 即C�� = C�� -��
.
��-1 2 ��+1 2
(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数 C�� 当 n 是奇数时,中间两项的二项式系数 C�� 、 C��

2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲

§10.3 二项式定理1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++＋1项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .知识拓展二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是二项展开式的第k 项．( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ )(4)(a －b )n 的展开式第k ＋1项的系数为C k n an －k b k .( × ) (5)(x －1)n 的展开式二项式系数和为－2n .( × ) 题组二教材改编2．[P31例2(1)](1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10答案 B解析 T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40. 3．[P31例2(2)]若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．120答案 B解析二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x 6－2k，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.4．[P41B 组T5]若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 B解析令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8. 题组三易错自纠5．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n(－y )m －1x n －m ＋1，所以系数为C m －1n(－1)m －1. 6．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 B解析由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.7．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．答案 6解析二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(xy )4－k·(－y x )k ＝(－1)kC k 44222kk xy-+，令4－k 2＝2＋k2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6.题型一二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数典例 (1)(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 答案 C解析因为(1＋x )6的通项为C k 6x k ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为30. 故选C.(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60答案 C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数典例 (1)(2018届海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5项的展开式中x 5项的系数为－80，则实数a ＝________. 答案－2解析 ∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x -，∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80 答案 C解析因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C.(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案 12解析设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题典例 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 答案 3解析设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. (2)(2018·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．答案 1或－3解析令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.(3)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．答案 255解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的第k ＋1项为 T k ＋1＝C k n(x 2)n －k ·⎝⎛⎫－1x k＝C k n (－1)k x2n－3k，当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A ．－27C 39B ．27C 39 C ．－9C 49D ．9C 49答案 B解析令x ＝1，得2n ＝512，所以n ＝9，故⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T k ＋1＝C k 9(3x 2)9－k ⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k C k 9·39－k x 18－3k，令18－3k ＝0，得k ＝6.所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)(2017·绵阳模拟)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|等于( ) A ．1 024 B ．243 C ．32 D ．24答案 A解析令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.题型三二项式定理的应用典例 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 答案 D解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.(2)(2017·安徽江南名校联考)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017等于( ) A ．i B ．－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 C解析 x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017 ＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝i －1. 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系； ②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论．跟踪训练 (1)(2018·泉州模拟)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－87 D ．87答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝________.答案－1解析当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，即a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)若⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为 1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4项的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 错解展示：(1)⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 展开式中，令x ＝1可得4n ＝1 024，∴n ＝5， ∴⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的通项T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k2＝1，得k ＝1. 故展开式中含x 项的系数为C 15＝5.(2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1.错误答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5. 故⎝⎛⎭⎫x －3x 5展开式的通项为 T k ＋1＝(－3)k·C k 5·532kx-，令5－3k2＝1，得k ＝1，故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4项的系数是－35， ∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1，∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中，令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1. 答案 (1)－15 (2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和．1．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212 答案 A解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 2．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 答案 C解析因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，所以x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.3．(2017·广州测试)使⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 3n (n ∈N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 T k ＋1＝C k n (x 2)n －k ⎝⎛⎭⎫12x 3k＝12k C k n x 2n －5k ，令2n －5k ＝0，得n ＝52k ，又n ∈N *，所以n 的最小值是5.4．(2017·邵阳模拟)(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( ) A ．21 B ．35 C ．45 D ．28答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35，故选B.5．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C解析设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 6．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4项的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.7．(2018·漯河质检)若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( ) A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n －1)． 8.⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项的系数为________．(用数字作答) 答案－20解析 ⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项为C 36(xy )3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－20y 3，故不含x 的项的系数为－20. 9．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.(用数字作答) 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.10．(2017·广州五校联考)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________. 答案 0解析 ⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6a 6－k ·b k x 12－3k ，令12－3k ＝3，则k ＝3，∴⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＝log 21＝0.11．(2017·抚顺一中月考)在⎝⎛⎭⎫x ＋a x 6(a >0)的展开式中，常数项的系数是60，则ʃa 0sin x d x 的值为________．答案 1－cos 2解析由二项展开式的通项公式可知，T k ＋1＝C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫a x k ＝a k C k 6x ，令3－32k ＝0，得k ＝2，则T 3＝a 2C 26＝60，所以a ＝2，所以ʃa 0sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos 2.12．(2018·河南南阳模拟)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.(用数字作答)答案 364解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12. 令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.13．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的通项为T k ＋1＝C k 5·(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k . 令5－2k ＝1，得k ＝2.令5－2k ＝－1，得k ＝3. 332k -∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.14.⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中，不含x 的各项系数之和为________．答案－1解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中不含x 的项为 C 99(2x )0⎝⎛⎭⎫3y －49＝⎝⎛⎭⎫3y －49，令y ＝1，得各项系数之和为(3－4)9＝－1.15．(2018·珠海模拟)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．210答案 C解析因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.16．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．解易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 由题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ，可得n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫124x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 81634k x -， ∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8. 故有理项为T 1＝⎝⎛⎭⎫120C 0816304x-⨯＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 4816344x-⨯＝358x ， T 9＝⎝⎛⎭⎫128C 8816384x -⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k ＋1C k ＋18且⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k －1C k －18，可得k ＝2或k ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 2816324x-⨯＝527x ， T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 3816334x -⨯＝747x .。

高考数学理一轮复习 10-3二项式定理及其应用精品课件

1 n 备选例题 1 在二项式( x－ ) 的展开 3 2 x 式中，前三项系数的绝对值成等差数列．求： (1)展开式的常数项； (2)展开式中各项系数的和． 3
1 n 解：由条件“二项式( x－ ) 的展开式中， 3 2 x 前三项系数的绝对值成等差数列”可求出 n 的值． 1 n 3 ∵( x－ ) 展开式的前三项系数的绝对值 3 2 x n(n－1) 1 为 1，2n， 8 ， n(n－1) 1 ∴2×2n＝1＋ 8 ，∴n2－9n＋8＝0， ∴n＝8 或 n＝1(舍去)． 3
[解] (1)令 x＝0，则 a0＝－1；令 x ＝ 1 ，则 a7 ＋ a6 ＋…＋ a1 ＋ a0 ＝ 27 ＝ 128① ∴a7＋a6＋…＋a1＝129. (2)令 x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－ 4)7② ①－② 由 2 得： 1 a7＋a5＋a3＋a1＝2[128－(－4)7]＝8 256. ①＋② (3)由 2 得： 1 a6＋a4＋a2＋a0＝2[128＋(－4)7]＝－8 128.
[规律总结]
本题是先求二项式的指数，再求与通项
有关的其他问题．一般地，解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件 ( 特定项 )和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r均为非负整数，且
n≥r的隐含条件)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的
项．此外，解本题时，为减少计算中的错误，宜把根式化为分数指数幂.
第三节
二项式定理及其应用
知识自主· 梳理
掌握二项式定理和二项展开式的性质最新考纲，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
1.运用二项式定理的通项公式求指定项或与系数有关的问题；高考热点 2．赋值法、转化与化归思想等在二项展开式中的应用问题.

高考数学第一轮复习强化训练 10.3《二项式定理》新人教版选修23

【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】1、二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。

2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅）（1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项（2）其中rn C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数。

（3）注意0,1,2,,r n =⋅⋅⋅3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。

即m nC =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。

（3）所有二项式系数的和等于2n，即n nn n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()n n f x a a x a x a x =++++0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=，0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-5、证明组合恒等式常用赋值法。

【例题精讲】例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1令x=1，得到2004210......a a a a ++++=1又原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=)......(2003)......(2004200421002004210a a a a a a a a a +++++=++++ ∴原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=2004 例2. 已知二项式nxx )2(2-，（n ∈N *）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn，解得n=8 令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2) 展开式中第r 项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C--⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C ,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C --⋅218≤r r C 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅，解得5≤r ≤6；所以系数最大的项为T 7=1792111x ⋅；二项式系数最大的项为T 5=112061x⋅10.3二项式定理强化训练【基础精练】1．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．52．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( )A ．45B ．55C ．70D ．80 3．在(1x ＋ 51x3)n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．7924．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－2x3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )A ．10B ．6C ．5D ．35．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( )A ．第2n ＋1项B ．第2n ＋2项C ．第2n 项D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项7．若(x 2＋1x3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．8．（ x ＋2x2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答) 9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x ＝________. 10．已知(x －124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．11．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5；(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.【拓展提高】1．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．【基础精练参考答案】1.B 【解析】：T k ＋1＝C k 5x 2(5－k )(－x －1)k ＝(－1)k C k 5x 10－3k(k ＝0,1，…，5)，由10－3k ＝4得k ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10.2.C 【解析】：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55·(2)5＝1＋52＋20＋202＋20 ＋42＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.3.B 【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 611＝462. 4.C 【解析】：∵T k ＋1＝C kn (3x 2)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝(－1)k·C k n 3n －k·2k ·x2n －5k，∴由题意知2n －5k ＝0，即n ＝5k 2，∵n ∈N *， k ∈N， ∴n 的最小值为5.5.B 【解析】：⎝⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C 5520⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＞－1，故系数大于－1的项共有4项． 6.A 【解析】：由二项展开式的通项公式T k ＋1＝41k n C + (－x )k＝(－1)k41kn C +x k，可知系数为(－1)k41k n C +，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n ＋1项和第2n＋2项，又由第2n ＋1项系数为(－1)2n41k n C +＝41k n C +，第2n ＋2项系数为(－1)2n ＋12141n n C ++＝－2141n n C ++＜0，故系数最大项为第2n ＋1项．7.10【解析】：展开式中各项系数之和为S ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，∴n ＝5.T k ＋1＝5kC ()52kx － (1x3)k ＝5k C 1023k k x －－＝5kC 105k x －，∴展开式中的常数项为T 3＝C 25＝10. 8. 10 253【解析】：∵T k ＋1＝C k 5x5－k·(2x2)k ＝C k 5x 5－3k ·2k，由5－3k ＝2，∴k ＝1，∴x 2的系数为10. 令x ＝1得系数和为35＝243.9. －13【解析】：由T 7＝C 6923x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－226＝214， ∴x ＝－13.10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)， ∴展开式的第k ＋1项为C k8(x )8－k(－124x)k＝(－12)k C k 8·x 8－k 2·x －k 4＝(－1)k·C k82k ·x 16－3k 4.(1)证明：若第k ＋1项为常数项，当且仅当16－3k 4＝0，即3k ＝16，∵k ∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数，∵0≤k ≤8，k ∈Z，∴k ＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2. 11.【解析】设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.(1)∵a 5＝25＝32，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31. (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5 ＝－f (－1)＝243.(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝2442＝122.(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5) ＝f (1)×f (－1)＝－243. 【拓展提高参考答案】(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k －1项系数最大，于是2222222242424202022222222202220203232,3232k k k k k k k k k k k kC C ----------⎧⎪⎨⎪⎩≥C ≥C 化简得221014310070.10163924k k k k ⎧-⎪⎨+-⎪⎩≤≥0又k 为不超过11的正整数，可得k ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T 9＝C 820·312·28·x 12·y 8.。

2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：第十章第三节二项式定理 Word版含答案

第三节　二项式定理2019考纲考题考情1．二项式定理(a＋b)n＝C a n＋C a n－1b＋…＋C a n－k b k＋…＋C b n(n∈N*)。

0n1n k n n2．二项展开式的通项第k＋1项为：T k＋1＝C a n－k b k。

k n3．二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0,1,2，…，n)。

k n4．二项式系数的性质5.二项式系数和的性质(1)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C0n＋C＋…＋C＝2n。

1n2n n(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1。

0n2n4n1n3n5n1．二项式定理中，通项T k＋1＝C a n－k b k是展开式的第k＋1k n项，不是第k项。

2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k＋1＝C a n－k b k中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与k n k na，b有关。

(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。

当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。

一、走进教材1．(选修2－3P 37A 组T 5(2)改编)8的展开式中常数(x ＋12x)项为( )A. B.3516358C. D ．105354解析　二项展开式的通项为T k ＋1＝C ()8－kk ＝k C k 8x(12x )(12)k 8x 4－k ，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝4C ＝。

故选B 。

(12)48358答案　B2．(选修2－3P 35练习T 1(2)改编)化简：C ＋C ＋…＋C ＝12n 32n 2n －12n ________。

解析　因为C ＋C ＋C ＋…＋C ＝22n ，所以C ＋C 02n 12n 22n 2n 12n 32n ＋…＋C ＝(C ＋C ＋…＋C )＝22n －1。

高考数学一轮复习 10.3 二项式定理时作业理(含解析)新人教A版

高考数学一轮复习 10.3 二项式定理时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·烟台市适应性练习(一))在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－3x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－427B ．－227 C.227 D.427解析：由二项展开式的通项式T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫136－r ·(－3)r ·x 3－r ，令3－r ＝2，得r ＝1.则x2项的系数为C 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫135·(－3)1＝－227.答案：B2．(2013·青岛市高三自评试题)若(1－x )n＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 1∶a 3＝1∶7，则n ＝( )A ．8B ．9C ．7D ．10解析：由二项式定理知a 1＝C 1n ，a 3＝C 3n ，故C 3nC 1n＝7⇒(n －1)(n －2)＝42，得(n －8)(n ＋5)＝0⇒n ＝8或n ＝－5(舍)，故选A.答案：A3．(2013·郑州第三次质量预测)设a ＝⎠⎛0πsin x d x 则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x 8的展开式中x 2项的系数是( )A ．－1 120B ．1 120C ．－1 792D ．1 792解析：由题意a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝2，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 8展开式的通项式为T r ＋1＝C r 8(2x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 8(－1)r 28－r ·x8－ 32 r ，令8－32r ＝2，得r ＝4，所以x 2项的系数为C 4824＝1 120，故选B .答案：B4．(2013·济宁市模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x)d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( )A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－240解析：a ＝⎠⎛12(3x 2－2x)d x ＝(x 3－x 2)⎪⎪⎪21＝4，所以⎝⎛⎭⎪⎫4x 2－1x 6展开式第四项为C 36(4x 2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－1 280 x 3，选A .答案：A5．(2013·山东滨州联考)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n 2＋1＝5，∴n＝8.二项式为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8，易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝7. 答案：C6．若(x ＋y)9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy<0，则x 的取值范围是( )A .⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15 B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞C .⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45D ．(1，＋∞)解析：二项式(x ＋y)9的展开式的通项是T r ＋1＝C r9·x9－r·y r.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1xy<0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·1－x －4x 7·1－x 2≤0x 1－x <0，由此解得x>1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．答案：D7．(2013·3月襄阳市普通高中调研)若(1－2x)2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.答案：C8．(2013·湖北武汉调研测试)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516 B.358 C.354D ．105 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8＝2x ＋182x8＝1＋2x 828x4，展开式中常数项即为(1＋2x )8中含x4的项为C 48(2x )4，故常数项为C 482428＝C 48·2－4＝358.答案：B9．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝－39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3 解析：(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 1－a 0＋a 3－a 2＋…＋a 9－a 8)＝－39令x ＝0得a 0＋a 1＋…＋a 9＝(2＋m )9令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9所以(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝(m 2＋2m )9＝39所以m 2＋2m ＝3，解得m ＝－3或m ＝1，选A. 答案：A 二、填空题10．(2012·陕西卷)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．解析：因为(a ＋x )5＝C 05a 5＋C 15a 4x ＋C 25a 3x 2＋C 35a 2x 3＋C 45ax 4＋C 55x 5，所以C 25a 3＝10a 3＝10.所以a 3＝1，a ＝1. 答案：111．(2013·山西大学附属中学高三月考)设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项的系数是________．解析：a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪π0＝2sin(x －π4)⎪⎪⎪π＝2，二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6展开式中含x 2项为：C 16(2x )5·⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＝－192x 2，所以x 2的系数为：－192.答案：－19212．(2013·贵州省六校第一次联考)(x ＋1)(1－2x )5展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．解析：本题是二项式定理计算系数的题，可以从以下角度来思考：x 3的来源有两种，一种是从第一个括号里面取出一个x ，从第二个括号里面取出x 2，此时x 3的系数为C 25(－2)2＝40；另外一种是第一个括号取出常数，第二个括号取出x 3，此时x 3的系数为C 35(－2)3＝－80，故总的系数为－40.答案：－4013．(2013·黄冈质检)已知a ＝⎠⎛1－1(1＋1－x 2)d x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6展开式中的常数项为________．解析：令y ＝1＋1－x 2，则x 2＋(y －1)2＝1(y≥1)，如图可看出a ＝⎠⎛1－1(1＋1－x 2)d x 表示的面积是a ＝2×1＋π2＝2＋π2，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，由二项式定理，T r ＋1＝(－1)r·C r6·26－r·x6－r·x －r ＝(－1)r ·C r 6·26－r·x6－2r，要求展开式的常数项，则6－2r ＝0，即r ＝3，∴(－1)3·C 36·26－3＝－20×8＝－160.答案：－16014．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.答案：－515．(2013·安徽省江南十校高三开学第一考)二项式⎝⎛⎭⎪⎫ 2x －1x 4的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r6·(2x)6－r·(－1)r ·x －r ＝(－1)r C r 626－rx 6－3r 2，r ＝0,1,2,3,4,5,6，当r ＝0,2,4,6时，T r ＋1＝(－1)r C r 626－rx6－3r2为有理项，则所有有理项的系数和为C 0626＋C 2624＋C 4622＋C 6620＝365. 答案：36516．(2013·山东烟台高三测试)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：T 6＝C 5n (x 2)n －5(－x －1)5＝－C 5n x2n －15，其中2n －15＝1，∴n＝8，令x ＝1得(1－3)8＝256＝a 0＋a 1＋…＋a 8，令x ＝0得(1－0)8＝1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝256－1＝255.答案：255 [热点预测]17．(1)(2013·马鞍山高中毕业班第一次教学质量检测)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是________．(2)(2013·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A .16B .14C .13D .512解析：(1)第三项的系数a 2＝C 2n(－1)2＝C 2n，第五项的系数a 4＝C 4n(－1)4＝C 4n，C 2nC 4n＝12n －2n －3＝314，∴n＝10，T r ＋1＝C r 10x 2(10－r)(－x － 12 )r ＝C r 10(－1)r ，由20－52r ＝0得r ＝8，所以常数项为C 810(－1)8＝45.(2)展开式中前三项的系数分别为a 1＝C 0n ＝1，a 2＝C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝n 2，a 3＝C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝n n －18，a 1，a 2，a 3成等差数列，所以有2×n 2＝1＋nn －18，解得n ＝8或n ＝1(舍)，则T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫12x － 14 r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ，其中r ＝0,1,2，…，8，当r ＝0,4,8时为有理项，其展开式共有9项，重新排成一排，有理项互不相邻的概率为A 66A 37A 99＝512，故选D .答案：(1)45 (2)D。

高三数学(理)人教版一轮训练：第十篇第3节二项式定理.doc

第3节二项式定理【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.在（x2-）n的展开式中,常数项为15,则n的值可以为( D )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:因为=(x2)n-r（-）r=(-1)r x2n-3r,所以(-1)r=15且2n-3r=0,所以n可能是6.故选D.2.设（x-）6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,则等于( A )(A)4 (B)-4 (C)26(D)-26解析:T k+1=x6-k（-）k=(-2)k,令6-=3,即k=2,所以T3=(-2)2x3=60x3,所以x3的系数为A=60,二项式系数为B==15,所以==4.故选A.3.(2017·咸阳市二模)设a=sin xdx,则（a+）6展开式的常数项为( D )(A)-20 (B)20 (C)-160 (D)240解析:a=sin xdx=(-cos x)=-(cos π-cos 0)=2,则(a+)6=（2+）6展开式的通项公式为T r+1=·(2)6-r·（）r=26-r··.令3-r=0得r=2,所以展开式中的常数项为24·=240.故选D.4.已知（x2+）n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为( D )(A)5 (B)40 (C)20 (D)10解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则(x2)5-r（）r=x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.故选D.5.若（x-）n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等,则直线y=nx 与曲线y=x2围成的封闭区域面积为( C )(A) (B)12 (C) (D)36解析: 由=,T r+1=a n-r b r知n=1+3=4,直线y=nx=4x与抛物线y=x2的交点的横坐标分别是0与4,因此结合图形(图略)可知,所求的封闭区域的面积等于(4x-x2)dx=（2x2-x3）|=.故选C.6.(2017·南平市一模)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( D )(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40解析:令x=1则有1+a=2,得a=1,故二项式为(x+)（2x-）5,其常数项为-22×+23=40.故选D.7.(2017·吉林延边模拟)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则= .解析:通项公式T r+1=(-2x)r=(-2)r x r,令r=3,则a3=(-2)3=-80;令r=2,则a2=(-2)2=40,所以==-2.答案:-28.若（+）n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6,则n= .解析:由题知,T7=()n-6（）6,T n+1-6=T n-5=·()6（）n-6.由=,化简得=6-1,所以-4=-1,所以n=9.答案:9能力提升(时间:15分钟)9. “n=5”是“（2+）n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为（2+）n(n∈N*)展开式的通项T r+1=2n-r,（2+）n的展开式中含有常数项时满足-=0,当n=5时,=0,解得r=3,此时含有常数项;反之,当n=10时,r=6,也有常数项,但是不满足n=5.故“n=5”是“（2+）n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件.故选A.10.(2017·福建龙岩市一模)(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为( A )(A)100 (B)15 (C)-35 (D)-220解析:由于(x+2)6的展开式的通项公式为T r+1=·x6-r·2r,令6-r=3,r=3,(x+2)6的展开式中x3的系数为8=160;令6-r=4,r=2,可得(x+2)6的展开式中x4的系数为-4,所以(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为8-4=160-60=100.故选A.11.(2017·陕西渭南市一模)已知f(x)=x+在区间[1,4]上的最小值为n,则二项式（x-）n展开式中x2的系数为.解析:f′(x)=1-=,x∈[1,4].令f′(x)=0,解得x=3.所以x∈[1,3]时,函数f(x)单调递减;x∈(3,4]时,函数f(x)单调递增.所以x=3时,函数f(x)取得最小值6.所以（x-）6的通项公式T r+1=x6-r （-）r=(-1)r x6-2r,令6-2r=2,解得r=2,所以二项式（x-）n展开式中x2的系数为=15. 答案:1512.如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为.解析:因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4项的系数为(-1)3-(-1)0=-5.答案:-513.已知（-）n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含的项.解:由题意知,第五项系数为·(-2)4,第三项的系数为·(-2)2,则有=,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式T r+1=()8-r（-）r=(-2)r·.令-2r=,得r=1,故展开式中含的项为T2=-16.14.(2017·海南三亚模拟)已知f n(x)=(1+x)n.(1)若f2 017(x)=a0+a1x+…+a2 017x2 017,求a1+a3+…+a2 015+a2 017的值;(2)若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求g(x)中含x6项的系数.解:(1)因为f n(x)=(1+x)n,所以f2 017(x)=(1+x)2 017,又f2 017(x)=a0+a1x+…+a2 017x2 017,所以f2 017(1)=a0+a1+…+a2 017=22 017, ①f2 017(-1)=a0-a1+…+a2 016-a2 017=0, ②①-②得2(a1+a3+…+a2 015+a2 017)=22 017,所以a1+a3+…+a2 015+a2 017=22 016.(2)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8.g(x)中含x6项的系数为+2+3=99.15.(2017·湖北武汉模拟)已知（+2x）n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解:(1)因为+=2,所以n2-21n+98=0.所以n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为（）423=,T5的系数为（）324=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为（）727=3 432.(2)因为++=79,所以n2+n-156=0.所以n=12或n=-13(舍去).设T k+1项的系数最大,因为（+2x）12=（）12(1+4x)12,所以所以9.4≤k≤10.4,所以k=10.所以展开式中系数最大的项为T11,T11=·（）2·210·x10=16 896x10.。

智慧测评新高考人教A版理科数学一轮总复习课时训练10.3二项式定理(含答案详析)

第十篇第3节一、选择题1．(2014山西康杰中学二模)若(x －123x)n 的展开式中第四项为常数项，则n 等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析：展开式中的第四项为T 4＝C 3n (x )n －3(－1)3·，由题意得n －52＝0，解得n ＝5.故选B. 答案：B2．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：因为⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 525－k (－1)k x 10－3k ，令10－3k ＝1得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40.故选D. 答案：D3．(2014黑龙江省哈师大附中三模)二项式(x ＋a )n (a 是常数)展开式中各项二项式的系数和为32，各项系数和为243，则展开式中的第4项为( )A ．80x 2B ．80xC ．10x 4D ．40x 3解析：(x ＋a )n 展开式中各项二项式系数和为2n ＝32，解得n ＝5，令x ＝1得各项系数和为(1＋a )5＝243，故a ＝2，所以展开式的第4项为C 35x 2a 3＝C 35x 2·23＝80x 2.故选A. 答案：A4．(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m 等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由二项式系数的性质知：二项式(x ＋y )2m 的展开式中二项式系数最大有一项C m 2m ＝a ，二项式(x ＋y )2m＋1的展开式中二项式系数最大有两项 C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b ，因此13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即13＝7(2m ＋1)m ＋1， ∴m ＝6.故选B.答案：B5．若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为( )A ．32,80B ．32,40C ．16,20D ．16,10解析：由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中(x －1)的系数为C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32，故选A.答案：A6．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40解析：令x ＝1，即可得到⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1＋a ＝2，所以a ＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，要找其展开式中的常数项，需要找⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的x 和1x，由通项公式得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝±1，得到r ＝2或r ＝3，所以有80x 和－40x 项，分别与1x和x 相乘，再相加，即得该展开式中的常数项为80－40＝40.答案：D二、填空题7．(2014黑龙江省大庆市二模)二项式x 3－1x 25的常数项为________(用数字作答)．解析：由通项公式得T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ·(－1)r ·1x 2r ＝(－1)r C r 5x 15－5r . 令15－5r ＝0，解得r ＝3.故常数项为T 4＝C 35(－1)3＝－10.答案：－108．(2013年高考安徽卷)若x ＋a3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r ·a 3xr ＝C r 8·a r ·x 8－43r ，令8－43r ＝4，解得r ＝3，故x 4的系数为C 38·a 3＝7，解得a ＝12. 答案：129．(2014甘肃省兰州一中高三高考冲刺)设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式a x －1x6的展开式中的常数项等于________．解析：a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2， C r 6(2x)6－r －1xr ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r ，由3－r ＝0得r ＝3，所以(－1)323C 36＝－160，所以展开式中的常数项等于－160.答案：－16010．2014玉溪一中检测)在(1－x )5＋(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是________．解析：(1－x )5的展开式的通项为C k 5(－1)k x k ，(1－x )6的展开式的通项为C k 6(－1)k x k ，所以x 3项为C 35(－1)3x 3＋C 36(－1)3x 3＝－30x 3，所以x 3的系数为－30.答案：－30三、解答题11．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求：(1)a 8＋a 7＋…＋a 1；(2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：令x ＝0得a 0＝1.(1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255.(2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0，② 由①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)，∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32896.12．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0，∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝(12)12(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，解得475≤k ≤525. ∵k ∈N ，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16896x 10.。

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第三节二项式定理(理)
时间：45分钟分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·江西卷)(x 2－2
x 3)5展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40
D ．－40
解析由二项式定理展开式的通项
T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r
(－2
x
3)r ＝C r 5(－
2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2，故常数项为C 2
5(－2)2＝40.故选C.
答案 C
2．(2013·陕西卷)设函数
f (x )＝⎩⎨
⎧
(x －1x )6，x <0，
－x ，x ≥0，
则当x >0时，
f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )
A ．－20
B ．20
C ．－15
D ．15
解析 x >0时，f (x )＝－x <0，故f [f (x )]＝f (－x )＝(
1
x
－x )6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x r －3
，令r －3＝0，得r ＝3时，常数项为T 4＝C 36(－1)3＝－20.故选A.
答案 A
3．在二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－1x n
的展开式中，所有二项式系数的和是32，则
展开式中各项系数的和为( )
A ．32
B ．－32
C ．0
D ．1
解析依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，
该二项展开式中的各项系数的和等于⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－115
＝0.
答案 C
4．在⎝ ⎛
⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24
的展开式中，
x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项
D ．6项
解析 T r ＋1＝C r 24(x )24－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
13x r ＝C r
24x 12－5r 6，故当r ＝0,6,12,18,24
时，幂指数为整数，共5项．
答案 C
5．若(2＋x )10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，则a 9
＝( )
A ．9
B ．10
C ．20
D ．5 120
解析 (2＋x )10＝[1＋(1＋x )]10＝1＋C 110(1＋x )＋C 2
10(1＋x )2＋…＋C 1010(1＋x )10，∴a 9＝C 910＝C 1
10＝10.
答案 B
6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析
a ＝C m 2m ＝
2m (2m －1)…(m ＋1)
m ！
，
b ＝C m 2m ＋1＝
(2m ＋1)·2m …(m ＋2)
m ！
.
又13a ＝7b ，∴13(m ＋1)＝7(2m ＋1)，∴m ＝6. 答案 B
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·安徽卷)若(x ＋a 3x
)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a
＝________.
解析设展开式第r ＋1项为x 4项，则展开式的通项可得T r ＋1＝C r 8
a r
x 8－43r ；令8－43r ＝4，得r ＝3，
∴C 38
a 3＝7，a ＝12. 答案 12
8．(2013·四川卷)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)
解析
T r ＋1＝C r 5x
5－r y r
，⎩⎪⎨⎪⎧
5－r ＝2，r ＝3，
∴r ＝3.
∴x 2y 3的系数为C 35＝10. 答案 10
9．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，那么
⎝
⎛
⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中的常数项为________．
解析由题意知，2＋22＋23＋…＋2n ＝126，所以n ＝6. 二项展开式的通项为
T r ＋1＝C r 63
6－r
x 6－r 2·
(－1)r x －r 2＝(－1)r C r 6·36－r
x 6－2r 2. 令6－2r ＝0，得r ＝3.故常数项为－540. 答案－540
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知⎝ ⎛
⎭⎪⎪⎫x ＋124x n
的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n ；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．
解 (1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2
n 成等差数列． ∴2·12C 1n ＝1＋14C 2
n ，即n 2
－9n ＋8＝0. ∴n ＝8或n ＝1(舍)．
(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r
·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12
41x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 8·x 4－3
4r (r ＝0,1,2，…，8)，
∴第三项的二项式系数为C 28＝28.
第三项系数为⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·C 28＝7.
(3)令4－3
4r ＝1，得r ＝4，
∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭
⎪⎫124·C 4
8＝358.
11．已知(a 2
＋1)n
展开式中各项系数之和等于⎝
⎛⎭⎪⎫165
x 2
＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求
a 的值．
解由⎝ ⎛⎭⎪⎫165
x 2
＋1x 5得， T r ＋1＝C r 5⎝
⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x r ＝(165)5－r ·C r 5·
令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0.∴r ＝4. ∴常数项
T 5＝C 4
5×
16
5＝16.
又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.
由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项
是中间项T 3，∴C 24a 4
＝54.∴a ＝±3.
12．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；
(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；
(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解 (1)方法1：(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，
(x －1)5展开式的通项公式为C r 5
·(－1)r ·x 5－r
(0≤r ≤5)． (x －2)5展开式的通项公式为C s 5·(－2)s ·x 5－s (0≤s ≤5)，所以(x 2－3x ＋2)5展开式的通项公式为
C r 5·
C s 5·(－1)r ＋s ·2s ·x 10－r －s ，令r ＋s ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，s ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4，s ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝5，s ＝3.
所以展开式中x 2的系数为
C 35C 5525＋C 45C 4524＋C 55C 3523
＝800，即a 2＝800.
方法2：(x 2－3x ＋2)5的本质是5个x 2－3x ＋2相乘，由多项式的
乘法法则，产生含x2的项有两种可能：
①5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C15·24＝80；
②5个x2－3x＋2中有两个取含x的项，其他的取常数项，得到的系数是C25·(－3)2·23＝720.
∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800.
(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5
＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0＝f(0)＝25＝32，
a0＋a1＋a2＋…a10＝f(1)＝0，
∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.。