2012-2013学年高二上学期期中联考数学(文)试题(B卷)
山东省菏泽市13校联考2013-2014学年高二上学期期末考试数学(B卷)
高二数学（理）试题（B ）第Ⅰ卷一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1．若命题2:,210p x R x ∀∈->，则该命题的否定是（ ） A. 2,210x R x ∀∈-< B. 2,210x R x ∀∈-≤ C. 2,210x R x ∃∈-≤D. 2,210x R x ∃∈->2．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列五个命题:① 若,0a b c >≠，则ac bc >；② 若a b >，则22ac bc >；③ 若22ac bc >，则a b >； ④若,a b >则11a b<； ⑤若0,a b c d >>>，则ac bd >. 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．“双曲线C 的渐近线方程为y =±43x ”是“双曲线C 的方程为22—916x y =1”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．不充分不必要条件4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则z ＝2x ＋3y 的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．235．函数y ＝x ＋1x －1＋5（x ＞1）的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，S 5等于（ ） A ．－36B ．－30C ．30D ．207．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c ·cos A =b ，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是直角三角形D ．一定是斜三角形8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9,则a 1=（ ） A ．13B ．13-C ．19D ．19-9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A=60°，b =三角形只有一个，则a 满足的条件是（ ）A. 0a <<B. 6a =C. a ≥6a =D．0a <≤6a =10．若m 是5和165的等比中项，则圆锥曲线221x y m +=的离心率是（ ）ABCD11．从圆O :224x y +=上任意一点P 向x 轴作垂线,垂足为P ′,点M 是线段PP ′的中点,则点M的轨迹方程是（ ）A ．2291164x y +=B ．2214x y +=C ．2214y x +=D ．2291164y x +=12．下面是关于公差0d >的等差数列{a n }的两个命题:p 1:数列{na n }是递增数列；p 2:数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列.其中的真命题为（ ） A.12p p ∨B. 12p p ∧C ．12p p ⌝∨D ．12p p ∧⌝第Ⅱ卷二、填空题（共4道小题，每题4分，共16分）13. 已知()f x 为一元二次函数，()0f x <的解集为{}12x x x <->或，则()20f x >的解集为 .14．△ABC 中，ABAC =1，∠C =60°，则△ABC 的面积等于 . 15．双曲线22:1412x y C -=的焦点到其渐近线的距离等于 .16．已知数列{}n b 的通项公式是n b n =，则13352121111n n b b b b b b -++++= . 三、解答题（本题共6小题，共76分,写出必要的文字说明，推理、演算步骤） 17．（本题满分12分）（Ⅰ）双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点，且经过点，求其方程；（Ⅱ）求焦点在240x y --=上的抛物线的标准方程.18．（本小题满分12分）已知命题p：关于x的不等式2(1)10x a x+-+≤的解集为φ；命题q：双曲线22214x ya-=（a＞0“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，为了计算菏泽新区龙湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝5km，AB＝7km，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B与C的距离．（假设A，B，C，D在同一平面内）20．（本小题满分12分）甲、乙两地相距200千米，小型卡车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过150千米／小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：千米／小时）的平方成正比，且比例系数为1250；固定部分为40元，为了使全程运输成本最小，卡车应以多大速度行驶？21．（本小题满分12分）设数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1212n n S ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （Ⅱ）若()nn na c n Nb +=∈，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T n .22．（本小题满分14分）Fx 轴左交点与点F 的1. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点P （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，当△OAB高二数学（理）试题（B ）参考答案一、选择题：1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C 二、填空题13．1{1}2x x -<< 14 15． 16．21nn +三、解答题17．解：（Ⅰ）椭圆2213627y x +=的焦点为(0,3),3c ±=，……………………………………2分设双曲线方程为222219y x a a-=-，因为过点，得22161519a a -=-，得24,36a =或， 而29a <，24a ∴=，双曲线方程为22145y x -=.………………………………………6分（Ⅱ）由题意知抛物线的焦点在坐标上，又焦点在240x y --=上，∴令0,2,x y ==-得此时焦点为（0，－2），求得抛物线为28x y =-……………… 8分 令y =0，得x =4，焦点为（4,0）求得抛物线为216y x =∴所求抛物线为28x y =-和216y x =.…………………………………………………12分 18．解：命题p ：关于x 的不等式2(1)10x a x +-+≤的解集为空集φ，所以2(1)40a --<，即2230,a a --< 所以13,a -<< ……………………… 2分 则p 为假命题时：1a ≤-或3a ≥； ………………………………………………… 4分由命题q ：22214x y a-=,所以≥,解得；0a <则q 为假命题时：a ……………………………………………………………6分命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p 、q 中一真一假， …………………… 8分若p 真q 3a < ; 若p 假q 真，则a 不存在，所以实数a 3a <.…………………………………………………… 12分19．解：在△ABD 中，设BD = x ，则2222cos BA BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠，………………………………………………2分即2227510cos60,x x =+- ………………………………………………………………4分整理得： 25240x x --=，解之：x 1=8 ，23x =-（舍去）， …………………………6分由正弦定理，得：sin sin BC BDCDB BCD=∠∠ , …………………………………………8分 ∴008sin30sin135BC ==（km ）. ……………………………………………………11分答：两景点B 与C的距离约为km. ……………………………………………12分20．解：设全程运输成本为y 元，卡车从甲地到乙地所用时间为200v小时，每小时的运输成本为：2140250v +元，………………………………………………………………………2分所以2200148000401602505y v v v v ⎛⎫=+==≥=⎪⎝⎭，………………10分 当且仅当480005v v=，即100v =时等号成立.所以卡车以100千米／小时的速度行驶时，全程运输成本最小. ……………………12分21．解：（Ⅰ）数列{a n }为等差数列，则公差531()22d a a =-=因为a 3=5，所以a 1=1. 故a n =2n －1，…………………………………………………3分 当n =1时，111S b ==，当n ≥2时，11111121()21()()222n n n n n n b S S ---⎡⎤⎡⎤=-=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，11()2n n b -∴=. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(21) 2n nn na c nb -==-， 012211 2 3 2 5 2(23) 2(21)n n n T n n --∴=+++⋅⋅⋅+-+- 11 2=1 2 3 2(23) 2(21) 2n n n T n n -++⋅⋅⋅+-=- (9)分11212(12)1 2 2 2 2 2 2(21) 21|2(21)212n n nn n T n n ---∴-=+++⋅⋅⋅+--=---14(32) 2n n n =-+-………………………………………………………………11分3(23) 2n n T n ∴=+- (12)分22．1c -=，又222a b c -=，解得221,2b a ==， (6)分（Ⅱ）根据题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2+=kx y ，设11(,)A x y ，()22,B x y 由方程组y 得关于x 的方程22(12)860k x kx +++= ，……8分 由直线l与椭圆相交于A ，B 两点，则有0∆>，即2226424(12)16240k k k -+=->，，…………………………………………10分又因为原点O 到直线l故△OAB………………………12分=， ………………………………14分。
4安徽省2013届高三省级示范高中名校联考数学文试题(WORD版,带解析) 2
6.设不重合的两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0，向量m＝（a1，－b1），n=（a2，一b2），则“m∥n"是“11∥12”的（ ）
A.充分不必要条件B．必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,3,…，
2.已知i是虚数单位，则 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.命题“ ”的否定是（）
A. B. C. D.
4.如图所示程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A. 3B. 11C. 38D. 123
5.为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000Байду номын сангаас频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为（ ）
21．（本小题满分13分）
已知函数f(x)＝lnx－mx十m,m R.
（I）求f(x)的单调区间；
（II）若f(x)≤0。在x (0，＋00)上恒成立，求实数m的取值范围．
2013安徽省省级示范高中名校高三联考
数学（文科）试题参考答案
1.A解析：由已知可得 ，所以 {1}.
2.B解析： ， ,
所以其对应点位于第二象限.
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间［1,450］的人数为n1,编号落人区间［451,750］的人数为n2，其余的人数为n3,则n1：n2：n3＝（ ）
A. 15：10：7B. 15：9：8C. 1：1：2D. 14：9：9
2023-2024学年河南省信阳市多高二上学期期中联考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省信阳市多高二上学期期中联考数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知非零实数a ，b ，若a b >，则下列不等式成立的是（）A.11a b> B.22a b > C.11a b< D.33a b >【正确答案】D【分析】结合不等式和函数性质，结合列举法即可求解.【详解】对AC ，令2,1a b ==，满足a b >，但不满足11a b>，故A 错；对B ，令2,3a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，故B 错；对C，令1,1a b ==-，满足a b >，但不满足11a b<，故C 错；对D ，设3y x =，函数为增函数，若a b >，则33a b >，故D 正确.故选：D2.在数列{{}n a 中，11a =，12n n a a +-=，n +∈N ，则10a 的值为（）A.17B.18C.19D.21【正确答案】C【分析】由题知公差为2，结合通项公式求出10a 即可.【详解】由12n n a a +-=得2d =，故101911819a a d =+=+=.故选：C3.《算法统宗》是中国古代数学名著，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详推.这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A.8岁 B.9岁C.11岁D.12岁【正确答案】C【分析】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列{}n a ，利用公式计算得到答案.【详解】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则9198932072S a ⨯=+⨯=，解得111a =.故选：C.4.在下列函数中，最小值是2的为（）A.1y x x=+B.33x x y -=+C.1ln (1e)ln y x x x=+<< D.1πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】取=1x -时，12y x x=+=-，A 错误，CD 选项中均值不等式等号条件不成立，错误，利用均值不等式得到B 正确，得到答案.【详解】当=1x -时，12y x x=+=-，A错误；332x x y -=≥=+，当33x x -=，即0x =时等号成立，B 正确；1e x <<，则()ln 0,1x ∈，1ln 2ln y x x =+≥=，1ln ln x x=，即ln 1x =时等号成立，ln 1x ≠，等号不成立，故C 错误；π02x <<，()sin 0,1x ∈，1sin 2sin =+≥=y x x ，1sin sin =x x ，即sin 1x =时等号成立，sin 1x ≠，等号不成立，故D 错误.故选：B.5.设变量,x y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为（）A.2B.4C.-2D.12【正确答案】B【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y =+可化为直线2y x z =-+，当直线2z x y =+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由20240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得(2,0)A ，所以目标函数的最小值为224z =⨯=.故选：B.根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.6.在ABC 中，sin :sin :sin 7:5:3A B C =，则该三角形的最大内角是（）A.135° B.120°C.84°D.75°【正确答案】B【分析】根据正弦边化角原则，求出三边比例，再由大边对大角，对最大角采用余弦定理即可求解.【详解】由sin :sin :sin 7:5:3A B C =可得::7:5:3a b c =，不妨设3c x =，则5,7b x a x ==，则222222259491cos 22532b c a x x x A bc x x +-+-===-⋅⋅，故120A =︒.故选：B7.已知等差数列{}n a 满足927S =，330n S =，430n a -=，则n 值为（）A.20B.19C.18D.17【正确答案】A【分析】根据927S =得到53a =，带入求和公式结合等差数列性质解得答案.【详解】()9199227s a a =+⨯÷=，故19526+==a a a ，即53a =.()()15433033222n n n n n na a a S a -=++===，解得20n =.故选：A.8.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，1b =，2C B =，则ABC 外接圆半径为（）A.2B.C.D.1【正确答案】D【分析】结合正弦定理边化角得sin 2sin A B =，由2C B =得sin sin cos C A B =，联立第三角公式可求出A ，结合2sin ar A=可求ABC 外接圆半径.【详解】由正弦定理可得:sin :sin 2:1a b A B ==，即sin 2sin A B =，又2C B =，故sin sin 22sin cos sin cos C B B B A B ===，结合第三角公式得()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，故sin cos 0,cos 0B A A ==，2A π=，由221sin 2sin 21a a r r A A =⇒===⨯.故选：D9.已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（）A.19B.20C.21D.22【正确答案】A【分析】将条件处理得10110,0a a ><，再结合等差数列下标性质即可求解.【详解】()91191111101130220a a a a a a a +<⇔++=+<，又10110a a ⋅<，数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，故数列为递减数列，10,0a d ><，所以10110,0a a ><，()1191910191902a a S a +⋅==>，()()120201011201002a a S a a +⋅==+<，所以123101119200S S S S S S S <<<<>>>>>，又()191101190S S a a -=+<，故n S 取得最小正值时n 等于19.故选：A10.在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 对边的长，根据下列条件解三角形，有两解的是（）A.7a =，14b =，30A =︒B.30a =，25b =，150A =︒C.72a =，50b =，135A =︒D.30a =，40b =，26A =︒【正确答案】D【分析】根据正弦定理得到sin B 的值，根据角度范围得到解的个数，得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=，7141sin 2B =，sin 1B =，90B =︒，有一解，A 不满足；30251sin 2B =，5sin 12B =，π0,6B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有一解，B 不满足；50sin 22B =，252sin 72B =，π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有一解，C 不满足；3040sin 26sin B =︒，4sin 264sin 302sin 26sin 333B ︒︒︒<=<=，0154B <∠<︒，有两解，D 满足.故选：D.11.在数列{}n a 中，11a =，23a =，35a =，31n n a a +=，则515252021log log log a a a +++（）A.0B.1C.5log 3D.5log 15【正确答案】B【分析】根据31n n a a +=，可得6n n a a +=，则数列{}n a 是以6为周期的周期数列，再求出123456a a a a a a ，即可得解.【详解】31n n a a +=，故361n n a a ++=，故6n n a a +=，数列的周期为6.11a =，23a =，35a =，41a =，513a =，615a =，1234561a a a a a a =，()5152520215122021log log log log a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅()()3365126125log a a a a a a ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦()2515log a a a =⋅⋅⋅⋅53log a =5log 5=1=.故选：B.12.已知数列{}n a 满足11a =，221(1)nn n a a -=+-，()*2123nn n a a n +=+∈N ，则数列{}na 的前2021项的和为（）A.101132022- B.101032022- C.101132020- D.101032020-【正确答案】A【分析】利用累加法得到()12113122n nn a ---=+-，带入得到231(1122)n nn a =-+-，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】212213(1)3nnnn n n a a a +-+-==++，即2121(1)3nnn n a a +---+=.()()()2121232325131n n n n n a a a a a a a a -----=-+-+⋅⋅⋅+-+[]()1121211331(31)3(11221)3n n n n n n --------⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+-++=-+⎣⎦⎣⎦-+-+()()11311311222n n n n--+--=-=+-.()12211331112(1)(1)12)22nnn n n n n n a a ---==+---+-+=+-.故()()2021132021242020S a a a a a a =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅()()()0110101210111113331111222222⎛⎫---=++-++-+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭2101021010(1)(1)(3131311112222221)⎛⎫++-++-+⋅⋅--⋅++- ⎪⎝⎭-1010101110111331132021*********-=++--=--.故选：A.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是{2x x <-或12x >-}，则20x bx c -+<的解集为________.【正确答案】122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】首先根据题意得到2x =-和12x =-是方程20x bx c ++=的根，从而得到521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，再解不等式即可.【详解】由题知：2x =-和12x =-是方程20x bx c ++=的根，所以()()122122b c ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以2202520x bx c x x -+<⇒-+<，解得122x <<.所以解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭14.ABC 中，5cos 13B =，3sin 5A =，则在ABC 中，cos C =________.【正确答案】1665【分析】计算12sin 13B =，根据正弦定理判断B A >得到4cos 5A =，根据和差公式计算得到答案.【详解】5cos 13B =，则12sin 13B ==，3sin 5A =，sin sin B A >，根据正弦定理知b a >，故B A >，A为锐角，故4cos 5A ==.()()1235416cos cos πcos sin sin cos cos 13513565C A B A B A B A B =--=-+=-=´-´=.故答案为.166515.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形AOB .O 为南门位置，C 为东门位置，小区里有一条平行于AO 的小路CD ，若3OD =米，则圆弧AC 的长为___________米【正确答案】50π【分析】连结OC ，由//CD OA ，可得DCO COA ∠=∠，60CDO ︒∠=，在△OCD 中，由正弦定理可得，sin sin OD OCDCO CDO=∠∠，可求出sin DCO ∠，进而可求出,DCO COA ∠∠，进而根据圆弧AC 所对应的圆心角及半径，可求出圆弧AC 的长度.【详解】连结OC ，因为//CD OA ，所以DCO COA ∠=∠，180********CDO DOA ︒︒︒︒∠=-∠=-=.在△OCD 中，由正弦定理可得，sin sin OD OC DCO CDO =∠∠，即3sin 32DCO =∠232sin 2002DCO ⨯∠==，因为DCO COA ∠=∠，且()0,120COA ︒︒∠∈，所以45DCO COA ︒∠=∠=，所以»452π20050π360AC ︒︒=⨯⨯=.故答案为.50π16.正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立，则实数m 的取值范围是________.【正确答案】[)3,-+∞【分析】采用基本不等式，先求出a b +的最小值，再采用分离参数法结合二次函数性质即可求解.【详解】因为191a b +=，所以()199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当312b a ==时取到等号，故16a b +≥，则2418a b x x m +≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立等价于241186x x m ≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立，即242m x x ≥-++对[]3,1x ∈--恒成立，()2max 42m x x ≥-++，242y x x =-++在[]3,1--单增，则()2max421423x x -++=--+=-，则[)3,m ∈-+∞.故[)3,-+∞三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC的面积，满足222)4S a b c =+-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．【正确答案】（Ⅰ）,3π（Ⅱ【详解】解：（1）由题意可知，13sin 2cos tan 243S ab C ab C C C π==⨯⇒=⇒=；（2）2sin sin sin sin()sin sin()31sin cos sin )226A B A C A A A A A A A πππ+=+--=+=++=+≤当△ABC 为等边三角形的时候sin sin A B +18.设函数2()(1)1f x ax a x =-++.当a ∈R 时，求关于x 的不等式()0f x <的解集.【正确答案】答案见解析.【分析】讨论0a =，a<0和0a >三种大情况，再考虑1a =，1a >，01a <<三种情况，解不等式得到答案.【详解】若0a =，原不等式可化为10x -+<，解得1x >；若a<0，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a<或1x >；若0a >，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，其解得情况应由1a 与1的大小关系确定，当1a =时，解为∅；当1a >时，解得11x a <<；当01a <<时，解得11x a<<.综上所述：当a<0时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >；当0a =时，解集为{}1x x >；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎩⎭；当1a =时，解集为∅；当1a >时，解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.19.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【正确答案】（1）12n n a -=，1n b n=（2）(1)21n n T n =-⋅+【分析】（1）采用作差法结合,n n S a 关系式可求n a ，再验证1a 可求{}n a 的通项公式；对11n n n n b b b b ---=变形得1111n n b b --=，求出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而求出{}n b 的通项公式；（2）采用错位相减法即可求解.【小问1详解】由21n n S a =-，得1121S a =-，11a ∴=.又21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，2n ≥.∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.11122n n n a --∴=⋅=.由()*112,Nn n n n b b b b n n ---=≥∈，得1111n n b b --=，又11b =，∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.11(1)1n n n b ∴=+-⋅=.1n b n∴=；【小问2详解】01112222n n T n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，12212222n n T n ∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.两式相减，得11121222212212nn nn n nn T n n n ---=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+-⋅-(1)21n n T n \=-×+.20.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A c C b A B -=-.（1）求角C ；（2）若1c =，且ABC的面积(0,)12S ∈，求ABC 的周长l 的取值范围.【正确答案】（1）3π；（2）(21).【分析】（1）先利用正弦定理，边角互化，再结合余弦定理，即可求解.(2)先利用三角形面积公式，得出ab 的范围，再结合余弦定理，即可求出范围.【详解】（1）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得22()a c b a b -=-，∴222c a b ab =+-，∴由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =.（2）∵ABC 的面积13=sin 24S ab C ab =，∴330412<<，∴103ab <<，若=1c ，则2222=()31c a b ab a b ab =+-+-=，∴+a b∵ABC 的周长+1l a b c =++，且103ab <<，∴21l <<+，即ABC 的周长l 的取值范围为(21)+.21.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【正确答案】（1）400吨；（2）不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为y x，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.（2）根据获利100S x y =-，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.【小问1详解】由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.【小问2详解】不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.22.设数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+.（1）证明数列{}n a n -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若11c =，11n n n n b c c a n +=-=-，111n n n d c c +=-.求证：数列{}n n b d ⋅的前n 项和14n S <.【正确答案】（1）证明见解析，2n n a n=+（2）证明见解析【分析】（1）计算()1(1)2n n a n a n +-+=-，再根据首项得到通项公式.（2）计算12n n b =，利用累加法得到1212n n n c --=，放缩111142121n n n n b d +⎛⎫⋅≤- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法计算得到证明【小问1详解】()1(1)2112n n n a n a n n a n +-+=-+--=-，又112a -=，{}n a n ∴-为以2为首项，以2为公比的等比数列，可得：2n n a n -=，2n n a n =+.【小问2详解】112n n n n b c c +=-=，2n ∴≥时()()()121321n n n c c c c c c c c -=+-+-+⋅⋅⋅+-2n 1111111112121212222212n n n n -----=+++⋅⋅⋅+==-=-，1n =时也符合上式，1212n n n c --∴=()111122112212121221n n n n n n n n n b d -++⎛⎫∴⋅=-=- ⎪----⎝⎭()()()()111111222212121n n n n +++==----11111111122212142121n n n n n ++⎛⎫⎛⎫=-≤- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1223111111114212121212121n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≤-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111114214n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.所以数列{}n n b d ⋅的前n 项和14n S <.。
浙江省台州市台州十校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题(含答案)
浙江省台州市台州十校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则集合（）A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B. C. D.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.4.已知a，b为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数的图像是（）A. B. C. D.6.已知，则取最大值时的值为（）A. B. C. D.7.不等式的解集是，则的解集是（）A. B. C. D.{3,5}A={1,2,4,5}B=A B⋃={1,2,3,4,5,5}{1,2,3,4,5}{2,3,4,5}{5}20,0x x∀>>20,0x x∀><20,0x x∀>≤20,0x x∃><20,0x x∃>≤y={1}x x≥∣{1}x x>∣{1}x x≤∣{1}x x<∣1a b>>(1)(1)0a b-->||()xf x xx=+01x<<(1)x x-x1234232520x ax b--<{23}x x<<∣210ax bx-+<{23}x x<<∣115x x⎧<<⎫⎨⎬⎩⎭1123x x⎧⎫⎨-<-⎩<⎬⎭115x x⎧⎫⎨-<-⎩<⎬⎭8.已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.无数个二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题各有四个选项，有多个选项正确）9.设x ，y 为实数，满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.10.下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ）A.和 B.和C.和 D.和11.定义在R 上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）A. B.为奇函数C.在区间[m ，n ]上有最大值D.的解集为非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数则_____________.13.已知正数x ，y 满足:，则的最小值为_____________.14.已知函数，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是_____________.四、解答题（共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（13分）已知集合（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围.16.（15分）设函数，其图像过点（1）求出的解析式;x ()[]f x x =[1.2]2=31[]42x x =+14,12x y ≤≤<≤26x y <+≤02x y <-≤18xy <≤2xy≥()||f x x =()g x =3()1f x x =+3()1g t t =+()31f x x =+()32g x x =-2()3x f x x=-()3g x x =-()f x ()()()f x y f x f y +=+0x <()0f x >(0)0f =()f x ()f x ()f n ()2(1)10f x f x -+->{21}x x -<<∣2,1,()1,1x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩(2)f =112x y+=4x y +2()43,()52f x x x g x mx m =-+=+-1[1,4]x ∈2[1,4]x ∈()()12f x g x =m {24},{}A x x B x x a =-<<=<∣∣3a =R C B A B A ⋂=a ()kf x x=(1,4)()f x（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.17.（15分）某租赁公司，购买了一辆小型挖掘机进行租赁.据市场分析，该小型挖掘机的租赁利润（单位：万元）与租赁年数的关系为.（1）该挖掘机租赁到哪几年时，租赁的利润超过9万元？（2）该挖掘机租赁到哪一年时，租赁的年平均利润最大？18.（17分）函数是定义在上的奇函数，当时，（1）在坐标系里画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间;（2）求函数在上的解析式;（3）当时，恒成立，求的取值范围.19.（17分）已知函数（1）若，判断的奇偶性，求的最大值；（2）若的最大值为，求的最小值.()f x (0,)+∞y ()*Nx x ∈21436y xx =-+-()f x R 0x ≥2()24f x x x=-+()f x ()f x R 0x ≥()2f x m x ≤+m 2()4||2f x x x a a =-+-+0a =()f x ()f x ()f x ()g a ()g a2024学年第一学期台州十校联盟期中联考高一年级数学参考答案一、单选题:BDAACADB 二、多选题9.AC10.AB11.ABD三、填空题：12.213.14.四、解答题：15.解：（1）因为，所以;………………………………………………………………………………6分（2）因为，所以，所以实数的取值范围为………………………………………………………………13分16.解：（1）将点坐标代入解析式，，得.……………………………………………………………………………………………4分（2）在上的是减函数.…………………………………………………………6分证明:，且则，即………………………………………15分17.解:（1）由题意得，……………………………………………………….2分整理得，解得，………………………………………………………5分，则92(,3][6,)-∞-⋃+∞{3}B x x =<∣{3}R B xx =≥∣ðA B ⊆4a ≥a {4}a a ≥∣14k=4k =4()f x x=4()f x x =(0,)+∞12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <()()121244f x f x x x -=-()21124x x x x -=12122112,(0,),0,0x x x x x x x x ∈+∞<∴->> ()()()21121240x x f x f x x x -∴-=>()()12f x f x >214369x x -+->214450x x -+<59x <<*N x ∈ 6,7,8x =故该挖掘机租赁到第6，7，8年时，租赁的利润超过9万元……………………………………7分（2）租赁的年平均利润为…………………………………………………10分，因为，所以当且仅当时，即时，，故该挖掘机租赁到第6年时，租赁的年平均利润最大…………………………………………15分18.解:（1）函数的图象为:……………………………………………………3分由图象可得，函数的单调递减区间为：.……………………………………5分（2）函数是定义在上的奇函数，当时，有，，.…………………………………………………………………10分（3）当时，恒成立，，设，则当时，，21436y x x x x-+-=3614x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭3612x x +≥=36x x =6x =max12142y x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭(,1),(1,)-∞-+∞ ()f x R 0x <20,()2()4x f x x x ->-=---2()()24f x f x x x ∴=--=+2224,0()24,0x x x f x x x x ⎧-+≥∴=⎨+<⎩ 0x ≥()2f x m x ≤+222m x x ∴≥-+2()22g x x x =-+12x =max 1()2g x =……………………………………………………………………………………17分19（1）由题意得，当时，，因为，所以是偶函数，故的最大值为4.………………………………………………………………………5分（2）由题意得，…………………7分①若，则当时，在上单调递增，，当时，.因为，所以.………………………………………………………………10分②若，则当时，，当时，.因为，所以当时，，当时，.…………………………………………………13分③若，则当时，，当时，在上单调递减，.因为，所以.……………16分综上所述，当时，，当时，.故的最小值为4.……………………………………………………………………………17分12m ∴≥2()4||f x x x =-+0x ≥22()4(2)44f x x x x =-+=--+≤()()f x f x =-()f x ()f x 222246(2)46,()42(2)42,x x a x a x af x x x a x a x a⎧--+=-+++<=⎨-+-=--+-≥⎩2a ≤-x a <()f x (,)a -∞2()()2f x f a a a <=-+x a ≥()(2)42f x f a ≤=-()222(42)244(2)0a a a a a a ---+=-+=-≥max ()()42f x g a a ==-22a -<<x a <()(2)46f x f a ≤-=+x a ≥()(2)42f x f a ≤=-(46)(42)8a a a +--=20a -<<max ()()42f x g a a ==-02a ≤<max ()()46f x g a a ==+2a ≥x a <()(2)46f x f a ≤-=+x a ≥()f x [,)a +∞2()()2f x f a a a ≤=-+()22(46)2(2)0a a a a +--+=+≥max ()()46f x g a a ==+0a <()424g a a =->0a ≥()464g a a =+≥()g a。
2023-2024学年山东省济南市高二上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省济南市高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．方向相反的两个向量是相反向量B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量,AB CD 满足AB CD > ，则AB CD>D ．相等向量其方向必相同【正确答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A 错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B 错误；向量不能比较大小，故C 错误；相等向量其方向必相同，故D 正确；故选：D.2．两条直线1l ：210x y --=与2l ：3110x y +-=的交点坐标为（）．A ．(32)--，B ．(23)--，C ．(2)3，D ．(32)，【正确答案】C【分析】联立两直线的方程，解方程组即可求解.【详解】因为直线1l ：210x y --=，直线2l ：3110x y +-=，由2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以1l 与2l 两条直线的交点坐标为(2)3，，故选：C.3．已知(2,1)M 、(1,5)N -，则MN =（）．AB ．4C ．5D【正确答案】C【分析】利用两点间距离公式即可求解.【详解】因为(2,1)M 、(1,5)N -，所以5MN ==，故选：C.4．原点到直线250x y +-=的距离为（）A ．1BC ．2D【正确答案】D【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.【详解】由点到直线距离可知所求距离d ==故选：D本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.5．已知直线51230x y +-=与直线512100x y ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．2C ．12D ．4【正确答案】A【分析】直接利用两平行直线之间的距离公式计算即可.1=.故选：A.6．圆224240x y x y +-++=的半径和圆心坐标分别为A ．1;(2,1)r =-B ．2;(2,1)r =-C ．2;(2,1)r =-D ．1;(2,1)r =-【正确答案】D【详解】22(2)(1)1x y -++=∴ 半径和圆心坐标分别为()1;2,1r =-,选D7．椭圆22125169x y +=的焦点坐标为（）A ．(5,0),(5,0)-B ．(05),(05)-,,C ．(0,12),(0,12)-D ．(12,0),(12,0)-【正确答案】C【分析】由方程可得22,a b ，结合椭圆中,,a b c 的关系及焦点位置可得焦点坐标.【详解】因为椭圆的方程为22125169x y +=，所以焦点在y 上，且22169,25a b ==，由22216925144c a b =-=-=可得12c =，所以焦点为(0,12),(0,12)-.故选：C.本题主要考查椭圆的焦点坐标，利用方程求解焦点时，一看焦点位置，二算焦距大小，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知两个异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a •12b=-，则两直线的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】B【分析】先求出向量,a b的夹角，再利用异面直线角的定义直接求解即可【详解】设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos a ＜，12b =- ＞，∴cos a ＜，12b =-＞，∴a ＜，23b π=＞，∴θ3π=，故选：B ．本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与a ＜，b＞的关系，属于基础题．9．椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的距离为2，可得点P 到另一个焦点的距离．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为8，故选：D ．本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．10．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3【正确答案】B【分析】由双曲线的定义运算即可得解.【详解】由双曲线的定义得12||||26PF PF a -==，即23||6PF -=，因为2||0PF >，所以2||9PF =.故选：B.11．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，则m 的值为（）A ．8-B ．0C ．2D ．10【正确答案】A【分析】利用直线的斜率公式求解即可.【详解】解： 过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，422m m-∴=---，解得8m =-，故选：A.12．已知向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos ,m n 〈〉=l 与α所成的角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒【正确答案】B【分析】根据直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角与线面角之间的关系，可得线面角的正弦值，即可求得答案.【详解】设直线l 与α所成的角为,090θθ≤≤ ，因为向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，且cos ,m n 〈〉=，故cos sin ,|2|m n θ〈〉==，即得60θ= ，故选：B13．如果直线1l 的斜率为2，12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．12-B ．2C ．12D ．-2【正确答案】A【分析】直接由两直线垂直则斜率乘积等于1-,计算可得2l 的斜率.【详解】由于直线1l 的斜率为2且12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为12-.故选：A14．圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径12r =，又211212r r O O r r -<=<+，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ．圆与圆的位置关系．15．已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4C ．32D ．43【正确答案】C【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝ca ＝32．16．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【正确答案】B【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d ，与圆的半径r 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B直线与圆的位置关系．二、多选题17．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（）A ．28y x =-B ．28y x=C ．24y x=-D ．24y x=【正确答案】AB【分析】根据焦点到准线的距离为p 求解.【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，根据四个选项可得28y x =-，28y x =满足4p =，故选：AB 三、单选题18．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【正确答案】C【详解】2c e a ==，故2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】A 【分析】解方程001544x x +=即得解.【详解】解：由题得抛物线的准线方程为14x =-，则有014AF x =+，即有001544x x +=，解得01x =．故选：A20．若抛物线()20y ax a =>的焦点与椭圆2212x y +=的上顶点重合，则=a （）A ．12B ．14C ．2D ．4【正确答案】B分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆2212x y +=的上顶点是()0,1抛物线()20y ax a =>的焦点10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为两点重合所以114a=所以14a =故选：B本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.四、多选题21．若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,αα，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（）A ．若斜率12k k =，则12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12αα=，则12l l ∥D ．若12παα+=，则12l l ⊥【正确答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于D,若12παα+=，不妨取12π2π33,αα==，则1122tan tan k k αα====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC22．下列命题中，正确的命题为（）A ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔B ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= C ．若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则//n aD ．0PM PN MN -+= 【正确答案】BD【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断A 、B ；由法向量的概念和直线方向向量的定义判断C ，根据空间向量线性运算法则判断D.【详解】解：对于A ，若1n ，2n分别是两个不重合平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔ ，故A中平面α，β可能平行或重合，故A 错误；对于B ，若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= ，故B 正确；对于C ，若n是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，l 与平面α平行，则n a ⊥ ，所以0n a ⋅= ，故C 错误；对于D ，0PM PN MN NM MN -+=+=，故D 正确．故选：BD ．23．已知双曲线方程为22832x y -=，则（）A ．焦距为6B ．虚轴长为4C ．实轴长为D ．离心率为4【正确答案】BCD【分析】求出双曲线的标准方程，得到a =2b =，6c =，对照选项即可求解.【详解】双曲线方程22832x y -=化为标准方程为：221324x y -=，可得：a =2b =，6c =，所以双曲线的焦距为212c =，虚轴长为24b =，实轴长为2a =，离心率4c e a ==，故选.BCD24．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为（）A ．y 2＝xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y【正确答案】AD【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .故选：AD25．已知(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值可能为（）A ．3-B ．3C ．2-D ．1【正确答案】AB【分析】由点到直线的距离公式可得关于a 的方程，解方程即可．【详解】解：因为(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，=即236a a +=+，化简得29a =，解得3a =±，所以实数a 的值可能为3±．故选：AB ．五、填空题26．若直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率为________．【正确答案】1-【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得直线的斜率.【详解】依题意，直线的斜率为135tan 1k =︒=-.故1-27．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．【正确答案】【详解】∵cos 〈u ，v 〉＝＝－，∴〈u ，v 〉＝π，∴平面α与β的夹角是.28．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为10，焦距为6，则此椭圆的标准方程为____________.【正确答案】2212516y x +=【分析】依题意可得22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得a 、b ，即可得解.【详解】依题意，设椭圆方程为()222210,0y x a b a b +=>>，则22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得534a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212516y x +=.故答案为.2212516y x +=29．以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是___________.【正确答案】()()22112x y ++-=【分析】通过圆过定点A 和B ，以及线段AB 是直径，求出圆心和半径，即可求出圆的标准方程.【详解】解：由题意，在圆中，圆过()2,0A -和()0,2B ，且以AB 为直径，设圆心为C ，半径为r ，∴2012-+=-，0212+=，AB ==∴()1,1C -，12r AB =，∴以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是：()()22112x y ++-=，故答案为.()()22112x y ++-=30．若经过点(),4m 和()22,m 的直线l 与斜率为1-的直线互相垂直，则m 的值是_______.【正确答案】3-【分析】分析可知，直线l 的斜率为1，利用斜率公式可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】由题意可知，直线l 的斜率为2412m k m -==-且2m ≠，所以，21m --=，解得3m =-.故答案为.3-六、解答题31．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点.(1)求直线AC 与平面1C AD 所成角的正弦值；(2)求平面1C AD 与平面ABC 的夹角的余弦值.【正确答案】33(2)33【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()10,2,2C ，()1,1,0D ，所以()0,2,0AC = ，()10,2,2AC = ，()1,1,0AD = ，设平面1C AD 的法向量(,,)n x y z = ，则10220n AD x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，则1y =-，1z =，得()1,1,1n =- ，设直线AC 与平面1C AD 所成角为θ，则3sin 323n AC n AC θ⋅===⨯⋅ 所以直线AC 与平面1C AD 33.（2）解：显然平面ABC 的一个法向量可以为()0,0,1m = ，设平面1C AD 与平面ABC 的夹角为α，则cos 3n m n mα⋅===⋅ ，所以平面1C AD 与平面ABC的夹角的余弦值为3.32．已知圆经过点()2,0P 和坐标原点，且圆心C 在直线0x y -=上(1)求圆的标准方程；(2)直线y x b =+与圆C 相交，求b 的范围.【正确答案】(1)()()22112x y -+-=(2)()2,2b ∈-【分析】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据题意列出方程组，求出,,a b r ，即可得解；（2）根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离d r <，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得()22222220a b r a b r a b ⎧-+=⎪+=⎨⎪-=⎩，解得2112a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的标准方程为()()22112x y -+-=；（2）圆C 的圆心为()1,1，半径r =圆心()1,1到直线y x b =+的距离d ==因为直线y x b =+与圆C 相交，所以d r <，<，解得22b -<<，所以()2,2b ∈-.33．已知双曲线标准方程.2213y x -=(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)求以原点为顶点，以此双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程，过抛物线的焦点且倾斜角为4π的直线与此抛物线交于两点,A B ，求弦AB 的长度.【正确答案】(1)y =(2)8【分析】（1）根据双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线方程公式，可得答案；（2）根据双曲线的标准方程，求得其右顶点的坐标，利用抛物线的标准方程，由焦点可得方程，写出直线方程，联立写出韦达定理，结合弦长公式，可得答案.【详解】（1）由双曲线标准方程：2213y x -=，则1,a b =y =.（2）由双曲线标准方程：2213y x -=，则其右顶点坐标为()1,0，由题意可得抛物线的标准方程为24y x =，其该抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程为1y x =-，联立可得241y x y x ⎧=⎨=-⎩，整理可得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，121=x x ，则128AB x =-===.34．已知F 1，F 2分别为椭圆2221100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点.(1)若∠F 1PF 2＝60°，且 F 1PF 2，求b 的值；(2)求|PF 1|⋅|PF 2|的最大值.【正确答案】(1)8；(2)100.【分析】（1）利用 F 1PF 2的面积得到122563PF PF ⋅=，再利用余弦定理求解；（2）结合椭圆的定义，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：由椭圆方程知2221100x y b+=，a =10，2210036c b =-=则1220PF PF +=，由 F 1PF 2的面积为121sin 602S PF PF =⋅⋅ 解得122563PF PF ⋅=，由余弦定理得2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅⋅ ，()212123400256144PF PF PF PF =+-⋅=-=，即210036b -=，所以264b =，即8b =；（2）由基本不等式得()212121004PF PF PF PF +⋅≤=，当且仅当1210PF PF ==时，等号成立，所以12PF PF ⋅的最大值为100.。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(含答案解析)
山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题17．已知ABC 的三个顶点的坐标为(1)求ABC 的面积；(2)求ABC 的外接圆的标准方程18．已知直线40x my --=和圆(1)当m 为何值时，截得的弦长为(2)若0OA OB ⋅≤，求m 的取值范围19．已知O 为坐标原点，(1,0A 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)直线l 经过点()0,2-，与E 为4，求PQ .20．已知动圆C 过定点(2,0D (1)求动圆圆心的轨迹T 的方程；(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为直线AM，BM分别交椭圆于两点（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值22．已知点(2,3)在双曲线C(1)双曲线上动点Q处的切线交AOB的面积S是定值；(2)已知点1(,1)2P，过点P作动直线取异于点M､N的点H，满足参考答案：9．BCD【分析】根据方程的形式，结合圆，椭圆和双曲线的形式，即可求解【详解】对于A ，当方程C 可表示圆时，16k k +=对于B ，当9k >时，2222169169x y x y k k k k -=+=+-+-圆，故B 正确；;对于C ，当169k -<<时，160k +>，90k ->，表示焦点在对于D ，当方程C 表示双曲线时()()1690k k +->22216925c a b k k =+=++-=，焦距为10，当方程C 表示椭圆时，()22:1R 169x y C k k k +=∈+-，()22216925c a b k k =-=+--=，焦距为10，所以焦距均为故选：BCD11．ABC【分析】对于A ：利用余弦定理及双曲线的定义求出于B ：设222y x λ-=，与直线联立，发现12,x x y +PM NQ =；对于C ：求出12PA PA k k ⋅为定值，进而可得方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果.【详解】在双曲线2212y x -=中，()()121,2,3,1,0,1,0,a b c A A ===-()13,0,F F -对于A ：在双曲线的焦点三角形12PF F △中，2对于B ，不妨设222y x λ-=设直线:l y kx m =+，其与x 联立222y x y kx m λ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，可得(2k 应满足220k -≠且0∆>.由韦达定理可知1222km x x +=-所以线段PQ 的中点与线段MN 由,PT QT NT MT ==可知对于C ，设()00,P x y ，且x 12000200011PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--所以若1PA 的斜率范围为[8,-对于D ，联立2221012x y y x --=⎧⎪⎨-=⎪⎩所以不存在中点，D 错误.故选：ABC.12．ABD【分析】根据给定条件，求出点标，再逐项计算判断即得.对于A，直线MQ斜率22 MQk=对于B，由12,2P Qx x==，得PF对于C，显然2(2,),2FM FQ =-对于D，点O到直线PQ的距离15．2212521y x +=【分析】设动圆C 的圆心(),C x y ，半径为心的轨迹为椭圆，根据椭圆定义可得轨迹方程【详解】设动圆C 的圆心(),C x y ，半径为22:430C x y y +++=得:C x设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 2y kx =-与2214y x -=联立得：(由()22163240k k ∆=+->且4-由韦达定理得122448k x x k x x ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=，）如图，设动圆圆心()1,O x y ，设圆1O 截y 轴上时，过1O 作1O H MN ⊥交()222x y =-+，化简得2y 轴上时，动圆1O 过定点()2,0D（2）（i ）易知(2,0),(2,0)A B -，根据题意可知直线,AM BM 斜率均存在，且所以直线AM 的方程为6ty =联立直线AM 和椭圆方程24y x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩由韦达定理可得24227p t x --=+联立直线BM 和椭圆方程24y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩由韦达定理可得2241223q t x t -=+则222542182,2727t t BP t t ⎛⎫-=-= ⎪++⎝⎭ 2222662,33t t BQ t t ⎛⎫-⎛=--= ⎪ ++⎝⎝⎭所以22412273t BP BQ t -⎛⋅=⨯- ++⎝ 即可知PBQ ∠为钝角，所以点（ii ）易知四边形APBQ 的面积为1182227p q S AB y y ⎛=⨯⨯-= +⎝设()()1122,,,M x y N x y ，则1x x +设点H 的坐标为(),H H x y ，则由PM MH PN HN =得，121212x x x x -=-变形得到(1212122H x x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭将22121222124,3k k k k x x x x k k --+==--将832H k x k -=-代入112y k x ⎛-=- ⎝则(24318123232232H H k k x y k k -+-=---故点H 恒在一条定直线32x y --【点睛】方法点睛：过圆()x a -()()()()00x a x a y b y b --+--=过圆()()222x a y b r -+-=外一点()()()()00x a x a y b y b --+--=过椭圆22221x y a b+=上一点(0,P x y 过双曲线22221x y a b-=上一点(P x。
2023-2024学年浙江省杭州北斗联盟高二年级第一学期期中联考数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年浙江省杭州北斗联盟高二年级第一学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.若复数满足其中为虚数单位，则的虚部是( )A. B. C. 2 D.3.“”是“直线与直线互相垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：其中W是功，F是力，是位移一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于( )A. 25B. 5C.D.5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.6.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )A. B. 0 C. 50 D. 27.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则( )A. B. C. D.8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
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中原名校2012—2013学年第一学期期中联考高二文科数学试卷命题：叶县数学命题组 责任老师： 崔洪澎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在∆ABC 中，A=60，a=34，24=b ，则B 等于（ ）A ． 45或 135B ． 45C ． 135D ． 752．在∆ABC 中，a,b,c 是角A,B,C 的对边，且B b A a cos cos =,则三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S 。
若m>1，且211m m m a a a -++-=0，3812=-m S ，则m=（ ）A ．9B ．10C ．20D ．384．数列{a n }的通项公式为22+-=an n a n ,若数列{a n }是个递增数列,则a 的范围是（ ）A ． a<2B ．1≥aC ．23>a D ．a<35．在∆ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则AC 边上的高是（ ）A ．223B ．233 C ．23 D ．236．等比数列}{n a 中，3a ，5a 是方程022=+-kx x （k 为常数）的两根，若02<a ，则65432a a a a a 的值为（ ）A ．24-B ．24C ．24±D ． 87．两个等差数列{a n }和{b n },其前n 项和分别是n s ，n T ，且222++=n n T S nn ，则88a a b b +=+24（ ）A ．1320B ．1913C ．1710 D ．无法确定8．若直线1=+b y a x 通过点)sin ,cos αα（M ,则（ ）A ．122≤+b a1.22≥+b a B111.22≤+b a C111.22≥+b a D9．在∆ABC 中，a,b,c 是角A,B,C 的对边，且ac b c a c b a 3))((=-+++，则C A C A tan tan tan tan 3--⋅等于（ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．310．若x,y,z 是正实数，且032=+-z y x ,则xz y 2的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 11．二次函数)(x f 过原点，且2)1(1≤-≤f ，4)1(3≤≤f ，则)2(-f 的范围是（ ）A ．]11,5[B ．]10,6[C ．]10,5[D ．]11,6[12．设x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-4212y x y x ay x 时，目标函数z=x+y 既有最大值也有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ． a<1B ．0<a<1C ．10<≤aD ．a<0二、填空题（本大题共4小题，每题5分） 13．已知1)3(log -+=x y a （a>0,且1≠a ）恒过定点A ，且点A 在直线mx+ny+1=0上，且mn>0，则n m 21+的最小值是 .14．已知等比数列{a n }中，4321=++a a a ，2432-=++a a a ，则=+++++876543a a a a a a.15．在∆ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AC=2AB=2AD=4，则BD= . 16．设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若104≥S ,155≤S ,则4a 的最大值是 .三、计算题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，12,111+==+n n S a a )1(≥n（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求 T n18．（本小题满分12分）已知不等式0122<+--m x m x 。
（1）若对于所有的实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围； （2）设不等式对于满足2≤m 的一切m 的值都成立，求x 的取值范围19) （本小题满分12分）为了竖一块广告牌，要建立如图所示的三角形支架，要求ACB ∠=60．BC 的长度大于１米。
且AC 比AB 长0.5米，为了使广告牌稳定，要求AC 的长度越短越好，则AC 最短是多少米？当AC 最短时，BC 的长度是多少米？20．（本小题满分12分）已知数列{a n }中，11=a ，32=a ，且)(221*++∈+=N n a a a n n n ，,数列{b n }的前n 项和n S ，其中231-=b ，)(321*∈-=+N n S b n n（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式。
（2）若n n n b a b a b a T +++=2211，求n T 得表达式。
21) （本小题满分12分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. （1）该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？ （2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出; ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 问哪一种方案较为合算，请说明理由.22．（本小题满分12分）在海岸A 处，发现北偏东 45方向、距离A 处13 海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75方向、距离A 处2海里的C 处的辑私船奉命以310海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？中原名校2012—2013学年第一学期期中联考 高二文科数学试题参考答案一，选择题1 B2 C3 B4 D5 B6 A7 A8 D9 D 10 B 11 B 12C 二，填空题13 、8 14 、8715 、6 16、417（本题10分） （1）由121+=+n n S a 可得)2(121≥+=-n S a n n ，两式相减得n n n n n a a a a a 3,211==-++)2(≥n又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13-=n n a . 。
6分（2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得10,221-==d d ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d =∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+ 。
10分18（本题12分）解：（1）当m=0时，1-2x<0,即当21>x 时不等式恒成立。
。
2分0≠m 时，设12)(2+--=m x m x x f ，0)(<x f 恒成立，则有 ⎩⎨⎧<--<0)1(440m m m 则∈m Φ综上可知不存在这样的m 使不等式恒成立。
。
6分 （2）由题意 22≤≤-m设)21()1()(2x m x m g -+-=，则有 ⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(g g ，即⎩⎨⎧<--<+--0122032222x x x x 解之得231271+<<+-x 所以x 的取值范围为⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫+<<+-231271|x x 。
12分19（本题12分）解：依题意设BC= a （a>1） AB= c AC= b易知21=-c b由余弦定理知60cos 2222ab b a c -+= 。
3分把21=-c b 代入化简得 41)1(2-=-a a b （a>1）所以 14322)1(14122-+-+-=--=a a a a ab =2)1(431+-+-a a 232+≥ 当且仅当)1(431-=-a a 即231+=a 时b 有最小值232+ 。
10分所以AC 最短为（232+）米，此时BC 的长为（231+）米 。
12分20（本题12分） 解:(1)由题意知n n n a a a +=++212 所以数列{a n}是等差数列公差d=212=-a a 所以12-=n a n 。
2分)(321*∈-=+N n S b n n 所以 )2(321≥-=-n S b n n n n n b b b 321-=-+ 则nn b b 311=+13212=-=S b ， 313212≠-=b b 所以⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=-)2()31()1(232n n b n n 。
6分2) 2≥n 时，23)12(--=n n nn b a所以n n n b a b a b a T +++=2211=2213)12(37353332--++⨯+⨯+⨯+-n n13213)12(37353323-⨯-++⨯+⨯+⨯+-=n n n T错位相减整理得13)1(32--+-=n n n T 。
12分21（本题12分） 解：(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则：y =50n －［12n +2)1(-n n ×4］－98=－2n 2+40n －98.由y ＞0，得n 2－20n +49＜0 ∴10－51＜n ＜10+51 (n ∈N),∴3≤n ≤17,∴n =3.即捕捞3年后，开始盈利. ……………6分(2)①平均盈利为n y =－2n －n 98+40≤－2n n 982⋅+40=12． 当且仅当2n =n 98，即n =7时,年平均利润最大．∴经过7年捕捞后年平均利润最大，共盈利为12×7+26=110(万元) ．…9.分 ②∵y =－2n 2+40n －98=－2(n －10)2+102． ∴当n =10时，y 的最大值为102;即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102+8=110万元． ………11分 故两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算. ………12分22（本题12分）解：设辑私船t 小时后在D 处追上走私船，则有t BD t CD 10,310==.在ABC ∆中，0120,2,13=∠=-=ABC AC AB .利用余弦定理可得6=BC .…3分由正弦定理，222362sin sin =⋅=∠=∠BAC BC AC ABC , 得045=∠ABC ，即BC 与正北方向垂直.于是0120=∠CBD .……………6分在BCD ∆中，由正弦定理得，21310120sin 10sin sin 0=⋅=∠=∠t t CD CBD BD BCD 得030=∠BCD , 又0030sin 120sin BC CD =，63310=t ，得106=t .……………10分答：当辑私船沿东偏北 30. ……12分。