第十四章 整式的乘法与因式分解(基础过关)(解析版)
人教版初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》(含答案解析)(1)
一、选择题1．下列因式分解正确的是（ ）A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1D ．x 2+2x-1=(x-1)22．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18 B ．12 C ．9D ．7 3．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A ．2105525x x x x x -=⋅-B ．()a x y ax ay +=+C ．()22442x x x -+=-D ．()()2163443x x x x x -+=-++ 4．多项式291x 加上一个单项式后﹐使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（ ）A ．6x ±B ．-1或4814xC ．29x -D ．6x ±或1-或29x - 5．代数式2346x x -+的值为3，则2463x x -+的值为（ ） A ．7 B ．18 C ．5 D ．96．已知435x y +-与2(24)x y --互为相反数，则x y 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．17．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如左图可以用来解释（a+b ）2－（a －b ）2=4ab ．那么通过右图面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．22()(2)a b a b a ab b -+=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++8．将11n n x x +--因式分解，结果正确的是（ ）A ．()121n xx -- B ．()11n x x -- C ．()1n x x x -- D ．()()111n x x x -+-9．如图，对一个正方形进行了分割，通过面积相等可以证明下列哪个式子（ ）A ．22()()x y x y x y -=-+B ．222()2x y x xy y +=++C ．222()2x y x xy y -=-+D ．22()()4x y x y xy +=-+10．已知5a b +=，2ab =-，则a 2+b 2的值为（ ） A ．21 B ．23 C ．25D ．29 11．下列计算正确的是（ ）A ．（a 2）3=a 5B ．（2a 2）2=2a 4C ．a 3•a 4=a 7D ．a 4÷a =a 4 12．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美丽B ．美丽昭通C ．我爱昭通D ．昭通美丽 13．下列运算中，正确的是（ ）A ．()23294x y x y = B ．3362x x x += C ．34x x x ⋅= D ．22(3)(3)3x y x y x y +-=-14．已知()()22113(21)a b ab ++=-，则1b a a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．-115．下列各式计算正确的是（ ） A ．5210a a a = B ．()428=a a C ．()236a b a b = D ．358a a a +=二、填空题16．如图，是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的值．例如，若输入x ＝10，则第一次输出y ＝5．若输入某数x 后，第二次输出y ＝3，则输入的x 的值为_________．17．因式分解269x y xy y -+-=______．18．若231m n -=，则846m n -+=________．19．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是______，第n 个图形需要的黑色棋子的个数是______．（n 为正整数）20．如果()()223232x x y ---=-，那么代数式()3()4(2)x y x y x y ++----的值是___________．21．若2x y a +=，2x y b -=，则22x y -的值为____________．22．分解因式3225a ab -=____．23．若6x y +=，3xy =-，则2222x y xy +＝_____．24．因式分解：33327xy x y -=______．25．分解因式：2221218ax axy ay -+=_________．26．已知a ＋b ＝5，且ab ＝3，则a 3＋b 3＝_____． 三、解答题27．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系是______；（2）拓展应用：若()()22202020217m m -+-=，求()()20202021m m --的值．28．（1）先化简，再求值：()()()22m n m n m n m ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中1m =，3n =-． （2）已知：1x y -=，2xy =，求32232x y x y xy -+的值．29．因式分解：（1）322242a a b ab -+（2）4481x y -30．化简：2(3)3(2)m n m m n +-+．。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解重点知识点大全(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解重点知识点大全单选题1、下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()A．a2+b2B．2a−b2C．−a2+b2D．−a2−b2答案：C分析：根据平方差公式的定义判断即可；A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C、原式=(b−a)(b+a)，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．小提示：本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键．2、要使多项式(x+p)(x−q)不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为−1答案：A分析：计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q 相等.解：(x+p)(x−q)=x2+(p−q)x−pq∵乘积的多项式不含x的一次项∴p-q=0∴p=q故选择A.小提示：此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.3、下列分解因式正确的是（）A．a3−a=a(a2−1)B．x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2C．−x2+4xy−4y2=−(x+2y)2D．16x2+16x+4=(4x+2)2答案：B分析：根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；A、a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，故该选项错误；B、x3+4x2y+4xy2=x(x2+4xy+4y2)=x(x+2y)2，故该选项正确；C、−x2+4xy−4y2=−(x2−4xy+4y2)=−(x−2y)2，故该选项错误；D、16x2+16x+4=4(4x2+4x+1)=4(2x+1)2，故该选项错误；故选：B．小提示：本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；4、已知（x-m）（x+n）=x2-3x-4，则m-n的值为( )A．1B．-3C．-2D．3答案：D分析：把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m-n的值．（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，∴n-m=-3，则m-n=3，故选D．小提示：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．5、下列式子中，正确的有( )①m3∙m5=m15；②（a3）4=a7；③（-a2）3=-（a3）2；④（3x2）2=6x6A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．解：①m3⋅m5=m8，故该项错误；②(a3)4=a12，故该项错误；③(−a2)3=−a6，−(a3)2=−a6，故该项正确；④(3x2)2=9x4，故该项不正确；综上所述，正确的只有③，故选：B．小提示：本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．6、在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（）．A．−a2−9B．a2−9C．a2−4b D．a2+9答案：B分析：直接利用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，进而分解因式判断即可．A、−a2−9，无法分解因式，故此选项不合题意；B、a2−9=(a+3)(a−3)，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；C、a2−4b，无法分解因式，故此选项不合题意；D、a2+9，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．7、若x2＋2（k＋1）x＋4是完全平方式，则k的值为（）A．＋1B．﹣3C．﹣1或3D．1或﹣3答案：D分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．解：∵x2+2(k+1)x+4是完全平方式，∴2(k+1)=±4，解得：k=1或-3，故D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解．8、下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝(a+b)2B．a2+2ab+b2＝(a−b)2C．a2−a=a(a+1)D．a2−b2=(a+b)(a−b)答案：D分析：根据因式分解的方法，逐项分解即可．A. a2+b2，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B. a2+2ab+b2＝(a+b)2故该选项不正确，不符合题意；C. a2−a=a(a−1)，故该选项不正确，不符合题意；D. a2−b2=(a+b)(a−b)，故该选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．9、计算(x+1)(x+2)的结果为( )A．x2+2B．x2+3x+2C．x2+3x+3D．x2+2x+2答案：B解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.10、已知a2+14b2=2a−b−2，则3a−12b的值为（）A．4B．2C．−2D．−4答案：A分析：根据a2+14b2=2a−b−2，变形可得：a2−2a+1+14b2+b+1=(a−1)2+(12b+1)2=0，因此可求出a=1，b=−2，把a和b代入3a−12b即可求解．∵a2+14b2=2a−b−2∴a2−2a+1+14b2+b+1=(a−1)2+(12b+1)2=0即(a−1)2=0，(12b+1)2=0∴求得：a=1，b=−2∴把a和b代入3a−12b得：3×1−12×(−2)=4故选：A小提示：本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．填空题11、多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x3项和x2项，则ab＝_____．答案：﹣2分析：根据题意只要使含x3项和x2项的系数为0即可求解．解：∵多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x2、x3项，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2．∴ab＝﹣2．所以答案是：﹣2．小提示：本题主要考查多项式的系数，关键是根据题意列出式子计算求解即可．12、分解因式：x2y+xy2=______．答案：xy(x+y)分析：利用提公因式法即可求解．x2y+xy2=xy(x+y)，所以答案是：xy(x+y)．小提示：本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．13、已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．答案：2分析：将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案为2．小提示：本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．14、观察下列等式：①32−12=4×2；②42−22=4×3；③52−32=4×4；④62−42=4×5；…，第n（n为正整数）个等式为________．答案：(n+2)2−n2=4(n+1)分析：利用已知数据得出变化规律，进而得出答案即可．解：由32−12=4×2，42−22=4×3，52−32=4×4，62−42=4×5，…，可得：(n+2)2−n2=(n+2+n)(n+2−n)=4(n+1)，即：(n+2)2−n2=4(n+1)．故答案是：(n+2)2−n2=4(n+1)．小提示：此题主要考查了数字变化规律以及平方差公式，得出数字变化规律是解题关键．15、若(m+2022)2=10，则(m+2021)(m+2023)=______．答案：9分析：先将m+2021变形为m+2022−1，m+2023变形为m+2022+1，然后把(m+2022)看作一个整体，利用平方差公式来求解．解：∵(m+2022)2=10，∴(m+2021)(m+2023)=(m+2022−1)(m+2022+1)=(m+2022)2−1=10-1=9．所以答案是：9．小提示：本题考查了平方差公式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−解答题16、先化简，再求值：(3x +2)(3x −2)−5x (x −1)−(2x −1)2，其中x =−13． 答案：9x -5，−8分析：先计算乘法，再计算加减，然后把x =−13代入化简后的结果，即可求解． 解：(3x +2)(3x −2)−5x (x −1)−(2x −1)2=9x 2−4−5x 2+5x −4x 2+4x −1=9x −5当x =−13时，原式=−13×9−5=−8小提示：本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．17、化简：3（a ﹣2）（a +2）﹣（a ﹣1）2．答案：2a 2+2a -13分析：根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法．解：3（a ﹣2）（a +2）﹣（a ﹣1）2=3（a 2-4）-（a 2-2a +1）=3a 2-12-a 2+2a -1=2a 2+2a -13．小提示：此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，正确掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则是解题的关键．18、爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若a m =a n (a >0，且a ≠1，m 、n 都是正整数），则m =n ，例如：若5m =54，则m =4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果2×4x ×32x =236，求x 的值；(2)如果3x+2+3x+1=108，求x 的值．答案：(1)x =5分析：（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．小提示：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．。
2021年八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结(答案解析)
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．248a a a •=B ．352()a a =C ．236()ab ab =D ．624a a a ÷= 2．下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是（ ） A ．()21a a b a ab a +-=+-B ．()2211a a a a --=--C ．()()22492323a b a b a b -+=-++D ．1212x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3．如果多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ） A ．52- B ．52 C ．5 D ．-5 4．计算()201920180.52-⨯的值（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12- 5．若3a b +=，1ab =，则()2a b -的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 6．下列运算中，正确的个数是（ ） ①2352x x x +=；②()326x x =；③03215⨯-=；④538--+=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列有四个结论，其中正确的是（ ）①若1(1)1x x +-=，则x 只能是2；②若()2(1)1x x ax -++的运算结果中不含2x 项，则1a =③若10,16a b ab +==，则6a b -=④若4,8x y a b ==，则232x y -可表示为a b A ．①②③④ B ．②③④ C ．①③④ D ．②④ 8．下列计算正确的是（ ）A ．（a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣2b 2B ．（a ﹣12）2＝a 2﹣14C ．﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+aD ．（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2 9．若关于x 的方程250x a b ++=的解是3x =-，则代数式6210a b --的值为（ ） A ．6-B ．0C ．12D ．18 10．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ）A ．6-B ．5-C ．4D ．4- 11．已知5a b +=，2ab =-，则a 2+b 2的值为（ ）A ．21B ．23C ．25D ．29 12．计算()()202020213232 -⨯的结果是( ) A ．32- B ．23- C ．23 D ．3213．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美丽B ．美丽昭通C ．我爱昭通D ．昭通美丽 14．已知21102x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则代数式2xy−（x ＋y ）2=（ ） A ．34 B ．54- C ．12- D ．54 15．下列运算正确的是（ ） A ．428a a a ⋅=B ．()23624a a =C ．6233()()ab ab a b ÷=D ．22()()a b a b a b +-=+二、填空题16．若2,3x y a a ==，则22x y a +=_______________________．17．下图中的四边形均为长方形，根据图形面积，写出一个正确的等式：______．18．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-； ()324(1)11x xx x x -+++=-； …… （1）()432(1)1x x x x x -++++=___；（2）根据规律可得：()1(1)1n x x x --+++=_____（其中n 为正整数）；（3）计算：()5049482(31)333331-++++++； 19．若已知x +y ＝﹣3，xy ＝4，则3x +3y ﹣4xy 的值为_____．20．已知228a ab +=-，2214b ab +=，则2262a ab b ++=________．21．如果()()223232x x y ---=-，那么代数式()3()4(2)x y x y x y ++----的值是___________．22．要使()()22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项，则m 的值是______． 23．若210x x --=，则3225x x -+的值为________．24．因式分解：33327xy x y -=______．25．因式分解：24a b b -=______．26．若代数式23y y +-的值为0，则代数式3242020y y ++的值为___________． 三、解答题27．计算（1）（65x 2y －4xy 2）•13xy （2）[（x ＋3y ）•（x －3y ）－（x －y ）2]÷（－2y ）28．阅读下列文字，并解决问题．已知x 2y ＝3，求2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）的值．我们知道，满足x 2y ＝3的x ，y 的值可能较多，不可能逐一代入求解，而运用整体思想能使问题化繁为简，化难为易，运用整体代入的方法能巧妙地解决一些代数式的求值问题，于是将x 2y ＝3整体代入．解：2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）＝2x 6y 3﹣6x 4y 2﹣8x 2y＝2（x 2y ）3﹣6（x 2y ）2﹣8x 2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．请你用上述方法解决问题：（1）已知ab ＝4，求（2a 3b 2﹣3a 2b+4a ）•（﹣2b ）的值；（2）已知x ﹣1x＝5，求1x x +的值． 29．先化简，再求值：()()()2222x y x y x y --+-其中1x =-，2y =30．计算：（1）2(1)(1)(2)x x x +--+ （2）(34)(34)x y x y -++-。
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。
方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。
五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。
在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。
熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。
掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。
第十四章 整式的乘法与因式分解(过题型)(解析版)
第十四章 整式的乘法与因式分解考查题型一 幂的乘方运算典例1．（2021·广东·惠州市惠港中学八年级阶段练习）若3•9m•27m ＝321，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】先利用幂的乘方、同底数幂乘法的运算法则把等式的左边进行整理，从而可得到关于m 的方程求解即可．【详解】解：3•9m•27m＝3×32m×33m＝31＋2m ＋3m＝31＋5m ，∵3•9m•27m ＝321，即31＋5m=321∵1＋5m ＝21，解得：m ＝4．故选：C ．【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂乘法法则，解答本题的关键是灵活运用相关运算法则．变式1-1．（2020·海南·儋州川绵中学八年级期中）计算()323a a ⋅的结果是（ ）A ．9aB ．8aC ．7aD ．6a 【答案】A 【分析】根据幂的乘方和同底数幂乘法法则计算即可．【详解】()632933a a a a a ⋅==⋅，故选A ． 【点睛】本题考查幂的混合计算，涉及幂的乘方和同底数幂乘法．掌握运算法则是解题关键．变式1-2．（2021·江西育华学校八年级期末）已知2m+3n ＝5，则4m•8n ＝（ ）A ．10B ．16C ．32D ．64【答案】C【分析】根据幂的乘方m n mn a a =（）以及同底数幂的乘法（·m n m n a a a +=）则解答即可． 【详解】∵m 、n 均为正整数，且235m n +=，∵2323548222232m n m n m n +⋅=⋅===， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．变式1-3．（2021·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）A ．326·y y y ＝B ．33(·)·a b a b ＝C ．235x x x ＋＝D ．248()m m -＝【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，利用排除法即可得到答案．【详解】解：A. 应为：23352·y y y y +=＝， 故本选项错误； B. 应为：333()··a b a b ＝， 故本选项错误； C. 235x x x +≠， 故本选项错误；D. 应为：248()m m -＝， 故本选项正确；故选D ．【点睛】考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．考查题型二 积的乘方运算典例2．（2022·山东淄博·期末）2312mn ⎛⎫- ⎪⎝⎭的计算结果是（ ） A ．64mn B ．264m n - C ．2314m n - D ．2614m n【答案】D【分析】直接根据幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．【详解】解：2312mn ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2614m n故选D ．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．变式2-1．计算3(2)a 的结果是（ ）A ．36aB ．8aC ．32aD ．38a【答案】D【分析】根据积的乘方可进行求解．【详解】解：33(2)8a a =； 故选D ．【点睛】本题主要考查积的乘方，熟练掌握积的乘方是解题的关键．变式2-2．（2022·山东淄博·中考真题）计算3262(2)3a b a b --的结果是（ ）A ．﹣7a6b2B ．﹣5a6b2C ．a6b2D ．7a6b2【答案】C【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．【详解】解：原式62626243a b a b a b =-=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则． 变式2-3．（2020·北京市朝阳外国语学校八年级期中）下列运算结果正确的是（ ）A ．3412a a a ⋅=B ．325()a a =C ．22(3)9a a -=D ．752a a a -=【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 347a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B. 326()a a =，故该选项不正确，不符合题意；C. 22(3)9a a -=，故该选项正确，符合题意；D. 7a 与5a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，正确的计算是解题的关键．考查题型三 化简求值典例3．（2022·北京·101中学八年级阶段练习）先化简，再求值：3(21)(23)(5)x x x x +-+-，其中2x =-．【答案】241015x x ++，11【分析】先利用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则计算，再合并同类项完成化简，然后将x 的值代入求解即可．【详解】解：原式2263(210315)x x x x x =+--+-2263210315x x x x x =+-+-+241015x x =++，当2x =-时，原式24(2)10(2)15=⨯-+⨯-+11=．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 变式3-1．化简求值：()()()()23432x x x x +---+，其中1x =-【答案】246x x --，-1【分析】先计算整式的乘法，然后合并同类项，代入求解即可．【详解】解：原式()2228312236x x x x x x =-+--+--2225126x x x x =---++24 6.x x =--当1x =-时，原式146=+-1=-．【点睛】题目主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．变式3-2．先化简，再求值：()()()()2234342323321m m m m m m ---++-+-，其中52m =- 【答案】323240932m m m --+-，791【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()()2234342323321m m m m m m ---++-+- ()()2232316949424323232m m m m m m =+--+---22324827361672323232m m m m m m =+-++---323242930m m m =-+--当52m =-时， 原式235553223240229⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⨯⎭+⨯- 125253284321009⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭+⨯+- 5002001009+=+-8009=-791=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．变式3-3．如图，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为()65a b +米，宽为()5b a -米的长方形草坪上修建两条宽为a 米的通道．(1)求剩余草坪的面积是多少平方米？（用含a ，b 的字母代数式表示）(2)若1a =，3b =，求剩余草坪的面积是多少平方米？【答案】(1)()22101525a ab b -++平方米(2)260平方米【分析】（1）根据题意可得剩余草坪的面积是()()655a b a b a a +---，再根据整式的乘法计算，即可求解；（2）把1,3a b ==代入（1）中结果，即可求解．（1）解：剩余草坪的面积是：()()655a b a b a a +---()()5552a b b a =+-()22101525a ab b =-++平方米；（2）解：当1,3a b ==时，22101525a ab b -++221011513253=-⨯+⨯⨯+⨯=260，即1,3a b ==时，剩余草坪的面积是260平方米．【点睛】本题主要考查了整式的乘法的应用，平移的性质，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．考查题型四 多项式乘积不含某项求字母的值典例4．（2021·山东烟台·期中）已知（x2+mx-3）（2x+n ）的展开式中不含x2项，常数项是-6．(1)求m ，n 的值．(2)求（m+n ）（m2-mn+n2）的值．【答案】(1)m=-1，n=2；(2)7【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．（1）解：（x2+mx-3）（2x+n ）=2x3+2mx2-6x+nx2+mnx-3n=2x3+2mx2+nx2+mnx-6x-3n=2x3+（2m+n ）x2+（mn-6）x-3n ，由于展开式中不含x2项，常数项是-6，则2m+n=0且-3n=-6，解得：m=-1，n=2；（2）解：由（1）可知：m=-1，n=2，∵（m+n ）（m2-mn+n2）=m3-m2n+mn2+m2n-mn2+n3=m3+n3=（-1） 3+23=-1+8=7．【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．变式4-1．（2022·山东济南·期末）若代数式()()212-+-x mx x 的计算结果中不含有x 的一次项，求m 的值．【答案】12m =-【分析】根据多项式乘多项式将代数式进行变形得()()322122x m x m x -+++-，再根据题意进行求值即可；【详解】解：()()212-+-x mx x 322222x mx x x mx =-+-+-()()322122x m x m x =-+++-，因为计算结果中不含一次项，所以120m +=，则12m =-． 【点睛】本题主要考查整式的乘除中多项式乘多项式，正确将代数式变形是解题的关键． 变式4-2．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）已知计算()()()2323536231x mx x x x x nx -+-⋅---+-的结果中不含4x 和2x 的项，求m 、n 的值． 【答案】m ＝1.5，n ＝−10．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果中不含x4和x2项，求出m 与n 的值即可．【详解】解：（5−3x ＋mx2−6x3）•（−2x2）−x （−3x3＋nx−1）＝−10x2＋6x3−2mx4＋12x5＋3x4−nx2＋x＝12x5＋（3−2m ）x4＋6x3＋（−10−n ）x2＋x ，由结果中不含x4和x2项，得到3−2m ＝0，−10−n ＝0，解得：m ＝1.5，n ＝−10．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式4-3．（2020·四川乐山·八年级期末）已知()()223x x ax b -++的展开项中不含2x 和x项，求a b +的值．【答案】3.75【分析】把两个多项式相乘，合并同类项后使结果的x 与x2项的系数为0，求解即可．【详解】解：()()223x x ax b -++=2x3+2ax2+2bx-3x2-3ax-3b=2x3+（2a-3）x2+（-3a+2b ）x-3b ．由题意得2a-3=0，-3a+2b=0，解得a=1.5，b=2.25．∵a+b=1.5+2.25=3.75．故a+b 的值为3.75．【点睛】本题考查了多项式相乘法则以及多项式的项的定义．注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．考查题型五 乘法公式的运算典例5．计算(1)()()22232xy x y ⋅- (2)()()()212141a a a a +---【答案】(1)4518x y - (2)41a -【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法可以解答；（2）根据平方差公式及单项式乘以多项式可以解答．（1）解：原式=()24292x y x y ⋅-=4518x y -；（2）()()()212141a a a a +---=()224144a a a ---=224144a a a --+=41a -【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．变式5-1．计算：(1)()31233a b a a -÷； (2)()()()22a b a b a b -+-+．【答案】(1)241a b - (2)23ab b --【分析】（1）直接利用多项式除以单项式的法则计算即可；（2）利用多项式与多项式的乘法法则及完全平方公式计算即可．（1） 解：()31233a b a a -÷ 312333a b a a a =÷-÷241a b =-；（2）()()()22a b a b a b -+-+()2222222a ab ab b a ab b =+---++ 2222222a ab ab b a ab b =+-----23ab b =--．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键．变式5-2．已知x+y ＝3，xy ＝2．(1)求(x+3)(y+3)的值；(2)求22x x y y +-的值．【答案】(1)20(2)3【分析】（1）先根据多项式与多项式的乘法法则化简，然后再将x+y ＝3，xy ＝2代入求值即可；（2）先利用完全平方公式变形，再将x+y ＝3，xy ＝2代入求值即可．（1）解：(x+3)(y+3)=xy+3(x+y)+9将x+y ＝3，xy ＝2代入得：原式=2+3×3+9=20（2）解：22x x y y +- =()23x y xy +-将x+y ＝3，xy ＝2代入得：原式=2323-⨯=3【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式的变形求值，熟练掌握运算法则和完全平方公式是解题的关键．变式5-3．运用乘法公式简便计算：(1)2998(2)2123124122-⨯ 【答案】(1)996004(2)1【分析】（1）将998写成（1000-2），再用完全平方公式进行计算即可；（2）将124×122写成（123+1）×（123-1），再用平方差公式进行计算即可；（1）解：原式=2（1000-2） =222100022-⨯⨯+1000 =40004-+1000000=996004；（2）解：原式=212312311231-+⨯-（）（）=2221231231-+=1．【点睛】本题主要考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便计算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．考查题型六 因式分解典例6．（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）分解因式．(1)32232a b a b ab -+(2)()()()24104254x x x x x -+-+-【答案】(1)()2ab a b - (2)()()245x x -+【分析】（1）先提取公因式ab ，再根据完全平方公式分解；（2）先提取公因式()4x -，再根据完全平方公式分解．（1）解：32232a b a b ab -+ =()222ab a ab b -+ =()2ab a b -（2）解：()()()24104254x x x x x -+-+-=()()241025x x x -++=()()245x x -+【点睛】本题考查了用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．变式6-1．（2022·山东·济南锦苑学校八年级期中）分解因式：(1)228x － ；(2)244x y xy y ++ 【答案】(1)2（x+2）（x －2）(2)221y x +（）【分析】（1）提取公因式再利用平方差分解因式；（2）提取公因式再利用用完全平方公式分解因式；（1）228x －=224x （－）=222x x +（）（－） （2）244x y xy y ++=2441y x x ++（）=221y x +（）【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握用公式法分解因式是解题关键．变式6-2．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）分解因式：(1)244x x -+(2)()()24a x y x y ---【答案】(1)()41x x -- ； (2)()(2)(2)x y a a -+-．【分析】（1）提取公因式-4x 即可分解；（2）先取公因式(x-y)，再运用平方差公式继续分解即可．（1）解：2444(1)x x x x -+=--； （2）解：()()24a x y x y --- ()2(4)x y a =-- ()(2)(2)x y a a =-+-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 变式6-3．（2022·甘肃·张掖育才中学八年级期中）已知a ，b ，c 是∵ABC 的三边，且满足222222a b c ab ac ，试判断∵ABC 的形状，并说明理由．【答案】∵ABC 为等边三角形，理由见解析【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a-b=0，b-c=0，c-a=0，即可判断出∵ABC 的形状．【详解】解：∵ABC 为等边三角形，理由如下：∵222222ab c ab ac ， ∵2222220a ab b a ac c ， ∵()()220a b a c -+-=， ∵220,0a b a c ，∵a ﹣b ＝0，a ﹣c ＝0，∵a＝b，a＝c，∵a＝b＝c，∵∵ABC为等边三角形．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．。
《整式的乘法与因式分解》(解析版)
2022-2023学年人教版数学八年级上册章节考点精讲精练第14章《整式的乘法与因式分解》知识点01：幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.m n ，m n ，n a m n ，m n 知识互联网知识导航5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.细节剖析:公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.细节剖析:运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：知识点03：乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.细节剖析:在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.细节剖析:公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 细节剖析:落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.考点01：单项式乘多项式1．（2022秋•福州月考）若计算（3x 2+2ax +1）•（﹣3x ）﹣4x 2的结果中不含有x 2项，则a 的值为（ ） A ．2B ．0C ．﹣D ．﹣解：（3x 2+2ax +1）•（﹣3x ）﹣4x 2＝﹣9x 3﹣6ax 2﹣3x ﹣4x 2＝﹣9x 3+（﹣6a ﹣4）x 2﹣3x ∵结果中不含有x 2项， ∴﹣6a ﹣4＝0， 解得a ＝﹣． 故选：C ．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-考点提优练2．（2022秋•商水县月考）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣12xy2□+12xy，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（）A．+8x2y B．﹣8x2y C．+8xy D．﹣8xy2解：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣4xy•3y+4xy•2x+4xy×3＝﹣12xy2+8x2y+12xy．∴□内应填写+8x2y．故选：A．3．（2021秋•沐川县期末）已知A是多项式，若A×2xy＝x2y2﹣2x2y﹣3xy2，则A＝．解：∵x2y2﹣2x2y﹣3xy2，＝xy（xy﹣2x﹣3y），∴A＝xy（xy﹣2x﹣3y）÷2xy，＝，故答案为：．4．（2019秋•闵行区校级月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写3xy．解：根据题意得：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）+12xy2﹣6x2y＝﹣12xy2+6x2y+3xy+12xy2﹣6x2y＝3xy．故答案为：3xy．5．（2021秋•廉江市期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy（1）求所捂的多项式；（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．解：（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1．（2）∵x＝，y＝，∴原式＝﹣6×+2×﹣1＝﹣4+1﹣1＝﹣4．考点02：多项式乘多项式6．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣1解：∵（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，∴2x2+（6﹣m）x﹣3m＝2x2+nx﹣15，∴6﹣m＝n，﹣3m＝﹣15，解得：m＝5，n＝1，故选：C．7．（2022春•雁塔区校级期中）已知（x2+ax）（x2﹣2x+b）的乘积中不含x3和x2项，那么b﹣a＝（）A．﹣2 B．2 C．0 D．4解：（x2+ax）（x2﹣2x+b）＝x4﹣2x3+bx2+ax3﹣2ax2+abx＝x4+（﹣2+a）x3+（b﹣2a）x2+abx，∵乘积中不含x3和x2项，∴﹣2+a＝0，b﹣2a＝0，解得：a＝2，b＝4，∴b﹣a＝4﹣2＝2．故选：B．8．（2022春•温州期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的长方形，需要B类卡片（）张．A．3 B．4 C．5 D．6解：长方形面积S＝长×宽，∴S＝（3a+2b）（a+b）＝3a2+3ab+2ab+2b2＝3a2+5ab+2b2，由题可知：A类面积＝a2，B类面积＝ab，C类面积＝b2，∴需要A类，B类，C类卡片分别是3，5，2．故选：C．9．（2022春•通川区期末）已知（x﹣m）（x2﹣2x+n）展开后得到多项式为x3﹣（m+2）x2+x+5，则n2+4m2的值为21 ．解：（x﹣m）（x2﹣2x+n）＝x3﹣2x2+nx﹣mx2+2mx﹣mn＝x3﹣（m+2）x2+（n+2m）x﹣mn．由题意得，（x﹣m）（x2﹣2x+n）＝x3﹣（m+2）x2+x+5．∴n+2m＝1，﹣mn＝5．∴（n+2m）2＝n2+4m2+4mn＝1．∴n2+4m2＝1﹣4mn＝1+20＝21．故答案为：21．10．（2022春•和平区校级月考）已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）的值为 1 ．解：∵，∴由①得4xy＝10y，③由②得25xy＝10x，④∴③×④得4xy•25xy＝10y•10x，即（4×25）xy＝10x+y，∴（102）xy＝10x+y，∴102xy＝10x+y，∴2xy＝x+y（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）＝xy﹣2x﹣2y+4+3xy﹣3＝4xy﹣2（x+y）+1＝4xy﹣2×2xy+1＝1．故答案为：1．11．（2022春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n﹣1）＝1﹣x n；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝﹣127 ；②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝x2023﹣1 ．（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．解：（1）∵（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4…∴（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n﹣1）＝1﹣x n；故答案为：1﹣x n；（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝1﹣27＝1﹣128＝﹣127；故答案为：﹣127；（2）②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+ (x2022)＝﹣（1﹣x2023）＝x2023﹣1．故答案为：x2023﹣1；（3）1，理由如下：2100+299+298+…+22+2+1＝﹣（1﹣2）×（1+2+22+ (2100)＝﹣（1﹣2101）＝2101﹣1．∵21的个位数是2，22的个位数是4，23的个位数是8，24的个位数是6，25的个位数是2，…∴其个位数以2，4，8，6不断循环出现，∵101÷4＝25……1，∴2101的个位数字是2，∴2101﹣1的个位数是1．12．（2022春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5ab+2b2．∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．（3）由题意得，p2+q2＝20，p+q＝6．∵（p+q）2＝p2+q2+2pq＝62，∴2pq＝62﹣20＝16．∴pq＝8．∴．考点03：同底数幂的除法13．（2022秋•渝中区校级月考）下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．3x2+2x2＝5x4C．x8÷x2＝x6D．（2xy）2＝2x2y2解：A、（x3）2＝x6，故A不符合题意；B、3x2+2x2＝5x2，故B不符合题意；C、x8÷x2＝x6，故C符合题意；D、（2xy）2＝4x2y2，故D不符合题意；故选：C．14．（2022秋•兰考县月考）下列运算不正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a5÷a＝a4C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a5解：A、a2•a3＝a5，故A不符合题意；B、a5÷a＝a4，故B不符合题意；C、a4﹣2a4＝﹣a4，故C不符合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D符合题意；故选：D．15．（2021秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是．解：∵25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，∴52a•52b＝5b，4b÷4a＝4，即52a+2b＝5b，4b﹣a＝4，∴2a+2b＝b，b﹣a＝1，解得：a＝﹣，b＝，∴a2+b2＝（﹣）2+（）2＝＝，故答案为：．16．（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×的值是 4 ．解：原式＝2a÷22b×2﹣3c＝2a﹣2b﹣3c＝22＝4．故答案为：4．17．（2021春•毕节市期中）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．解：（1）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝311，∴31+2m+3m＝311，∴1+2m+3m＝11，解得：m＝2；（2）∵2a＝3，4b＝5，8c＝5，∴2a＝3，4b＝22b＝5，8c＝23c＝5，∴8a+c﹣2b＝23（a+c﹣2b）＝23a×23c÷26b＝（2a）3×23c÷（22b）3＝33×5÷53＝．18．（2021春•海州区校级期中）尝试解决下列有关幂的问题：（1）若9×27x＝317，求x的值；（2）已知a x＝﹣2，a y＝3，求a3x﹣2y的值；（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．解：（1）∵9×27x＝317，∴33x+2＝317，∴3x+2＝17，∴x＝5；（2）∵a x＝﹣2，a y＝3，∴a3x﹣2y＝（a3x）÷（a2y）＝（a x）3÷（a y）2＝（﹣2）3÷32＝﹣8÷9＝﹣；（3）令5m＝t，则25m＝（52）m＝（5m）2＝t2，∴x＝×25m+×5m+＝，y＝，∴y﹣x＝＝＞0，∴x＜y．考点04：完全平方公式19．（2022春•北碚区校级期中）设a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，若a2+b2＝56，则c2＝（）A．27 B．24 C．22 D．20解：∵a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，∴a＝c+1，b＝c﹣1，∵a2+b2＝56，∴（c+1）2+（c﹣1）2＝56，∴c2＝27．故选：A．20．（2022秋•工业园区校级月考）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，则A、B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B解：A﹣B＝x2+2x﹣6y﹣（﹣y2+4x﹣11）＝x2+2x﹣6y+y2﹣4x+11＝x2﹣2x+y2﹣6y+11＝x2﹣2x+1+y2﹣6y+9+1＝（x﹣1）²+（y﹣3）²+1，∵（x﹣1）²≥0，（y﹣3）²≥0，∴（x﹣1）²+（y﹣3）²+1≥1，即A﹣B≥1，∴A＞B．故选：A．21．（2022春•汉寿县期末）若x+y＝3，xy＝﹣5，则（x﹣y）2＝29 ．解：∵x+y＝3，xy＝﹣5，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝x2+y2﹣10＝9．∴x2+y2＝19．∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝19﹣（﹣10）＝29．故答案为：29．22．（2022春•莱西市期中）小淇将（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为4037 ．解：∵（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴c1＝20192，∵（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴c2＝20182，∴c1﹣c2＝20192﹣20182＝（2019+2018）（2019﹣2018）＝4037，故答案为：4037．23．（2022春•招远市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你检验这个等式的正确性；（2）若a＝2020，b＝2021，c＝2022，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？解：（1）＝＝＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac．∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]．（2）由（1）得，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]．当a＝2020，b＝2021，c＝2022时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝3．考点05：完全平方公式的几何背景24．（2022春•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31解：设ID＝y，DJ＝z，∵两个阴影部分都是正方形，∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，∴AI+ID＝CJ+DJ，∵AI＝5，CJ＝3，∴5+y＝3+z，∴y＝z﹣2，：∵阴影部分面积和为60，∴y2+z2＝60，方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：（z﹣2）2+z2＝60，解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），∴y＝z﹣2＝﹣1，∴ID＝﹣1，DJ＝1+，∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；方法2：∵z﹣y＝2，所以（z﹣y）2＝4，∴y2+z2﹣2yz＝4，∴60﹣2yz＝4，yz＝28，∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28．故选：A．25．（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝12.5 ．解：由题知，a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75．∴（a+b）2＝64，a2+2ab+b2＝64，a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5，∵S1＝（6﹣b）2，S3＝（6﹣a）2，S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2，∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2＝a2+b2﹣12b﹣12a+76＝a2+b2﹣12（b+a）+76＝32.5﹣12×8+76＝12.5．故答案为：12.5．26．（2022春•皇姑区校级期中）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；（2）观察图2写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，则：①（m+n）2的值为13 ；②m2+n2的值为19 ；③m4+n4的值为343 ．解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；故答案为：m﹣n；（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；方法2，阴影部分小正方形的边长为m﹣n，则面积为（m﹣n）2；∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）知：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，∵mn＝﹣3，m﹣n＝5，①（m+n）2＝52+4×（﹣3）＝25﹣12＝13；故答案为：13；②m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝13﹣2×（﹣3）＝13+6＝19；故答案为：19；③m4+n4＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝192﹣2×（﹣3）2＝361﹣18＝343；故答案为：343．考点06：平方差公式27．（2022春•新城区校级期中）下列等式成立的是（）A．（﹣x﹣1）（﹣x﹣1）＝x2﹣2x+1B．（﹣x+1）（﹣x+1）＝﹣x2﹣2x+1C．（1+x）（﹣x+1）＝1﹣x2D．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝﹣x2﹣1解：A．（﹣x﹣1）（﹣x﹣1）＝（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1，因此选项A不符合题意；B．（﹣x+1）（﹣x+1）＝（﹣x+1）2＝x2﹣2x+1，因此选项B不符合题意；C．（1+x）（﹣x+1）＝（1+x）（1﹣x）＝1﹣x2，因此选项C符合题意；D．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝（﹣x）2﹣1＝x2﹣1，因此选项D不符合题意；故选：C．28．（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024解：∵2021＝2021×1＝（1011+1010）（1011﹣1010）＝10112﹣10102，∴2021是智慧数，∴选项A不符合题意；∵2022不能写成两个正整数的平方差，∴2022不是智慧数，∴选项B符合题意；∵2023＝2023×1＝（1012+1011）（1012﹣1011）＝10122﹣10112，∴2023是智慧数，∴选项C不符合题意；∵2024＝1012×2＝（507+505）（507﹣505）＝5072﹣5052，∴2024是智慧数，∴选项D不符合题意；故选：B．29．（2022春•铁岭期中）若a2﹣b2＝﹣72，a﹣b＝12，则a+b的值为﹣6 ．解：∵a2﹣b2＝﹣72，a﹣b＝12，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（a+b）×12＝﹣72，解得，a+b＝﹣6，故答案为：﹣6．30．（2021秋•如皋市期中）小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝ 2 ．解：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝＝×＝＝＝＝＝2．故答案为：2．31．（2022春•莲池区期末）阅读理解：我们知道，（a+b）2＝a2+2ab+b2，①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，②①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．所以．利用上面乘法公式的变形有时能简化计算，例如：．发现运用：根据阅读解答问题（1）利用上面乘法公式的变形填空：101×99＝（）2﹣（）2．（2）利用上面乘法公式的变形计算：9.2×10.8．（3）根据平方差公式可得：（m+2）（m﹣2）＝m2﹣22，请利用上面乘法公式的变形验证此等式成立．解：（1）由题意得，101×99＝．故答案为：，．（2）由题意得，9.2×10.8＝＝99.36．（3）验证过程如下：由题意得，（m+2）（m﹣2）＝．∴（m+2）（m﹣2）＝m2﹣22．考点07：平方差公式的几何背景32．（2021秋•台江区期中）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+4解：如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2×2＝4，于是有S①+S②＝（a+2）（a﹣2）＝S①+S③＝（S①+S③+S④）﹣S④＝S正方形﹣S④＝a2﹣4，所以（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选：C．33．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是20 ．解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意得a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40；∵S阴＝S△ACD﹣S△CDE，∴S阴＝×CD×AB﹣×CD×BE＝（a+b）a﹣（a+b）b＝（a+b）（a﹣b）∵（a+b）（a﹣b）＝40，∴S阴＝×40＝20．故答案为：20．34．（2019秋•奈曼旗期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：左图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，右图中阴影部分的面积＝×（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．由图中阴影部分的面积不变，得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．35．（2022春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是B．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．解：（1）根据阴影部分的面积相等得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）①∵x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，∴x+2y＝（x2﹣4y2）÷（x﹣2y）＝18÷3＝6；②原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×……×（1﹣）×（1+）＝××××……××＝×＝．考点08：提公因式法与公式法的综合运用36．（2021春•滦州市期末）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此选项A不符合题意；B．x2+2x+1＝（x+1）2，因此选项B不符合题意；C.3mx﹣6my＝3m（x﹣2y），因此选项C不符合题意；D．x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y），因此选项D符合题意；故选：D．37．（2012春•揭西县校级期中）下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①原式＝（2x+y）（2x﹣y），能分解因式；②原式＝2x2（x+2y）2，能分解因式；③两个数的平方项，且异号，不能分解因式；④原式＝（x+3y）（x﹣2y），能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式．则不能分解因式的有2个．故选：B．38．（2022秋•岳麓区校级月考）把ab3﹣9ab分解因式的结果是ab（b+3）（b﹣3）．解：原式＝ab3﹣9ab＝ab（b2﹣9）＝ab（b+3）（b﹣3）．故答案为：ab（b+3）（b﹣3）．39．（2022•本溪模拟）把多项式ax2﹣4ay2分解因式的结果是a（x+2y）（x﹣2y）．解：原式＝a（x+2y）（x﹣2y），故答案为：a（x+2y）（x﹣2y）40．（2022春•江干区校级期中）（1）解方程组：．（2）因式分解①a2﹣6ab+9b2．②a2b﹣16b．解：（1）将2x﹣y＝5记作①，3x+2y＝4记作②．∴①×2，得4x﹣2y＝10③．∴②+③，得7x＝14．∴x＝2．将x＝2代入①，得4﹣y＝5．∴y＝﹣1．∴这个方程组的解为（2）①a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2．②a2b﹣16b＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）．考点09：因式分解-十字相乘法等41．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．42．（2019秋•天心区校级月考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故选：C．43．（2022春•酒泉期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12＝（x+3）（x+4）；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是±7，±2 ．解：（1）x2+7x+12＝（x+3）（x+4），故答案为：（x+3）（x+4）；（2）原式＝（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）＝（x2﹣4）（x2﹣1）＝（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣8+1＝﹣7；﹣1+8＝7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2，故答案为：±7，±2．44．（2021秋•顺城区期末）因式分解：（1）（a﹣b）2+4ab；（2）（m﹣4）（m+1）+3m．解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2+b2﹣2ab+4ab＝a2+b2+2ab＝（a+b）2．（2）（m﹣4）（m+1）+3m＝m2+m﹣4m﹣4+3m＝m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．45．（2020秋•沂南县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳超级精简版(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳超级精简版单选题1、如果（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（）A．5，6B．1，﹣6C．﹣1，6D．5，﹣6答案：B分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值．解：∵(x−2)(x+3)=x2+x−6=x2+mx+n，∴m=1，n=−6．故选：B．小提示：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式法则．2、已知（x－2021）2+（x－2023）2＝50，则（x－2022）2的值为（）A．24B．23C．22D．无法确定答案：A分析：先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，∴（x-2022）2=24．故选：A．小提示：此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．3、不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x−4y+7的值（）．A．可为任何实数B．不小于7C．不小于2D．可能为负数答案：C分析：要把代数式x2+y2+2x−4y+7进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围．具体如下：x 2+y 2+2x −4y +7＝（x 2＋2x ＋1）＋（y 2−4y ＋4）＋2＝（x ＋1）2＋（y−2）2＋2， ∵（x ＋1）2≥0，（y−2）2≥0， ∴（x ＋1）2＋（y−2）2＋2≥2， ∴x 2+y 2+2x −4y +7≥2．故选：C ．小提示：主要利用拆分重组的方法凑完全平方式，把未知数都凑成完全平方式，就能判断该代数式的值的范围．要求掌握完全平方公式，并会熟练运用．4、若M =√20212×20232+4044×2022−202243，则（ ）A ．M <−1B ．M =1C ．−1<M <1D ．M >1答案：B分析：根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解．解：∵ 20212×20232+4044×2022−20224=((2022+1)×(2022−1))2+2022×2×2022−(20222)2=(20222−1)2+2×2022×2022−(20222)2=20224−2×20222+1−(20222)2+2×20222=1,∴M =√13=1,故选:B.小提示：本题考查了求一个数的立方根，完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键．5、计算（﹣4a 2+12a 3b ）÷（﹣4a 2）的结果是（ ）A ．1﹣3abB ．﹣3abC ．1+3abD ．﹣1﹣3ab答案：A分析：直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．（-4a 2+12a 3b ）÷（-4a 2）=1-3ab ．故选A ．小提示：此题主要考查了整式的除法，正确掌握运算法则是解题关键．6、分解因式4x2﹣y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）答案：C分析：按照平方差公式进行因式分解即可.解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．故选：C．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．7、66是63的（）A．2倍B．36倍C．3倍D．216倍答案：D分析：把问题转化为同底数幂的除法计算即可．∵66÷63=63=216，故选D．小提示：本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2答案：D分析：先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c﹣2）2＝0，∴b+c＝2，故选：D．小提示：本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.9、已知（x-m）（x+n）=x2-3x-4，则m-n的值为( )A．1B．-3C．-2D．3答案：D分析：把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m-n的值．（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，∴n-m=-3，则m-n=3，故选D．小提示：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．10、计算：(a⋅a3)2＝a2⋅(a3)2＝a2⋅a6＝a8，其中，第一步运算的依据是（）A．同底数幂的乘法法则B．幂的乘方法则C．乘法分配律D．积的乘方法则答案：D分析：根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积．解：计算：(a⋅a3)2＝a2⋅(a3)2＝a2⋅a6＝a8，其中，第一步运算的依据是积的乘方法则．故选：D．小提示：本题主要考查幂的运算，关键是熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．填空题11、已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示(0<m<0.5)，甲、乙的面积分别为S1，S2．则S1与S2的大小关系为：S1___________ S2；（用“＞”、“＜”、“=”填空）答案：＜分析：利用多项式乘多项式求出长方形的面积，两者作差，即可比较S 1与S 2的大小．解：由题意可知：S 1=(m +1)(m +7)=m 2+8m +7，S 2=(m +2)(m +4)=m 2+6m +8∴S 1−S 2=2m −1∵0<m <0.5，∴−1＜2m −1＜0，即S 1＜S 2．所以答案是：＜小提示：本题考查多项式乘多项式，以及不等式的性质，解题的关键是求出S 1−S 2=2m −1，并利用m 的取值范围确定S 1＜S 2．12、已知a 2−6a +√b −2=−9，且√c 3=−1，则3a −2b +c 的算术平方根是________．答案：2分析：先对已知等式进行变形，再利用偶次方和算术平方根的非负性求出a 、b 的值，然后利用立方根求出c 的值，最后代入求值，计算算术平方根即可得．a 2−6a +√b −2=−9，a 2−6a +9+√b −2=0，(a −3)2+√b −2=0，则{a −3=0b −2=0 ，解得{a =3b =2， 由√c 3=−1得：c =−1，则3a −2b +c 的算术平方根是√3a −2b +c =√3×3−2×2+(−1)=√4=2，所以答案是：2．小提示：本题考查了偶次方和算术平方根的非负性、算术平方根与立方根、完全平方公式，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．13、已知长方形的面积为4a 2-4b 2,如果它的一边长为a +b ，则它的周长为______．答案：10a -6b分析：直接利用提公因式法和公式法因式分解得到另一边长，进而得出答案．∵4a2−4b2=4(a2−b2)=4(a+b)(a−b)，长方形的一边长为a+b∴长方形的另一边长为4(a+b)=4a+4b∴该长方形的周长为：（4a-4b+a+b）×2=10a-6b，所以答案是：10a-6b小提示：本题主要考查因式分解，掌握利用公式分解因式是解题关键．14、计算：(a−b)3⋅(b−a)4=______．（结果用幂的形式表示）答案：(a−b)7##−(b−a)7分析：本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案．(a−b)3⋅(b−a)4=(a−b)3⋅(a−b)4=(a−b)7所以答案是：(a−b)7小提示：本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键．15、计算：（x+3）（x+5）＝_____．答案：x2+8x+15分析：根据多项式与多项式相乘的法则计算．解：（x+3）（x+5）＝x2+5x+3x+15＝x2+8x+15所以答案是：x2+8x+15．小提示：本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．解答题16、常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2−4y2−2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
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第十四章 整式的乘法与因式分解基础过关满分120分 时间100分钟一．选择题（每题3分，共计30分）1．（2019 •郑州期末）下列计算正确的是（ ）A ．a 2+a 2＝a 4B ．（2a ）3＝6a 3C ．a 9÷a 3＝a 3D ．（﹣2a ）2•a 3＝4a 5【答案】D【解答】A 、a 2+a 2＝2a 2，不符合题意；B 、（2a ）3＝8a 3，不符合题意；C 、a 9÷a 3＝a 6，不符合题意；D 、（﹣2a ）2•a 3＝4a 5，符合题意；故选：D ．2．（2020•卫辉市期末）已知3a ＝1，3b ＝2，则3a +b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．27【答案】B【解答】∵3a ×3b＝3a +b∴3a +b＝3a ×3b＝1×2＝2故选：B ．3．（2019 •贵池区期中）计算（23）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019的结果是（）A ．23B ．32C ．−23D ．−32【答案】D【解答】（23）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019＝（23）2017×（32）2018×（﹣1）=(23×32)2017×32×(−1)=12017×(−32)=1×(−32)=−32．故选：D．4．计算（x﹣2）x＝1，则x的值是（）A．3 B．1 C．0 D．3或0【答案】D【解答】∵（x﹣2）x＝1，当x﹣2＝1时，得x＝3，原式可以化简为：13＝1，当次数x＝0时，原式可化简为（﹣2）0＝1，当底数为﹣1时，次数为1，得幂为﹣1，故舍去．故选：D．5．（2020•河东区期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（）A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6【答案】D【解答】已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b，则a＝1，b＝﹣6，故选：D．6．（2019•新蔡县期中）如果一个三角形的底边长为2x2y+xy﹣y2，底边上的高为6xy，那么这个三角形的面积为（）A．6x3y2+3x2y2﹣3xy3B．6x2y2+3xy﹣3xy2C．6x2y2+3x2y2﹣y2D．6x2y+3x2y2【答案】A【解答】三角形的面积为：12×（2x2y+xy﹣y2）×6xy＝6x3y2+3x2y2﹣3xy3．故选：A．7．（2020•广安期末）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）A．2 B．12C．﹣2 D．−12【答案】A【解答】（x﹣2）（x2+mx+1）＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，因为不含x2项，所以m﹣2＝0，解得：m＝2，故选：A．8．（2020•息县期末）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6【答案】A【解答】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．9．（2020•北碚区模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解答】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．9．（2019•北京期末）10如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b【答案】A【解答】由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．二．填空题（每题3分，共计15分）11．（2020•新乡期末）分解因式（2a﹣1）2+8a＝．【答案】（2a+1）2【解答】原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，故答案为：（2a+1）2．12．（2020•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝．【答案】-1【解答】2020×2018﹣20192＝（2019+1）（2019﹣1）﹣20192＝20192﹣12﹣20192＝﹣1故答案为：﹣1．13．（2020•偃师市期末）如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为．【答案】23【解答】（x ﹣2）（x 2+3mx ﹣m ）＝x 3+3mx 2﹣mx ﹣2x 2﹣6mx +2m＝x 3+（3m ﹣2）x 2﹣7mx +2m∵乘积中不含x 2项，∴3m ﹣2＝0，解得m =23．故答案为：23．14．（2020•魏都区期中）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中a 的符号，得到的结果为6x 2+11x ﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果为2x 2﹣9x +10，则a ＝ ；b ＝ ．【答案】﹣5，﹣2【解答】∵甲抄错了第一个多项式中a 的符号∴甲计算的式子是（2x ﹣a ）（3x +b ）＝6x 2+（2b ﹣3a ）x +ab ＝6x 2+11x ﹣10 ∴2b ﹣3a ＝11①∵乙漏抄了第二个多项式中x 的系数∴乙计算的式子是（2x +a ）（x +b ）＝2x 2+（2b +a ）x +ab ＝2x 2﹣9x +10∴2b +a ＝﹣9②由①②得：a ＝﹣5，b ＝﹣2故答案为：﹣5，﹣2．15．（2020•伊犁州期末）对于实数a ，b ，c ，d ，规定一种运算|a b c d|=ad ﹣bc ，如|102(−2)|=1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当|(x +1)(x +2)(x −3)(x −1)|=27时，则x ＝ 22 ．【答案】22【解答】∵|(x +1)(x +2)(x −3)(x −1)|=27， ∴（x +1）（x ﹣1）﹣（x +2）（x ﹣3）＝27，∴x 2﹣1﹣（x 2﹣x ﹣6）＝27，∴x 2﹣1﹣x 2+x +6＝27，∴x ＝22；故答案为：22．三．解答题（共75分）16．（8分）（2020中原区月考）因式分解：（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．解：（1）原式＝4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]＝4[（a﹣b）+2（a+b）][（a﹣b）﹣2（a+b）]＝4（3a+b）（﹣a﹣3b）＝﹣4（3a+b）（a+3b）；（2）原式＝[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+5（a+b）]＝（﹣a﹣3b）（6a+4b）＝﹣2（a+3b）（3a+2b）．17．（9分）（2020 •新泰市期中）已知多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，求p和q的值．解：∵（x2+px+q）（x2﹣3x+2）＝x4﹣3x3+2x2+px3﹣3px2+2px+qx2﹣3qx+2q＝x4﹣（3﹣p）x3+（2﹣3p+q）x2+2px﹣3qx+2q由多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，∴3﹣p＝0，2﹣3p+q＝0，解得：p＝3，q＝7．18．（9分）（2019•普兰店区期末）已知：a+b＝5，ab＝4．（1）求a2+b2的值；（2）若a＞b，求a﹣b的值；（3）若a＞b，分别求出a和b的值．解：（1）∵a+b＝5，ab＝4，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（2）∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣8＝9，∴a﹣b＝±3，又∵a＞b，∴a ﹣b ＝3；（3）由（2）得a ﹣b ＝3，解方程组{a +b =5a −b =3， 解得{a =4b =1． 19．（9分）（2020•兰考县期中）有两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x ，宽为2y 的长方形．（1）用代数式表示正方形与长方形的面积之差，并化简结果；（2）若x ≠y ，试说明正方形与长方形面积哪个大．解：（1）长方形的周长为2（2x +2y ）＝4（x +y ）．∵两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x ，宽为2y 的长方形． ∴正方形的边长为x +y ，∴正方形与长方形的面积之差为（x +y ）2﹣4xy＝（x ﹣y ）2．答：正方形与长方形的面积之差为（x ﹣y ）2．（2）∵x ≠y ，∴（x ﹣y ）2＞0，∴正方形的面积大于长方形面积．20．（9分）（2018•镇平县期中）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板．一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？解：设小正方形的边长为x ，依题意得1+x +2＝4+5﹣x ，解得x ＝3，∴大正方形的边长为6厘米，∴大正方形的面积是36平方厘米，答：大正方形的面积是36平方厘米．21．（10分）（2020•兰考县期末）阅读：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．解：因为a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，①所以c 2（a 2﹣b 2）＝（a 2﹣b 2）（a 2+b 2）．②所以c 2＝a 2+b 2． ③所以△ABC 是直角三角形．④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第 步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为 ；（2）请你将正确的解答过程写下来．解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a 2﹣b 2＝0的可能；（2）正确的写法为：c 2（a 2﹣b 2）＝（a 2+b 2）（a 2﹣b 2），移项得：c 2（a 2﹣b 2）﹣（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）＝0，因式分解得：（a 2﹣b 2）[c 2﹣（a 2+b 2）]＝0，则当a 2﹣b 2＝0时，a ＝b ；当a 2﹣b 2≠0时，a 2+b 2＝c 2；所以△ABC 是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：③，忽略了a 2﹣b 2＝0的可能．22．（10分）（2020•连山区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2﹣4x +m 有一个因式是（x +3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x +n ），得x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ）则x 2﹣4x +m ＝x 2+（n +3）x +3n∴{n +3=−4m =3n． 解得：n ＝﹣7，m ＝﹣21∴另一个因式为（x ﹣7），m 的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是（2x ﹣5），求另一个因式以及k 的值． 解：设另一个因式为（x +a ），得2x 2+3x ﹣k ＝（2x ﹣5）（x +a ）则2x 2+3x ﹣k ＝2x 2+（2a ﹣5）x ﹣5a∴{2a −5=3−5a =−k解得：a ＝4，k ＝20故另一个因式为（x +4），k 的值为2023．（11分）（2020 •江阴市期中）从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）A ．a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2B ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）C ．a 2+ab ＝a （a +b ）（2）若x 2﹣9y 2＝12，x +3y ＝4，求x ﹣3y 的值；（3）计算：（1−122）（1−132）（1−142）…（1−120192）（1−120202）解：（1）∵边长为a 的正方形面积是a 2，边长为b 的正方形面积是b 2，剩余部分面积为a 2﹣b 2；图（2）长方形面积为（a +b ）（a ﹣b ）；∴验证的等式是a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）故答案为：B ．（2）∵x 2﹣9y 2＝（x +3y ）（x ﹣3y ）＝12，且x +3y ＝4∴x ﹣3y ＝3（3）（1−122）（1−132）（1−142）…（1−120192）（1−120202）＝（1+12）（1−12）（1+13）（1−13）…（1+12020）（1−12020）=32×12×43×23×54×34×⋯×20212020×20192020=12×20212020=20214040。