辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学(文)试卷扫描版含答案
2019年最新辽宁省高考数学一模试卷(文科)及答案解析
辽宁省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设U=R，集合M={﹣1，1，2}，N={x|﹣1＜x＜2}，则N∩M=（）A．{﹣1，2} B．{1} C．{2} D．{﹣1，1，2}2．复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（，0） B．（0，） C．（0，） D．（，0）4．给出下列四个命题：①若命题“若￢p则q”为真命题，则命题“若￢q则p”也是真命题②直线a∥平面α的充要条件是：直线a⊄平面α③“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；④若命题p：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0“，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知MOD函数是一个求余数的函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是一个算法的程序框图，当输入n=25时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．76．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．87．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）8．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．在三棱锥S﹣ABC中，侧棱SC⊥平面ABC，SA⊥BC，SC=1，AC=2，BC=3，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．14πB．12πC．10πD．8π10．双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线C2：y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰过它们公共焦点F，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（0，）11．已知点G是△ABC的外心，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则||的最大值为（）A．B．C．2 D．312．已知函数y=f（x）在R上的导函数f′（x），∀x∈R都有f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f （m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围为（）A ．[﹣2，2]B ．[2，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在区间[﹣5，5]内随机四取出一个实数a ，则a ∈（0，1）的概率为 ．14．已知x ，y 满足，则z=2x+y 的最大值为 ．15．数列{a n }的通项公式为a n =n 2﹣kn ，若对一切的n ∈N *不等式a n ≥a 3，则实数k 的取值范围 ．16．已知函数y=f （x ）的定义域为R ，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）•f（y ），则不等式f （log x ）≤的解集为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分。
2019届辽宁省高三第一次模拟考试文科数学试卷【含答案及解析】
2019届辽宁省高三第一次模拟考试文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若集合，，则（）（A）（B）（C）___________________________________ （D）或2. 已知i是虚数单位，复数则z的共轭复数是（）（A）（B）_________ （C ）（D）3. 已知向量，，若，则的值为（）（A）_________ （B ）______________ （C ）______________ （D ）4. 在等比数列中，则“ ”是“ ”的（）（A）充分不必要条件___________________________________ （B）必要不充分条件（C）充要条件_____________________________________ （D）既不充分也不必要条件5. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（）（A）______________________________ （B）_________________________________ （C） ________________________ （D）6. 已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（）（A）______________________________ （B）_________________________________ （C）_________________________________ （D）7. 右面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2， ]内，则输入的实数x 的取值范围是（）（A ）___________________________________（B ）（C）___________（D）8. 若满足且的最大值为 6 ，则的值为（）（A）____________________ （B） 1____________________ （C）______________ （D）9. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）10. 一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B 点处航行.若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间[50,100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（）（A）20.7% ________ （B）29.3% （C）58.6%________ （D）41.4%11. 过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率取值范围是（）（A）______________ （B）______________ （C）______________ （D ）12. 已知是函数的零点，，则①；② ；③ ；④ ．其中正确的命题是（）（ A ）①④___________ （ B ）②④___________ （ C ）①③ （ D ）②③二、填空题13. 函数必过定点______________ ．14. 各项均为正数的等差数列中，，则前12项和的最小值为______________ ．15. 如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为___________________________________ ．16. 己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为_________________________________ ．三、解答题17. 在中，三个内角的对边分别为，.（1）求的值；（2）设，求的面积 .18. 据统计，2015年“双11” 天猫总成交金额突破亿元．某购物网站为优化营销策略，对在 11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过元的名网购者（其中有女性名，男性名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这名网购者中抽取名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：男性消费情况：（Ⅰ）计算的值；在抽出的名且消费金额在（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于元的网购者为“网购达人”，低于元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”附：（，其中）19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点．（Ⅰ）求证：∥ ；（Ⅱ）若，且平面平面，试证明平面；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段上是否存在点 ,使得平面 ?（请说明理由）20. 如图椭圆的离心率为，其左顶点在圆上 .（Ⅰ ）求椭圆的方程；（Ⅱ ）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为 . （ i ）当时，求直线的斜率；（ ii ）是否存在直线，使得 ? 若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由 .21. 函数（a ∈ R ），为自然对数的底数．（ 1 ）当 a ＝ 1 时，求函数的单调区间；（ 2 ）①若存在实数，满足，求实数的取值范围；②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．22. 如图，是圆切线, 是切点, 割线是圆的直径，交于，， , .（ 1 ）求线段的长；（ 2 ）求证： .23. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线：（为参数），：（为参数）.（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求线段的中点到直距离的最小值 .24. 已知关于的不等式，其解集为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年辽宁省高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年辽宁省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，值有一项是符合题目要求的）1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（）A．{﹣2，0}B．{﹣2，0，2}C．{﹣1，1，2}D．{﹣1，0，2} 2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1474．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．118．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.29．如图一所示，由弧AB，弧AC，弧BC所组成的图形叫做勒洛三角形，它由德国机械工程专家、机械运动学家勒洛首先发现的，它的构成如图二所示，以正三角形ABCd的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形即为勒洛三角形，有一个如图一所示的靶子，某人向靶子射出一箭，若此箭一定能射中靶子且射中靶子中的任意一点是等可能的，则此箭恰好射中三角形ABC内部（即阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F 作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．412．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m=．14．①命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x＜1，x2+3＜4”②A、B、C三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：4，用分层抽样抽出方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么样本的容量n=72③命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y都不是偶数，则x+y不是偶数”④若非空集合M⊂N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的必要不充分条件以上四个命题正确的是（把你认为正确的命题序号都填在横线上）．15．已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），b n=，设数列{b n}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10=．16．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．三．解答题，本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB=2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别于BC，AD 交于点P ，Q ，若|DQ |=λ|DA |（1）当λ=时，求证：平面SAE ⊥平面MNPQ（2）是否存在实数λ，使得三棱锥Q ﹣BCN 的体积为？若存在，求出实数λ的值，若不存在，说明理由．19．2016﹣2017赛季中国男子篮球职业联赛（即CBA ）正在如火如荼地进行，北京时间3月10日，CBA 半决赛开打，新疆队对阵辽宁队，广东队对阵深圳队：某学校体育组为了调查本校学生对篮球运动是否感兴趣，对本校高一年级两个班共120名同学（其中男生70人，女生50人）进行调查，得到的统计数据如表（1）完成下列2×2列联表丙判断能否在反错误的概率不超过0.05的前提下认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”？（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，其中男生和女生个多少人？从6人中随机选取3人做进一步的调查，求选取的3人中至少有1名女生的概率参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d 参考数据：20．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）左、右焦点分别为F 1，F 2，A （2，0）是椭圆的右顶点，过F 2且垂直与x 轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |=3（1）求椭圆的方程（2）若直线l 与椭圆交于两点M ，N （M ，N 不同于点A ），若•=0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．21．已知函数f （x ）=ax 2+（x﹣1）e x（1）当a=﹣时，求f （x ）在点P （1，f （1）处的切线方程 （2）讨论f （x ）的单调性（3）当﹣＜a ＜﹣＜0时，f （x ）是否存极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为（θ为参数），曲线 C 2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线 C 2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m（1）作函数f（x）的图象（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，值有一项是符合题目要求的）1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（）A．{﹣2，0}B．{﹣2，0，2}C．{﹣1，1，2}D．{﹣1，0，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则A∩B={﹣2，0}，∴∁U（A∩B）={﹣1，1，2}．故选：C．2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，根据点的横标和纵标和零的关系，确定点的位置．【解答】解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，∴z=i（1+i）=﹣1+i对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数在复平面对应的点在第二象限．故选B．3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n 项和公式求出S7的值．【解答】解：等差数列{a n}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．4．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，可知（，）在（）的下方，排除C．故选：D．7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序运行过程，即可得出程序运行后输出的c值．【解答】解：模拟执行程序运行过程，如下；a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，满足r≠1；a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，满足r≠1；a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，满足r=1；输出c=7．故选：C．8．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．9．如图一所示，由弧AB，弧AC，弧BC所组成的图形叫做勒洛三角形，它由德国机械工程专家、机械运动学家勒洛首先发现的，它的构成如图二所示，以正三角形ABCd的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形即为勒洛三角形，有一个如图一所示的靶子，某人向靶子射出一箭，若此箭一定能射中靶子且射中靶子中的任意一点是等可能的，则此箭恰好射中三角形ABC内部（即阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设正三角形ABC的边长为a，先求出S△ABC，S扇形BAC，即可求出S勒洛三角形，根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：设正三角形ABC的边长为a，则S△ABC=a2，S扇形BAC=，则S弓形=S扇形BAC﹣S△ABC=﹣a2，∴S勒洛三角形=a2+3（﹣a2）=πa2﹣a2，∴此箭恰好射中三角形ABC内部（即阴影部分）的概率为==，故选：B．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（）=﹣f（0），代入f（x）建立关系，0＜φ＜，可得，﹣＜﹣φ＜0，那么令π≤ω+φ，即可求解ω范围．可得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），∵f（）=﹣f（0），即sin（﹣φ）=sin（ω×+φ），∵0＜φ＜，∴﹣＜﹣φ＜0，那么令π＜ω×+φ，可得：φ．令，解得：ω=．故选：A．11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F 作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．12．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等式比较大小．【分析】①利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断，②根据对数的运算性质即可判断，③利用中间量即可判断，④两边取对数即可判断．【解答】解：①要证e＞2，只要证＞ln2，即2＞eln2，设f（x）=elnx﹣x，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴f（x）＜f（e）=elne﹣e=0，∴f（2）=eln2﹣2＜0，即2＞eln2，∴e＞2，因此正确②∵3ln2=ln8＞ln2.82＞lne2=2．∴ln2＞，因此正确，③π2＜42=16，3π＞33=27，因此π2＜3π，③正确，④∵2π＜π2，∴＜，④正确；正确的命题的个数为4个，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）•=0，展开后得答案．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，∴，又（m）⊥，∴（m）•=，解得m=1．故答案为：1．14．①命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x＜1，x2+3＜4”②A、B、C三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：4，用分层抽样抽出方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么样本的容量n=72③命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y都不是偶数，则x+y不是偶数”④若非空集合M⊂N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的必要不充分条件以上四个命题正确的是②④（把你认为正确的命题序号都填在横线上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由由全称命题的否定为特称命题，只要对结论否定，即可判断①；运用分层抽样抽取的比例，即可计算判断②；由原命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定，即可判断③；由充分必要条件的定义，结合结合集合的交集和并集运算，即可判断④．【解答】解：①由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x≥1，x2+3＜4”，故①错误；②由用分层抽样抽出方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，可得B种型号产品有24件，C种型号产品有32件，则n=16+24+32=72．故②正确；③由原命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定，可得否命题是“若x，y不都是偶数，则x+y不是偶数”，故③错误；④若非空集合M⊂N，则“a∈M或a∈N”推不出“a∈M∩N”，反之，成立，故为必要不充分条件，故④正确．故答案为：②④．15．已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），b n=，设数列{b n}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10=．【考点】数列的求和．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用“裂项求和”方法可得S n，进而利用“累乘求积”方法得出．【解答】解：数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），∴n≥2时，2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1a n﹣1=n﹣1，∴2n a n=1，∴a n=．b n===，∴数列{b n}的前n项和为S n=+…+=1﹣=．则S1•S2•S3•…•S10=×…×=．故答案为：．16．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是[0，2] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，转化为直线的斜率问题，通过函数的值域求解目标函数的范围即可．【解答】解：约束条件的可行域如图：由可得A（﹣，），可得B（，），则==，由题意可得∈[﹣1，1]，令t=∈[﹣1，1]，则=t+∈[2，+∞）∪（﹣∞，﹣2]，∴∈[0，2]．故答案为：[0，2]．三．解答题，本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换求得f（A）的解析式，由f（A）=5求得sin（2A+）的值，从而求得2A+的值，可得A的值．（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sinA的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：=3+sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+），∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．（2）由余弦定理可得：，即4=b2+c2﹣bc≥bc（当且仅当b=c=2时“=”成立），即bc≤4，∴，故△ABC面积的最大值是．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB=2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别于BC，AD交于点P，Q，若|DQ|=λ|DA|（1）当λ=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ（2）是否存在实数λ，使得三棱锥Q﹣BCN的体积为？若存在，求出实数λ的值，若不存在，说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由直角梯形性质可得PQ⊥AE，结合PQ⊥SE得出PQ⊥平面SAE，故而平面SAE⊥平面MNPQ；（2）根据V Q﹣BCN=V N﹣BCQ=S△BCQ•列方程解出λ．【解答】解：（1）E为CD中点，所以四边形ABCE为矩形，所以AE ⊥CD当λ=时，Q为AD中点，PQ∥CD 所以PQ⊥AE因为平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD因为PQ⊂面ABCD，所以PQ⊥SE 所以PQ⊥面SAE所以面MNPQ⊥面SAE…（2）V Q﹣BCN=V N﹣BCQ=V S﹣BCQ=××S△BCQ•h，∵SC=SD，E为CD中点∴SE⊥CD又∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，SE⊂平面SCD，∴SE⊥平面ABCD∴SE即为S到平面BCQ的距离，即SE=h．在△SCD中，SC=SD=CD=2，∴SE=，在直角梯形ABCD中，易求得：BC=，∵M，N为中点，∴MN∥AB，∴AB∥平面MNPQ，又∵平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，∴AB∥PQ，又∵AB⊥BC，∴PQ⊥BC，∴S△BCQ=BC×PQ=PQ，=××S△BCQ•h=××PQ×=PQ，∴V由题意：PQ=，∴PQ=．在梯形ABCD中，=，FQ=PQ﹣AB=，GD=1，∴=．∴=即λ=∴存在实数λ=，使得三棱锥Q﹣BCN的体积为．19．2016﹣2017赛季中国男子篮球职业联赛（即CBA）正在如火如荼地进行，北京时间3月10日，CBA半决赛开打，新疆队对阵辽宁队，广东队对阵深圳队：某学校体育组为了调查本校学生对篮球运动是否感兴趣，对本校高一年级两个班共120名同学（其中男生70人，女生50人）进行调查，得到的统计数据如表（1）完成下列2×2列联表丙判断能否在反错误的概率不超过0.05的前提下认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”？（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，其中男生和女生个多少人？从6人中随机选取3人做进一步的调查，求选取的3人中至少有1名女生的概率 参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d参考数据：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；独立性检验的应用．【分析】（1）作出2×2列联表，由K 2计算公式得K 2≈1.143＜3.841，从而得到在犯错误概率不超过0.05的前提下不能认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”．（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，则抽样比例为=，应抽取男生4人，应抽取女生2人，不妨设4个男生为a ，b ，c ，d ，2个女生为A ，B ，利用列举法能求出从6人中随机选取3人，选取的3人中至少有1名女生的概率． 【解答】（本题满分12分） 解：（1）2×2列联表如下：由K 2计算公式得： K 2==≈1.143＜3.841∴在犯错误概率不超过0.05的前提下不能认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”．…（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本， 则抽样比例为=∴应抽取男生20×=4（人），应抽取女生10×=2（人）不妨设4个男生为a ，b ，c ，d ，2个女生为A ，B 从6人中随机选取3人所构成的基本事件有：（a，b，c），（a，b，d），（a，b，A），（a，b，B），（a，c，d），（a，c，A），（a，c，B），（a，d，A），（a，d，B），（a，A，B），（b，c，d），（b，c，A），（b，c，B），（b，d，A），（b，d，B），（b，A，B），（c，d，A），（c，d，B），（c，A，B），（d，A，B），共20个；选取的3人中至少有1名女生的基本事件有：（a，b，A），（a，b，B），a，c，A），（a，c，B），（a，d，A），（a，d，B），（a，A，B），（b，c，A），（b，c，B），（b，d，A），（b，d，B），（b，A，B），（c，d，A），（c，d，B），（c，A，B），（d，A，B）共16个基本事件；∴选取的3人中至少有1名女生的概率为=…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1，F2，A （2，0）是椭圆的右顶点，过F2且垂直与x轴的直线交椭圆于P，Q 两点，且|PQ|=3（1）求椭圆的方程（2）若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若•=0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的通径公式求得=3，由a=2，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）当斜率不存在时，代入求得直线与椭圆的交点坐标，由丨MB 丨=丨AM丨即可求得m的值；当斜率存在且不为0，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得k与b的关系，即可求出定点坐标．【解答】解：（1）令x=c，y=，则椭圆的通径丨PQ丨==3，又a=2，则b=，∴椭圆的标准方程为；…（2）当直线MN斜率不存在时，设l MN：x=m，与椭圆方程联立得：y=，丨MN丨=2=，设直线MN与x轴交于点B，丨MB丨=丨AM丨，即=2﹣m，∴m=或m=2（舍），∴直线m过定点（，0）；当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M（x1，y1），N（x2，y2），则直线MN：y=kx+b，与椭圆方程为：联立，得（4k2+3）x2+8kbx+4b2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=kx1x2+kb（x1+x2）+b2，△=（8kb）2﹣4（4k2+3）（4b2﹣12）＞0，k∈R，•=0，则（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）=0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，∴7b2+4k2+16kb=0，∴b=﹣k，或b=﹣2k，∴直线lMN：y=k（x﹣）或y=k（x﹣2），∴直线过定点（，0）或（2，0）舍去；综合知，直线过定点（，0）．…21．已知函数f（x）=ax2+（x﹣1）e x（1）当a=﹣时，求f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程（2）讨论f（x）的单调性（3）当﹣＜a＜﹣＜0时，f（x）是否存极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=﹣时，f′（x）=﹣（e+1）x+xe x，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程．（2）由f′（x）=2ax+xe x=x（e x+2a），根据a≥0，﹣＜a＜0，a=﹣，a＜﹣，分类讨论，结合导数性质讨论f（x）的单调性．（3）x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2，由此能求出所有极值的和的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）当a=﹣时，f（x）=﹣x2+（x﹣1）e x，∴f（1）=﹣f′（x）=﹣（e+1）x+xe x∴f′（1）=﹣1切线方程为：y+=﹣（x﹣1）即：2x+2y+e﹣1=0（2）f′（x）=2ax+xe x=x（e x+2a）①当2a≥0即a≥0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；②当﹣＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；③当a=﹣时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；④当a＜﹣时，f（x）在（﹣∞，0））上单调递增，在（0，ln（﹣2a））上单调递减，在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增；（3）由（2）知，当﹣＜a＜﹣＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f （x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1）﹣1，∵x1=ln（﹣2a）∴a=﹣，∴f（x1）+f（x2）=﹣x12+（x1﹣1）﹣1=（﹣x12+x1﹣1）﹣1∵﹣＜a＜﹣∴＜﹣2a＜1∴﹣1＜x1=ln（﹣2a）＜0令ϕ（x）=e x（﹣x2+x﹣1）﹣1（﹣1＜x＜0）∴ϕ′（x）=e x（﹣x2）＜0∴ϕ（x）在（﹣1，0）单调递减，∴ϕ（0）＜ϕ（x）＜ϕ（﹣1）即﹣2＜ϕ（x）＜﹣﹣1．∴所有极值的和的取值范围为（﹣2，﹣﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．曲线C（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）利用参数方法，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C的距离为（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线Cd==，…当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m（1）作函数f（x）的图象（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）讨论x的范围：x≤﹣，﹣＜x≤1，x≥1，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象；（2）通过图象可得最大值m，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2ab+2bc，令2：2=1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=，由分段函数的图象画法可得图象如右；（2）由（1）知，当x=﹣时，f（x）的最大值为，即m=；∴a2+b2+2c2=，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2ab+2bc，令2：2=1：2，即8（1﹣t）=16t 得：t=，∴a2+b2+2c2=a2+b2+b2+2c2≥2•ab+4•bc=（ab+2bc）∴ab+2bc≤（a2+b2+2c2）=（当且仅当a2=c2=，b2=时取“=”号）．。
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2019-2020 年高三第一次模拟试题数学（文）含答案考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120 分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：1 [(x -x) 2+ (x -x) 2+ + (x -x)2 ]，其中为样本的平均数样本数据的标准差s =n 1 2 n柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高球的表面积和体积公式，，其中为球的半径第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A = {x | x 2 -x - 2 ≤ 0}, B = {x | y = ln(1 -x)}, 则（）A. B．C．D． 2．若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（）A．B．C．D． 3．已知中，，且的面积为，则（）A．B．C．或D．或4.已知是边长为2 的正三角形的边上的动点，则（）A．有最大值为8 B．是定值6 C．有最小值为2 D．与点的位置有关5．设，且，则（）A．B．C．D． 6．掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6 的概率是（）A．B．C． D．7．数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于（）A．B．C．D． 8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（）A．2 B．C．D．39．如图所示程序框图中，输出（）A. B. C. D.⎩ ⎪ ⎩10．点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．已知圆，直线，点在直线上．若在圆上存在点，使得（为坐标原点），则的取值范围是 （ ） A ． B ．C ．D ．⎧| log x |,0 < x < 2⎪ 212. 已知函数 f (x ) = ⎨，若存在实数满足 ⎪sin( 4 x ),2 ≤ x ≤ 10 f (x 1 ) = f (x 2 ) = f (x 3 ) = f (x 4 ) ，且，则的取值范围是（ ）A.（20，32）B.（9,21）C.（8,24）D.（15，25）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13. 已知数列中，，则⎧x - y + 1 ≥ 014. 如果满足约束条件⎨x + y - 2 ≤ 0 ，则目标函数的最大值是⎪x - 2 y ≤ 0 15. 过抛物线的焦点 F 作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若线段的长为 8，则16. 已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤2 17．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = 2 cos(2x + ) + 3sin 2x（1） 求函数的最小正周期和最大值；（2） 设的三内角分别是．若，且,求边和的值．3MD Q18．（本小题满分 12 分）某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少％的住户属于“低碳族”，则称这个小区为 “低碳小区”， 否则称为“非低碳小区” ．已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（1） 任选两个小区进行调查，求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率； （2） 假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图 1 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图 2 所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？19．（本小题满分 12 分）如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,, ,平面底面,为的中点, ，BC = 1AD = 1, CD = 2（Ⅰ）求证: 平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积。
(优辅资源)辽宁凌源市高三毕业班一模抽考数学(文)试题Word版含答案
优秀文档凌源市教育局高三“抽考”数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的.1. 已知会集 A x N 3 2x 0 ， B x x2 4 ，则AUB （）A．x 2 x 1 B ． x x 2 C ． x 2 x 2 D．0,12. 设 i 是虚数单位，若复数 a 2i a R 是纯虚数，则 a （）1 i． 1B ．1 C． 2D． 2A3. 已知 x, y 0,2 ，则事件“ x y 1 ”发生的概率为（）A．1B ．1C．15D ．7 16 8 16 84. 某几何体的三视图以下列图，则该几何体的体积为（）A．12 B．1 C.1 D．22 25. 已知变量x 与 y 负相关，且由察看数据算得样本平均数x 2 ，y 1.5 ，则由该察看数据算得的线性回归方程可能是（）A．y 0.6x 1.1 B ． y 3x 4.5 C. y2x 5.5D．y 0.4x 3.3uuur uuur uuur uuur2 3 uuur uuur6. 已知AB 2， CD 1 ，且 AB 2CD ，则向量 AB 和CD的夹角为（）A．30o B ． 60o C. 120o D ． 150o7. 已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，点 A 0， 3 .若线段 FA 与抛物线C订交于点M，则MF （）A．4B ． 5 C. 2 D ． 3x y 10,8. 设x，y满足拘束条件x y 1 0, 则目标函数z 2x 3y 的最小值是（）x 3,A．7B．6C. 5D．39. 已知函数f x 2sin 2x ，则函数f x 的单调递减区间为（）4A．32k ,72k k Z B ．82k ,32k k Z 8 8 83 7k k Z D ．3k k ZC. k ,8 k ,8 8 810. 已知双曲线C的中心在原点O，焦点F 2 5,0 ，点 A 为左支上一点，满足OA OF ，且 AF 4 ，则双曲线 C 的方程为（）x2 y2B x2 y2C.x2 y2Dx2 y2A． 1 ． 14 1 ． 116 4 36 16 16 16 3611. 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， b ，c，且满足a b sin A sin B c b sin C ，若a 3 ，则 b2 c2的取值范围是（）A．3,6B．3,5 C.5,6D．5,612. 已知函数f x e x ，若关于 x 的方程 f 2 x 2a2 3a f x 有且仅有 4 个不等实根，x则实数a的取值范围为（）A．0,eB．e,e C.0,e D．0, 2 2第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. sin 47o sin17 o cos30o 的值等于．cos17o14. 执行以下列图的程序框图，若输入S 1 ， k 1 ，则输出的S 为．15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为．16. 若b a 1 且3log a b 6log b a 11 ，则 a3 2 的最小值为．b 1三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 已知数列a n的前n项和S n满足S n 3a n1a1 n N ，且 a1 1 ，2a2，a3 7 成2 2等差数列 .（ 1）求数列a n的通项公式；（ 2）令b n2log9a n n N1，求数列的前 n 项和 T n.bnbn 118. 如图，在梯形ABCD 中，BADADC 90o，CD 2，AD AB 1 ，四边形BDEF 为正方形，且平面 BDEF 平面 ABCD .（ 1）求证：DF CE ；（ 2）若AC与BD订交于点O ，那么在棱AE 上可否存在点G ，使得平面 OBG / / 平面EFC ？并说明原因.19.某学校的专长班有 50 名学生，其中有体育生 20 名，艺术生 30 名，在学校组织的一次体检中，该班全部学生进行了心率测试，心率全部介于50 次/分到 75 次/分之间.现将数据分成五组，第一组50,55 ，第二组55,60 ，，第五章70,75 ，按上述分组方法获取的频率分布直方图以下列图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 a : 4:10 .（1）求a的值，并求这50名同学心率的平均值；（2）由于学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8 ，请将下面的列联表补充完满，并判断可否有99.5% 的掌握认为心率小于60 次/分与常年进行系统的身体锻炼相关？说明你的原因.心率小于60 次/ 分心率不小于60 次/ 分合计体育生20艺术生30合计50参照数据：P K 2 k00.150.100.050.025 0.010 0.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8282参照公式： K 2 n ad bc ，其中 n a b c d .a b c d a c b d优秀文档2220. 已知直线 l : ykx m 与椭圆 C :x2y2 1 a b 0 订交于 A ， P 两点，与 x 轴，a by 轴分别订交于点N ，M ，且， PM MN ，点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点， QM 的延长线交椭圆于点B ，过点 A ， B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 A 1 ， B 1.（ 1）若椭圆 C 的左、 右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点 D3 在椭圆1，2C 上，求椭圆 C 的方程；（ 2）当 k1 ，求椭圆 C 的离心率 .时，若点 N 平方线段 A 1B 1221. 已知函数f x xe x .x（ 1）谈论函数g x af x e 的单调性；2y x 2 与曲线 y f x的交点的横坐标为 t ，且 t m, m 1，求整数 m 所（ ）若直线有可能的值 .请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 x 3 cos ,为参数） . 在极坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为（y sin（与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 2 sin3 .4（ 1）求曲线 C 的一般方程及直线 l 的直角坐标方程；（ 2）设 P 是曲线 C 上的任意一点，求点P 到直线 l 的距离的最大值.优秀文档23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x 2 x 1 .（ 1）求不等式 f x 1 的解集A；（ 2）当m, n A 时，证明：m n mn 1 .试卷答案一、选择题1-5:CBBDC6-10:CABDC11、12：CB二、填空题13. 157 15. 17 :4 16. 2 2 114.2三、解答题3 a n 13a n a1.17. 解：（ 1）由S n a1，得 2S n2 22S n =3a n a1 ,由作差得 a n 3a n 1 n 2 .2S n 1 3a n 1 a1 n 2 ,又 a1 1 ， 2a2， a37 成等差数列，因此4a2a1 1 a37 ，即 12a1a1 1 9a17 ，解得 a1 3 .因此数列a n是以 3 为首项、公比为 3 的等比数列，即a n3n. （ 2）由b n2log9a n 2log 9 3n n ，得 1 1 1 ，b n bn 1 n n 1于是 T n 1 1 1 1 L 1 1 n .2 23 n n 1 n 118.（ 1）证明：连接EB .∵在梯形 ABCD 中，BAD ADC 90o，CD 2 ，AD AB 1 ，∴BD2，BC2.∴ BD2BC2CD2，∴BC BD .又∵平面BDEF平面ABCD，平面BDEF I平面ABCD BD ， BC平面ABCD，∴BC 平面BDEF，∴ BC DF .又∵正方形BDEF 中， DF EB 且 EB ， BC平面BCE，EB I BC B ，∴DF 平面 BCE .又∵ CE平面BCE，∴ DF CE .（ 2）解：以下列图，在棱AE 上存在点 G ，使得平面 OBG / / 平面 EFC ，且AG 1. GE 2证明以下：∵在梯形 ABCD 中，BAD ADC 90o，CD 2 ，AB1，∴ AB//DC ，∴AOAB 1 . OC DC 2又∵ AG1 ，∴AOAG，∴ OG//CE.GE 2 OC GE又∵正方形BDEF 中，EF / /OB，且OB，OG平面EFC，EF，CE平面EFC，∴OB// 平面 EFC ，OG// 平面 EFC，又∵ OBI OG O，且 OB ， OG平面OBG，∴平面 OBG / / 平面 EFC .19. 解（ 1）由于第二组数据的频率为0.032 5 0.16 ，故第二组的频数为0.16 50 8，由已知得，前三组频数之比为 a : 4:10 ，因此第一组的频数为2a ，第三组的频数为20 ，第四组的频数为16 ，第五组的数为 4 .因此 2a 50 20 16 8 4 2 ，解得 a 1 .这 50 名同学心率的平均值为257.5 8 20 1672.54=63.7 .52.5 62.5 67.550 5050 50 50（ 2）由（ 1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60 次/分的学生）共10 名，从而体育生有 10 0.8=8名，故列联表补充以下.心率小于60 次/ 分心率不小于60 次/ 分合计体育生8 12 20艺术生 2 28 30合计10 40 50因此K2508 28 2 1228.333 7.879 ，10 40 20 30故有 99.5% 的掌握认为心率小于60 次/分与常年进行系统的身体锻炼相关.b 3c,1 91, 20. 解：（ 1）由题意得4b2a2a2 b2 c2 ,b23,∴a24,∴椭圆 C 的方程为x2 y2 1 .4 3（ 2）当k 1 时，由 y 1x m ，得M 0,m ， N 2m,0 .2 2∵PM MN，∴P 2m,2 m ， Q 2m, 2m ，∴直线 QM 的方程为 y 3x m . 2y 1 x m, 设 A x1 , y1 ，由 2 得1a2 b2 x2 a2 mx a2 m 2 b2 0 ，x2 y2 4a2 b2 1,4a2m 2m 3a2 4b2∴ x1 2m a2 4b2 ，∴x1 a2 4b2；y 3 x m,设 B x2 , y2 ，由 2 得 9 a2 b2 x2 3a2 mx a2 m2 b2 0 ，x2 y2 4a2 b21,∴ x212a2 m，∴ x22m 3a2 4b2. 2m24b2 9a2 4b2 9a∵点 N 平方线段A1B1，∴x1x2 4m ，2m 3a 2 4b2 2m 3a2 4b24m ，∴3a2 4b2，∴2 4b2 9a2 4b2a∴ x13m ， y1 1m ，代入椭圆方程得 m2 1 b2 b2，吻合题意.2 7∵ a2 b2 c2，∴a 2c ，∴e c 1 .a 221. 解：（ 1）由题意，知g x af x e x axe x e x，∴ g ' x ax a 1 e x.①若 a 0 时， g' x e x， g ' x 0 在R上恒成立，因此函数g x 在R上单调递加；②若 a 0 时，当x a 1时，g'x0 ，函数 g x 单调递加，a当 x a 1时，g'x0 ，函数 g x 单调递减；a③若 a 0 时，当x a 1时，g'x0 ，函数 g x 单调递减；a当 x a 1时，g'x0 ，函数 g x 单调递加. a综上，若 a 0 时， g x 在R上单调递加；若 a 0 时，函数 g x 在, a 1内单调递减，在区间a 1,内单调递加；a a当 a 0 时，函数 g x 在区间, a 1内单调递加，在区间 a 1 ,内单调递减.a a（ 2）由题可知，原命题等价于方程xe x x 2 在x m, m 1 上有解，由于 e x0 ，因此x0 不是方程的解，因此原方程等价于 e x 2 1 0 ，令 r x e x 21，x x由于 r ' x e x2 0 关于x ,0 U 0,恒成立，x2因此 r x 在,0 和 0,内单调递加.又 r 1 e 3 0 ， r 2 e2 2 0 ，r 3 1 1 0 ， r 2 1 0 ，e3 3 e2因此直线y x 2 与曲线y f x 的交点仅有两个，且两交点的横坐标分别在区间1,2 和 3, 2 内，因此整数 m 的全部值为3，1.x 222. 解：（ 1）由于y2 cos2 sin 2 1 ，3因此曲线 C 的一般方程为x2y2 1；3又 2 sin 3 ，张开得sin cos 3 ，即 y x 3 ，4因此直线 l 的直角坐标方程为x y 30 .（ 2）设P 3 cos ,sin，3 cos sin32sin335 2 则点 P 到直线 l 的距离为 d2，22当且仅当 sin1 ，即2k 11 k Z 时等号成立，即 P3, 1 ， 36 225 2 因此点 P 到直线 l 的距离的最大值为.223. （ 1）解：由 2 x 11 ，得 12 x 1 1 ，即 x 1 ，解得1 x 1 ，因此 A11， .22n 2 m 2n 2 1m 2 1 n 2 1 .（ 2）证明：（解法一） m nmn 1m 2由于 m, nA ，因此1 m 1 ， 1 n 1 ， m2 1 0 ， n 2 1 0 ，m 2 1 n 222因此1 0 ， m n mn 1 .又 mn1 0 ，故 m n mn 1 .（解法二）由于 m, n A ，故1 m 1 ， 1 n 1 ，而 mn mn 1 m 1 1 n 0m n mn 1 m 1 1 n 0 ，即mn 1 m n mn 1 ，故 m n mn 1 .。
辽宁省朝阳市凌源四合当中学2019-2020学年高三数学文联考试题含解析
辽宁省朝阳市凌源四合当中学2019-2020学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知边长为2的正方形ABCD，在正方形ABCD内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A，B，C，D的距离都大于1的概率为A． B． C． D．参考答案：D略2. 已知中，内角,,所对的边长分别为,,，若，且，，则的面积等于....参考答案：A试题分析：根据正弦定理，可以求得，从而有，因为，所以，从而求得三角形是正三角形，所以面积，故选A.考点：正弦定理，三角形的面积.3. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，（a，b，c均为非零整数），且f（a）=a3，f（b）=b3，a≠b，则c=（）A．16 B．8 C．4 D．1参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由f（a）=a3，f（b）=b3列出等式化简即b=1﹣a﹣，因为b为整数，得出a=﹣2，从而求出b与c值．【解答】解：由已知得，①﹣②化简得：a（a+b）（a﹣b）+b（a﹣b）=0，b=﹣a（a+b），即b=1﹣a﹣，a，b，c均为非零整数且a≠b，得为整数，所以a=﹣2，所以a=﹣2，b=4，∵f（﹣2）=﹣8?c=16．故选：A4.对任意实数x，不等式恒成立的充要条件是（）A．. B． C． D．参考答案：答案:B5. 若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于( )A．﹣B．C．D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）?（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握．6. 函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k不等式（k﹣2）a﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a＜﹣1 D．a≥1参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数的图象得出k的范围，分离参数得出a＜，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．【解答】解：作出y=kx+2与y=的函数图象，如图所示：联立方程组，得kx2+2x﹣1=0（x＞0）或﹣kx2﹣2x﹣1=0（x＜0），当x＞0，令△=4+4k=0得k=﹣1，当x＜0时，令△=4﹣4k=0得k=1．∴k=±1时，直线y=kx+2与y=的函数图象相切，∵函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，∴﹣1≤k≤1．∵（k﹣2）a﹣k＞0有解，∴a＜有解，设f（k）==1+，∴f（k）在﹣1，1]上是减函数，∴f max（k）=f（﹣1）=．∴a．故选：B．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题．7. 已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a参考答案：A【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得 a＞b＞c，故选A．【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．8. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是 ( )A． B． C． D．参考答案：C略9. 已知点、、、，则向量在方向上的投影为A．B．C．D．参考答案：A10. 定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数(b∈R,)的实部与虛部相等,则b=________.参考答案：212. 已知向量的夹角为,，,则．参考答案：13. 已知，则=参考答案：3略14. 在中，角所对的边分别为，，，，则；设为边上一点，且，则的面积为．参考答案：；215. 已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为．参考答案：18【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2 ?bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1?x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2 ）=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．16.已知集合P＝{x|≤x≤3}，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.(1)若P∩Q＝[，)，P∪Q＝(－2,3]，则实数a的值为__________；(2)若P∩Q＝?，则实数a的取值范围为__________．参考答案：1)a＝－(2)a≤－417. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.参考答案：1观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题(解析版)
辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学（文）试题一、选择题(本大题共12小题)1.复数的虚部是( )A.4 B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数=所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2.若集合，则 ( )A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.已知向量，的夹角为，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，先求出，可得结果.【详解】所以故选C【点睛】本题主要考查了向量的运算，属于基础题.4.设直线与圆相交于两点，且，则圆的面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径为，利用圆的弦长公式,求出值，进而求出圆半径，可得圆的面积. 【详解】圆的圆心坐标为,半径为，，直线与圆相交于两点，且，圆心到直线的距离，所以，解得，圆的半径，所以圆的面积，故选C.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.5.等差数列的前项和为，且，则 ( )A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】【分析】先根据题目已知利用公式求出公差，，再利用求和公式得出结果.【详解】因为等差数列，所以，所以公差，根据求和公式故选B【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6.已知，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，利用两角和的正切公式求得，再根据同角三角函数的关系求解即可.【详解】因为，所以，所以，且解得，故选A.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．7.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则 ( )A.0 B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．【详解】当输入的值为4时，，第一次，不满足，不满足能被整数，故输出；当输入的值为5时，第一次，不满足，也不满足能被整数，故b=3；第二次，满足，故输出；即第一次输出的的值为的值为0，第二次输出的的值为的值为1，则．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．8.设，则的大小关系为( )A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性可得，根据幂函数的单调性可得，从而可得结果. 【详解】因为指数函数是减函数，,所以<，即；因为幂函数是增函数，,所以>,即，所以，故选B.【点睛】本题主要考查幂函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是( )A. ，B. ，C.，，D.，，【答案】C 【解析】 【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A ：，，得出与是相交的或是垂直的，故A 错；答案B ：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B 错； 答案C ：，，得出，再得出，故C 正确；答案D:，，，得出与是相交的或是垂直的，故D 错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：从区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中满足不等式的数对共有11个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据满足不等式的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外，得出数对所在的平面区域，利用几何概型概率公式列方程可得出的值.【详解】在平面坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域， 区域面积为，由几何概型概率公式可得解得，故选A.【点睛】本题主要考查随机模拟实验以及“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.11.已知双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为( )A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a 的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即，点P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线时，周长最小即解得故离心率故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.12.若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，由数形结合可得结果.【详解】，可得,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，求得，由可得在上递减，由可得在上递增，，当时，；当时，所以，当，即时，的图象在轴右边有两个不同的交点，所以使函数在区间上有两个极值点，实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键.二、填空题(本大题共4小题)13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，代入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是______．【答案】乙【解析】【分析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15.等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，则______．【答案】30.【解析】设等比数列的公比为，，化为，可得，即为，解得，又，可得，解得，则，故答案为.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______．【答案】【解析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题(本大题共7小题)17.设函数．(Ⅰ)当时，求函数的值域；(Ⅱ)的内角所对的边分别为，且，求的面积．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求其值域．(Ⅱ)由已知可求，可求范围，从而可求，由余弦定理解得的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．【详解】(Ⅰ)，∵，∴，∴，∴函数的值域为；(Ⅱ)∵，∴，∵，∴，∴，即，由余弦定理，，∴，即，又，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间(单位：小时)与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：(Ⅰ)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；(Ⅱ)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据(Ⅱ)中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成列联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（1）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为.（2）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.19.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，在平面上的射影为，且在上，且，，是的中点，四面体的体积为．(Ⅰ)求异面直线与所成的角余弦值；(Ⅱ)求点到平面的距离；(Ⅲ)若点是棱上一点，且，求的值．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)先利用等体积法求出的长，在平面内，过点作交于，连接，则(或其补角)就是异面直线与所成的角，在中利用余弦定理求出此角即可；(Ⅱ)在平面内，过作，交延长线于，则平面推得的长就是点到平面的距离，在利用边角关系求出长；(Ⅲ)在平面内，过作，为垂足，连接，先证明，然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可．【详解】(I)由已知，∴．在平面内，过点作交于，连接，则(或其补角)就是异面直线与所成的角.在中，，由余弦定理得，，∴异面直线与所成的角的余弦值为．(II)∵平面，平面∴平面平面， 在平面内，过作，交延长线于，则平面∴的长就是点到平面的距离．∵．在，，∴点到平面的距离为．(III)在平面内，过作，为垂足，连接，又因为，∴平面，平面,∴． 由平面平面，∴平面∴；由得：．∵，∴由可得．【点睛】本题主要考查求异面直线所成角的问题，点面距离，线面垂直的应用，以及分析问题与解决问题的能力，是中档题 20.已知分别是椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，且与椭圆相交于两点，当时，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由焦点为，求得，，解得，从而可得结果;（2）设直线方程为，联立，由，结合韦达定理求得，再联立，由，利用韦达定理可得结果．【详解】（1）焦点为，则，解得，所以椭圆的标准方程为（2）由已知，可设直线方程为，联立得易知则=．因为，所以，解得．联立，得，设，则【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数(为自然对数的底数)，．(Ⅰ)当时，求函数的极小值；(Ⅱ)若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）当时，，，令，可得，列表判断两边的符号，根据极值的定义可得结果；（2）化简，求得，，设，可得，讨论的取值范围，根据函数的单调性，结合零点存在定理即可筛选出符合题意的的取值范围.【详解】（1）当时，，，令则列表如下：1所以.（2）设，，设，，由得，，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意.②当，即时，由（1）可知，所以，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解1.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，，故在内，关于的方程有一个实数解.又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意. 综上，.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)曲线与直线交于两点，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23.已知函数．(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值，若实数满足，求的最小值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) .【解析】【分析】（1）由绝对值的三角不等式可得：，可解出的范围。
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第一次联合模拟考试文科数学答案一．选择题1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD二．填空题13. 3 14. 乙 15. 30 16. 4π三．解答题 17．解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)126π=++=++f x x x x …………………2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x ， …………………4分 ∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； …………………6分 （Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A…………………8分由余弦定理，2222cos =+-a b c bc A ，∴2642=+-c c ，即2220--=c c又0>c ，∴1=+c …………………10分∴1sin 2∆==ABC S bc A…………………12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件M设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为A,B,C,D ,其中A 表示近视的学生,随机抽取2名,所有的可能有AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6种情况, 其中事件M 共有3种情况, 即AB,AC,AD, 所以()3162==P M故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12． …………………4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：…………………8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.…………………12分19. 解:（Ⅰ）（方法一）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = …………………2分∵PG ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，∴PG BG ⊥ ∴1124422PBG S BG PG ∆=⋅=⨯⨯= ∵13AG GD =∴3332442BDG BCG S S ∆∆=⋅=⨯= …………………4分设点D 到平面PBG 的距离为h , ∵D PBG P BDG V V --= 1133PBG BDG S h S PG ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅, 11344332h ∴⋅⋅=⋅⋅32h ∴= …………………6分（方法二）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG =………………2分∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD ∵平面PBG平面=ABCD BG在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ， 则DK ⊥平面PBG ∴DK 的长就是点D 到平面PBG的距离 …………………4分223434322===∴=BC AD GD BC 在∆DKG 中，DK =DG sin 45︒=23∴点D 到平面PBG的距离为23…………………6分 （Ⅱ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC 于M ，连结FM ，又因为DF ⊥GC ,DMDF D = ∴GC ⊥平面FMD ，⊂FM 平面FMD ∴GC ⊥FMPG ⊥平面ABCD ，⊂GC 平面ABCD ∴PG ⊥GC∴FM ∥PG 由GM ⊥MD 得：3c o s 452GMG D ︒== …………………10分32312PF GM FC MC ∴=== …………………12分 20. 解：（Ⅰ）24y x =焦点为(1,0)F ，则1(1,0)F -，2(1,0).F122a PF PF =+=解得,1,1a c b ==，所以椭圆E 的标准方程为22 1.2x y += …………............4分 （Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,).A x y B x y 联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(1)220,t y ty ++-= 易知0.∆>则1221222,12.1t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.........6分 ()()111212121211(2)(2)F A F Bx x y y t y t yy y ⋅=+++=+++ =221212222(1)2()41t t y y t y y t -++++=+．因为111F A FB ⋅=，所以22221t t -=+1，解得213t =． (8)分联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty ++-=，()2810t ∆=+>设3344(,),(,)C x y B x y ，则3423422,21.2t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩….....…….........10分112341273F CDS F F y y ∆=⋅-=== ….....…….........12分21. 解：（Ⅰ）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-， .....….................1分令'()0=t x 则1=x 列表如下：....…..................3分 所以(极小值==t x . ......….......…....5分（Ⅱ）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)≥x1'()e x F x a x=-+，(1)≥x设1()e x h x a x=-+，2221e 1()e x xx h x x x⋅-'=-=， ...........…........7分 由1x ≥得，21,x ≥2e 10->xx ，'()0>h x ，()h x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增, 又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解. ..........9分②当10e a +-<，即1a e >+时，由（Ⅰ）可知e xex ≥，所以11'()e ,'()0xa a e eF x a ex a F e a x x e e a a=+-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e >+故00(1,),()0ax F x e'∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =， 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1. 又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，'()()2x s x k x e x ==-,()220'=-≥->x s x e e ,故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k >1当时，∴>x'()0，>k x ()∴k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0>>k a k ，故()0F a >，又0aa x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x . 又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.综上，1a e ≤+. ........................12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩ (2)分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=. …….................4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ (7)分1212OA OB +=+=+=ρρρρ (8)分1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π，则1tan k θ== …….................10分23．解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-. .…….................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21164()22121x y y z ≥+-+= …….................8分 等号在z yyx =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得。