鲁教版七年级数学上第三章勾股定理 一章 导学案

鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.1探索勾股定理导学案【学习目标】1.体验勾股定理的探索过程,由特例猜想勾股定理,再由特例验证勾股定理.会利用勾股定理解释生活中的简单现象.2.在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想.在探索勾股定理过程中,发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力.【学习过程】一、问题1.如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定吗?三边之间存在着一个特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在着一个特殊的关系.让我们一起去探索吧!二、活动一（一）自学指导观察如图,并回答:1.图中正方形A中有个小方格,即A的面积为个单位.正方形B中有个小方格,即B的面积为个单位.正方形C中有个小方格,即C的面积为个单位.2.正方形A,B,C的面积之间有什么关系?（二）合作探究1.(1)在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系?与同伴交流.(2)观察图①,图②直角三角形直角边的平方分别是多少?斜边的平方又是多少?(图中每个小方格代表1个单位面积)(3)如图,大正方形:①分割为四个直角三角形和一个小正方形如图1;②补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积如图2;三、活动二（一）自学指导观察如图,并回答:1.图中正方形A中有个小方格,即A的面积为个单位.正方形B中有个小方格,即B的面积为个单位.正方形C中有个小方格,即C的面积为个单位.2.正方形A,B,C的面积之间有什么关系?（二）合作探究1.(1)在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系?与同伴交流.(2)观察图①,图②直角三角形直角边的平方分别是多少?斜边的平方又是多少?(图中每个小方格代表1个单位面积)(3)如图,大正方形:①分割为四个直角三角形和一个小正方形如图1;②补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积如图2;四、小结【当堂训练】1.直角三角形的两直角边为5,12,则三角形的周长为.2.在△ABC中,∠C=90°,如果AB=17,AC=15,那么△ABC的面积为.3.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是 cm2.3.暑假中,小明和同学们到某海岛去探宝旅游,按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8 km,又往北走2 km,遇到障碍后又往西走3 km,再折向北走6 km处往东一拐,仅走1 km 就找到了宝藏,求登陆点到埋宝藏点的直线距离.4.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若已知AC=5,BC=12,求AB的长;(2)若已知AB=25,AC=20,求BC的长.5.如图,已知正方形的面积为25,且AC比AB小1,BC的长为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)66.设直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边长为c,∠C=90°.若c=34,a∶b=8∶15,求a和b.7. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的边长分别是4,9,1,4,则最大正方形E的面积是( )(A)18 (B)114 (C)194 (D)3248.(2020莱州期中)如图,是一棵“毕达哥拉斯树”.已知正方形M的边长为9,那么四个正方形A,B,C,D面积的和是( )(A)9 (B)18 (C)40.5 (D)819.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,C的边长为5 cm,则正方形D的面积为( )(A)14 cm (B)16 cm (C)15 cm (D)9 cm【基础训练】1.直角三角形中,一条直角边长为24 cm,斜边长为25 cm,则另一直角边长为( )(A)7 cm (B)12 cm (C)16 cm (D)49 cm2.直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则下列a,b,c三边关系错误的是( )(A)b2=c2-a2(B)b2=a2-c2 (C)a2=c2-b2(D)c2=b2+a23.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )(A)5 (B)4 (C)10 (D)84.如图,正方形ABCD的面积为100 cm2,△ABP为直角三角形,∠P=90°,且PB=6 cm,则AP的长为( )(A)10 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)无法确定5.如图所示,图中各正方形内的数字与字母代表其面积,则A的值为 ,B的值为6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15.(1)求AB的长;(2)求CD的长.7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,四边形的周长为32,求BC和CD 的长度.【综合训练】8.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )(A)25 (B)7 (C)5和7 (D)25或79.如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,分别以它的三边为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为.10.如图,AC=3,BC=2,AD=5,求正方形BEFD的面积.11.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿AD折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,试求CD的长.12.如图,在△A B C中,C D⊥A B于点D,A C=13,A B=14,高C D=12,求B C 的长.【提高训练】13.(核心素养—数学建模)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.2勾股定理的验证与应用导学案【学习目标】1.掌握勾股定理及其验证,并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上,经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.【学习过程】一、复习1.勾股定理的内容是什么?二、自学指导2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,它既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们!三、合作探究1.今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.(1)在一张硬纸板上画4个如图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.(2)用这4个直角三角形拼一拼,摆一摆,看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形,你能利用它说明勾股定理吗?2.拼出了如图所示的图形,中间是一个边长为c的正方形.要利用这个图说明勾股定理,我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.大正方形面积可以表示为 ,又可以表示为 .3.[例题]我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m.10 s后,汽车与他相距 500 m.你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?4.议一议前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢?5.归纳小结1.一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( )(A)3米(B)4米(C)5米(D)6米2.某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取米.3.有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里.4.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm,求这个三角形的面积.5.受台风影响,一棵高18 m的大树断裂,树的顶部落在离树根底部6 m处,这棵树折断后有多高?6.如图是硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c,和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图;(2)由此图证明勾股定理.7. 如图,用四个全等的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成了3个正方形,正方形的边长分别为a,b,c,请你利用图形验证勾股定理.8.为了推广城市绿色出行,梅江区交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点,该路段附近有两个广场C和D,如图所示,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,AB=1 700 m,CA=1 200 m,DB=500 m,试问这个单车停放点E应建在距点A多远处,才能使它到两广场的距离相等?9.如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为.10.如图,校园内有两棵树,相距8米,一棵树高13米,另一棵树高7米,一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少飞()(A)8米(B)9米(C)10米(D)11米1.如图所示,工人师傅砌墙安门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,若CE=120 cm,CF=50 cm,那么选取的木条EF的长度至少为( )(A)130 cm (B)150 cm (C)170 cm (D)200 cm2.如图,一个长为6.5米的梯子,一端放在离墙角2.5米处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙角有( )(A)3米(B)4米(C)5米(D)6米3.下列选项中,不能用来验证勾股定理的是( )4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为mm.5.在北京召开的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(a>b),斜边为c,那么小正方形的面积可以表示为6.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当他把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高.7.(2019巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE ⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.【综合训练】8.如图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )(A)72 (B)52 (C)80 (D)769.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )(A)9 (B)6 (C)4 (D)310.(2020济宁附中)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是线段BC上的一个动点(不与B,C 重合),若线段AD的长为整数,则AD的长度为( )(A)3 (B)3或4或5 (C)3或4 (D)3或511.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为BC=0.7米,顶端距离地面AC=2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面A′D=2米,求小巷的宽度.12.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4 cm,AD=2 cm,BC=CD,E是AB上的一点,若沿CE折叠,则B,D两点重合,求△AED的面积.13.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题:(1)根据图形验证勾股定理;(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.【提高训练】14.如图,在△ABC中,AB=30,BC=25,AC=25,求△ABC的面积.鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.2一定是直角三角形吗导学案【学习目标】1.掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单应用.进一步发展数感,增加对勾股数的直观体验,培养从实际问题抽象出数学问题的能力,建立数学模型.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形,并会辨析哪些问题应用哪个结论.2.让学生经历“探究—归纳—验证”的数学思想,并学会自主学习的方法.【学习过程】一、自学指导1.观察如图,用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2.总结:2.下面的三组数分别是一个三角形的三边a,b,c.①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17;(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?(2)分别用每组数为三边作三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.二、合作探究今后我们可以利用“三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2时,三角形为直角三角形”来判断三角形的形状,同时也可以作为判定两条直线是否垂直的方法.1.如图,在正方形ABCD中,有几个直角三角形,你是如何判断的?与同伴交流.2.如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形吗?2倍3倍3,4,56,8,105,12,1315,36,398,15,177,24,253. [例1]已知:a 2+b 2=c 2,求证:(ka)2+(kb)2=(kc)2.4.[例2]一个零件的形状如图1所示,按规定,这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?5.归纳小结【当堂训练】1.以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是( )(A)8,15,17 (B)4,5,6 (C)5,8,10 (D)8,39,402.若△ABC 的三边a,b,c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0,则△ABC 是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形3.已知:在△ABC 中,三条边长分别为a,b,c,a=n 2-1,b=2n,c=n 2+1(n>1).试判断△ABC 的形状. 4.[例1]判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=8,b=15,c=17; (2)a=1.5,b=2.5,c=2; (3)a=54,b=1,c=23.5.已知a,b,c 是△ABC 的三边长,且满足|c2-a2-b2|+(a-b)2=0,则△ABC 的形状是6.下列各组数据中,是勾股数的是( ) (A)4,5,6 (B)12,16,20 (C)-10,24,26 (D)2.4,4.5,5.17.给出下列四个说法:①由于0.6,0.8,1不是勾股数,所以以0.6,0.8,1为边长的三角形不是直角三角形;②由于以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,所以0.5,1.2,1.3是勾股数;③若a,b,c 是勾股数,且c 最大,则一定有a2+b2=c2;④若三个整数a,b,c 是直角三角形的三边长,则2a,2b,2c 一定是勾股数,其中正确的是( ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④【基础训练】1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )(A)30,40,50 (B)7,12,13 (C)5,9,12 (D)3,4,62.已知三角形的三边长分别为5,13,12,则三角形的面积为( )(A)30 (B)60 (C)78 (D)不能确定3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )(A)∠A为直角 (B)∠C为直角(C)∠B为直角 (D)△ABC不是直角三角形5.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为( )(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上答案都不对6.若一个三角形的三边之比为3∶4∶5,且周长为 24 cm,则它的面积为 cm2.7.如图,在△ABC中,点D是BC边上的点,已知AB=15,AD=12,AC=20, BD=9,求CD的长.【综合训练】8.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°9.已知△ABC中,AB=4,BC=3,那么当AC2= 时,△ABC是直角三角形.10.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,有AB,CD,EF,GH四条线段,端点都在格点上,你能选取其中三条线段能组成一个直角三角形吗?请说明理由.11.如图,在△ABC中,AC=4 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=3 cm,求△ABD的面积.12.如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12 m,CD=9 m,AB=39 m,BC=36 m,求这块地的面积.【提高训练】13.分析下列各组勾股数:当n=2时,a=2×2=4,b=22-1=3,c=22+1=5;当n=3时,a=2×3=6,b=32-1=8,c=32+1=10;当n=4时,a=2×4=8,b=42-1=15,c=42+1=17;…根据你发现的规律写出:(1)当n=10时的勾股数;(2)用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数,并加以说明.鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.3勾股定理应用举例导学案【学习目标】1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学建模的思想.【学习过程】一、自学指导1.如图,有一个圆柱,它的高等于12 cm,底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(π的值取3)(1)同学们可自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?(2)如图,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗?(3)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?二、合作探究1.李叔叔想要检测如图所示雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.(1)你能替他想办法完成任务吗?(2)李叔叔量得边AD长是30 cm,边AB长是40 cm,点B,D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗?(3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗?边BC与边AB呢?2.[例1]有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少?3.[例2]如图,某隧道的截面是一个半径为4.2 m的半圆形,一辆高3.6 m、宽3 m的卡车能通过该隧道吗?4.归纳小结【当堂训练】1.甲、乙两位探险者,到沙漠进行探险.某日早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进.上午10:00,甲、乙两人相距多远?2.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少?3.如图,是一个滑梯示意图.若将滑道AC水平放平刚好与AB一样长,已知滑梯的高度CE=3 m,CD=1 m,试求滑道AC的长.4.欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯子?5.(2020广饶期中)如图,圆柱的底面周长是14 cm,圆柱高为24 cm,一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B,需要爬行的最短距离是.6.如图是一个棱长为6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,AQ=2,一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程是.7.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A 处,求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长.8.如图,已知某学校A与直线公路BD相距AB=3 000 米,且与该公路上一个车站D相距5 000米,现要在公路边建一个超市C,使之与学校A及车站D的距离相等,那么该超市与车站D的距离是多少米?9.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底,竹竿高出水面0.5 m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为() (A)2 m (B)2.5 m (C)2.25 m (D)3 m【基础训练】1.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm,3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短路线长( )(A)13 cm (B)12 cm (C)10 cm (D)9 cm2.如图,圆柱的高BC为20 cm,底面周长是32 cm,一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食,且PC=BC,则最短路线长为( )(A)20 cm (B)13 cm (C)14 cm (D)18 cm3.如图,AB=1.2 m,BC=0.5 m,AD=CE=0.2 m,则加固小树的木棒DE的长是 m.4.(2020广饶期中)如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为 5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是.5.(2020莱州期末)受台风影响,一棵树在离地面4 m处断裂,树的顶部落在离树根底部3 m 处,这棵树折断前有多高?【综合训练】6.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m的C处,发现此时绳子末端距离地面2 m,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )(A)12 m (B)13 m (C)16 m (D)17 m7.如图,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为 6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm.8.如图,有一块四边形的绿地,其中 AB=20米,BC=15米,CD=14米,AD=25米,且∠B=90°,求这块绿地的面积是多少平方米?【提高训练】9.如图所示,点A是一个半径为 400 m 的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B,C两个村庄,现要在B,C两村庄之间修一条长为1 000 m的笔直公路将两村连通,经测量得AB=600 m,AC=800 m,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.。