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2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含答案

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含答案一、圆的综合1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）已知⊙O 的半径为3．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；②32【解析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC ，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ，据此得证；（2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG=AC=CE=CD ，证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA =，即BF•BG=BE•AB ，将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得；（3）①设AB=5k 、AC=3k ，由BC 2-AC 2=AB•AC 知6k ，连接ED 交BC 于点M ，Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=126k 求得22CD CM -3，可知OM=OD-3，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2可得答案．②设OM=d ，则MD=3-d ，MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2，继而知BC 2=（2MC ）2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3-d ）2+9-d 2，由（2）得AB•AC=BC 2-AC 2，据此得出关于d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC 为菱形，∴∠D=∠BEC ，∵四边形ABDC 是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC ，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴6k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=126k，∴223CD CM k-=，∴OM=OD﹣DM=33k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（33）2+6k）2=32，解得：k=33或k=0（舍），∴62；②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2=﹣4d2+6d+18=﹣4（d﹣34）2+814，∴当d=34，即OM=34时，AB•AC最大，最大值为814，∴DC2=272，∴AC=DC=362，∴AB=964，此时32ABAC=．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．2．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优)附答案解析

2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优)附答案解析一、圆的综合1．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A ， ∴△AOD ∽△ACB . ∴AC AOAB AD=. ∵1132OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013xx x =+. 解得 x =8. ∴138413OA =⨯=. 则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连结AC ，过»BD上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连结AE 交CD 于点F ，且EG=FG ，连结CE ．（1）求证：∠G=∠CEF ；（2）求证：EG 是⊙O 的切线；（3）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tanG =34，AH=33，求EM 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3253. 【解析】试题分析：（1）由AC ∥EG ，推出∠G =∠ACG ，由AB ⊥CD 推出»»AD AC =，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AHHC=34，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣33HC=43∴222(33)(43)r r-+=，∴r 253，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HCEM OE=，∴33432536EM=，∴EM=2538．点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．3．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, DEBE=DHBCDE BE =21-4．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

中考数学圆与相似(大题培优易错难题)含答案解析

中考数学圆与相似(大题培优易错难题)含答案解析一、相似1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D.（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD.求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝ AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离.【答案】（1）证明：∵将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，∴∠ADP'＝∠ADP，∵AE∥PD，∴∠EAD＝∠ADP，∴∠EAD＝∠ADP'，∴AE＝DE（2）解：①∵DP∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴ = ，∵BC＝7，∴PD＝，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝ D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝＝ = ，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝，∵CM＝AM﹣AC＝﹣3，∴CM＝，∴点D'到直线BC的距离为若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，同理可证：△AMD'≌△DPA，∴AM＝PD＝，∵CM＝AC+AM，∴CM＝3+ ＝，∴点D'到直线BC的距离为综上所述：点D'到直线BC的距离为或；【解析】【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE＝DE；（2）①由题意可证△APD∽△ACB，可得，由旋转的性质可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，则△AP'C∽△AD'B；②分点D'在直线BC的下方和点D'在直线BC的上方两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD＝，通过证明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求点D'到直线BC 的距离.2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DC2＝CE·CA，∴，∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE~△CAD，∴∠CDE=∠CAD，又∵∠CBD=∠CAD，∴∠CDE=∠CBD，∴CD=CB.（2）解：连结OC（如图），设⊙O的半径为r，由（1）知CD=CB，∴弧CD=弧CB，∴∠CDB=∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD，∠BOC=2∠CAB，∴∠BOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴，∵PB＝OB，∴PB=OB=OA=r，PO=2r，∴=2，∵CD=2，∴PC=4，PD=PC+CD=6，又∵∠PCB=∠CDB+∠CBD，∠PAD=∠PACB+∠CAD，∴∠PCB=∠PAD，∵∠CPB=∠APD，∴△PCB~△PAD，∴，即，解得：r=4.即⊙O的半径为4.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得△CDE~△CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得∠CDE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得证.（2）连结OC，设⊙O的半径为r，根据圆周角定理可得∠BOC=∠BAD，由平行线的判定得OC∥AD，根据平行线所截线段成比例可得=2，从而求得PC、PD长，再根据相似三角形的判定可得△PCB~△PAD，由相似三角形的性质可得，从而求得半径.3．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1）解：，理由如下：∵四边形是平行四边形，∴∥， .∵四边形是菱形，∴∥， .∴∥， .∴ .又∵，∴≌ .∴（2）解：方法1：过点作∥，交于点，∴ .∵，∴∽ .∴ .由（1）结论知 .∴ .∴ .∵四边形为菱形，∴ .∵四边形是平行四边形，∴∥ .∴ .∵∥，∴ .∴，即 .∴是等边三角形。

中考数学一轮复习与圆有关的概念——专题培优、能力提升复习讲义(含答案)

与圆有关的概念——专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD）；直径等于半径的2倍。

4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

中考典例精选考点典例一、★★★垂径定理【例1】如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，AB ON ⊥，垂足为N ，则=ON （）A.5B.7C.9D. 11【答案】A.【解析】考点：垂径定理；勾股定理.【点睛】根据“两条辅助线（半径和边心距），一个直角三角形，两个定理（垂径定理、勾股定理）”解决即可。

【举一反三】如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为． N OBA【答案】13．【解析】试题分析：已知弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，根据垂径定理可得AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理可求得OA=13．考点：垂径定理；勾股定理.考点典例二、求边心距【例2】小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm【答案】B．【解析】考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．【举一反三】如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A. 241B. 234 C. 4 D. 3 【答案】D ．考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理.【分析】如答图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连接BF ，考点典例三、最短路线问题【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A． B．1 C． 2 D． 2【答案】A.【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=2OA=2×1=2，即PA+PB的最小值=2．故选A．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．【举一反三】如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（）A ． 6B ． 1132C ． 9D ．332 【答案】C ．【解析】考点：切线的性质；最值问题．课后能力提升自测小练习一．选择题1．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A ．4B ．2C ．23D ．43【答案】A ．【解析】考点：正多边形和圆．2. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°【答案】B．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∵∠CAB=40°，∴∠C=50°，∴∠ABD=∠C=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB=50°，∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，故选B．考点：圆周角定理；垂径定理．3.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A. 25cmB. 45cmC. 25cm或45cmD.523cm或43cm【答案】C．【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．4.已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为【】A．33B．36C．332D．362【答案】C．【解析】5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=22，则PA+PB的最小值是（）A．22 B．2 C．1 D．2【答案】D.【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．故选D ．二．填空题6. 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP =2cm ，则tan ∠OPA 的值是．【答案】53．【解析】考点：垂径定理；解直角三角形．7. 如图，⊙O 的直径CD =20cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，若OM =6cm ，则AB 的长为 cm ．【答案】16．【解析】试题分析：连接OA ，∵⊙O 的直径CD =20cm ，∴OA =10cm ，在Rt △OAM 中，由勾股定理得：A M =22106 =8cm ，∴由垂径定理得：A B =2AM =16cm ．故答案为：16．考点：垂径定理．8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE= cm．【答案】4.【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理．9.如图， AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为．【答案】3.【解析】连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可．试题解析：连接OC，∵AB 为⊙O 的直径，AB=10， ∴OC=5，∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=4， ∴OE=2222543OC CE -=-=．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．10.如图，AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O 到弦CD 的距离为．【答案】3.【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理．11.⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3【解析】试题分析：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=23，点A是⊙O上一点，且AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=3，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（3）2+OD2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．考点：1、垂径定理；2、勾股定理．。

2024年中考数学总复习高频考点培优训练七、圆

以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点，
且∠BDE＝∠A.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接OD.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO＋∠BDO＝90°.
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.
第8题图
七、圆
∵∠BDE＝∠A， ∴∠BDE＝∠ADO， ∴∠BDE＋∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE. ∵OD是⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线；
池塘周围是草地，若AC＝2 m，则小羊在草地上的最大活动区域
面积为(
A. 1 π m2
4
C.19 π m2
4
C)
B. 9 π m2
2
D. 19 π m2
2
第5题图
七、圆
6. (北师九下P103第2题改编)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B ＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长为( D ) A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 4 3
在Rt△DBC中，∵∠C＝60°，
∴CD＝
DB tan C
＝
3.
第8题图
七、圆
9. (北师九下P104第8题改编)如图，在△ABC中，以AB为直径作
⊙O，交BC于点D，交AC于点E，且BD＝CD，过点D作⊙O的
切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G.
(1)求证：DF⊥AC； (1)证明：如图，连接OD.
第3题图
七、圆
4. (北师九下P96习题3.9第3题改编)如图，PA，PB分别与⊙O相
切于点A，B，C为⊙O上一点，∠ACB＝124°，则∠P的度数为
( D) A. 62°
B. 64°

中考数学知识点过关培优训练：圆周角定理(圆)(附答案)

4.中考数学知识点过关培优训练：圆周角定理（圆）•选择题如图，AB 为O O 的直径，D 是半圆的中点，弦 CD 交 AB 于点E , Al 2BE AM L CD 于点M 1. 2. 如图，已知点 B. 4 (-6, 0), (2, C 2 7 0）,点C 在直线尸誓D. 3 - 皿齐上，则使△ ABC 是直 C. 3 D. 4则/ OBC 勺大小是（C. 130 °D. 80°OCLAB / A 」DC= 26°，则/ COB 勺度数是（A. 52B. 64C. 48D. 42A. 3角三角形的点 C 的个数为（A =50° B. 40 C如图，在O O 中,5•如图，O 0的直径AB 长为10,弦BC 长为6, ODLAC ,垂足为点 D,贝U OD 长为（7.如图，C D 是以线段AB 为直径的O O 上两点（位于 AB 两侧），CD= AD 且/ ABC= 70°,B. 5C. 4D. 36.如图，AB 为O O 的直径, CD 是O O 的弦，/ ADC= 26°，则/」CAB 的度数为（A. 26°B.74° C. 64 D. 54C. 35°D. 30°CD 是弦，连接BD OC 若/ AOC= 120°，/ D 的度数是（） C. 30° : D. 20°BC 为直径做半圆，交 AB 于点D,交AC 于点E,连接DE 若往A. 6 45°9.如图，在△ ABC 中，以边 45°=2\-- = 2 \ ；，则下列说法正确的是（A. AB= t.』=AEB. AB= 2AEC. 3 / A = 2 / CD. 5 / A = 3 / C二.填空题13.如图，O 0的半径为6 , AB 是O O 的弦，半径OCLAB D 是O O 上一点，/ CDB= 22.5 ° ,10.如图，O A 过点 0(0, 0), C (2讥,0), D （ 0, 2）,点B 是x 轴下方O A 上的一点,B. 30°C. 45°D. 60°线段AB 是O 0的直径，弦CDL AB 如果/ BOC= 70°，那么/ BAD=已知半径 0B= 6，/ BAC= 30°，贝U ,的长为连接BO BD 则/ OBD 的度数是（A. 15° 11.如图, n 的代数式表示）（用则AB=B14.如图，四边形 ABC 啲顶点都在O 0上，BC// AD, AB= AD / BOD= 160°，则/ CBO 勺度15.如图，点A B 、C 在O 0上,点D 是AB 延长线上一点，/ CBD= 75°,则/AOC=16.如图，AB 是O 0的直径，C D 为O O 上的点，若/ CAB= 20°，则/ D =17•如图，O 0的直径为2铤cm 弦AB 丄弦CD 于点E ,连接AD BC 若AD= 4cm ,贝U BC的长为 cm18•如图，在O O 中，OA 是半径，弦BCLOA D 为忒上一点，连接 OB AD CD 若/ OBC =50°，则/ ADC= _______ ° .19•如图，AB 是O O 的一条弦，P 是O O 上一动点（不与点 A, B 重合），C, D 分别是AB BP的中点•若 AB= 4，/ APB= 45°，则CD 长的最大值为 _________20.如图，AB为O O的直径，弦CDL直径AB垂足为E,连接OC BD如果/ D= 55°，那么/ DC令________ °..解答题21.如图，Rt△ ABC中，/ ACB= 90°，以AC为直径作O Q D为O O上一点，连接AD BDCD QB 且BD= AB.(1)求证：QB/ CD(2)若D为弧AC的中点，求tan / BDC22•已知AB是O Q的直径，点C, D是O Q上的点，/ A= 50°,/ B= 70°,连接DQ CQ DC(1)如图①，求/ QCD勺大小：(2)如图②，分别过点C, D作QC QD的垂线，相交于点P,连接QP交CD于点M已知O Q的半径为2,求QM及QP的长.23•如图，AB是O 0的直径，D, E为O 0上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C,使得CD= BD 连结AC交O O于点F，连接BE DE DF.(1)若/ E= 35°,求/ BDF的度数.24.如图，△ ABC中 , AB= AC以AB为直径的O O交BC于点D,交AC于点E ,过点D作DF 丄AC于点F,交AB的延长线于点G(1 )若AB= 10 , BC= 12 ,求厶DFC勺面积；(2 )若tan / C= 2 , AE= 6,求BG勺长.25.如图，AB是O O的直径，弦CDL AB垂足为E, G是弧AC上的任意一点，AG DC的延长线相交于点F.(1 )若CD= 8, BE= 2，求O O的半径；(2 )求证：/ FGC=/ AGD(3)若直径AB= 10, tan / BAO —，弧AG=弧BG 求DG的长.(2)若DF= 4 , cos / CFD=3,E是的中点，求DE的长.〔备用團)参考答案1 解：连接AC BC AD BD过B 作BHL CD于H,••• AML CD••• BH/I AM•••△ BH NA AME.AK_ AE_O-- = =2,BH BE••• AB为O O的直径，D是半圆的中点，AM L CD•••△ BCH △ ABD △ AMC!等腰直角三角形，•••设BHh CHh x,贝U AM= CM= 2x ,•BC= ■ x , AC= 2 ■ x ,•AB= { ! .x ,•D W |丄「,.门丄x,•- CD= CMDM= 3x= 6 ,•- x = 2 ,•- AM= 2x= 4 ,故选：B.2.解：如图,①当/ A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（- 6 , 4二）,② 当/ B 为直角时，过点 B 作垂线与直•-线的交点S( 2, ),3③ 若/ C 为直角，则点C 在以线段AB 为直径、AB 中点(-2,0)为圆心、4为半径的圆与直线 x = 0 时 y = 2乜■，即 Q (0, 2乜~),则 PQ= 「；4 一，过AB 中点E (- 2, 0),作EF 丄直线l 于点F,则/ EFP=Z QO R 90°,•••/ EPF=Z QPO•巫=匹即EF 2+6解得：EF = 4 ,•以线段AB 为直径、E (- 2 , 0)为圆心的圆与直线一■■恰好有一个交点. 所以直线■:上有一点C 满足/ C = 90°.综上所述,使厶ABC 是直角三角形的点 C 的个数为3 ,故选：C.在厶 BOC 中 , OB= OC / BOC= 100° ,•••/ OBC=Z OC&— (180°-/ BOC = 40 2故选：B.4•解：T OCL AB• = i ,:丄 COB= 2/ ADC= 52°.故选：A.5.解：T ODL AC••• AD= CD,的交点当 y = 0 时 x = 6,即点 P (6, 0),••• AB是O O的直径，•OA= OB•OD^ ABC的中位线，:.OD= BC= 3.2故选：D.6•解：由圆周角定理得，/ ABO Z AD& 26°,•/ AB为O O的直径，•Z ACB= 90°,•Z CAB= 90°-Z ABC= 64° ,故选：C.7.解：T AB是直径，•Z ACB= 90°,T Z ABC= 70°,•Z BAC= 20°,•/ DA= DC•Z DAC=Z DCA•••Z ADC=Z B= 70°,•Z DAC=Z DCA= 55°,•Z BAD=Z DAG-Z BAC= 35°,故选：C.&解:T Z AOC= 120°•Z BO& 180 °-Z AOC= 60 °•Z BDC= 1 Z BOC= 30°.2故选：C.9.解：• | ；=2 =2」，:丄 BO B / EO& / DOE2•// BOD/ EOC/ DOE= 180°,•••/ BOD=/ EO B 45°,/ DO B 90°,•/ OB= OD•/ OB B/ OD B 67.5 ° ,同理，/ OE B/ OC B 67.5 ° ,•/ A= 45°,••• BC为直径，•/ AEB=/ CE B 90°,•AB= 「AE 故A B 错误；3/ A= 135 ° , 2/ C= 135°,• 3 / A= 2 / C, C 正确；5/ A= 225 ° , 3/ C= 202.5 ° ,• 5 / A 3 / C, D 错误；故选：C.10•解：连接DC在Rt △ DOC中, tan / OCB——= = -0C 2^3 3则/ OC B 30°,由圆周角定理得，/ OB B/OC B 30°,11.解：•••弦CD!直径AB,•,'：,• / BA」,/ BO(B . X 70°B 35故答案为：35°.12. 解：•••/ BAC= 30°,•••/ BOC= 60°,•••0B= 6,• I的长为：'广八、=2n肌180故答案为：2 n.13. 解：•••/ CDB= 22.5 ° ,•••/ CO B= 2/ CD B= 45°,•/ OCL AB•••/ OBA=/ CO B= 45°,•••/ OAB=Z OBA= 45°,•••半径为6,•- AB= OA= 6冷',故答案为：6 T.14. 解：如图，连接BD•••/ BO= 160 ° ,— J D-.•••/ A= 100 ° •在△ ABD中,••• AB= AD•••/ ABD= 2 ADB= 40°.在厶OBE中，•/ OB= OD•••/ OB=Z BD= 10°,•/ BC// AD•-Z ABC= 180 °_Z A= 80°,•••/ CB(=Z ABC-Z ABD-Z OB= 80°- 40°- 10°= 30°15•解：在」优弧AC上取点E,连接AE CE•••/ ABC= 180 ° -Z E,Z ABC= 180°-/ CBD Z CBD 75•••/ E=Z CBD= 75°.•••Z AOC= 2 / E= 150 ° ,故答案为：150°.DE16.解：T AB为O O直径,•Z ACB= 90°,•••Z CAB= 20°,•Z B= 90°- 20°= 70°,在圆内接四边形ABCD中,Z AD= 180 ° - 70°= 110°.17.解：如图，作直径DH连接AH CH AC•/ DH是直径，•••/ DCH=Z DAH= 90°,•/ A吐CD•••/ AED=Z CDH= 90-° ,•CH/ AB•••/ CAB=Z ACH•u ，•AH= BC在Rt△ ADH中, AH=/4「V _ . . • ; = 2 (cm),•BC= AH= 2 (cm).故答案为2.18.解：如图，T BChOA / OB= 50°,•/ BO= 40°•••OA是O O的半径，弦BCLOA•/■'= r.，•/ BO= 2/ AD= 40°,•/ AD= 20°.故答案是：20.19•解：• C, D分别是AB, BP的中点• CD= AP,当AP为直径时，CD长最大，••• AP为直径，•••/ ABP= 90°,且/ APB= 45°, AB= 4,••• AP= 4 -•CD长的最大值为2 -故答案为2 720. 解：T AB丄CD•••/ CE@= 90°,•••/ D= 55°,•由圆周角定理得：/ COB= 2/BDC= 110°,•••/ DC Q/ CO B/ CEO= 20°,故答案为：20.三.解答题（共6小题）21. 解：（1）证明：连结OD延长BO交AD于点E.•/ AO= OD AB= BD OB= OB•△ABO^A DBO•••/ ABO / DBO•••/ AEB= 90°•/ AC是O O的直径•/ ADC= 90°•/ AEB=/ ADC•OB/ CD（2）T D为弧AC的中点.•/ DO G / DOA F 90°,/ DC8/ DAOt 45 ° , AD= CD •••/ ACB= 90°•OD/ BC•/ OB/ CD•四边形ODC平行四边形，•OB= CD / BDC=/ DBE•••设OE= x,贝U DE= x, OD= 「x, CD= 2xBE= x+2x = 3x/• tan / BDC= tan / DBE= —22.解：(1)v OA= OD OB= OC•••/ A=Z OD/= 50°,/ B=Z OC= 70°•••/ AO= 80°,/ BO= 40° ,•••/ CO= 180° -/AOD-/ BOC= 60°,•/ OD= OC•△ COD!等边三角形，•/ OC= 60°;(2)••• PDL OD PC±OC•/ PD=/ PC= 90°,•/ PD(=/ PC= 30° ,•PD=PC•/ OD= OC•OP垂直平分CD•••/ DO= 30° ,•/ OD= 2 ,•OMk 翠OD= - , OP^—.2 v3 23•解：(1)如图1,连接EF, BF,•/ AB是O O的直径，•/ AF*/ BFC= 90° ,•/ CD= BD•DF= BD= CD•••/ DEI BED= 35°,:丄 BE= 70°,•/ BDF= 180° -Z BEF= 110° ;(2)如图2，连接AD OE过B作BGL DE于G,•••Z CFD=Z ABD2• cos Z ABD= cos Z CFD=,在Rt △ ABD中, BD= DF= 4,•AB= 6 ,•E是,」的中点，AB是O O的直径,•Z AO= 90° ,•/ BO= OE= 3 ,•BE= 3 -,•Z BDE=Z ADE= 45° ,•GE=丨 - I「- = ^ ,•DE= DGGE= 2奇~+ \'■24•解：(1)连接AD•/ AB是O 0的直径，••• ADL BC••• AB= AC= 10,•DF L AC•/ BD= CD= 6,•/ DF L AC•••由射影定理得，CD= CF?AC•62= 10?CF•Cl 3.6 ,-：- - ；= 4.8 ,DFC的面积= CF?DF=£ >: 3.6 X 4.8 = 8.64 ;2 2(2)连接BE••• AB是O O的直径，•BE! AC•「DFL AC tan / C= 2 ,•BE// DF, DF= 2CF,•/ BD- CD•CF= EF,•BE= 2DF,设CF= EF= x,贝U DF= 2x ,• BE= 4x , AB= AC= 6+2x ,• i -， ••• A B = A E +B E ,2 2 2•••( 6+2x ) = 6 + ( 4x ), •- x = 2, x = 0 (舍去)， •-AB= 10, BE= 8,•/ BE// FG•如=座• 1, _ &• BG^—.3•/CDL AB •DE= EC= 4,在 Rt △ OEC中,••• O C = O E +E C ,解得：R = 5,(2)证明：连接AD 如图2所示:•••弦 CD± AB:丄 ADC=Z AGD•••四边形ADC (是圆内接四边形, :丄 AD &/ FGC•••/ FG &/ AGD设O O 的半径为 R1所示: • R 2=( R- 2)2+42,即O O 的半径为 5；(3)解：如图2中，连接0G 作GH L DF 于H. •/ AB= 10, tan / BAC= = 1 , AC 2B C= 2肓 f , A C= 4屮,•/ AB L CD••• DH CH !=4, AB• BE =币厂一 ’「. = 2，OE= 3， •••】「；，• OGL AB•••/G0&/OEH=Z GH &90°,•••四边形OEH 是矩形，GHh OE= 3, OG= EHh 5, DHh 9,在 Rt △ DGH 中, DO f 口 =韦泌于，—3 .图2图1。

2025年中考数学总复习培优训第23课时与圆有关的位置关系

B︵C的长.
B︵C的长为2
9
3 π.
课时对应练
14. [2024北京]如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.
(1)求证：OD∥BC；证明：如解图，连接 AC. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AC⊥BC. ∵OD 平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD， ∴A︵D＝C︵D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC.
课时对应练
5. [2023 重庆 A 卷]如图，AC 是⊙O 的切线，B 为切点，连接 OA， OC.若∠A＝30°，AB＝2 3，BC＝3，则 OC 的长度是( C ) A. 3 B. 2 3 C. 13 D. 6
课时对应练
6. [2024浙江]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为___4_0_°_____.
课时对应练
7. [2023北京]如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥ BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若 ∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为_____2_____.
课时对应练
8. [2024广东省卷]如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；
(2)若AB＝12，求线段BF的长. 线段 BF 的长为 3 2.
课时对应练
课时对应练
10. [2024大连三十四中模拟]如图，四边形ABCD 内接于⊙O， BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E， DA平分∠BDE.
课时对应练
(1)求证：AE是⊙O的切线；证明：如解图，连接OA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD. ∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA， ∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA. ∵AE⊥CD，∴OA⊥AE. 又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．

2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质

A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节圆的基本性质
【作法提示】分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在

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（2018•福建A卷）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
（12.00分）（2018•福建B卷）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
25．（10.00分）（2018•河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为
圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
23．（10.00分）（2018•恩施州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O 点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
23.（2018•荆门）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，经过点C 的切线交AB 的延长线于点E ，AD EC ⊥交EC 的延长线于点D ，AD 交O 于F ，FM AB ⊥于H ，分别交O 、AC 于M 、N ，连接MB ，BC .
（1）求证：AC 平方DAE ∠；
（2）若4cos 5
M =，1BE =，①求O 的半径；②求FN 的长.
25．（10.00分）（2018•株洲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB=8，点C 和点D 是⊙O 上关于直线AB 对称的两个点，连接OC 、AC ，且∠BOC ＜90°，直线BC 和直线AD 相交于点E ，过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ，与直线AD 相交于点G ，且∠GAF=∠GCE ．
（1）求证：直线CG 为⊙O 的切线；
（2）若点H 为线段OB 上一点，连接CH ，满足CB=CH ，
①△CBH ∽△OBC ；
②求OH +HC 的最大值．
25．（10.00分）（2018•湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO
⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长．
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
25．（10.00分）（2018•扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE ⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．。