2019届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三12月月考数学(文)试题(解析版)

2019届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三12月月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,所以,故选.2．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得，再利用复数的四则运算法则求出z的代数形式，再写出虚部。

详解：由有，则z 的虚部为，故选B.点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。

若复数，则复数的虚部为。

3．设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确； 当时，因为，而知，故不正确； 当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若()f x θ+是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（ ） A ．43π B ．76π C ．π D ．56π 【答案】B【解析】试题分析：()33f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()333f x x πθωωθ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭，由223ππω=得13ω=，由()f x θ+为偶函数得3332k πππωθθπ+=+=+，k ∈Z ，1k =时，76θπ=，故选B ． 【考点】1、三角函数的奇偶性；2、三角函数的周期性．【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于中档题．已知()()sin f x A x ωφ=+的奇偶性求φ时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）,k k z φπ=∈时，()f x sin A x ω=±是奇函数；（2）,2k k z πφπ=+∈时，()f x cos A x ω=是偶函数．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352S =，则489a a a ++= ( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】B【解析】由题，等差数列{}n a 中， ()()11371371313252,422a a a S a +===∴=则()()()489777732312a a a a d a d a d a ++=-++++== 故选B.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为半个圆锥，故其表面积，故选C ．【考点】本题主要考查三视图与空间几何体的表面积． 7．执行如图所示的程序框图，输出，则=（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9 【答案】C【解析】执行程序框图，直到不满足条件，计算S 即可得解. 【详解】 执行程序框图:；；；……；，不满足条件，结束循环，输出.所以.故选C.【点睛】本题主要考查了计算循环型结构的输出结果，注意循环的开始和结束，属于基础题.8．已知正三棱锥内接于球，三棱锥的体积为，且，则球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O 的半径为R，△ABC的边长为2a，∴∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OC=R，∴,∴，解得，∵三棱锥P-ABC的体积为，∴，解得R=2∴球的体积为V=故选：C点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，且，则函数图象的一个对称中心的坐标是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：利用函数=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性得出结论．将函数的图象向左平移个单位得到又解得，即又∴是图象的一个对称中心，故选B点晴：注意三角函数图像平移变换的两种方法，熟练掌握三角函数的图像与性质：周期，奇偶性，对称轴，对称中心，单调性，最值。

10．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算，则下列选项正确的是A．有的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】根据附表可得k=10>7.879,所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A11．设函数的定义域为，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】函数f（x）的定义域为R，f（-x）=f（x），可知函数是偶函数，f（x）=f（2-x），可知函数的对称轴为：x=1，当x∈[0，1]时，f （x ）=x 3，函数g （x ）=|cos （）|-f （x ）可知函数是偶函数，g （x ）=|cos （）|-f （x ）=0，可得|cos （）|=f （x ），在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos （）|，y=f （x ）的图象如图：函数在区间 上的零点的和为：0．函数在时，两个函数的交点关于x=1对称，零点有3个，零点的和为：3． 故选：B ．点睛：本题考查函数与方程的综合应用，抽象函数以及数形结合思想方法的应用，考查作图能力以及计算能力，函数零点的问题都转化为两个函数图像的交点问题，数形结合的思想是本题要考查的关键.12．已知函数f(x)＝x2＋ax 的图象在点A(0，f(0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为Sn ，则S20的值为( )A ．325462B ．1920C ．119256D ．20102011【答案】A【解析】因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a ，又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2， 所以f (x )＝x 2＋2x ， 所以()211111222f n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以：20111111111232435202211113251.222122462S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=⨯+--= ⎪⎝⎭本题选择A 选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， P 、A 、B 三点共线，且32016OP a OA a OB =+，则2018S =__________．【答案】1009【解析】因为,,P A B 三点共线，且32016OP a OA a OB =+，所以320161a a +=，即120181a a +=所以2018S =()12018201810092a a +=故答案为1009.14．已知变量，满足，则的最大值为__________．【答案】12【解析】画出表示的可行域，如图，由，可得平移直线，由图知，当直线经过点，直线在以轴上截距最小，此时最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___.【答案】；【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故.【点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算,考查利用分割法求几何体的体积,考查了方程的思想,考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体为正四面体,由于正四面体的棱长给出,所以可以计算出正四面体的体积,根据等体积法求得的一个等式,再利用基本不等式求得最小值.16．过原点作圆的两条切线，切点分别为，，则线段的长为 ． 【答案】【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B Ca b c+=. (1)求tan C 的值；(2)若2228a b c +-=，求ABC 的面积.【答案】(1)12；(2)1. 【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理边化角可得sinA sinB cosC sinA sinB sinC +=，整理计算有12tanC =. (2)结合已知条件计算可得222822a b c cosC ab ab +-==，则4ab cosC =，三角形的面积1212ABCSabsinC tanC ===. 试题解析： (1)∵sinA sinB cosC a b c +=，由正弦定理得sinA sinB cosC sinA sinB sinC +=，∴12tanC =. (2)由2228a b c +-=，得222822a b c cosC ab ab+-==，∴4ab cosC =，∴1142122ABCSabsinC sinC tanC cosC==⨯⨯==. 18．如图，在三棱柱中，，，侧面底面.（1）求证：平面；（2）若，，，求棱柱的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)先证明A ⊥B, CB⊥A 再证明AB 1⊥平面A 1BC.(2)利用割补法求棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积. 【详解】（1）证明：在侧面AB 中,因为A=AB, 所以四边形AB 为菱形，所以对角线A ⊥B,因为侧面AB ⊥底面ABC,∠ABC=90， 所以CB⊥侧面AB ，因为AB1⊂平面AB内,所以CB⊥A又因为B∩BC=B，所以A⊥平面BC.（2）由勾股定理得AB=4，由菱形A1ABB1中∠A1AB=60°，得△A1AB为正三角形，易得出A1B=4，AB1=,菱形A1ABB1的面积为0.5 |A1B|| AB1|=,由（1）可知CB⊥侧面A1ABB1所以棱柱ABC-A1B1C1的体积为【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间转化分析能力.(2)求几何体的体积常用的方法有公式法、割补法和体积变换法.19．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有7辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次性购进70辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).【答案】（1）；（2）①；②元【解析】（1）利用等可能事件概率计算公式，能求出一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）①由统计数据可知，该销售商店内的7辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为，，5辆非事故车，设为，，，.利用列举法求出从7辆车中随机挑选两辆车的基本事件总和其中两辆车恰好有一辆事故车包含的基本事件个数，由此能求出该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率，②由统计数据可知，该销售商一次购进70辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车20辆，非事故车50辆，由此能求出一辆车盈利的平均值.【详解】（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为（2）①由统计数据可知，该销售商店内的7辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为，，5辆非事故车，设为，，，.从7辆车中随机挑选2辆车的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有，，，，，，，，共10种，所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆事故车的概率为.②由统计数据可知，该销售商一次购进70辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车20辆，非事故车50辆，所以一辆车盈利的平均值为(元)．【点睛】本题考查分用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．20．已知椭圆：过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ），是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一个点，求面积取得最大值时直线的方程.【答案】(1) 椭圆方程为;(2)面积取得最大值时直线的方程应该是.【解析】试题分析：(1)由条件布列关于的方程组，得到椭圆的方程；（2）设：，分类，联立方程，利用根与系数关系表示面积，，然后利用均值不等式求最值.试题解析：（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题知直线的斜率存在，不妨设为，则：.若时，直线的方程为，的方程为，易求得，，此时.若时，则直线：.圆心到直线的距离为.直线被圆截得的弦长为.由，得，故.所以.当时上式等号成立.因为，所以面积取得最大值时直线的方程应该是.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 21．已知函数()2(+1)ln f x a x x =+．(1) 当0a ≥时，解关于x 的不等式()2f x a >；(2) 若对任意()42a ∈--，及[]1,3x ∈时，恒有()2ma f x a ->成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {}1x x (2) 2m ≤-【解析】试题分析：（Ⅰ）因为()12f a =，所以不等式等价于()()1f x f >，先利用导数研究函数()()21ln f x a x x =++单调性：在()0+∞，上是增函数，所以1x >（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，而对双变量问题，先确定一变量，本题先看作[]13x ∈，不等式恒成立问题，等价于()2max ma a f x ->，而利用导数易得()f x 在[]13，上是减函数，所以()212ma a f a ->=，即2m a <+，最后根据()42a ∈--，恒成立得()()min min 2,22m a a ++-因此2m ≤-试题解析：解：（1）()2121'2(0)ax f x ax x x x+=+=>， 当0a ≥时，恒有()'0f x >，则()f x 在()0+∞，上是增函数， 又()12f a =，∴()2f x a >化为()()1f x f >，∴1x >.………………4分 （2）由题意知对任意()42a ∈--，及[]13x ∈，时， 恒有()2ma f x a ->成立，等价于()2max ma a f x ->，当()42a ∈--，时，由()221'0ax f x x +=≤得x ≥因为()42a ∈--，，所以1142<<<， 从而()f x 在[]13，上是减函数，所以()()max 12f x f a ==，所以22ma a a ->，即2m a <+， 因为()42a ∈--，，所以220a-<+<，所以实数m 的取值范围为2m ≤-.………………12分【考点】利用导数解不等式，利用导数研究不等式恒成立 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 22．在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），直线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线和直线的极坐标方程； （2）点在直线上，射线交曲线于点，点在射线上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1) ， (2)【解析】分析：（1）利用极坐标与直角坐标之间的关系进行转化；（2）设出Q 点极坐标，利用找出轨迹方程，详解：（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.（2）设点的极坐标为，易知，，故代入，得，即，所以点的轨迹的直角坐标方程为.点晴：注意极坐标和直角坐标之间的关系，及相互之间如何转化是关键23．已知函数．（1）解不等式.（2）若且恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【试题分析】(1)将原不等式化为,利用零点分段法去绝对值,将函数转化为分段函数来求解得不等式的解集.(2)构造函数,利用零点分段法去绝对值,求得的最大值,这个最大值小于,由此解得的取值范围.【试题解析】（1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即．．。