2020年考研数学三真题及答案
2020考研数学(三)真题(含解析)
，
而 cos f '(x) cos f '(x) ，故 cos f '(x) 也为偶函数，故 cos f '(x) f (x) 为非奇非偶函数。
(4) 已知幂级数 nan (x 2)n 的收敛区间为(−2,6) ，则 an (x 1)2n 的收敛区间为
n1
n1
(A).(-2,6) (B).(-3,1) (C).(-5,3) (D).(-17,15)
（C） x k11 k23 k34
【答案】 C
（D） x k12 k23 k34
4
(5)设 4 阶矩阵 A (aij ) 不可逆， a12 的代数余子式 A12 0 ，1,2,3,4 是矩阵 A 的列向量组， A*为
A 的伴随矩阵，则 A* x 0 的通解为（
）
（A） x k11 k22 k33
（B） x k11 k22 k34
f ( x)a f ( x) a
ua u a
【解析二】由拉格朗日中值公式得 sin f (x) sin a ( f (x) a)cos ，其中 介于 a 与 f (x) 之间，
由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，故 lim a ，
）
xa x a
xa
xa
（A） bsin a （B） bcos a （A） bsin f (a) （A） bcos f (a)
【答案】B
【解析一】由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，
xa x a
2021年至2023年全国考研数学真题(附解析答案)
2023年全国硕士研究生招生考试考研（数学三）真题及详解1．已知函数f 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．∂∂x f0,1)(不存在，∂∂y f 0,1)(存在B ．∂∂x f0,1)(存在，∂∂y f 0,1)(不存在C ．∂∂x f0,1)(，∂∂y f 0,1)(均存在D ．∂∂x f0,1)(，∂∂yf 0,1)(均不存在2．函数x ≤0)⎩(x +1cos x ,x >0f (x )=的原函数为（）。
A． ⎪≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln ,0B．⎪+≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln 1,0C．⎪+≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln ,0D．⎪++≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln 1,0）。
3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0n ＝1，2，…），若级数∑∞n =1a n 与∑∞n =1bn均收敛，则“级数∑∞n =1an绝对收敛”是“∑∞bnn =14．已知a n ＜b n（绝对收敛”的（）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则⎝⎭⎪⎛⎫O B A E *＝（）。
A ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A B B A OB A ****B ．⎝⎭⎪⎪-⎛⎫B A A B O A B ****C ． ⎝⎭ ⎪ ⎪-⎛⎫B A B A OA B ****D ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A BA B OB A ****x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。
2020年考研数学三真题及答案解析
设 k1(α1 α2 ) k2α2 0 ，即 k1α1 (k1 k2 )α2 0 ，
由于 α1, α2 线性无关，故 k1 k2 0 可知 α1 α2 , α2 线性无关.
α3 是 A 属于特征值 1的特征向量，即 Aα3 α3 ，因此 A(α3) (α3 ) ，即 α3 也是 A 属于特征值 1的特征向量
1 0 0
属于特征值
1的特征向量，则满足
P 1 AP
=
0
1
0
的可逆矩阵
P
为
（
）
0 0 1
（A） α1 α3, α2 , α3 .
（B） α1 α2 , α2, α3 .
（C） α1 α3, α3, α2 .
（D） α1 α2 , α3, α2 .
（6）【答案】（D）.
【解析】α1, α2 是 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量，即 Aα1 α1, Aα2 α2 ， 故 A(α1 α2 ) α1 α2 ，即 α α2 也是 A 属于特征值 1 的特征向量.
（D） x k1α2 k2α3 k3α4 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数.
（5）【答案】（C）.
【解析】由 A 不可逆知， r A 4 ，又元素 a12 对应的代数余子式 A12 0 ，故 r A 3 ，从而 r A 3 .
n, r A n,
由 r A* 1, r A n 1, 可知 r A* 1.
xa
xa
xa
xa
xa
b lim cos b cos a. a
故应选（B）.
1
（2）若 f x e x1 ln 1 x , 则 f x 第二类间断点的个数为
ex 1 x 2
2020考研数学三真题及答案解析
(11)设产量为 Q ，单价为 P ,厂商成本函数为 C(Q=) 100 +13Q ，需求函数为 Q= (P) 800 − 2 ，
P+3
求厂商取得最大利润时的产量
【答案】 Q = 8
【解析】由 Q= (P) 800 − 2 可知=P 800 − 3 ，则利润函数为
P+3
Q+2
L(Q)=
800 Q+2
在 x = 2 处， lim f (x) = −∞ ， lim f (x)= +∞ ；
x→2−
x→2+
所以，第二类间断点为 3 个。
(3) 对奇函数 f (x) 在 (−∞, + ∞) 上有连续导数，则( )
(A).
x
∫0
[cos
f
(t) +
f
′(t )] dt
是奇函数
(B).
x
∫0
[cos
f
(t) +
(6)设 A 为 3 阶矩阵，α1,α2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，α3 为 A 的特
1 0 0
征值 −1的特征向量。若存在可逆矩阵 P ，使得 P−1= AP
0
−1
0
，则
P
可为（
）
0 0 1
（A） (α1 + α3, α2 , −α3)
（B） (α1 + α2 , α2 , −α3 )
4
则 lim an+1 (x + 1)2n = 1 (x + 1)2 < 1 ，即 −3 < x < 1
a n→∞ n
4
所以本题选 B 。
2020考研数学三真题及答案,最新数学考研真题
2020年全国硕士研究生招生考试数学三答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．J(x)-a(l)设lim=b, 则limsinf(x)-sin aX ➔ a x-aX ➔ a x-a(A)bsina 【答案】(B)(B)bcosa(C)bs inf (a)(D)bc osf (a)【解析】因为limf(x )-a、=b ,即lim f x =a , （） x-+a -a •'4"（）故Jim s i n .f ()-s i n a = J im s in / (x)-s i n a (: 生匕:)=b l i m s in f()一si n a =b li m sin t -s i na =bc osa X->a X -a X->a f () -a -a .<->a f ()-a t ->a t -a 1下lnl1+xi(2)函数f(x)=产e x-l)(x-2的第二类间断点的个数为(A)l【答案](C)【解析】题目中八）X =(B)2(C)3I产lnj l+x(e x-l)(-2)中，IIimf() e 言l n (l+x)e -'x 1 x =lun =—l i m-=, ,Y➔ 0 .T ➔。
(e 入•-l )(x -2)-2• ➔ o x -2e II(D)4产lnll + xie 言!ni l +II lim f() = l i m = liln =oo,X--+I 呻入．➔I 令(e x -l )(-2)己1-(e -t )(t-2)IIlimf()产l n l l +x 产l n j l +21 x = hm = lim = oo , X->2 X 一）1 (矿-l )(-2)•丑(e 2-1)(X -2)IJim /{x)= lim 产Lnl l+xiX-+-1 X ➔ -1 (e x-1) { -2)＝中．故选(C)(3)设奇函数f(x)在(-oo,+ro )上具有连续导数，则(A)f [co寸(t)+f'(t)]dt是奇函数。
2020年考研数学(三)真题(后附解析答案)
2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)设1口心—°= b,则lim sinfQ)—sina=().x-^a x——a x-*a3C——a(A)6sin a(B)6cos a(C)6sin/(a)iIn I14-rr I(2)函数心)=二的第二类间断点的个数为((e—1)(j?—2)(A)l(B)2(03(3)设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则().(A)f[cos/"(/)+/^(Olldr是奇函数J0(E)「[cos/(i)+/(O]d^是偶函数J0(C)[[cos/"'(/)+y(t)]d/是奇函数J0(D)「[cos是偶函数J0(D)bcos/(a) ).(D)4(4)设幕级数—2)"的收敛区间为(一2,6),则工a”Q+l)2n的收敛区间为().n=\n=1(A)(-2,6)(B)(-3,l)(0(-5,3)(D)(-17,15)(5)设4阶矩阵A=(a“)不可逆,a*的代数余子式A12丰O,aj,a2,a3,a,为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A*X=0的通解为().(A)X=^1a1+^2a2+^3a3,其中k x,k2,k.为任意常数(B)X=^1a1+k2a2+k3a4,其中k,,k2,k3为任意常数(C)X=bS+展as+匕。
4,其中紅,k2,k3为任意常数(D)X=k i a2k2a3+怂。
4,其中ki,k2^k3为任意常数(6)设A为3阶矩阵,a】，a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as为A的属于特征I1°°\值一1的特征向量，则满足P_1AP=0-10的可逆矩阵卩为().'o01'(A)(a j a3,a2,—a3)(B)(a〕+ct2，a2，—a3)(C)(a1+a3,—a3,a2)(D)(a T+a2»—a3,a2)(7)设A,B,C为三个随机事件，且PC A)=P(£)=P(C)=±,P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=2，412则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为().3215(A)Z(B)T(C)7(D)12(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4；-，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X相互独立的是().(A)啤(X+Y)(B)尝(X—丫)55(C)y(X+Y)(D)y(X-Y)二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)(9)设z=arctanRy+sin(z+了)],贝0dz|(0,…)=______.(10)曲线jc y+e2iy=0在点(0,—1)处的切线方程为________.(H)设某厂家生产某产品的产量为<2,成本C(Q)=100+13Q,该产品的单价为/,需求量—2,则该厂家获得最大利润时的产量为(12)设平面区域。
2020考研数学三真题及解析
2020考研数学三真题及解析一、选择题：1~8 小题，第小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设()sin ()sin lim,limx x f x a f x ab x a x a→∞→∞--=--则A.sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D.cos ()b f a 答案：B解析：sin ()sin [()]limlim cos cos .x a x a f x a f x a b a x a x aξ→→--==--（其中ξ介于()f x 与a 之间）∴选B2.()()11ln |1|()12x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点111110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222x x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1122ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim 0(1)(2)x x x x e x f x e x ---→→+==--1111ln |1|lim ()lim (1)(2)x x x x e x f x e x ++-→→+==∞--1x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→-→-+==∞--1x =-为第二类间断点3.设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，则A.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是奇函数B.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是偶函数C.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是奇函数D.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是偶函数答案：A 解析：()[cos ()()]d xF x f t f t t'=+⎰()cos ()()F x f x f x ''=+由()f x 为奇函数知，()f x '为偶函数.cos ()f x 为偶函数.故()F x '为偶函数.()F x 为奇数∴选A4.设幂级数1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为（-2，6），则21(1)nnn a x ∞=+∑的收敛区间为A.（-2，6）B.（-3，1）C.（-5，3）D.（-17，15）答案：B 解析：由于1111(1)11limlim 4n n n n n nn a a na a R ρ++→∞→∞+====12121lim4.4n n na R a ρρ+→∞===∴= 22R '∴==，故所求收敛域为（-3，1），∴选B.5.设4阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则*0A x =的通解为A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++答案：C 解析：∵A 不可逆∴|A |=0∵120A ≠∴()3r A =∴*()1r A =∴*0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0A A A E ==∴A 的每一列都是*0A x =的解又∵120A ≠∴134,,ααα线性无关∴*0A x =的通解为112334x k k k ααα=++，故选C.6.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，则1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的可逆矩阵P 为A.1323(,,)αααα+-B.1223(,,)αααα+-C.1332(,,)αααα+-D.1232(,,)αααα+-答案：D解析：1122,A A αααα==33A αα=-1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭P ∴的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.α-1232(,,)P αααα∴=+-∴选D7.设,,A B C 为三个随机事件,且1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,()P AC =1()12P BC =,则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为A.34 B.23C.12D.512答案：D 解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ==-()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=--+=()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=--+=()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=--+=()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是 A.5()5X Y + B.5()5X Y -C.()3X Y +D.()3X Y -答案：C解析：[]12()cov(,)333D X Y DX DY X Y ⎤+=++⎥⎣⎦[]123352133()03()~(0,1).3DX DY E X Y X Y N =++=-=⎤+=⎥⎣⎦+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定的位置上9.设arctan[sin()],z xy x y =++则(0,)d |z π=________.解析：d d d z z z x y x x∂∂=+∂∂2(0,π)1[cos()],π11[sin()]z z y x y x xy x y x ∂∂=++=-∂+++∂2(0,π)1[cos()],11[sin()]z z x x y y xy x y y∂∂=++=-∂+++∂∴(0,π)(π1)d d zx y x ∂=--∂10.曲线2e 0xyx y ++=在点（0，-1）处的切线方程为________.解析：21(22)0xy y e y xy ''+++=①将0,1x y ==-代入①得1.y k '==11(0)1.y x y x ∴+=-=-即11.Q 表示产量，成本()10013C Q Q =+，单价p ，需求量800() 2.3Q P P =-+则工厂取得利润最大时的产量为______.解析：()L QP C Q =-8003100132800161002Q QQ Q Q Q ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭=--+22160016(2)()0(2)8Q L Q Q Q -+'==+∴=12.设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，则D 绕y 轴旋转所成旋转体体积为______.解析：11222102x dy x dyππ+⎰⎰1122102121312014141ln 32411ln 23821ln 23y dy dyy y y πππππππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰13.行列式01101111011a a a a --=--________.解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.0a a a a a a a aaa a a a a aa aaaa a a aa a a----=----+-+-==----=--=-14.随机变量X 的概率分布1{},1,2,32kP X k k Y ===…，表示X 被3除的余数，则()E Y =______.解析：{0}{3,1,2.}P Y P X k k ====L 3101{1}{31,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 321{2}{32,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 313211()1222k k k k E Y ∞∞++===⋅+⋅∑∑111111221188=+--87=三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b 为常数，11e nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭与a b n ，当n →∞时为等价无穷小，求,a b .15.【解】1ln 11ln 112111e 11lim lim [e e]1lim e[e 1]11lim e ln 11111lim e 1211lim e 2nn a n n n an an n a n a n a n n n b b n n b n n b n n n b n n n b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞→∞→∞-→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-=⋅⋅-⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭10a ∴-=1e 112a b ⎛⎫∴=⋅-= ⎪⎝⎭e 2b =-16.求二元函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值解析：.求一阶导可得22324fx y x fy x y∂=-∂∂=-∂令100601012f x x x f y y y∂⎧⎧==⎪⎪=⎧∂⎪⎪⎨⎨⎨∂=⎩⎪⎪==⎪∂⎪⎩⎩可得求二阶导可得2222226148f f fx y x x y y ∂∂∂==-=∂∂∂当0,00. 1.0x y A B C -====-=时.20AC B -<故不是极值.当11612x y ==时1. 1. 4.A B C ==-=2110.10,612AC B A ⎛⎫->=> ⎪⎝⎭故且极小值极小值33111111,8661261212216f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.若250,(0)1,(0)1y y y f f ''''++===-，则（1）求()f x （2）()d n n a f x x π+∞=⎰,求1nni a =∑解析：（1）250y y y '''++=的特征方程为2250r r ++=∴1212r i⋅=-±∴12()e (cos 2sin 2)xy x c x c x -=+1212()e (cos 2sin 2)e (2sin 22cos 2)x x y x c x c x c x c x --'=-++-+∵(0)1,(0)1y y '==-∴121,0c c ==∴()ecos 2xy x x-=（2）()d e cos 2d x n n n a f x x x xππ+∞+∞-==⎰⎰cos 2d e cos 2e e d cos 2e 2e sin 2d e 2sin 2d e e 2sin 2e 2e cos 2d 5e 1e 5x x x n n n n x n n x n n x x n n n nn n x x x x x x x x x a a ππππππππππππ+∞+∞+∞---+∞--+∞--+∞+∞-----=-=-⋅+=--=-+=-+-+∴=-∴=-⎰⎰⎰⎰⎰211[e e e ]51e [1e ]51e 11e 5e 1n n i i n n aππππππππ---=----=-+++-=-⋅--=-⋅-∑…18.21(,)(,)d d x Df x y y x f x y x y -=+⎰⎰其中221(,)0x y D x y y ⎧⎫+≤⎪⎪=⎨⎬≥⎪⎪⎩⎭求(,)d Dxf x y σ⎰⎰解析：积分区域D 如图：2(,)1(,)d d Df x y y x x f x y x y =-+⎰⎰两边积分得2(,)d d 1d d (,)d d d d D DD D f x y x y y x x y f x y x y x x y =-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21122001d d 2d 1d x D y x x y x y x y--=-⎰⎰⎰⎰1220121(1)d 2x x x =-⋅-⎰31220(1)d x x =-⎰42031πsin cos d 422x t t t π==⋅⋅⎰3π16=d d 0Dx x y =⎰⎰所以3π(,)d d 16D f x y x y =⎰⎰3π(,)16f x y x =+从而23π(,)d d d d d 16D D Dxf x y x y x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23πd d 16Dx x y =⎰⎰12003πd d 16x y =⎰13π16x x =⎰22203πsin sin cos d 16x t t t t π=⎰22203πsin (1sin )d 16t t t π=-⎰3π1π31π1622422⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭3π256=19.()f x 在[0,2]上具有连续导数，max{|()|},[0,2]M f x x =∈（1）证[0,2]|()|M f ξξ'∃∈≤（2）若[0,2]|()|0x f x M M '∀∈≤=则解析：证明：（1）由max{|()|}[0,2]M f x x =∈，知存在[0,2]c ∈，使|()|f c M =，若[0,1]c ∈由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c ξ∈，使()(0)()()f c f f c f c c ξ-'==从而|()||()|f c M f M c cξ'==≥若(1,2]c ∈，同理存在(,2)c ξ∈使(2)()()()22f f c f c f c c ξ--'==--从而|()||()|22f c M f M c c ξ'==≥--综上，存在(0,2)ξ∈，使|()|f M ξ'≥.（2）若0M >，则0,2.c ≠由(0)(2)0f f ==及罗尔定理知，存在(0,2)η∈，使()0,f η'=当(0,]c η∈时，00()(0)()d |()||()(0)||()|d ,cc f c f f x x M f c f c f f x x Mc '-='==-≤<⎰⎰又2(2)()()d c f f c f x x'-=⎰2|()||(2)()||()|(2)c M f c f f c f x dx M c '==-≤≤-⎰于是2(2)2M Mc M c M <+-=矛盾.故0.M =20.设二次型22121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++，其中a b ≥.（1）求,a b 的值.（2）求正交矩阵Q .解析：（1）设1-22==-242a A B b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由题意可知T 1.Q AQ Q AQ B -==∴A 合同相似于B∴144a ba b ab +=+⎧≥⎨=⎩∴ 4.1a b ==（2）212||524E A λλλλλ--==--∴A 的特征值为0，5当0λ=时，解(0)0E A x -=.得基础解为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当5λ=时，解(5)0E A x -=得基础解为212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦又B 的特征值也为0，5当0λ=时，解(0)0E B x -=得1212βα⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，解(5)0E B x -=得2121βα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦对12,αα单位化111222||||αγααγα====令112221[,],[,]Q Q γγγγ==则T T 11220005Q AQ Q BQ ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦故T T2112Q Q AQ Q B=可令T 1243553455Q Q Q =⎤⎥⎥=⎥⎥⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦21.设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.（1）证明P 为可逆矩阵（2）若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.解析：(1)0.A ααλα≠≠且故.A αα与线性无关则(,)2r A αα=则P 可逆.21(,)(,)06()1106.11AP A A A A x A P AP ααααα-==⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭故(2)由260A A ααα+-=设2(6)0(3)(2)0A A E A E A E αα+-=+-=由20(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0A E A E +=-=或若|(3)|0(2)02A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾|3|0|2|0A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为123 2.λλ=-=A 有2个不同特征值故A α相似对角化22.二维随机变量(,)X Y在{(,)0D x y y =<<上服从均匀分布11000X Y Z X Y ->⎧=⎨-≤⎩ ，21000X Y Z X Y +>⎧=⎨+≤⎩ （1）求12(,)Z Z 联合分布（2）12Z Z ρ解析：（1）(,)x y服从均匀分布则2,0(,)0,y f x y π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他则121{0,0}{,}4P Z Z P X Y X Y ===≤≤-=121{0,1}{,}2P Z Z P X Y Y X ===≤>-=12{1,0}{,}0P Z Z P X Y X Y ===>≤-=121{1,1}{;}4P Z Z P X Y X Y ===>>-=（2）12,Z Z的相关系数ρ=1113116444.3316=-⋅==23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为1e,0,()0,.mt t F t θ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其他其中m θ,为参数且大于零.（1）求概率{}P T t >与{|}P T S t T S >+>，其中0,0S t >>.（2）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,n t t t …，若m 已知，求θ的最大似然估计值ˆθ.解析：（1）{}1()m t P T t F t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=-={}{}mt P T s t T s P T t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+>=>=(2)1.,0()()0t m m m m t e t f t F t else θθ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⎧⎪≥'==⎨⎪⎩ 似然函数()1()n i i L f t θθ==∏，()11100n m m i i t m n mn n i m t t e t else θθ-=---⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩ 当120,0,,0n t t t ≥≥≥ 时()111()nm mi i t m n mn n L m t t e θθθ-=---∑= 取对数11ln ()ln ln (1)ln n nm mi i i i L n m mn m t t θθθ-===-++-∑∑求导数(1)1ln ()n m m i i d L mn m t d θθθθ-+==-+∑令ln ()0d L d θθ=解得θ=所以θ的最大似然估计值θ。
2020年考研数学三真题及答案解析
考研数学三真题 一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则For personal use only in study and research; not for commercial useA 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是For personal use only in study and research; not for commercial useA 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x)For personal use only in study and research; not for commercial useCf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sFor personal use only in study and research; not for commercial useC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111 For personal use only in study and research; not for commercial useC ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.For personal use only in study and research; not for commercial use9.10.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题11.For personal use only in study and research; not for commercial use 12.13.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy14.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________15.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________16.For personal use only in study and research; not for commercial use 17.18.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________ 19.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A20.For personal use only in study and research; not for commercial use 21. 22.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
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选择题
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பைடு நூலகம்第4题：
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填空题
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第13题：
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解答题
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第18题：
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第19题：
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第20题：
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第21题：
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