东北师大附中2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5-16 椭圆与双曲线的对偶性质复习小结教案
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.5第16课时 椭圆与双曲线的对偶性质复习小结教案 理 新人教A版选修21
课题：椭圆与双曲线的对偶性质--（实验班）椭 圆课时：16 课型：复习课1. 椭圆在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点(除长轴端点)12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴且不过原点的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
吉林省东北师大附中高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.307 双曲线第二定义教案 新人教A版选修21
课题:双曲线第二定义（实验班）课时：07 课型：新授课 教学目标：1．知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
2．能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。
教学重点：双曲线的第二定义 教学难点：双曲线的第二定义及应用. 教学方法：类比法（类比椭圆的第二定义） 教学过程： 一、复习引入：1、 （1）、双曲线的定义：平面上到两定点21F F 、距离之差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.定点21F F 、叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
(2)、双曲线的标准方程：焦点在x 轴：12222=-by a x )0,0(>>b a 焦点在y 轴：22221y x a b -= )0,0(>>b a 其中222c b a =+2、 对于焦点在x 轴上的双曲线的有关性质：（1）、焦点：F 1(-c,0),F 2(c,0)；(2)、渐近线:x a b y ±=；（3）、离心率：ac e =>1 3、本课我们来学习双曲线的另一定义。
（板书课题：双曲线第二定义） 二、新课教学：1、引例(课本P 64例6)：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线16:5l x =的距离之比是常数54,求点M 的轨迹方程.分析：利用求轨迹方程的方法。
解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M|||54MF d =}, 即54= 221169x y -=化简得所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线16:5l x =为2a x c =,常数为离心率ace =>1. [提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线2:a l x c =的距离之比是常数1ce a=>,求点M 的轨迹方程。
东北师大附中2016年高二数学下学期期末试题
.精选文档 .东北师大附中2016 年高二数学放学期期末试题2015---2016学年（高二）年级上学期期末考试（理科）数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每题 5 分，在每题中，只有一项为哪一项切合题目要求的）（1）已知会合 , 则（ A）（B）（）（ D）（2）已知复数，则实数（A）（ B）（）（D）（3）将点的极坐标化成直角坐标为（A）（ B）（）（D）（4）在同一平面的直角坐标系中，直线经过伸缩变换后，获得的直线方程为（A）（B）（）（ D）（5）如图，曲线和围成几何图形的面积是次抽（A）（B）（）（ D）（6） 10 件产品中有 3 件次品，不放回的抽取1 件，在已知第 1 次抽出的是次品的条件下，第2 件，每2 次抽到仍为次品的概率为（A）（B）（）（D）（7）以下说法中，正确说法的个数是① 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；② “ ” 是“ ” 的充足不用要条件；③会合，，若，则实数的全部可能取值组成的会合为（A）0 （B）1 （）2 （D）3（8）设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第次初次测到正品，则等于（A）（B）（）（D）（9）在 10 件产品中，有 3 件一等品， 7 件二等品，从这10 件产品中任取 3 件，则拿出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（A）（ B）（）（D）（10）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（A）（ B）（）（D）（11）函数的大概图象为（A）（ B）（）（D）（12）已知曲线：上一点，曲线 : 上一点，当时，关于随意，都有恒成立，则的最小值为(A)1 (B) () (D)二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共20 分）13．已知随机变量听从正态散布，，则的值为．14．若函数在处取极值，则．15．如图的三角形数阵中，知足：（1）第 1 行的数为 1；（2）第 n（ n≥ 2) 行首尾两数均为 n，其他的数都等于它肩上的两个数相加．则第 10 行中第 2 个数是 ________.16．在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和 , 则的值是．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必需的字说明、证明过程及演算步骤）17．（本小题满分10 分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，直线过点（0,2 ）且倾斜角为．( Ⅰ) 求圆的一般方程及直线的参数方程；( Ⅱ) 设直线与圆交于，两点，求弦的长．18．（本小题满分12 分）.精选文档.在直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出直线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的值．19．（本小题满分12 分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标区分为：指标大于或许等于为正品，小于为次品，现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计以下：测试指标元件甲元件乙（Ⅰ）试分别预计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记为生产 1 件甲和 1 件乙所得的正品数，求随机变量的散布列和数学希望．20．（本小题满分12 分）设函数．（Ⅰ）当时，求函数的单一区间；（Ⅱ）若对都有成立，求的取值范围．21．（本小题满分12 分）为认识家用轿车在高速公路上的车速状况，交通部门随机选用了 100 名家用轿车驾驶员进行检查，获得其在高速公路上行驶时的均匀车速状况为：在55 名男性驾驶员中，平均车速超出的有40 人，不超出的有15 人，在45 名女性驾驶员中，均匀车速超出的20 人，不超出的有25 人．（Ⅰ）依据检查数据，达成以下列联表，并判断能否有 99.5%的掌握以为“车速与性别相关” ，说明原因；（Ⅱ）以上述样本数据预计整体，且视频次为概率，若从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车均匀车速超出且为男性驾驶员的车辆数为，求随机变量的散布列和数学希望．参照公式：，此中 .参照数据：共计男性驾驶员女性驾驶员共计 10022．（此题满分12 分）已知函数．（Ⅰ）若函数在上是单一递加函数，务实数的取值范围；（Ⅱ）若，对随意，不等式恒成立，求的最小值．2015---2016学年（高二）年级上学期期末考试（理科）数学试卷答案一、选择题： DBB AB D二、填空题： 13. 0.3 14. 2 15. 46 16. 43三、解答题：17. (10分)( Ⅰ) 圆的一般方程为，直线的参数方程为,( Ⅱ) 依题意，直线的直角坐标方程为圆心到直线 l 的距离18. (12分)解：（Ⅰ），（Ⅱ）把代入中，整理得，设A,B对应的参数分别为由韦达定理由得几何意义可知，.19. (12分)解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：元件乙为正品的概率约为：（Ⅱ）随机变量的全部取值为0，1， 2，；；因此随机变量的散布列为：X012P因此：20. (12分)解：（Ⅰ）定义域为当时，，当时，；当时，；当时，，∴ 的单一增区间为，，单一减区间为．（Ⅱ）即在区间上恒成立，令，故当时，单一递减，当时，单一递加，时，，即.21. (12分)超出不超出共计男性驾驶员401555女性驾驶员202545共计 6040100解：（Ⅰ），因此有 99.5% 以上的掌握以为“车速与性别相关”．（Ⅱ）由已知得“均匀车速超出且为男性驾驶员”的概率为，而且～，因此，其散布列以下0123因此，．22.(12分)（Ⅰ）∵在上是增函数，∴ 恒成立，因此只要（Ⅱ）由于，由（Ⅰ）知，函数在上单一递加，不如设，则，可化为，设，则．因此为上的减函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，设，因此，因，因此，因此函数在上是增函数，因此（当且仅当时等号成立）．因此．即的最小值为．。
吉林省东北师大附中高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.410 抛物线的几何性质教案 新人教A版选修21
课题：抛物线的几何性质课时：10课型：新授课知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力复习与引入过程1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p ＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质（2）新课讲授过程（i）抛物线的几何性质通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了（ii）例题讲解与引申．例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，小结：在抛物线几何性质中，有很多重要的结论：如果过焦点F做直线，就出现了焦点弦的问题，那么焦点弦会有哪些性质呢？不妨从本题中探究一下。
2015-2016学年吉林东北师大附中高二数学教案：第二章 圆锥曲线与方程 2.5~16复习小结(人教A版选修2-1)
课题：椭圆与双曲线的对偶性质--（实验班）椭 圆课时：16 课型：复习课1. 椭圆在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点(除长轴端点)12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴且不过原点的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
2015-2016学年吉林东北师大附中高二数学教案：第二章 圆锥曲线与方程 2.3~08(人教A版选修2-1)
课题： 双曲线的简单几何性质课时：08 课型：新授课1.知识与技能目标(1).通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；(2).掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；(3).通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义． 2.过程与方法目标 （1）复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．3.情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新 新课讲授过程（1）复习：双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （2）双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代，以y -代和x -代，且以y -代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④渐近线：直线by x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ace =叫做双曲线的离心率（1e >）． （3）例题讲解与引申、扩展例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是ay x b=±． 扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．解法剖析：双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -=，∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k-+=，∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠． 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =，60BC m =，60APB ∠=o ．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则PA AM PB BM +=+，即50BM AM AP BP -=-=（定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为()2213525,0606253750x y x y -=-≤≤-≤≤．理由略．例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数ce a=()0c a >>，则点M 的轨迹方程是双曲线．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c =相应于的准线；另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-．课堂练习：P55 -第1、2、3课后作业：第61页练习4、5；第61页 习题2.3课后反思：双曲线是开放曲线，所以应重点抓住几何性质2015高考题小试：1.（15北京理科）已知双曲线()22210x y a a -=>0y +=，则a =．2. 【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．3. （15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=答案提示：1．【解析】双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a=±，0y y +=⇒=，0a >Q ,则1a a-==2.【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =. 3. 【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A.。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学二轮专题复习 函数与方程及函数的应用教案 文
第3讲函数与方程及函数的应用【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一 函数的零点例1 (1)已知函数f(x)＝logax ＋x －b (a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n ，n ＋1)，n ∈N*，则n ＝________.(2)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x －x2＋，2x ＋，的零点个数是________．答案 (1)2 (2)3解析 (1)∵2<a<3，∴f(x)＝logax ＋x －b 为定义域上的单调函数．f(2)＝loga2＋2－b ，f(3)＝loga3＋3－b.∵lg 2<lg a<lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a<1. 又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b<4，∴－1<3－b<0， ∴loga3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.由x0∈(n ，n ＋1)，n ∈N*知，n ＝2.(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f(x)有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津改编)函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．(2)已知函数f(x)＝ax ＋x －b 的零点x0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________. 答案 (1)1 (2)－1解析 (1)因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x ＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f(x)＝ax ＋x －b 的零点x0就是方程ax ＝－x ＋b 的根．设y1＝ax ，y2＝－x ＋b ，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y1＝1a＝log32<y2＝1＋b ＝1＋log32， ∴－1<x0<0，∴n ＝－1.考点二 与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x ＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f(x)＝x 是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是________．先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．答案 1解析 对于①，若f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x －1)－f(x)＝c －c ＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f(x)＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f(x)＝x2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f(x)是“12－伴随函数”， 则f(x ＋12)＋12f(x)＝0，取x ＝0， 则f(12)＋12f(0)＝0， 若f(0)，f(12)任意一个为0，函数f(x)有零点； 若f(0)，f(12)均不为0， 则f(0)，f(12)异号，由零点存在性定理， 知f(x)在(0，12)内存在零点x0， 所以④正确．函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f(x ＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f(x)的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q)与点对(Q ，P)看作同一个“镜像点对”)．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，，则f(x)的图象上的“镜像点对”有________对．答案 3解析 依题意，设点P(x0，y0)，Q(－x0，y0)(其中x0>0)，若点对(P ，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y0＝log3x0，y0＝－＝cos πx0，所以log3x0＝cos πx0，即x0是方程log3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f(x)的图象的“镜像点对”共有3对．考点三 函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|x x2＋1－a|＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)． (1)令t ＝x x2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围； (2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t －a|＋2a ＋23，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)． 解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)， ∴t ＝x x2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]． (2)当a ∈[0，12]时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋23， 则g(t)＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a<t≤12. ∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a ，12]上单调递增， 且g(0)＝3a ＋23，g(12)＝a ＋76， g(0)－g(12)＝2(a －14)． 故M(a)＝⎩⎨⎧ 12，0≤a≤14，，14<a≤12. 即M(a)＝⎩⎨⎧ a ＋76，0≤a≤14，3a ＋23，14<a≤12.当0≤a≤14时，M(a)＝a ＋76<2显然成立； 由⎩⎨⎧ 3a ＋23≤2，14<a≤12，得14<a≤49， ∴当且仅当0≤a≤49时，M(a)≤2. 故当0≤a≤49时不超标，当49<a≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．(2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y ＝mf(x)，其中f(x)＝⎩⎨⎧ x216＋2，0<x≤4，x ＋142x －2，x>4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎨⎧x24＋，2x ＋28x －1当0<x≤4时x24＋8≥4，显然符合题意． 当x>4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x≤16. 综上0<x≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m·f(x)＝⎩⎨⎧ mx216＋，＋2x －2，得 当0<x≤4时，y ＝mx216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m<y≤3m ； 当x>4时，y′＝－30m －<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m 4≤y<3m ， 综上知，7m 4≤y≤3m ， 为使4≤y≤10恒成立，只要7m 4≥4且3m≤10即可， 即167≤m≤103. 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1． 函数与方程(1)函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x 轴有交点．(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c ∈(a ，b)，使f(c)＝0.①如果函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a ，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a ，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b)，使f(c)＝0.②如果函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a ，b)内不一定没有零点．③如果函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a ，b)内有零点时不一定有f(a)·f(b)<0，也可能有f(a)·f(b)>0.2． 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．3． 应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.1． 已知函数f(x)＝(13)x －log2x ，实数a ，b ，c 满足f(a)·f(b)·f(c)<0(0<a<b<c)，若实数x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是________．(填序号)①x0<b ；②x0>b ；③x0<c ；④x0>c.答案 ④解析 函数f(x)＝(13)x －log2x 在其定义域(0，＋∞)上是减函数，∵0<a<b<c ，∴f(a)>f(b)>f(c)．又∵f(a)f(b)f(c)<0，则f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，或者f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.若f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，则x0<a ，若f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，则b<x0<c ，故x0>c 不可能成立，故填④.2． 若f(x)＋1＝1＋，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (0，12] 解析 设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，∴f(x)＝1＋－1＝1x ＋1－1， ∴画出f(x)在(－1,1]上的图象(如下图)，g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f(x)＝m(x ＋1)有两个不同根，即y ＝f(x)与y ＝m(x ＋1)有两个不同交点．如上图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时，满足题意，则0<m≤12.(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 若函数f(x)＝x2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6. ∴g(x)＝－6x2－5x －1的零点为－12，－13. 2． 函数f(x)＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 因为f′(x)＝2xln 2＋2x2>0， 所以f(x)是增函数，由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.3． (2013·天津改编)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为________．答案 2解析 当0<x<1时，f(x)＝2xlog0.5x －1，令f(x)＝0，则log0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点．当x>1时，f(x)＝－2xlog0.5x －1＝2xlog2x －1，令f(x)＝0得log2x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由y ＝log2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故有2个零点．4． 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧c x ，x<A ，c A ，x≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________． 答案 60,16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A＝15， ① 所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30， ②联立①②解得c ＝60，A ＝16.5． 若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或x>23 解析 由ax2＋(a －2)x －2>0得(x2＋x)a －2(x ＋1)>0.令f(a)＝(x2＋x)a －2(x ＋1)．方法一 (补集法)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ，即⎩⎪⎨⎪⎧x2－x －2≤0，3x2＋x －2≤0， 解得－1≤x≤23， 所以所求范围为该集合的补集，即为x<－1或x>23. 方法二 (直接法)由题意得f(1)>0或f(3)>0，解得．6． 若关于x 的方程4cos x －cos2x ＋m －3＝0恒有实数解，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,8]解析 设cos x ＝t ∈[－1,1]，则t2－4t ＋3－m ＝0，得m ＝t2－4t ＋3在[－1,1]上是单调递减的，所以m ∈[0,8]．7． 设定义域为R 的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，－x2－2x ，x≤0，则关于x 的函数y ＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为________．答案 7解析 由y ＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝12或f(x)＝1，如图画出f(x)的图象，由f(x)＝12知有4个根， 由f(x)＝1知有3个根，故共有7个零点．8． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，3x ，x≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f(x)与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a>1.9． (2013·辽宁改编)已知函数f(x)＝x2－2(a ＋2)x ＋a2，g(x)＝－x2＋2(a －2)x －a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p ，q}表示p ，q 中的较大值，min{p ，q}表示p ，q 中的较小值)．记H1(x)的最小值为A ，H2(x)的最大值为B ，则A －B ＝________.答案 －16解析 f(x)＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g(x)＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)．依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)．∴H1(x)的最小值A ＝f(a ＋2)＝－4－4a ，H2(x)的最大值B ＝g(a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.二、解答题10．(2012·陕西改编)设函数fn(x)＝xn ＋bx ＋c(n ∈N ＋，b ，c ∈R)．(1)设n≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：fn(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点；(2)设n ＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b 的取值范围．(1)证明 b ＝1，c ＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn ＋x －1.∵fn ⎝⎛⎭⎫12fn(1)＝⎝⎛⎭⎫12n －12×1<0， ∴fn(x)在⎝⎛⎭⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f′n(x)＝nxn －1＋1>0，∴fn(x)在⎝⎛⎭⎫12，1上是单调递增的，∴fn(x)在⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点．(2)解 当n ＝2时，f2(x)＝x2＋bx ＋c.对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4. 据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪b 2>1，即|b|>2时，M ＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．②当－1≤－b 2<0，即0<b≤2时， M ＝f2(1)－f2⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b 2≤1，即－2≤b≤0时， M ＝f2(－1)－f2⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b 2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b≤2.。
2015-2016学年吉林东北师大附中高二数学教案：第二章 圆锥曲线与方程 2.5~15复习小结(人教A版选修2-1)
课题：抛物线的重要性质（实验班）课时：15课型：复习课1、焦半径公式：(=2px (p>0) ) |MF|=+ M(,)为抛物线上任意一点。
2、通径|AB|=2p3、焦点弦：（1）、|AB|=p++（2）、|AB|=( =2px (p>0), |AB|=( =2py (p>0))（3）、|AB|=( =2py (p>0))(通径是最短的焦点弦)（4）、焦点弦的端点坐标A（），B（，）,则有= ,=-（5）、n= , m=+=（6）、=|AB||ON|=|OF|||=|OF|| |（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切（8）、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上（9）、准线上任意一点向抛物线作切线，切线互相垂直且切点弦为焦点弦（10）、AB是过抛物线焦点的动弦，P是AB的中点，A、B、P在准线上的射影分别为M、N，Q，则有下列结论成立（A）、AQ⊥BQ（B）、FQ⊥AB（C）、FM⊥FN（D）、AQ⊥FM（E）、BQ⊥FN4、直线与抛物线的关系（1）、=p（2）、直线与抛物线的公共点的情况5、二次函数y=a按向量=() 平移得到y=a，其中平移后坐标系下的焦点坐标为（0，），平移前的焦点坐标为（(）6、抛物线的焦点的位置的判断：看方程中的一次项，一次项是哪个变量，焦点就在哪个变量对应的坐标轴上，而且正系数在正半轴，负系数在负半轴；7、线段AB的定长为a，线段的两个端点在抛物线=2py (p>0，a>2P)上滑动，则线段AB的中点到x轴的最小的距离是 .8、A、B两点都在抛物线上，且OA⊥OB，则=4p , =-9、平行对称轴的直线经抛物线面反射后经过焦点，经过焦点的光线经抛物线面反射平行对称轴射出。
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课题：椭圆与双曲线的对偶性质--（实验班）椭圆课时：16课型：复习课1.椭圆在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7.椭圆22221x y a b+=(a＞b＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点(除长轴端点)12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a＞b＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q,A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M，A 2P 和A 1Q 交于点N，则MF⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴且不过原点的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.双曲线1.双曲线在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a＞0,b＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a＞0,b＞0）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7.双曲线22221x y a b-=（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点(除实轴端点)12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q,A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M，A 2P 和A 1Q 交于点N，则MF⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b-=（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22a b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a＞0,b＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a＞0,b＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭圆1.椭圆22221x y a b +=（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+=(a＞b＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）.3.若P 为椭圆22221x y a b +=（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.(由正弦定理可以推导)4.设椭圆22221x y a b+=（a＞b＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.(由正弦定理可以推导)5.若椭圆22221x y a b+=（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L，则当1-时，可在椭圆上求一点P，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6.P 为椭圆22221x y a b +=（a＞b＞0）上任一点,F 1,F 2为左右焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b +=（a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b+;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9.过椭圆22221x y a b+=（a＞b＞0）的右焦点F 作直线与该椭圆交于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P，则||||2PF eMN =.10.已知椭圆22221x y a b +=（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a---<<.11.设P 点是椭圆22221x y a b +=（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b γ∆=.12.设A、B 是椭圆22221x y a b+=（a＞b＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c、e 分别是椭圆的半焦距、离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b aγ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（a＞b＞0）的右准线l 与x 轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦点三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦点三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.。