抛物线与直线交点问题
抛物线与直线交点问题
1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题，
2、在解题过程中，计算要求比较高，应夯实基础提高应用
3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想
1、（2013门头沟一模23）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）当 时，关于x的二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作直线 ∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线 与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．
2、（2013丰台一模23）二次函数 的图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)．
（4）求二次函数的解析式；
11、（2014东城一模23）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0（m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
并求直线l的解析式
方法总结：
例4：已知：抛物线
（1）当c=-3时，求出抛物线与x轴的交点坐标
（2）当-2<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围
方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析
抛物线中的直线过定点问题
抛物线中的直线过定点问题首先，我们需要了解抛物线和直线的基本性质。
抛物线是平面上一种特殊的曲线，其定义是所有到定点的距离与焦点到直线的距离相等。
直线是平面上的一条直线，其定义是由两个点所决定的，在平面上是长度最短的路径。
抛物线一般表示为一元二次方程：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数且$a\neq0$。
直线一般表示为一般方程：$y=mx+n$，其中$m$、$n$为常数且$m\neq0$。
我们要求的是抛物线和直线的交点问题，即找到一个直线，使其通过指定的定点，并且与抛物线相交。
首先我们假设直线过定点$(x_0,y_0)$，则直线方程可表示为$y-y_0=m(x-x_0)$。
将直线方程代入抛物线方程，可得方程组：$$\begin{cases}y=ax^2+bx+c\\y-y_0=m(x-x_0)\end{cases}$$将上述两个方程进行合并整理，我们可以得到一个一元二次方程：$$ax^2+bx+c-mx+my_0=0$$令上式为0，我们可以得到一个关于$x$的二次方程。
解这个二次方程，我们可以得到两组解$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，这两组解就是直线与抛物线的交点。
通过这种方法，我们可以找到一个直线，使其通过指定的定点，并且与抛物线相交。
这个问题在数学中有很多的应用，例如在建筑工程、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
总结一下，抛物线中的直线过定点问题是一个经典的数学问题，通过数学原理和推导我们可以解决这个问题。
通过了解抛物线和直线的基本性质，我们可以建立方程组求解交点，从而找到直线与抛物线的交点。
这个问题涉及到高等数学的知识，需要一定的数学基础和推理能力来解决。
希望通过这篇文章的讲解，读者能够更加深入地理解抛物线和直线的关系，提高数学解题能力。
【写至此，字数达到要求，可以继续扩充内容或者进行总结】。
抛物线与直线的交点问题
抛物线与直线的交点问题1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 〔坐标系中的水平直线〕的交点问题：①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+〔c-m 〕=0此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。
△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
②特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的交点问题：令y=0，那么ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△=b 2-4ac△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+〔c-b 〕=0此时方程的判别式△=(b-k)2-4a 〔c-b 〕△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的交点位置问题：假设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为〔x 1，0〕、〔x 2，0〕① 假设x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 假设x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 假设x 1x 2＜0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的两个交点距离公式假设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点〔x 1，0〕、〔x 2，0〕的距离为︱x 1-x 2︱=aac b 42 练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．2．二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，那么k 的取值范围为( )A ．k >－47B ．k <－47且k ≠0C ．k ≥－47D ．k ≥－47且k ≠03．假设抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，那么c 的值等于( )．A ．４B ．８C ．－４D ．１６4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )．A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______6．假设抛物线y=〔m－1〕x2+2mx+m+2恒在x轴上方，那么m_______．7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，那么S△ABC＝．8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A〔1，－4〕，且过点B〔3,0〕．〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?13．抛物线y=－x2+〔m－2〕x+3〔m+1〕交x轴于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，交y•轴正半轴于C点，且x1<x2，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．。
直线与抛物线相交
当 Δ<0 且 k≠0，即 k>12时，方程（*）没有实数解，从而 直线 l 与抛物线没有公共点．
综上可得：当 k＝0 或 k＝12时，直线 l 与抛物线只有一个 公共点；当 k<12且 k≠0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点；当 k>12时，直线 l 与抛物线没有公共点．
[一点通] 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝ 2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方 程：ax2＋bx＋c＝0．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点
的横坐标为2, 则k＝
()
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：由yy＝2＝k8xx－，2， 得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，得k>－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4kk＋2 8＝4，
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
解析：设直线方程为 y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得
y2＝8x， y＝kx＋2，
消去 x 得到关于 y 的方程 ky2－8y＋16k＝0.
当 k＝0 时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；
当 k≠0 时，应有 Δ≥0，即 64－64k2≥0，解得－1≤k≤1 且 k≠0.
4 3
.两直线间的距离
为15|－8－(－43)|＝43.
法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为15|4m－3m2－8|＝35|(m－23)2＋290|. 当m＝23时，取得最小值43.
答案：A
直线与抛物线的交点问题-教师版
直线与抛物线的交点问题一、抛物线与坐标轴的交点1．抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B （A 在B 左边），且4AB =，求A 、B 的坐标．【答案】可得对称轴1x =-，因为4AB =，所以()30A -，，()10B ， 2．抛物线226y x x m =++与x 轴交于A 、B ，且2AB =，求m 的值． 【答案】可得对称轴32x =-，因为2AB =，所以A 、B 点的坐标是502⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入可得1302m -+=，所以52m = 3．已知抛物线277y kx x =--的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．【答案】依题意得492800k k ⎧∆=+⎨≠⎩≥，解得74k -≥且0k ≠ 一、直线与抛物线的交点4．直线23y x =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求AB 的长．【答案】联立223y x y x =+⎧⎨=⎩，可得2230x x --=，所以()11A -，，()39B ，AB 5．已知直线l ：23y x =-与抛物线C ：215322y x x =++． （1）求证：抛物线C 与直线l 无交点．（2）若与直线l 平行的直线与抛物线C 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【答案】（1）联立21532223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-⎩，可得2111022x x ++=，100∆=-＜ 所以抛物线C 与直线l 无交点（2）设与直线l 平行的直线解析式为：23y x k =-+联立21532223y x x y x k⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，210k ∆=-因为与抛物线C 只有一个公共点∴2100k -=，5k =代入得211022x x ++= ∴1x =-∴()10P -，6．已知抛物线2y x h =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC AB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线2y x b =+被抛物线截得线段长为230，求b 的值．【答案】 解：（1）如图由题意，OA OB =， OC AB =，12OA OB h ∴==-， ∴点B 坐标1(2h -，0)， 把点B 坐标代入2y x h =+得到，2104h h =+，解得4h =-或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为24y x =-．（2）设直线2y x b =+与抛物线24y x =-的交点为1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 由242y x y x b⎧=-⎨=+⎩消去y 得到2240x x b ---=， 122x x ∴+=，124x x b =--，由此可得1242y y b +=+，21216y y b =-， 22121212()()4420x x x x x x b ∴-=+-=+， 同理可得()()()2222121212()4424161680y y y y y y b b b -=+-=+--=+， 230EF =，4201680120b b ∴+++=，1b ∴=．。
直线与抛物线的位置关系
汇报人：
目录
交点个数
直线与抛物线 相交的个数取 决于直线的斜 率和抛物线的
开口方向
当直线斜率存 在且与x轴不垂 直时直线与抛 物线最多有两
个交点
当直线斜率不 存在（垂直于x 轴）时直线与 抛物线有一个
交点
当直线斜率不 存在（垂直于x 轴）且过抛物 线顶点时直线 与抛物线有无
数多个交点
交点坐标
当夹角达到90度时直线与抛物 线相切
夹角的变化还会影响交点的个 数以及与对称轴的关系
汇报人：
交点性质
交点个数：直线与抛物线可能有一个或两个交点 交点位置：交点位于抛物线的对称轴上或对称轴的一侧 交点坐标：通过联立方程求得交点的坐标 交点性质的应用：判断直线与抛物线的位置关系求解相关问题
直线与抛物线平行无交点
平行
直线与抛物线平行交点在无穷远处
直线与抛物线平行交点在抛物线上
直线与抛物线平行交点在直线两侧
交点坐标的求 法：联立直线 与抛物线的方 程解得交点的x 坐标和y坐标。
交点的性质： 交点是直线与 抛物线的公共 点满足两个方
程。
交点的几何意 义：交点是直 线与抛物线的 交点也是它们
相切的点。
交点与切线的 关系：在切点 处切线的斜率 等于该点的导
数值。
交点与参数关系
当参数为0时直线与抛物线交于原点 当参数不为0时直线与抛物线交于两点与参数的正负有关 参数的正负决定了交点的位置和数量 参数的变化会影响交点的位置和数量
抛物线开口大小变化对位置关系的影响
开口大小变化：影响抛物线的位置关系
开口向上：抛物线与x轴交点随开口增大而增多
开口向下：抛物线与x轴交点随开口减小而减少
开口大小变化对直线与抛物线位置关系的影响：开口增大时直线与抛物线交点增多；开口减小时直线与抛物线交 点减少
人教版初三数学上册抛物线与直线交点问题
四、归纳小结
知识归纳1：抛物线与直线的公共点
知识归纳2：抛物线与线段、射线的公共点(若有公共点)
界点法—定界点，求极值，由形到数来解决.
交点法—求交点，定范围，由数到形来解决.
五、布置作业
如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角系中两点,其中m为常数,且m＞0,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,把矩形ABCD沿x轴折叠并平移至矩形A1B1BD1,作射线OA,若抛物线y=ax2+bx(a＞0)过点A1．(2)当m为某定值时,抛物线与四边形ABCD有公共点,
(2)若点C(5,0),以线段AC为对角线作矩形ABCD,将矩形ABCD沿x轴翻折并向左平移得到矩形A1B1BD1,①则点A1的坐标为
②过点O、A1的抛物线与直线AC的交点有几个？
二、探究二：
如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角系中两点,其中m为常数,且m＞0,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,把矩形ABCD沿x轴折叠并平移至矩形A1B1BD1,连线段OA,若抛物线y=ax2+bx(a＞0)过点A1．
设抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过点M作MN⊥y轴,垂足为N,此时线段MN的最大值为10.②试探究a的取值范围.
板书设计
抛物线与直线交点问题
…界点法—界点，求极值，由形到数来解决.
交点法—求交点，定范围，由数到形来解决.
………
教学反思
教学设计
课题
抛物线与直线交点问题
课型
复习
教学内容
抛物线与直线交点问题
第课时
教学目标
（含三维、重难点）
1、理解抛物线与直线交点问题的解答方法，理解数形的相互转化。
专题 抛物线与直线型交点个数
抛物线与直线型的交点个数问题专题一、引入：（1）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有一个公共点，则a 的取值范围是 ；（2）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有两个公共点，则a 的取值范围是 ；（3）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1没有公共点，则a 的取值范围是 ；二、问题：例1．如图，在平面直角坐标系中，点B （38，0）和点D （4，4），抛物线y=ax 2-(2a+1)x(a>0) （1）试判断抛物线与直线DB 是否有公共点？（2）抛物线与线段DB 是否有公共点？（3）过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，再分别过点B 和点D 作x 轴和y 轴的垂线相交于点A ，抛物线与矩形ABCD 有公共点时，求a 的取值范围。
yxDB O例2（2014年中考题改编）在平面直角坐标系中，已知线段OD 的端点（3，4），抛物线x a t ax y )41(2-+=经过点C （4，1），若此时抛物线与线段OD 只有唯一的公共点O ，求a 的取值范围。
三、作业1.（2015西陵期末）在平面直角坐标系中，梯形ABCD 的顶点A （-5，0）和B （-1，3），且BC ∥AO ，若过点A ，O 两点的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与线段AB 只有唯一公共点A ，求a 的取值范围。
2.（2009年中考题）已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (32，1)， B (s ，t )，C (72，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象与y 轴交于点B 。
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课题:抛物线与直线的交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。
2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。
3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。
讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。
练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。
（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。
2、（2013房山一模23前两问）已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交）（002≠=++a c bx ax2.抛物线与x 轴的交点的个数（1△抛物线与x 轴相交（2△抛物线与x 轴相切（3△抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y=1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。
（2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax y ++=2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++22.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1△抛物线与直线相交（2△抛物线与直线相切（3△抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线221x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l cbx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c=-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x<1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y=2x 交点的横坐标均为整数，且m<2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围3、已知二次函数，在和时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；（3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。
请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
4、已知关于x 的一元二次方程01422=-++k x x 有实数根，且k 为正整数（1） 求k 的值（2） 当此方程有两个非零的整数根时，关于x 的二次函数1422-++=k x x y 的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式（3） 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)21k b b x y （+=与此图象有两个公共点时，b 的取值范围课堂小结：1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题，没有交点有一个交点，有两个交点，一元二次方程根的个数方程组相交⇔∆⇔=∆⇔∆∆⇔⇔⇔0002、在解题过程中，计算要求比较高，应夯实基础提高应用3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想 1、（2013门头沟一模23）已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2） 当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线13y x b=+与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．2、（2013丰台一模23）二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)．（4）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n=+与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．3、（2013昌平一模23） 已知抛物线22y x kx k =-+-+． （1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.4、（2013怀柔一模23） 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.5、（2013燕山一模23）己知二次函数)12(221-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值．⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．6、（2013海淀一模23）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线y=12x+4m+n只有两个公共点时，d的取值范围是．7、（2013顺义二模23）已知抛物线．（1）求证：无论为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若为整数，当关于x的方程的两个有理数根都在与之间（不包括-1、）时，求的值．（3）在(2）的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，再将图象向上平移个单位，若图象与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围是．3、（2012海淀二模23）已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求m的取值范围；（2）若m>1, 且点A在点B的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l请你结合新图象回答: 当直线与新图象只有一个公共点P(x0, y0)且y0?7时, 求b的取值范围.8（2012中考数学23）已知二次函数在和时的函数值相等。
（5）求二次函数的解析式；（6）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；（7）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。
请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
9、（2012东城二模23）．已知关于的方程．（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）若正整数满足，设二次函数的图象与轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．10、（2012丰台一模23）．已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时， 求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.11、（2014东城一模23）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b 的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．12、（2012海淀二模23）已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求m的取值范围；（2）若m>1, 且点A在点B的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l请你结合新图象回答: 当直线与新图象只有一个公共点P(x0, y0)且y0?7时, 求b的取值范围.14、（2011中考23）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()()2330y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C .⑴ 求点A 的坐标；⑵ 当45ABC ∠=时，求m 的值；⑶ 已知一次函数y kx b =+，点(),0P n 是x 轴上的一个动点，在⑵的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数()()2330y mx m x m =+-->的图象于点N 。