抛物线与直线交点问题
直线与抛物线交点个数判断
直线与抛物线交点个数判断引言在代数几何学中，直线和抛物线是两种常见的曲线。
直线是一条无限延伸的轨迹，由无限多个点组成；而抛物线是一种特殊的曲线，形状呈现为开口向上或向下的弧线。
在解决几何问题时，判断直线和抛物线是否相交及相交点个数的问题经常会出现。
本文将介绍如何判断直线和抛物线的交点个数，并给出相应的计算方法。
直线方程首先我们需要了解直线的方程表示形式。
直线可以使用点斜式、截距式和一般式等形式表示，其中截距式是最常用的形式。
•点斜式：y−y1=m(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
•截距式：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
•一般式：Ax+By+C=0，其中A,B,C是直线的系数。
在本文中，我们将使用截距式表示直线。
抛物线方程同样地，我们需要了解抛物线的方程表示形式。
抛物线可以使用顶点式、标准式和一般式等形式表示，其中标准式是最常用的形式。
•顶点式：y=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的开口方向和形状参数。
•标准式：y=ax2+bx+c，其中a,b,c是抛物线的系数。
•一般式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A,B,C,D,E,F是抛物线的系数。
在本文中，我们将使用标准式表示抛物线。
直线与抛物线的交点个数判断根据几何直观，直线与抛物线的交点在二维平面上表示为直线与曲线的交点。
直线与抛物线的交点个数可能为0、1或2个。
为方便计算，我们将直线和抛物线的方程视为函数，其中x是自变量，y是因变量。
我们可以将直线方程和抛物线方程分别等式化，得到如下形式的方程：•直线方程：y=kx+b•抛物线方程：y=ax2+bx+c当直线与抛物线有交点时，即求解下面的方程组：$$ \\begin{cases} y = kx + b \\\\ y = ax^2 + bx + c \\end{cases} $$将直线方程的表达式代入抛物线方程中，得到如下方程：kx+b=ax2+bx+c移项并合并同类项，将方程变形为标准式：ax2+(b−k)x+(c−b)=0如果上述二次方程有实数解，则直线与抛物线有交点。
抛物线与直线的交点问题
抛物线与直线的交点问题1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 〔坐标系中的水平直线〕的交点问题：①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+〔c-m 〕=0此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。
△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
②特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的交点问题：令y=0，那么ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△=b 2-4ac△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+〔c-b 〕=0此时方程的判别式△=(b-k)2-4a 〔c-b 〕△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的交点位置问题：假设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为〔x 1，0〕、〔x 2，0〕① 假设x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 假设x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 假设x 1x 2＜0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的两个交点距离公式假设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点〔x 1，0〕、〔x 2，0〕的距离为︱x 1-x 2︱=aac b 42 练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．2．二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，那么k 的取值范围为( )A ．k >－47B ．k <－47且k ≠0C ．k ≥－47D ．k ≥－47且k ≠03．假设抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，那么c 的值等于( )．A ．４B ．８C ．－４D ．１６4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )．A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______6．假设抛物线y=〔m－1〕x2+2mx+m+2恒在x轴上方，那么m_______．7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，那么S△ABC＝．8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A〔1，－4〕，且过点B〔3,0〕．〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?13．抛物线y=－x2+〔m－2〕x+3〔m+1〕交x轴于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，交y•轴正半轴于C点，且x1<x2，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．。
直线与抛物线相交
当 Δ<0 且 k≠0，即 k>12时，方程（*）没有实数解，从而 直线 l 与抛物线没有公共点．
综上可得：当 k＝0 或 k＝12时，直线 l 与抛物线只有一个 公共点；当 k<12且 k≠0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点；当 k>12时，直线 l 与抛物线没有公共点．
[一点通] 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝ 2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方 程：ax2＋bx＋c＝0．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点
的横坐标为2, 则k＝
()
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：由yy＝2＝k8xx－，2， 得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，得k>－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4kk＋2 8＝4，
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
解析：设直线方程为 y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得
y2＝8x， y＝kx＋2，
消去 x 得到关于 y 的方程 ky2－8y＋16k＝0.
当 k＝0 时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；
当 k≠0 时，应有 Δ≥0，即 64－64k2≥0，解得－1≤k≤1 且 k≠0.
4 3
.两直线间的距离
为15|－8－(－43)|＝43.
法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为15|4m－3m2－8|＝35|(m－23)2＋290|. 当m＝23时，取得最小值43.
答案：A
直线与抛物线的交点问题-教师版
直线与抛物线的交点问题一、抛物线与坐标轴的交点1．抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B （A 在B 左边），且4AB =，求A 、B 的坐标．【答案】可得对称轴1x =-，因为4AB =，所以()30A -，，()10B ， 2．抛物线226y x x m =++与x 轴交于A 、B ，且2AB =，求m 的值． 【答案】可得对称轴32x =-，因为2AB =，所以A 、B 点的坐标是502⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入可得1302m -+=，所以52m = 3．已知抛物线277y kx x =--的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．【答案】依题意得492800k k ⎧∆=+⎨≠⎩≥，解得74k -≥且0k ≠ 一、直线与抛物线的交点4．直线23y x =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求AB 的长．【答案】联立223y x y x =+⎧⎨=⎩，可得2230x x --=，所以()11A -，，()39B ，AB 5．已知直线l ：23y x =-与抛物线C ：215322y x x =++． （1）求证：抛物线C 与直线l 无交点．（2）若与直线l 平行的直线与抛物线C 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【答案】（1）联立21532223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-⎩，可得2111022x x ++=，100∆=-＜ 所以抛物线C 与直线l 无交点（2）设与直线l 平行的直线解析式为：23y x k =-+联立21532223y x x y x k⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，210k ∆=-因为与抛物线C 只有一个公共点∴2100k -=，5k =代入得211022x x ++= ∴1x =-∴()10P -，6．已知抛物线2y x h =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC AB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线2y x b =+被抛物线截得线段长为230，求b 的值．【答案】 解：（1）如图由题意，OA OB =， OC AB =，12OA OB h ∴==-， ∴点B 坐标1(2h -，0)， 把点B 坐标代入2y x h =+得到，2104h h =+，解得4h =-或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为24y x =-．（2）设直线2y x b =+与抛物线24y x =-的交点为1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 由242y x y x b⎧=-⎨=+⎩消去y 得到2240x x b ---=， 122x x ∴+=，124x x b =--，由此可得1242y y b +=+，21216y y b =-， 22121212()()4420x x x x x x b ∴-=+-=+， 同理可得()()()2222121212()4424161680y y y y y y b b b -=+-=+--=+， 230EF =，4201680120b b ∴+++=，1b ∴=．。
人教版初三数学上册抛物线与直线交点问题
四、归纳小结
知识归纳1：抛物线与直线的公共点
知识归纳2：抛物线与线段、射线的公共点(若有公共点)
界点法—定界点，求极值，由形到数来解决.
交点法—求交点，定范围，由数到形来解决.
五、布置作业
如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角系中两点,其中m为常数,且m＞0,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,把矩形ABCD沿x轴折叠并平移至矩形A1B1BD1,作射线OA,若抛物线y=ax2+bx(a＞0)过点A1．(2)当m为某定值时,抛物线与四边形ABCD有公共点,
(2)若点C(5,0),以线段AC为对角线作矩形ABCD,将矩形ABCD沿x轴翻折并向左平移得到矩形A1B1BD1,①则点A1的坐标为
②过点O、A1的抛物线与直线AC的交点有几个？
二、探究二：
如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角系中两点,其中m为常数,且m＞0,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,把矩形ABCD沿x轴折叠并平移至矩形A1B1BD1,连线段OA,若抛物线y=ax2+bx(a＞0)过点A1．
设抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过点M作MN⊥y轴,垂足为N,此时线段MN的最大值为10.②试探究a的取值范围.
板书设计
抛物线与直线交点问题
…界点法—界点，求极值，由形到数来解决.
交点法—求交点，定范围，由数到形来解决.
………
教学反思
教学设计
课题
抛物线与直线交点问题
课型
复习
教学内容
抛物线与直线交点问题
第课时
教学目标
（含三维、重难点）
1、理解抛物线与直线交点问题的解答方法，理解数形的相互转化。
中考数学复习考点知识归类讲解23 二次函数中的交点问题
中考数学复习考点知识归类讲解 专题23 二次函数中的交点问题知识对接考点一、直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121专项训练 一、单选题1．如图，已知抛物线()20y axbx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，其部分图象如图所示．下列结论：①方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =；②0a b c -+=；③80a c +<；④当0y >时，x 的取值范围是13x ．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．将抛物线y ＝x 2+2mx +m 2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x ＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（）A．(0，0) B．(0，4) C．(0，15) D．(0，16)3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C （1，y3），正确结论是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＞y2C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y24．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．1个B．2个C．3个D．2个或3个5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④13＜a＜23；⑤b＜c．正结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，有下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④当y＜0时，﹣2＜x＜4，⑤b2+12a＝4ac．其中正确的个是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y ＝14x 2﹣x ＋9：②若点B （﹣1，n ）在这个二次函数图像上，则n ＞m ；③该二次函数图像与x 轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x ＜5.5时，m ＜y ＜8．所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．已知抛物线()2y a x h k =-+与x 轴有两个交点()1,0A -，()3,0B ，抛物线()2y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是（） A ．5B ．1-C ．5或1D ．5-或1-9．若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（） A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-10．如图，抛物线21(6)22y x =--与x 轴交于点A B 、，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到22,C C 与x 轴交于点B O 、，若直线12y x m =+与12C C 、共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．32m -≤<-B ．4128m -<<- C ．52m -≤<- D ．2528m -<<- 二、填空题11．定义：若抛物线与x 轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，… B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线y 1134x =+上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是A 1(a 1，0)，A 2(a 2，0)，A 3(a 3，0)，…A n +1(a n +1，0)（0＜a 1＜1，n 为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a 1＝___．12．已知二次函数245y x x =-++，它的图象与x 轴的交点坐标为________． 13．已知抛物线()20y axbx c a =++≠与x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线1x =，则关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根是_______．14．我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，A 、B 、C 、D 分别是某蛋圆和坐标轴的交点其中抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3，则“蛋圆”的弦CD 的长为____．15．关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________． 三、解答题16．已知关于x 的二次函数()22410y kx kx k k =-++>，（1）若二次函数的图象与x 轴没有交点，求k 的取值范围；（2）若(),P m n 和()3,q q -是抛物线上两点，且n q <，求实数m 的取值范围； （3）若()1,B c b +和(),C c s 是抛物线上两点，试比较b 和s 的大小．17．定义：若一次函数y ax b =+（0a ≠）与反比例函数c y x=（0c ≠）满足2a c b +=，则我们把函数2y ax bx c =++称为一次函数与反比例函数的“附中函数”．（1）一次函数36y x =+与反比例函数9y x=是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不存在，请说明理由．（2）若一次函数y x b =+与反比例函数c y x=（0c ≠）存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线27y x =+有唯一交点，求b ，c 的值．（3）若一次函数y ax b =+（0a >）与反比例函数c y x=-（0c ≠）的“附中函数”的图象与x 轴有两个交点分别是A （1x ，0），B （2x ，0），其中3a c a ≤≤，点C （3，4），求△ABC 的面积S △ABC 的变化范围． 18．已知抛物线2122y x x =-．（1）求这个函数的最大值或最小值，并写出函数y 取得最大值或最小值时相应的自变量x 的值．（2）求该抛物线与x 轴的交点坐标，并直接写出当0y >时相应的x 的取值范围． 19．已知抛物线2(21)46y x m x m =--+-．（1）试说明：不论m 取任何实数，该抛物线都经过x 轴上的定点A ；（2）设该抛物线与x 轴的另一个交点为B （A 与B 不重合），顶点为C ，当ABC 为直角三角形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 在A 的右侧，点(0,3)D ，点E 是抛物线上的一点．问：在x 轴上是否存在一点F ，使得以D ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90EDF ∠=︒，若存在，求F 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数24y ax ax b =++与x 轴交于A ，B 两点（其中A 在B 的左侧），且2AB =．（1）抛物线的对称轴是______． （2）求点A 和点B 坐标．（3）点C 坐标为()2.5,4--，()0,4D -．若抛物线24y ax ax b =++与线段CD 恰有一个交点，求a 的取值21．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）（1）若抛物线的对称轴为x ＝3，若抛物线与x 轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标；（2）抛物线的顶点为点C ，抛物线与x 轴交点分别为A 、B ，若△ABC 为等边三角形，求证：b 2—4ac ＝12；（3）若当x ＞—1时，y 随x 的增大而增大，且抛物线与直线y ＝ax —1a ＋c 相切于点D ，若ODc 的取值范围．22．如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m，求m 的值． 23．现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k ，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m ，则事件“关于a 、b的方程组2122a b ka b+=+⎧⎨+=⎩的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为__．。
专题 抛物线与直线型交点个数
抛物线与直线型的交点个数问题专题一、引入：（1）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有一个公共点，则a 的取值范围是 ；（2）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有两个公共点，则a 的取值范围是 ；（3）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1没有公共点，则a 的取值范围是 ；二、问题：例1．如图，在平面直角坐标系中，点B （38，0）和点D （4，4），抛物线y=ax 2-(2a+1)x(a>0) （1）试判断抛物线与直线DB 是否有公共点？（2）抛物线与线段DB 是否有公共点？（3）过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，再分别过点B 和点D 作x 轴和y 轴的垂线相交于点A ，抛物线与矩形ABCD 有公共点时，求a 的取值范围。
yxDB O例2（2014年中考题改编）在平面直角坐标系中，已知线段OD 的端点（3，4），抛物线x a t ax y )41(2-+=经过点C （4，1），若此时抛物线与线段OD 只有唯一的公共点O ，求a 的取值范围。
三、作业1.（2015西陵期末）在平面直角坐标系中，梯形ABCD 的顶点A （-5，0）和B （-1，3），且BC ∥AO ，若过点A ，O 两点的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与线段AB 只有唯一公共点A ，求a 的取值范围。
2.（2009年中考题）已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (32，1)， B (s ，t )，C (72，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象与y 轴交于点B 。
直线和抛物线的位置关系
直线和抛物线的位置关系题型一：直线和抛物线位置关系例 1.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，求直线l 的斜率的取值范围 （ []1,1- ）例2.已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围变式练习：1.已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，请判断直线和抛物线的位置关系2.已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值. （40,1,5a =--） 3. 求过定点)1,0(P 且与抛物线x y 22=只有一个公共点的直线的方程。
（0=x 或1=y 或121+=x y ） 4.已知直线b x y l +=:与抛物线y x C 4:2=相切于点A（1）求实数b 的值（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程题型二：和弦长有关问题例3.已知直线2y kx =-交抛物线28y x =于,A B 两点，且AB 的中点为0(2,)M y ，求0y 及弦AB的长例4. 已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于,A B 两点，当OAB ∆时，求k的值变式练习：1. 经过x y 82=的焦点F 作与对称轴成3π的直线与抛物线相交于A 、B 两点，求|AB|。
2.已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若S △PAB =39，求P 点的坐标。
【 P （15，0）或（-11，0）】3. 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程． (2) 求AB 的最小值．题型三：中点弦问题例5. 已知抛物线26y x =，过点(4,1)P 引一弦，使它恰好在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程变式练习：1已知抛物线26y x =，求过点(0,1)的直线被抛物线所截得弦中点的轨迹方程2.已知抛物线x y 62=及定点)3,4(M ，求被点M 平分的抛物线的弦所在直线的方程，并求此弦长。
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课题:抛物线与直线的交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。
2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。
3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。
讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程：一、 抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。
练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。
（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。
2、（2013房山一模23前两问）已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax2.抛物线与x 轴的交点的个数（1）有两个交点△>0 抛物线与x 轴相交（2抛物线与x 轴相切（3△抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点 例2：求抛物线322--=x x y 与y=1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。
（2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax y ++=2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++22.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1△抛物线与直线相交（2△抛物线与直线相切（3△抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题例3：若抛物线221x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点，并求直线l 的解析式 方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l cbx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c=-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x<1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y=2x 交点的横坐标均为整数，且m<2, 求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。
请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
4、已知关于x 的一元二次方程01422=-++k x x 有实数根，且k 为正整数（1） 求k 的值（2） 当此方程有两个非零的整数根时，关于x 的二次函数1422-++=k x x y 的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式（3） 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答： 当直线)21k b b x y （+=与此图象有两个公共点时，b 的取值范围课堂小结：1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题，没有交点有一个交点，有两个交点，一元二次方程根的个数方程组相交⇔∆⇔=∆⇔∆∆⇔⇔⇔0002、在解题过程中，计算要求比较高，应夯实基础提高应用3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想1、（2013门头沟一模23）已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2） 当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．2、（2013丰台一模23）二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．（4） 求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．3、（2013昌平一模23） 已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.4、（2013怀柔一模23） 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.5、（2013燕山一模23）己知二次函数)12(221-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值．⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．6、（2013海淀一模23）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．7、（2013顺义二模23）已知抛物线232y x mx =+-．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴 总有两个交点；（2）若m 为整数，当关于x 的方程2320x mx +-=的两个有理数根都在1-与43之间（不包括-1、43）时，求m 的值． （3）在(2）的条件下，将抛物线232y x mx =+-在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ，再将图象G 向上平移n 个单位，若图象G 与过点（0，3）且与x 轴平行的直线有4个交点，直接写出n 的取值范围是 ．3、（2012海淀二模23）已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式； （3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 请你结合新图象回答: 当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 07时, 求b 的取值范围.-1-2-3-4-5881234567-4-3-2-17654321O xy8（2012中考数学23）已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++ 在0x =和2x =时的函数值相等。
（5） 求二次函数的解析式；（6） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；（7） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。