抛物线与直线交点问题经典讲义教案

抛物线与直线交点问题

教学目标：

1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。

2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进

一步培养学生数形结合思想。

3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。

2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。

教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程：

一、抛物线与x 轴的交点问题

例1：已知：抛物线322

--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。

练习：

1、已知：抛物线)1(3)2(2

++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。

（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问）

已知，抛物线2

y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.

（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3

2

，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.

方法总结：

1、 抛物线与x 轴相交：

抛物线c bx ax y ++=2

的图象与x 轴相交 ）（002

≠=++a c bx ax

2.抛物线与x 轴的交点的个数

（1 △>0 抛物线与x 轴相交 （2 △=0 抛物线与x 轴相切 （3 △<0 抛物线与x 轴相离

二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点

例2：求抛物线322

--=x x y 与y=1的交点坐标 练习：

已知：抛物线c x x y ++=22

（1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围

方法总结：

1、抛物线与平行于x 轴的直线相交

抛物线c bx ax ++=2

的图象与平行于x 轴的直线相交

??

?=++=m

y bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++2

2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数

（1 △>0 抛物线与直线相交 （2 △=0 抛物线与直线相切 （3 △<0 抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线2

2

1x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值

练习：

已知:抛物线），（和点0,1-3-2

A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式

方法总结：

抛物线与直线相离

没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数?????????++=+=≠++=≠+=G l G l G l c

bx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 2

2)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22

（1） 当c=-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标

（2） 当-2

方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：

1、 抛物线22

2-m mx x y +=与直线y=2x 交点的横坐标均为整数，且m<2,

求满足要求的m 的整数值

2、 已知：抛物线14-2

+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一

条新的抛物线

（1）求平移后的抛物线的解析式

（2）请结合图象回答，当直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的

取值范围

3、已知二次函数错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。时的函数值相等。

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若一次函数错误!未找到引用源。的图象与二次函数的图象都经过点错误!未找到

引用源。，求错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的值；

（3） 设二次函数的图象与错误!未找到引用源。轴交于点错误!未找到引用源。（点错

误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。的左侧），将二次函数的图象在点错误!未找到引用源。间的部分（含点错误!未找到引用源。和点错误!未找到引用源。）

向左平移错误!未找到引用源。个单位后得到的图象记为错误!未找到引用源。，同时将（2）中得到的直线错误!未找到引用源。向上平移错误!未找到引用源。个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象错误!未找到引用源。有公共点时，错误!未找到引用源。的取值范围。

4、已知关于x 的一元二次方程01422

=-++k x x 有实数根，且k 为正整数

（1） 求k 的值

（2） 当此方程有两个非零的整数根时，关于x 的二次函数1422

-++=k x x y 的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式

（3） 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，

图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：

当直线)2

1

k b b x y π（+=

与此图象有两个公共点时，b 的取值范围

课堂小结：

1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题，

没有交点

有一个交点，有两个交点，一元二次方程根的个数方程组相交???=????

???000πφ

2、在解题过程中，计算要求比较高，应夯实基础提高应用

3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想 1、（2013门头沟一模23）已知关于x 的一元二次方程

2

1(2)2602

x m x m +-+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；

（2） 当<3m 时，关于x 的二次函数2

1(2)262

y x m x m =

+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值； （3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直

线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你

结合图象回答：当直线1

3

y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．

2、（2013丰台一模23）二次函数2

y x bx c =++的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．

（4） 求二次函数的解析式；

（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得

到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．

3、（2013昌平一模23） 已知抛物线2

2y x kx k =-+-+． （1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =

103

，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角

的正弦值为

45

，求该抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新

的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围

.