2.2.2向量减法运算及其几何意义

AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
当两个向量不共线时，你能 发现它们的模与它们的和向 量的模之间的大小关系吗？ a A o·
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b|
(1) 交换律 : a b b a
a
b
ab a
b
b A a c
B
O
C
BC OB (a+b)+c=_____+____=______ OC
a和b互相垂直 |a +b|=|a b|？_____________________
例3:化简
(1) AB CB; (2) AB BC DA DC ; (3) MN MP PQ.
解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC;
(2)AB+BC+DA-DC= AB+BC+DA+CD= AB+BC+CD+DA= 0 . (3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ)
练习3:如图,已知向量 AB a , AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b |
解：以AB 、AD 为邻边作平行四边形 ABCD ， 由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形 由向量的加减法知 AC a b， DB a b 故 | AC || a b | ， | DB || a b |
解：有向量加法的平行四边形法则， A 得
D
C
b a
B
AC a b;
由向量的减法可得，
DB AB AD a b.
D
b
A
a b
C
ab
B
变式训练一：当a ,b满足什么条件时，
a
| a || b | a +b与a b垂直？_____________
变式训练二：当a ,b满足什么条件时，
OC a+(b+c)=OA+_____=______ AC
探究
A2
A1 A2 A3 A1A4 A1A2+A2A3+A3A4=_______ A4 A3 A1A3 A1A2+A2A3=_______
A1
化简：
(1) AB CD BC (2) MA BN AC CB
(3) AB BD CA DC
=MN-MQ =MN+QM =QM+MN =QN.
变式训练 四 如图,
你能用
ABCD 中, AO = a,OB = b,
D C
O
a ,b 表示向量AB和AD吗?
a
A
解:AB=a + b; AD=a - b.
b
B
练习1、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由
1、 AB BA 0
（
） ） ）
注：两个向量的和仍是向量。
1.向量加法的三角形法则: 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相接,首尾连 同一起点对角线
C
ab
A
b
B
a
b
ab
C
b
A
a
B
O
3. a b a b a b
a
4 .向量加法的交换律
5 .向量加法的结合律
向量的减法是否也有类似的法则：
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？
一、相反向量 定义：与 a 长度相等，方向相反的向量， 叫做 a 的相反向量，记作： a
a a
AB BA, 在计算中常用
结论： （1） (a)
a 0
（2）零向量的相反向量仍是零向量,
0 0
(3)a (a) (a) a
2、 AB OA OB （
4、若
3、相反向量就是方向相反的量 （
AB BC CA 0
，则A、B、C ）
三点是一个三角形的定点 （ 5、 0 a a （ ）
6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线 （ ）
√
练习1:
(1)化简AB AC BD CD 解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
a b
O
A
练习 如图，已知a, b, 求作a b.
（1） （2）
a
a
b b
o a
A
（3）
o
B A
b
a b
a b
（4）
B
a
B
o
a b
b
A
a
b
B
o
a bA
例1.已知向量 a, b, c, d , 求作向量 a b, c d .
b a
作法 :
d
A
B
D
C
c a
b
O
d
c
1.在平面上任取点O , 作OA a , OB b, OC c , OD d . 2.作 BA, DC , 则BA a b, DC c d为所求.
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
练习2.
若 AB 8, AC 5, 则 BC的取值范围是_____.
解： BC AC AB , AC AB AC AB AC AB 3 BC 13
1.向量加法的三角形法则: 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相接,首尾连 同一起点对角线
C
ab
A
b
B
a
b
ab
C
b
A
a
B
O
a
当向量a ,b是共线向量时,a + b又如何 作出来?
依据三角形法则
(1)同向
(2)反向
b
a
A
B C BC
b
a
A
AC = a + b
练习2
填空：
重要提示
AB BA
AB AD _____; DB
CA BA BC ______;
AC BC BA ______;
AD OD OA ______;
BA . OA OB ______
你能将减法运 算转化为加法 运算吗？
例2.已知平行四边形ABCD , AB a , AD b, 用 a , b 表示向量AC , DB
解： 如图，设 AD 表示船速， AB 表示水的流速， D 以AB，AD为邻边作 ABCD， 则 AC 是船的
实际航行速度.
在 RtABC 中， AB 2
BC 2 3
2 2
AC
AB BC 2 2 3 4
2 2
A
B
2 3 3 CAB 60 2 答：船实际航行速度为 4km/h ，方向与流速间的夹角为 60 ． tan CAB
a b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点 的向量，这就是向量减法的几何意义.
思 考
(1)如图，如果从a的终点到b的终点作向量，那么
所得向量是什么？
a
b
a
b
O （ 1） A B
？ b a
a
b
（ 2） B
思考：若向量a、 b共线，则应怎样作出 a b 呢？
同向 反向
a b





0
首尾相接首尾连
一般的 A 0 A 1 A 1 A 2 A n 2 A n1 A n1 A n A 0 A n
A 1 A 2 A 2 A 3 A n1 A n A n A 1 0
举例说明？
例2.一艘船以 2 3km/h的速度向垂直于对岸的方向 行驶，同时，河水的流速为 2km/h，求船实际航行 速度的大小与方向（用与水流速间的夹角表 示）． C
因为DAB 120 O ，所以DAC 60 O 所以ADC 是正三角形，则 | AC | 3 由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
3 3 3 | OD || AD | sin 60 3 2 2
o
C
O
D
b
120o
`
A
a
B
所以 | a b | 3， | a b | 3 3
小结
1、向量的减法可以转化为向量的加法进行： 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
2、向量减法仍遵循三角形法则 “同一起点指向被减” 3、在解题中要注意转化思想和数形结合思想的应用.
: (a b ) c a (b c )
: a b b a.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
加与减是对立统一的两个方面，既然向量 可以相加，那自然也可以相减.那么，两个向 量如何进行减法运算?
探 究
向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数，如:5-1=5+(-1)
（4）如果是a,b互为相反的向量，那么
a b , b a, a b 0
二、向量减法： 定义： a b a ( b) 即：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a b 也叫做 也是一个向量。
a 与 b 的差。a 与 b
的差
三、向量减法的作图方法：