江西南昌2015届高三第二次模拟考试数学理试题(扫描版含答案)

2015 年 高 三 测 试 卷
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．2
14．13π 15．13 16．
2
2
12
x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π
∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2
22=---=；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分
所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3
A π
<<
，……………………11分 所以当3
A π
=
时，a b +最大，最大值是12
分
18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，
其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，
10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是27
13
P =
．…………………………………6分 （Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分
(0)P ξ==
113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==1
13
，……………………9分 所以随机变量ξ的分布列是：
随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=2113
．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，
……………………10分
42
1
2cos 22
CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒
由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC
⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分
在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π
∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4
CGF π
∠=，
所以2
CGF AGE π
∠+∠=，即AG CG ⊥， 所以AG ⊥平面BCG ； (6)
分 （Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，
以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)
(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D -,G ， (8)
分
平面BCG 的法向量(3,0,GA =，
设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则00
n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，
令1x =则(1,3,1)n =-， (10)
分
所以cos ,n GA <>=
=，…………………………………………………11分
而二面角D —GCB 为钝角， 故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分
20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，
因为||2OD ==，所以2r ==，…………………………………2分
因为圆1C 222
:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，
又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以2
9
1
414b b
+=⇒=，
所以圆1C 的方程为2
2
4x y +=，椭圆2C 的方程为22
143
x y +=；………………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，
当直线m 垂直于x
轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN
的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分
当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为
1
(1)y x k
=--，
圆心O 到直线m
的距离为：d =
，所以||PQ ==8分
将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()
2222
4384120k x k x k +-+-=，
||MN =
所以：四边形PMQN 的面积
1||||2S PQ MN =⋅=
==
∈，
综上：四边形PMQN
的面积的取值范围是． (12)
分
21．解：（Ⅰ）21221
'()22x ax f x x a x x
-+=+-=
(0)x >，记2()221g x x a x =-+………1分
（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分
（二）当0a <≤24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分
（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>
，解得x
∈，
所以函数
()f x 在区间
上单调递减，
在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分
（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)2
2f a =-，
对任意的(1a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式2
0()ln ()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式2
22ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………
6分
即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a a ma m a =+-++，则(1)0h =，
1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=
+-+=
，因为(1a ∈，所以210a a
->， 当1m ≥
时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a
在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分
当1m <
时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=
，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．
综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分
22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，
∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=， (3)
分
,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，
则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴， (6)
分
又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．
12,,18AD FB ACF ADB F AC AF ==∠=∠=∠∴==，
//,18AE AD
AD FC AE BC
∴=-，解得8AE =。

(10)
分
23．解：（Ⅰ）圆O
的参数方程可以化为：12122
x y αα⎧-=
⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 所以圆O 的直角坐标方程是22111
()()222
x y -+-=， (2)
分
直线l
的极坐标方程可以化为：sin cos 222
ρθρθ-=
， 所以直线l 的直角坐标方程为：10x y -+=； (5)
分
（Ⅱ）由22010
x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，得0
1x y =⎧⎨=⎩． (8)
分
故直线l 与圆O 公共点为(0,1)，该点的一个极坐标为(1,)2
π
． (10)
分
24．解：（Ⅰ）不等式()0f x >等价于|21||3|x x +>-，两边平方得：2
2
44169x x x x ++>-+，
即：2
31080x x +->， (2)
分
解得4x <-或23x >
，所以原不等式的解集是：{|4x x <-或2
}3
x >；……………………5分
（Ⅱ）不等式3|3|()a x f x --<等价于|21|2|3|a x x <++-，
因为|21|2|3||(21)2(3)|7x x x x ++-≥+--=…………………………………………………9分
所以a 的取值范围(,7)-∞。

………………………………………………………………………10分。