2020.1高三期末理数参考答案及评分细则

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福州市2020届高三1月质量检查(数学理)

准考证号姓名.〔在此卷上答题无效〕绝密★启用前2021 — 2021学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学〔理科〕试题〔完卷时间120 分钟；总分值150 分〕本试卷分第Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅰ卷〔非选择题〕两局部．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅰ卷3至4 页．总分值 150 分.考前须知：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名〞与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅰ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试完毕，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.设复数 z 1i ,那么zi 12A ． 5B．10 2C．5D．542 22.集合 A x | x ≤ 0或 x ≥ 2， B x | x2x 2 ≤ 0 ，那么A ．AüB B．BüAC．AI B D． AUB R3.执行如下图的程序框图，假设输入的a,b 分别为 4,2 ,那么输出的 nA ．6B． 5C．4D． 34.向量 a(2, ),b(,2) ,那么“ 2 〞是“ a //(a2b) 〞的A ．充分不必要条件B ．充要条件C．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件5.假设x5a0a1 (x 2)a2 (x 2)2a5 ( x 2)5,那么a0=A． 32B．2C． 1D． 326.假设实数 a, b 满足 0 ＜ a2＜ b ＜ a ＜ 1, 且m log a b, n2log a b2 , 那么m,n, p的log a b , p大小关系为A ． m＞ p ＞ n B． p ＞ n ＞ m C． n ＞ p ＞ m D． p ＞ m＞ n7.假设2cos2x1 sin2 x ，那么 tanxA ．1B．1C．1或1D．1或1或33338.假设 x, y 满足约束条件3≤ x y ≤ 1,x y 的最小值为9≤ 3x y ≤那么z3,A ． 1B． 3C． 5D． 69.把函数 f x sin x cos x 图象上各点的横坐标缩短到原来的1倍〔纵坐标不变〕，再2把得到的图象向左平移π个单位长度，所得图象对应的函数为g x，那么8A ．g x 2 cos 2xB ． g x 2 sin 2 x3C． g x 2 sin 1x5 D ． g x 2 sin 1 x3 212810.四边形 ABCD 为正方形， GD平面 ABCD ，四边形 DGEA 与四边形 DGFC 也都为正方形，连接 EF,FB,BE ，点 H 为 BF 的中点，有下述四个结论：① DE BF ；② EF 与 CH 所成角为 60；③ EC平面 DBF ；④ BF 与平面 ACFE 所成角为 45．其中所有正确结论的编号是A ．①②B．①②③C．①③④D．①②③④11. 双曲线 E :x 2y 21 〔 a 0,b 0 〕的左、右焦点分别为 F 1, F 2，假设E 上点 A满a 2b 2足 AF 12 AF 2 uuur uuuur，那么 E 的离心率取值范围，且向量 AF 1 , AF 2 夹角的取值范围为,3是A ． 3,5B ． 7,3C ． 3,5D ． 7,912. 函数 f (x)x 22ax, g( x)1，假设存在点Ax 1 , f x 1 , B x 2 , g x 2，使得直线xAB 与两曲线 y f x 和 yg x 都相切，当实数 a 取最小值时， x 1x 2A ．232B ．332C ．32D ． 3 3224绝密★启用前2021 — 2021学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学〔理科〕试题第一卷考前须知：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．函数 f ( x)x,x ＜ 0,f113.e x1,那么 f (2)．x ≥ 0,14.设抛物线 y22px 上的三个点 A2, y1, B 1, y2 , C3, y3到该抛物线的焦点距离分别32为 d1 , d2 , d3．假设 d1 , d2 , d3中的最大值为3，那么p的值为．15. S 为数列 { a } 前n 项和，假设a15，且 a n 1 2a n2，那么S．n n21216.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子〞，古称“角黍〞，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原 .如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如下图粽子形状的六面体，那么该六面体的体积为；假设该六面体内有一球，那么该球体积的最大值为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60 分．17.〔本小题总分值 12 分〕在△ABC 中，AC1,BC7 ．（1〕假设 A 150 ，求 cos B ；〔 2〕D为AB边上一点，且BD 2 AD 2CD ，求△ ABC 的面积．18.〔本小题总分值 12 分〕等差数列 a n的公差为 2,a2 , a4, a8分别等于等比数列b n的第 2 项，第 3 项，第 4 项.〔 1〕求数列a n和 b n的通项公式；〔 2〕假设数列c n满足c1c2c n b n 1 ,求数列 c n的前 2021 项的和．a1a2a n19.〔本小题总分值12 分〕如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD ，PA AB ， E 为线段 PB 的中点， F 为线段BC上的动点．（1〕求证：平面AEF平面 PBC ．（2〕试确定点F的位置，使平面AEF与平面 PCD 所成的锐二面角为 30 ．20.〔本小题总分值12 分〕圆 O : x2y24，椭圆 C : x2y2221〔a＞b＞0〕的短轴长等于圆O半径的 63a b倍， C 的离心率为 2 ．2（1〕求 C 的方程；（2〕假设直线 l 与 C 交于 A, B 两点，且与圆 O 相切，证明：△ AOB 为直角三角形．21.〔本小题总分值12 分〕函数 f x cos x ax2 1.1〔 1〕当a时，证明：f x ⋯0 ；2〔 2〕假设f x在 R 上有且只有一个零点，求 a 的取值范围．〔二〕选考题：共10 分．请考生在第22， 23 两题中任选一题作答．如果多做，那么按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.〔本小题总分值 10 分〕选修4 4：坐标系与参数方程x53 t,在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为2〔 t为参数〕．以坐标原点为1y3t2极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos．〔 1〕求 C 的直角坐标方程；11〔 2〕设点 M 的直角坐标为5, 3， l 与曲线 C 的交点为A, B，求的值．MA MB23.〔本小题总分值 10 分〕选修4 5 ：不等式选讲函数 f (x) 2x 1 x1的最小值为 m ．2〔 1〕求 m 的值；〔 2〕假设 a,b,c 为正实数，且a b c m ，证明： a2b2c2 ≥1．32021－2021 学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学〔理科〕参考答案及评分细那么评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准制定相应的评分细那么。

2020届广东省深圳市罗湖区高三上期末理科数学试卷参考答案及评分细则

2019-2020学年第一学期期末质量检测理科数学评分细则与参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 24y x =-； 14. 0.88； 15. p =2，（2分）k =（3分）; 16. 1818.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分) 解：（1）2222sin a c b ac C +=+………………………………………… …………2分………… …………4分………… ……………………6分ABC ∆的面积sin 22S bc A ==,又4A =，所以bc =…………………… …8分由正弦定理sinA sin sin a b c B C ==，sin sin ,sin sin a B a C b c A A== 所以22222sin sin 52sin sin 2sin cos sin sin 88884a B C bc a a a A πππππ=====， ………… …10分所以28a =，a =． …………………… ……………………………… ……………………12分 18．(12分）解：(1) 由题意,又AB=2，所以AE ⊥BE ，又平面PEB平面ABED EB =,且平面PEB ⊥平面ABED ,所以AE ⊥平面PEB ， (2)分故AE ⊥PB,又PB ⊥PE,且AEPE=E,所以PB ⊥平面PEA ． (4)分（2）以BE 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别做AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴的方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． …………………………………………5分则31,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P ⎛ ⎝⎭， ……………………………………6分设()111,,x y z =n 为平面ADP 的法向量，则有则00AD AP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n，即11110310222y x y =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取,0,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭n =，……………………………… 8分设()222,,x y z =m 为平面AEP 的法向量，则有则00AE AP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩m m，即222220310222x y x y z --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取(1,=-m ，…………………………… 10分所以cos ,m n =|∙n m |n ||m=11．则二面角D PA E --. ………………………………………………………… 12分19．(12分）解：(1)由题意2222ab c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得224,1a b ==, 所以椭圆的方程2214x y += ……………………………………………………………………………… 4分（Ⅱ）设直线l 的方程设为12y x t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，……………………………………… 5分联立221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得 2224440x tx t ++-= ……………………………………… 6分则有212122,22x x t x x t +=-=- ………………………………………7分且()22168440t t t =-->⇒<<又1112y x t =+，2212y x t =+， ()2212121212111122422t t y y x t x t x x x x t -⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()1212122y y x x t t +=++= …………………………………………………………… 8分由AB 为直径的圆过点71(,)66P -,得0,PA PB ⋅=……………………………………………………9分所以，1212771106666x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得()()12121212749110636636x x x x y y y y -++++++= 所以()22271125422200626189t t t t t t ---⨯-+++=+-=，则 ……………………………… 10分解得1214,33t t ==-，又4133<-<< 所以直线l 的方程为1123y x =+或1423y x =- …………………………………………………… 12分20．(12分）（1）证明：方法1：若1a =，则[]2()1sin ,0,f x x x x π=+-∈又211x +≥，0sin 1x ≤≤，故0sin 1x ≥-≥-，所以21sin 0x x +-≥，……………………………2分又(0)1f =， 2ππ()=24f ，2(π)=π+1f ，当ππ(0)(,π)22x ∈⋃，时，1sin 0x -<-<，所以21sin 0x x +->恒成立，所以当1a =时，函数()f x 在区间[]0,π没有零点．…………………………………………………… 4分方法2：若1a =，则[]2()1sin ,0,f x x x x π=+-∈[]()2cos ,0,f x x x x π'=-∈ ，()2sin 0f x x ''=+≥，故函数()f x '递增，又(0)10f '=-<，()210f ππ'=+>，所以()f x '在[]0,π有一个零点，设为0x ，所以在区间[)00,x 上，函数()f x 递减，在区间(]0x π，上，函数()f x 递增，故2000()()1sin f x f x x x ≥=+-又000()2cos 0f x x x '=-=，得00cos 2x x =， ………………………………………2分所以2200000cos sin 5()()1sin sin 444x x f x f x x x ≥=+-=--，又01sin 0x ≥≥，所以200sin 5sin 044x x --≥，当且仅当0sin 1x =，即02x π=时等号成立，又当02x π=时00cos 2x x ≠，即02x π≠，故0()()0f x f x ≥>，所以当1a =时，证明：函数()f x 在区间[]0,π没有零点．………………………………………… 4分（2）解： []()2cos ,0,f x x a x x π'=-∈，故2cos sin 0x a x a x a -++≤，设()2cos sin g x x a x a x a =-++，[]0,x π∈， …………………………………………… 6分由(0)00g =≤，()220g a a πππ=+≤⇒≤-，()2sin cos 24g x a x a x x π⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭ ……………………………………………… 8分由a π≤-，得0a <，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()g x '单调减，2(0)()()24a g g x g π'''+=≥≥=+在区间,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()g x '2()()()24g g x g a ππ'''+=≤≤=-又a π≤-，所以(0)20g a '=+<，()204g π'=+<，()20g a π'=->………………………10分故()g x ' 在区间,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点区间0x ，由()g x '的单调性可知，在区间[]00,x 上()0g x '≤，()g x 单调减，在区间(]0,x π上()0g x '≥，()g x 单调增，()(0)0()()0g x g g x g π≤=⎧⎨≤≤⎩，故a π≤-． ……………………………………………… 12分21．(12分）解: (1)设模型 6.90570.0195y x ∧=+和 6.86390.1012ln y x ∧=+的相关指数分别是21R 和22R , 则210.01485570.0619319R =-,220.00487810.0619319R =-, 因为0.0148557>0.0048781,所以21R <22R所以模型 6.86390.1012ln y x ∧=+的拟合效果更好. …………………………………………… 3分（2）2020年5月份的对应月份代码为18，由(1)知,模型 6.86390.1012ln y x ∧=+的拟合效果更好,利用该模型预测可得,这个小区2020年5月份的在售二手房均价为()6.86390.1012ln18 6.86390.1012ln 22ln 37.16y ∧=+=++≈万元/平方米，………… 6分 (ⅰ)设该购房者应支付的购房金额为h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以①当5090s ≤≤时，契税为计税价格的1%故7.16(1%1)7.2316h s s =⨯⨯+=②当90144s <≤时，契税为计税价格的2%故7.16(2%1)7.3032h s s =⨯⨯+=③当144160s <≤时，契税为计税价格的4%故7.16(4%1)7.4464h s s =⨯⨯+= 故7.2316,5090,7.3032,90144,7.4464,144160.s s h s s s s ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩………………………………………………… 9分所以当5090s ≤≤时，购房金额为7.2316s 万元；当90144s <≤时，购房金额为7.3032s 万元；当144160s <≤时，购房金额为7.4464s 万元.(ⅱ)设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t 平方米，由（ⅰ）知，当5090s ≤≤时，应支付的购房金额为7.2316s 万元，又7.23167.231690760s ≤⨯<，又因为房屋均价约为7.16万元/平方米，7.16144760⨯>，所以t<144,所以90144t ≤<. 由7.3032760t ≤，解得760104.17.3032t ≤≈，所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为104平方米．……………………………………… 12分22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解: （1）由2x t y kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()2y k x =-， ………………………… 2分由2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数m 得2l 的普通方程()12y x k =+， ………………………… 4分设P (),x y ，由题意得()()212y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2210x y y +=≠， ……………………………5分（2）由（Ⅰ）曲线1C 的坐标方程为()20,ρθθπ=≠≠， ……………………………6分由题意4sin 2ρθρ=⎧⎨=⎩得1sin 2θ=，故6πθ=或56πθ= 所以曲线1C 和曲线2C 交点的极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭或52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………………… 10分23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）解:（1）当1,2b a ==时，()23,1145,1423,4x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩这时函数()f x 的最小值为5． ………………………………………… 4分（2）由0a b >> ，故()10b a b -<-，20a > ()()()()()()()222222112,111,12,x a x b a b b a b f x x x a a x a b a b b a b b a b x a x a b a b ⎧-+-<-⎪--⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨---⎪⎪-+>⎪-⎪⎩，……………………………8分【别解()()()()222111x x a x x a a b a b b a b b a b ⎛⎫++-≥+--=+ ⎪ ⎪---⎝⎭……………………… 8分】故()()21f x a b a b ≥+- 又()a b a b =+-≥()214b a b a ≥-，故()()222144f x a a b a b a ≥+≥+≥-，当且仅当2a b ==，时等号成立． …… 10分。

2020年1月安徽省安庆市普通高中2020届高三年级上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前安徽省安庆市普通高中2020届高三年级上学期期末教学质量统一监测数学(理)试题(解析版)2020年1月一、选择题：1.设集合{|A x y ==，{|ln(1)}B x y x ==-，则()A R B =（）A. (1,2)-B. (1,2)C. (1,2]-D. (1,2]【答案】B【解析】【分析】分别将集合A 和集合B 求出来，再求A R ，最后求()A R B 即可.【详解】{| 2 1}A x x x =≥≤-或，{|1}B x x =>，{|12}R A x x =-<<，故()A B {|12}R x x =<<.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的运算,属于基础题.2.若2020i 3i 1i z -=+,则z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】因为2020i 1=,故2020i 3i 13i 12i 1i 1iz --===--++,然后根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为13121i z i i-==--+,所以z 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的代数运算,考查复数的几何意义,属于基础题.3.已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,32log 5c =,则（） A. c a b << B. c b a << C. b c a << D. a b c <<【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较即可. 【详解】因为2153110133⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭<⎝⎭,332log log 105<=,所以c a b <<. 故选：A.【点睛】本题考查利用利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,此类题常用中间值0和1进行比较,属于常考题.4.某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2: 6: 4,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人数为100,则n =（）A. 400B. 200C. 150D. 300【答案】D【解析】【分析】直接利用分层抽样的定义计算即可.【详解】用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人数为10,则1004264n =++, 解得300n =.故选：D.【点睛】本题考查分层抽样的应用,属于基础题.。

2019-2020学年第一学期高三数学期末一卷答案 (1)

2
x
16k
2
12
0
，解得
x
y
2， 0 ，或
x y
8k 2 6， 3 4k2 ，
12k 3 4k 2
所以
M
(
8k 2 3
6 4k 2
，12k 3 4k 2
)
，
……………………………10 分
代入 AM
13 2
AN
得
(
8k 2 6 3 4k 2
2，3142kk2
)
13 2
（图 2）
解：（1）在图 1 中连结 AC,BD 交于点 O，设 BD 与 FG 交于点 M，在图 2 中连结 OP，
因为 ABCD 是边长为10 2 cm 的正方形，所以 OB=10（cm)，
由 FG= x ，得 OM x ， PM BM 10 x ，
2
2
因为 PM OM ,即10 x x , 所以 0 x 10 ． 22
所以
sin C
sin(
B)
sin
cos B
cos
sin
B
3
3 1
6 3
6．
333来自2 3236……………………………8 分
（2）由余弦定理得 b2 a2 2ac cos B c2 ，则 ( 2)2 1 2c 3 c2 ， 3
…………10 分
所以 c2 2 3 c 1 0 ，(c 3)(c 3 ) 0 ，
在区间 (1,e) 上无零点；
……………………………8 分
2）当 a 0 时，令 f (x) 0 ，得 x 1 或 1 ，其中 1 1，
ea
e
①若 1 ≤1，即 a ≤ 1 ，则对任意 x (1,e) ， f (x) 0 ，所以函数 f (x) 在区间[1,e] 上 a

2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准

理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=，则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．（1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合；（2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图主视图俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分．（2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分．（2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）．依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ．又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角．在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33．法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示．当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ，故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分（2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。

龙岩市2020届高三1月质量检查(数学理)答案

龙岩市2020届高三1月质量检查(数学理)答案龙岩市2019-2020学年第一学期期末高三数学（理科）试题参考答案及评分细则评分说明：1.本解答提供了一个或多个解决方案供参考。

如果考生的解法与本解答不同，评卷组可以讨论后根据试题的主要考察内容制定相应的评分细则。

2.对于计算题，如果考生在某一步仅出现了严谨性或规范性错误，不应影响后续部分的评分。

当考生在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后面的解答将不得分。

3.解答右侧的分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分60分。

题号答案1C2C3A 4B5B6D 7B8D 9A10C11B12C11题解：将其转化为x-4x=a(e+e-x+2)，则g(x)=x^2-4x和h(x)=a(e^x-2+e-x+2)的对称轴均为x=2.由对称性可知，当a<0且h(2)=g(2)，即a=-2时，满足条件。

12题解：（方法一）设BC的中点为O，则O为球心，AP=AB+BO+OP。

因此，AP×AD=(AB+BO+OP)×AD=AB×AD+BO×AD+OP×AD=2+2cos。

当cos=1时，OP和AD的方向相同时，取最大值为4.（方法二）可将四面体放置于正方体中，建系求解。

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

13.1014.1115.2,416题解：可以得知①是明显错误的。

对于②，由于an<n，得出Sn<2=1-(1/n)<1，因此②正确。

对于③和④，|Sm-Sn|=|an+1+an+2+。

+am|<|an+1|+|an+2|+。

+|am|，因此|Sm-Sn|<|an+1|+|an+2|+。

+|am|<1/2n+1/2(n+1)+。

+1/2m<1，所以④正确，而③是错误的。

高三数学参考答案2020.1

1 3
．
∴
an

(1 )n 3
．
（Ⅱ）∵
cn

1
1 ( 1 )n
1 1 ( 1)n1

3n 3n
1

3n1 3n1
1

2

1 3n
1

1 3n1 1
3
3

2

1 ( 3n
1

1 3n1
) 1
．
又∵
1 3n 1

1 3n
,
1 3n1 1

1 3n1
（Ⅰ）求数列{an } 的通项公式；
（Ⅱ）若 cn

1 1 an

1 1 an1
，Tn 为数列{cn } 的前 n 项和．求证： Tn

2n
1 3
．
20．（Ⅰ）∵
2Sn

an

1
（
n N*），令
n

1
，得
a1

1 3
．
又 2Sn1

an1
1(n
2) ，两式相减，得
an an1
（Ⅱ）在 ABC 中， AB 1 ， AC 2 ， f ( A) 3 ，且 A 为钝角，求 sin C 的值． 2
18．（Ⅰ）f ( x) 2sin x cos( x 2 ) 2 sin x ( 1 cos x 3 sin x) sin x cos x 3 sin2 x
又由正弦定理 BC AB ，得 sin A sin C
sin C
AB

sin

天津市部分区2020～2021 学年度第一学期期末练习高三数学参考答案与评分标准

=
4 5
2
2
5 5
……………………………………14
分
设平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角为，因为 0＜＜
所以 sin=
1 cos2
n, AB
5
5
故所求平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角的正弦值为 5 . 5
18.解：（1）由题意，知 3Sn an 1， n N* ， ①
…………15 分
所以 Tn
1 2
1 1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
3 4
1 2
1 n 1
n
1
2
.
………………………………………………13 分
因为 n N* ，
所以
1 2
n
1 1
n
1
2
0
，
所以 Tn
3 4
.
……………………………………………………………………15 分
，又
BAC
90
，
以点 A 为坐标原点，分别以 AC, AB, AD 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立
空间直角坐标系 A xyz .
……………………………………………………6 分
则 A0,0,0 ， B0, 2,0 ， C 1,0,0 ， D0,0, 2 .
因为
E
,
F
分别为
AB,
CB
线方程为 x 3 ，
则 P
3,0 , E
3, 3 , F
3,
3
，所以
PE

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2019-2020 学年第一学期期末质量检测理科数学评分细则与参考答案12.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12DB ACCC ABCBAD: 452013. y2x 414. 0.8815. p 2 2k33;16. 1818 .317.(12 )1 a 2c 2 b 2 2ac sin Ca 2 c 2b 2sin C ,2accos B sin C ,20 Bπ,0 C πCB C2B,2C,, B C ,“2C” ,A;42 BA2B242C2B , ( ) A 2B , b cA B CA 2B2 2 A,A. 624(2) A2B CBB,C5288ABCS1bc sin A 2 , Abc 42824a b c b a sin B , c a sin CsinA sin B sin Csin A sin Abca 2 sin B sin C2sinsin 52a 2sin cos2sin4 2 10sin 2A2a8a88 8 4a 28 a2 21218 (12(1)AE=BE= 2 , AB=2AE BEPEBABEDEB ,PEB ABED ,AE PEB21AE PB, PB PE, AE PE=E,PBPEA42zO ABADBEOOPx yOxyz5A3 , 1 ,0D 3 , 1 ,0 E 1 , 1 ,0 P 0,0, 262 22 2 2 22nx 1 , y 1, z 1 ADPn AD 0y 1 023 12n =8,0,1 n AP 02x12y1z 1 032mx 2 , y 2 , z 2 AEPm AE 0x 2 y 2 0312m1,1,210m AP 02x22y22 z 2cos n, m =n m = 222| n || m | 11D PAE2 22 . 121119 (12ab 2(1)c 3 a 24,b 21,a 2a 2b 2c 22x 224 yl y1 x t2x2214y14y1 x t A( x 1 , y 1), B( x2 , y 2 )52y2x 2 4tx 4t 24 06x 1x 22t, x 1 x 2 2t 22716t 2 8 4t 24 02 t2y 11 x 1 t y 21 t2x 22y 1 y 21x 1 t1x 2 t1x 1 x 2 tx 1 x 2 t 2t 21224 22y 1 y 21x 1 x 22tt 82P(7 ,1), PAABPB0,966x 17 x 2 7y 11 y 21 0666 6x x7 x x 49y y1 y y1 01 26 1 236126 1 2362t 2 2 72tt 2 1 1 t 25 0，则 t 2 t4 0 1062 6 189t 11, t 2424 1 2333 3ly1 x 1 y 1 x4 12232320 (1211a1f ( x) x 21 sin x, x0,x 2 11 0 sin x10sin x1x 21 sin x 0 22ππf (0)1f ( π π 2(1sin x 0)=f ( π)= π +1 x (0， ),π)2 422x 21 sin x3a 1 f ( x)0,42a1f ( x)x21sin x, x0,f ( x)2x cos x, x0,f(x) 2sin x0f ( x)f (0) 1 0 f ()210f( x)0,x00, x0 f (x)x0， f ( x)f (x) f ( x0 )x021sin x0f( x0 ) 2x0cos xcos2f ( x) f (x0 )45sin 2 x0sin x0440x0cos x02x02sin2 x01 sin x05sin x01 sin x00440sin x010x2x0x0cos x0x0 f (x) f (x0 ) 0222a 1 f ( x)0,42 f (x)2x a cos x, x0,2x a cos x a sin x a 0g( x)2x a cos x a sin x a x0,g(0)00g( )22a 0a6g ( x)2 a sin x a cos x a 2 sin x284a a00,g ( x) 2 a g (0)g (x)g ( )2a 244,g ( x)2a 2g ( )g ( x) g ()2a44a g (0) 2 a0 g ( )2a 2 0 g ()2 a 0104g ( x),x0g ( x)44在区间 0, x 0 上 g ( x) 0 ， g(x) 单调减，在区间x 0 ,上 g ( x) 0 ， g ( x) 单调增，g( x)g (0) 0．12分g( x) g ( ) ，故 a21． (12 分）解 : (1)设模型 y6.9057 0.0195x 和 y 6.8639 0.1012ln x 的相关指数分别是R 1 2和R 22 ,则 R 121 0.0148557 R 22 1 0.0048781 ,0.0691930.069193,因为 0.0148557 >0.0048781 ,所以 R 12< R 22所以模型 y 6.8639 0.1012ln x 的拟合效果更好 .3 分（ 2） 2020 年 5 月份的对应月份代码为 18，由 (1)知,模型 y 6.86390.1012ln x 的拟合效果更好 ,利用该模型预测可得 ,这个小区 2020 年 5 月份的在售二手房均价为y6.86390 . 1 0 1 2 l n 1 8 6 . 8 6 3 9 0 . 1 0 1 2 l n 万2元 / 平2方ln 米3 ， 7 .1 6 6 分( ⅰ ) 设该购房者应支付的购房金额为h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以当 50 s 90 时，契税为计税价格的 1%故 h s7.16 (1% 1) 7.2316 s当 90 s 144 时，契税为计税价格的 2%故 h s7.16 (2% 1) 7.3032 s当 144 s 160 时，契税为计税价格的4%故 h s 7.16 (4% 1) 7.4464 s7.2316s,50 s90,故 h7.3032s,90 s 144, 9 分7.4464s,144 s160.所以当 50 s 90 时，购房金额为 7.2316s 万元；当 90 s 144 时，购房金额为7.3032s 万元；当144 s 160时，购房金额为 7.4464s 万元 .( ⅱ ) 设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 t 平方米，由（ⅰ）知，当 50 s 90 时，应支付的购房金额为 7.2316s 万元，又 7.2316 s 7.2316 90 760 ，又因为房屋均价约为7.16 万元 / 平方米， 7.16 144 760 ，所以 t<144, 所以 90 t 144 .由 7.3032t 760 ，解得 t 760104.1 ，7.3032104 平方米． 12 分所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为522.[4-4] 10x2tk2x: 1y ktt l1y2x2m1m m l2y 2 x4 y kky k 2 xP x, yy 12k x2y 24y05 kx2C20,6 14sin sin152266CC2,2, 510126623.[4-5] 102x3, x1: 1b1,a2f x x 1x45,1x42x3, x4f x5462a b 010 a20b a b2x a21, xb 1b a b a bf xx1x a2a21,1x a28b a b b a b b a b2x a21, x a2b a bx1x a2x1x a21a28b a b b a b b a bf x a21bb aa b a b 2 b a b14b a b a2f x a21a244a2, b210b a b a227。