等腰三角形二
等腰三角形性质第二节
特殊的等腰三角形性质02一、课前复习： 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的 相等；（2）等腰三角形 、 、 互相重合。
二、预习课前：1、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，即 叫等边三角形。
等边三角形又叫正三角形。
2、把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？__________________________________.等边三角形的性质：等边三角形的如图1，性质的几何语言为：△ABC 为等边三角形则：____________________________________________ 3、顶角为直角的等腰三角形成为____________________， 4、把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等腰直角三角形中，你能得到什么结论?______________________. 性质应用：1、如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB ，AC 于D ，E 。
求证△ADE 是等边三角形。
2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。
画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。
E D CABAB 图1 CB图2AB三、课堂探究：例题：如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，求证BE ＝DC2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 等于 的一半。
3、证明这个结论：已知：Rt △ABC,∠C=90°，∠A=30°.求证：AB=2BC 证明：例题：如图，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E,使CE=CD,过D 点作DM ⊥BE,垂足为M.求证：BM=EM.Ｄ ＣＢ Ａ课堂检测：1.正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I,则∠BIC 等于（ ）A.60°B. 90°C. 120°D. 150°2、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB ，若AB=a,则DB=3、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30度，则此三角形中腰与底边的关系（ ）A 、腰大于底边B 、腰小于底边C 、腰等于底边D 、不能确定 4、在Rt △ABC 中，∠C=90度，∠A=30度，CD ⊥AB 于点D ，AB=8cm,则BC= ， AD= .5、在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分线交于点Ｏ，过Ｏ作ＥＦ∥ＢＣ，ＡＢ＝６cm ，ＡＣ＝５cm ．则△ＡＥＦ的周长=6、如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝３０°，ＤＡ⊥ＢＡ于Ａ，ＢＣ＝４．2cm,则ＡＤ＝图（1） 图（2）7、如图２、 ∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＣＡ的延长线上一点， ∠ＢＤＣ＝１５ °，且ＡＤ＝ＡＢ，则ＢＣ= AD8. △ＡＢＣ中，AB=AC, ∠BAC=120°,AD ⊥AC 交BC 于点D,求证;BC=3AD.思考题：如图，D、E分别为等边三角形ABC的边BC、AC上的点且BD=CE，连接BE、AD，交于点F，求∠AFE的度数。
72度角的等腰三角形边长关系(二)
72度角的等腰三角形边长关系(二)
72度角的等腰三角形边长关系
1. 引言
•介绍72度角的等腰三角形的背景和问题
2. 定义
•说明等腰三角形的定义和性质
•解释72度角的特殊性，并与等腰三角形结合起来
3. 边长关系
等腰三角形的等边关系
•解释等腰三角形中两个边相等的性质
•提及72度角的等腰三角形也满足这一性质
三角函数的应用
•介绍正弦、余弦和正切的基本概念和公式
•探讨如何利用正弦函数求解等腰三角形的边长关系
边长关系的推导
•使用正弦函数的公式推导72度角的等腰三角形边长关系的表达式
•展示推导过程中的关键步骤和计算方法
4. 结论
•总结72度角的等腰三角形边长关系的表达式
•强调其实用性和重要性
5. 应用
•举例展示72度角的等腰三角形边长关系在实际问题中的应用情景
•比如建筑设计、地理测量等领域
6. 结语
•总结文章内容，强调该边长关系的价值和启示
•鼓励读者进一步研究和应用相关知识
注：本文假设读者具备基本的三角函数和几何知识，如果对这些概念不熟悉，请参考相关教材或学习资源进行补充。
等腰三角形的性质(2)
B
E
C
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例2： 如图，标杆AB高为5m，为了将它固定，需要由 它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条 绳子，使得点D、B、E在一条直线上，量得DE=4m，绳 子CD和CE要多长？ 选取比例尺为1：100（即以1cm代表1m）
A
问题：1.如右图所示△ABC是等腰三角形,AB=AC,倘 若一不留心.它的一部分被墨水涂没了,只留下一条 底边BC和一个底角∠C.同学们想一想,有没有办法 把原来的等腰三角形ABC重新画出来?大家试试看.
A
B
C
方法一：用角的相等来画.
B
C
A B Ｃ C
方法二：用过一边中点作垂线的方法来画.
Ｂ
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（1）作线段DE=4cm;
(2)作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B； （3）在MN上截取BC=2.5cm; （4）连接CD、CE，△CDE就是所求的 等腰三角形。量出CD的长，就可以计 算出要求的绳长，自己试一试！
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如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。
4、这个命题正确吗？你能证明吗？
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如果一个三角形有两个角相等，
大 胆 猜 测
那么这两个角所对的边也相等.
简写成”等角对等 边”.
你能证明“等角对等边”吗？
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2.已知在等腰△ABC中，∠A=36°，∠ B=72°，∠C=72°， 请同学们想一想，如何添一条线，将等腰△ABC分成两个等腰 三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？ 还可以继续吗？ A
等腰三角形第二课时(精品教案设计)
双塔初中 八 年级 数学 科 导学案 课题 《等腰三角形》第二课时 时间： 月 日 班 姓名：学习目标： 会证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式. 重难点：【教学重点】证明有关等腰三角形中相等的线段。
【教学难点】得出合作探究三的两个结论。
一、知识回顾（3分钟，提问3、4号学生,学法指导：学生独立完成，组长组织交流）等腰三角形的性质1、等腰三角形的两底角 。
简述为：____________________________.2、等腰三角形的顶角的_________、底边上的 、底边上的 互相重合。
(简称___________) 二、自主学习（用时10分钟,提问3号学生。
学法指导：独立完成，小组合作交流） 探究一 证明：等腰三角形两底角的平分线相等已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD=CE ． 证明：∵AB =AC ，∴∠ =∠ACB(等边对等角)． ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ABC， ∴∠1=∠2．在△BDC 和△CEB 中，∠ACB=∠ABC，BC= ，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)探究二 等腰三角形两腰上的中线相等吗？高相等吗？(如果相等，证明一个即可)三、合作探究（用时20分钟,学法指导：2号学生展示，其他人独立完成，小组合作交流） 探究三：在△ABC 中，AB==AC,点D ，E 分别在边AB 、AC 上.(1) 如果∠ABD = 31∠ABC ，∠ACE =31∠ACB ，那么BD=CE 吗?（如果相等，写出证明过程）(2) 如果∠ABD =41∠ABC ，∠ACE =41∠ACB 呢?（猜想）(3) 如果AD=12 AC ，AE=12 AB ，那么BD=CE 吗?（如果相等，写出证明过程） 如果AD=13 AC ，AE=13AB 呢?（猜想）结论(1)：___________________________________________________________________ 结论(2)：___________________________________________________________________ 探究四：证明定理：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.四、课堂小结(2分钟，提问3、4号学生) 五、当堂检测（15分钟，学法指导：写在学案背面，独立完成，教师批改1，2号，学生交流改正） 1、随堂练习12、练习册P5第11题 六、拓展提升（学法指导：课下小组合作交流完成。
三角形中角的二倍关系构造等腰三角形
三角形中角的二倍关系构造等腰三角形构造等腰三角形，需要利用三角形中角的二倍关系。
所谓三角形中角的二倍关系，指的是三角形的一个内角的角度是另外两个内角的二倍。
我们来看一个等腰三角形的特点。
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们知道等腰三角形的底边两边相等，而顶角则与底边两边相对。
假设等腰三角形的两边长度为a，底边长度为b，顶角的度数为x。
根据等腰三角形的性质，我们可以得到以下结论：1. 底边两边相等，即a = b。
2. 顶角与底边两边相对，即顶角的度数为x。
根据三角形中角的二倍关系，我们知道三角形的一个内角的度数是另外两个内角的二倍。
所以，我们可以得到以下关系：x = 2 * (180 - x)化简上述方程，可以得到：x = 360 - 2x将x移到等式左边，得到：3x = 360将方程两边同时除以3，可以得到：x = 120所以，等腰三角形的顶角度数为120度。
现在，我们来构造一个等腰三角形。
假设等腰三角形的底边长度为5cm，顶角的度数为120度。
根据等腰三角形的特点，我们可以得到以下步骤：1. 使用直尺和铅笔，在纸上画一条长度为5cm的线段，作为底边。
2. 使用量角器和铅笔，在底边的中点处画一个120度的角。
3. 使用直尺和铅笔，从底边的两个端点分别连接到顶角所在的点。
4. 使用橡皮擦，擦除多余的线段。
经过以上步骤，我们成功构造了一个等腰三角形，其中底边的长度为5cm，顶角的度数为120度。
通过以上构造过程，我们可以看到等腰三角形是如何利用三角形中角的二倍关系来构造的。
通过确定底边的长度和顶角的度数，我们可以准确地构造一个等腰三角形。
需要注意的是，等腰三角形的底边长度和顶角的度数是可以任意确定的，只要满足等腰三角形的定义即可。
所以，在构造等腰三角形时，可以根据实际需要来确定底边的长度和顶角的度数。
总结起来，通过三角形中角的二倍关系，我们可以构造出等腰三角形。
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形，其底边两边相等，顶角的度数是底边两边相对的。
等腰三角形性质总结
等腰三角形性质总结等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形有很多独特的性质和特点。
本文将总结等腰三角形的性质并进行详细介绍。
一、定义和基本性质等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。
一般来说，等腰三角形的两边相等的两个角也相等，这被称为等腰三角形的基本性质之一。
具体来说，如果一个三角形的两边长相等，那么该三角形就是等腰三角形。
二、角度性质1. 底角性质：等腰三角形的底角相等。
所谓底角，是指等腰三角形的两个边中与底边不相邻的内角。
因为等腰三角形的两边相等，所以两个底角也必然相等。
2. 顶角性质：等腰三角形的顶角等于180度减去底角的两倍。
顶角是指等腰三角形的两个边中与顶点相邻的内角。
由于三角形内角和为180度，所以等腰三角形的顶角可以通过180度减去底角的两倍来计算。
三、边长性质1. 两边相等：等腰三角形的两边相等，这是等腰三角形的定义。
两边相等意味着等腰三角形的两条边的长度相同。
2. 底边中点连线：等腰三角形的底边中点连线与顶点连线重合且垂直于底边。
这是等腰三角形的一个重要性质，也是等腰三角形特有的一个特点。
四、对称性质等腰三角形是一个具有对称性质的图形，具体体现在以下几个方面：1. 中线对称：等腰三角形的底边中线是等腰三角形上底角的角平分线，且底边中线与等腰三角形的两边相等。
2. 顶点对称：等腰三角形的顶角对应的两边相等，即顶角两侧的边互相对称。
五、高线的性质等腰三角形的高线是从等腰三角形的顶点到底边的垂直线段。
高线有以下性质：1. 高线相等：等腰三角形的两条高线相等，且垂直于底边。
2. 高线与底边的关系：等腰三角形的高线平分底边，即将底边分成两个相等的部分。
六、中位线的性质等腰三角形的中位线是从等腰三角形的顶点到底边的中点的线段。
中位线有以下性质：1. 中位线垂直：等腰三角形的中位线垂直于底边。
2. 中位线与底边的关系：等腰三角形的中位线平分底边，即将底边分成两个相等的部分。
等腰三角形的性质2
C
方法二：作顶角的平分线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 12 求证： ∠B= ∠C. 证明： 作顶角的平分线AD，则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中 B D AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
• 1．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、 A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线 OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均 为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边 长为（ ） • A．6 B．12 C．32 D．64
• 2．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角 后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数 是（ ） • A．180°B．220°C．240°D．300°
∵AB=BC=CA ∴∠A = ∠C，∠B = ∠C，∠A = ∠B ∴∠A = ∠B = ∠C = 600 B C
等边三角形性质： 等边三角形的各角都相等， 并且每一个角都等于60°.
2.等边三角形每条边上的中线，高和它所对角的 平分线互相重合。
A
5 6
D O
7 8 3 1
E
4 9 10 2
B
F
12、如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、 N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知 点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一 次到达B点时，M、N同时停止运动． • （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ • （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ • （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底 边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的 时间．
等腰三角形(2)[下学期]--湘教版-
![等腰三角形(2)[下学期]--湘教版-](https://img.taocdn.com/s3/m/39dd1af2102de2bd97058803.png)
D
解：∠CAB是ΔABC的外角， ∠1=∠2，AD∥BC，因为 AD∥BC所以∠1=∠B ∠2=∠C，∠B=∠C，因此 AB=AC，即ΔABC的是等腰
B
C
例2：上午10 时，一条船从A处出发以 20海里每小时的速度向正北航行，中 午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测 得∠NAC=40°， ∠NBC=80°求从B处 到灯塔C的距离 解：∵∠NBC=∠A+∠C
有两个角相等的三角形是等腰三角形
简称“等角对等边”
注意：
（1）“等边对等角”与“等角对等边”， 前者是等腰三角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的性质，后者是等腰三 角形的判定。 （2）“等边对等角”与“等角对等边” 只是针对同一个三角形中的边角关系的。
基本应用
例：如果三角形一个角的外的角平分线平行 于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰 三角形吗？为什么？
C N北 80°
∴∠C=80°- 40°= 40° ∴ BA=BC（等角对等边） ∵AB=20（12-10）=40 ∴BC=40 答：B处到达灯塔C40海里
B
40°
A
初露锋芒
求证：等腰三角形的顶角顶点到两底角的角平分 线的距离相等
A
已知ΔABC中AB=AC，CE， BD是∠B， ∠C的平分线 且AD⊥BD，AE⊥EC
在ΔABC中，∠B=∠C作∠BAC 的平分线交BC于D，则∠ 1=∠2， B 又∠B=∠C，由三角形内角和的 性质得∠ADB=∠ADC，沿直线
A
1 2 D C
AD折叠，由于∠ ADB=∠ADC ，∠1= ∠2，所 以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重 合，从而点B与点C重合，因此AB=AC
D D
E O B
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等腰三角形（二）教学反思遵义县尚嵇中学八（3）班教师刘昌华
《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记忆，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流，以促进学生自主、全面、可持续发展”，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交流、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程。
上完《等腰三角形的判定》一节内容后，对本节课作以下反思：
一、成功之处
1、本节课从生活中的实例引入课题，让学生亲身体验到数学知识源于实际的需要，再从实例中抽象出数学模型，培养学生用数学知识解决实际问题的意识与能力。
2、在探索等腰三角形的判定定理时，通过让学生动手操作画出有两个角相等的三角形，
测量它们所对应的两条边之间的关系，进而猜想、归纳、验证得出等腰三角形的判定定理，这一过程体现了知识的发生、形成和发展的过程，有效的突破了教学重点。
3、对于课本的例题，属于文字表述的几何命题式的证明，首先要求学生写出已知和求证，独立思考后再在小组内讨论，最后与课本规范的证明过程比对。
通过小组交流、讨论，独立书写解题过程后比对这种学生自主学习的形式代替老师的讲解，能使学生的印象更加深刻。
4、在课后层级训练中，列出了与等腰三角形、角平分线、平行相关的问题，便于学生认识并掌握这一类基本的图形，近几年许多考题常以等腰三角形为命题背景，所以在平时的学习中要求学生及时归纳总结，灵和掌握并能很好的应用。
二、不足之处
1、对于等腰三角形“三线合一”的性质的逆命题在本节课堂上没有提出，只在课后双基训练中提到，如果能在得到等腰三角形的判九月开学季，老师你们准备好了吗？幼教开学准备小学教师教案小学教师工作计...初中教师教案初中教师工作计...
2 、定定理后，对“三线合一”的逆命题也加以说明，指出此性质的逆命题也是真命题，再让学生课后分三个命题分别证明会更好。
主要是已知底边和底边上的高，尺规作等腰三角形，虽然现在教学对尺规作图有所淡化，但仍应该让学生学会基本的尺规作图，所以如果课堂上能呈现例3，教学内容会更完整，学生知识的掌握也会更全面。
三、学生创新
在证明等腰三角形的判定时，可以通过作顶角的角平分线、底边上的高证明三角形全等，从而得到边相等，即然可以作角平分线和高，自然就有学生提到做底边上的中线，但如果直接证明全等就会错用“SSA”，那么能否作中线后，再通过其他的方法证明呢？学生课下
思考交流后，发现再过中点做两边的垂线，利用两次全等也可以得到要证明的结论。
所以，对于提出这个解题思路的同学应给予肯定后引导大家一些思考交流，从而正确解决问题。
四、再教设计
在解决“三线合一”逆命题这个问题时，可以在知识回顾中用几何语言叙述“三线合一”所包括的三个命题，在本课结束后，抛出逆命题这个问题，让学生课后思考，并在课后训练中完成，这样对于学生的思维的培养以及今后逆命题、逆定理的学习都很有好处。
“教然后知不足”，教学后的反思会发现许多不尽如人意的地方，也正是这样才能更好的促进自己不断学习，进一步地激发自己向更高的目标迈进。