职高数学课件：平面向量的减法及其几何意义
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向量减法运算及其几何意义(数学优秀课件)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的 角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量， 这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方 向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以 通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以 两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另 一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的 性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的 计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一 个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点 之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确 定物体的移动轨迹等。
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的 角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量， 这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方 向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以 通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以 两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另 一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的 性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的 计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一 个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点 之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确 定物体的移动轨迹等。
向量减法运算及其几何意义(数学-优秀课件)
向量减法的几何意义
向量减法可以理解为在几何空间中，从一个点出发，沿着两个向量的方向移动， 一个向量的长度减去另一个向量的长度。
向量减法可以用于描述速度和加速度的变化。例如，如果一个物体在一段时间内速 度从$vec{A}$变为$vec{B}$，那么$vec{B} - vec{A}$表示这段时间内的加速度。
向量减法不满足交换律
$overset{longrightarrow}{A} - overset{longrightarrow}{B} neq overset{longrightarrow}{B} overset{longrightarrow}{A}$，除非$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$共 线。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算规则
定义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法的规则 进行计算。
计算方法
设$overset{longrightarrow}{A} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$， $overset{longrightarrow}{B} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$，则 $overset{longrightarrow}{A} - overset{longrightarrow}{B} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2,
向量减法在三维空间中的几何解释
01
定义
在三维空间中，向量减法同样表示从一个向量中减去另一个向量。
02
几何解释
与平面上的解释类似，但在三维空间中，除了在平面上的移动外，还需
要考虑垂直方向上的移动。
向量减法运算及其几何意义 课件
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和； ②起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆 向应用．
向量的减法及其几何意义 [典例] 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] 法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作 OA ＝ a， AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC ＝c，则CB＝a＋b－c.
[一题多变] 1．[变设问]本例条件不变，试用向量a，b，c表示BE 与CE .
解：BE ＝ AE － AB＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b. 2．[变条件]本例中的条件“点B是该平行四 边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四 边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解：因为四边形ACDE是平行四边形， 所以CD＝ AE ＝c，BC ＝ AC － AB＝b－a， BD＝ BC ＋CD＝b－a＋c.
利用已知向量表示未知向量
[典例] 如图所示，四边形ACDE是平行四 边形，B是该平行四边形外一点，且 AB ＝a， AC ＝b， AE ＝c，试用向量a，b，c表示向量 CD， BC ， BD.
[解] 因为四边形ACDE是平行四边形， 所以CD＝ AE ＝c，BC ＝ AC － AB＝b－a， 故 BD＝ BC ＋CD＝b－a＋c.
向量减法运算及其几何意义
1．相反向量 与 a 长度相等、方向相反 的向量，叫做 a 的相反向量，记 作 －a. (1)规定：零向量的相反向量仍是 零向量 ； (2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝ 0 ； (4)若 a 与 b 互为相反向量，则 a＝ －b ，b＝－a ，a＋b＝ 0 . [点睛] 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向” 两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
向量减法运算及其几何意义 课件
【例2】
如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且
=a, =b, =c,试用 a,b,c 表示向量, , .
分析:寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,再灵活运用三
角形法则或平行四边形法则表示即可.
解:∵四边形 ACDE 为平行四边形,
∴ = =c, = − =b-a.
在平面内任取一点 O,作=a, =b,则向量
a-b=.如图所示
作法
如果把两个向量 a,b 的起点放在一起,则 a-b
几何意义
可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的
Hale Waihona Puke 终点的向量探究一向量的减法运算
【例 1】 化简下列各式:
(1) − + − ;
(2)( + )+( + )-( − ).
解:(1) − + − = + − = −
=0.
(2)( + )+( + )-( − )=( + )+( + )( − )= + − = − = .
探究二用已知向量表示未知向量
∴ = + =b-a+c,
= − =c-a, = − =c-b.
探究三向量加减法的综合运用
【例 3】 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面外的一点,且向量
, , , 满足 + = + ,则四边形 ABCD 的形状
= + − =r3+r1-r2.
典例如图,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C
的向量分别为 r1,r2,r3,求 .
如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且
=a, =b, =c,试用 a,b,c 表示向量, , .
分析:寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,再灵活运用三
角形法则或平行四边形法则表示即可.
解:∵四边形 ACDE 为平行四边形,
∴ = =c, = − =b-a.
在平面内任取一点 O,作=a, =b,则向量
a-b=.如图所示
作法
如果把两个向量 a,b 的起点放在一起,则 a-b
几何意义
可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的
Hale Waihona Puke 终点的向量探究一向量的减法运算
【例 1】 化简下列各式:
(1) − + − ;
(2)( + )+( + )-( − ).
解:(1) − + − = + − = −
=0.
(2)( + )+( + )-( − )=( + )+( + )( − )= + − = − = .
探究二用已知向量表示未知向量
∴ = + =b-a+c,
= − =c-a, = − =c-b.
探究三向量加减法的综合运用
【例 3】 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面外的一点,且向量
, , , 满足 + = + ,则四边形 ABCD 的形状
= + − =r3+r1-r2.
典例如图,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C
的向量分别为 r1,r2,r3,求 .
平面向量的减法及几何意义
变式训练六: 如图, ABCD 中,AO = a,OB = b,
你能用 a,b 表示向量AB和AD吗?
解:AB=a + b; AD=a - b.
D
a
A
C
O
b
B
课堂小结
1.相反向量; 2.向量减法的定义; 3.向量减法的几何意义.
作业: 课本P91页 T4(3)~(7), T6,T7,T8.
备用习题：
练习 (1)AB CB; (2)AB BC DA DC; (3)MN MP PQ.
解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC;
(2)AB+BC+DA-DC=AB+BC+DA+CD=
AB+BC+CD+DA= 0.
(3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ) =MN-MQ =MN+QM =QM+MN =QN.
b
O
a
A ③箭头的方向是指向 “被减数”的终点.
向量减法的几何意义:
a b OA OB BA, 表示
从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
练习:课本P87页T2. 例1:
化简：（1）AB AC DB
(A)AD (B)AC (C)CD
(D)DC
（2）AB BC AD (A)AD (B)CD (C)DB (D)DC
__不__可__能__.因__为__平__行__四__边__形__的__两__条__对__角__线__方__向__不__同__._ 变式训练四：
当非零向量a, b满足什么条件时，能使a b
平分向量a, b的夹角？ a b
• 变式训练五
若a b a b ,则a与a b的夹角为多少度？
向量减法运算及其几何意义 课件
【规范解答】方法 1：∵b＋c＝D→A＋O→C＝O→C＋C→B＝O→B， O→A＋a＝O→A＋A→B＝O→B，∴b＋c＝O→A＋a，即 b＋c－a＝O→A.
方法 2：∵c－a＝O→C－A→B＝O→C－D→C＝O→D，O→D＝O→A＋A→D ＝O→A－b，∴c－a＝O→A－b，即 b＋c－a＝O→A.
用向量的加法、减法证明平面几何问题
如图所示，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设A→B＝a， D→A＝b，O→C＝c，证明：b＋c－a＝O→A.
【思路分析】要证 b＋c－a＝O→A，可转化为证明 b＋c＝O→A ＋a，从而利用向量加法证明；也可从 c－a 入手，利用向量减，设O→A＝a，O→B＝b.∵a 的方向与 b 方向垂直，∴O→A⊥O→B.以 OA，OB 为邻边作矩形 OACB，则|a ＋b|＝|O→C|，|a－b|＝|B→A|.∵OACB 为矩形，∴|O→C|＝|B→A|，∴|a ＋b|＝|a－b|.
(1)此题证明的关键在于运用了向量的和与 差的几何意义．
向量减法运算及其几何意义
知识点归纳
1．相反向量 (1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向 量．记作－a. (2)性质：①a与－a互为相反向量，即－(－a)＝a；②－0 ＝0；③a＋(－a)＝0；④若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝ －a，a＋b＝0.
2．向量的减法运算 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这 个向量的相反向量． (2)几何意义：已知 a，b，在平面内任取一点 O，作O→A＝a， O→B＝b，则B→A＝a－b.即 a－b 可以表示为从向量 b 的终点指向 向量 a 的终点的向量．
(2)把向量的加、减法，向量的模与四边形的概念综合起 来，拓展了思维空间．
平面向量的减法运算及其几何意义 课件
→→→→ → → ＝AC＋BO＋OA－DC＋DO＋OB
→→
→→
→→
＝(OA＋AC)＋(DO－DC)＋(BO＋OB)
＝O→C＋C→O＋0＝0.
例3. 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a, b表示 AC, D吗B？
b
AC a b DB a b
A
aB
变式一 : 本例中，当 a, b满足什么条件时，
例1.已知向量 a, b, c,，d 求作向量 a b ，c d .
b a
d c
思路点拨：利用三角形法则作图.
例1 已知向量 a, b, c, ，d求作向量 a ，b c. d
ab
cd
bd a
c
作法：
BD
A
bd
a
C
c
O
在平面内任取一点O， 作 OA a, OB b, OC c, OD d,
a b与 a b互相垂直？ a b
变式二 : 本例中，当 a, b 满足什么条件时，
a b a b ? a与b互相垂直
变式三 : 本例中，a b与a b 可能是相等向量
吗？
不可能.因为a与b不共线.
小结
三.向量的减法
1、定义（利用向量的加法定义） 2、几何意义（起点相同，由减向量的终点
向量减法运算的常用方法:
1．化简：(1)A→B－C→B－D→C＋D→E＋F→A； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)．
解：(1)A→B－C→B－D→C＋D→E＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→E＋F→A
→→→ ＝AE＋FA＝FE.
→→→ → → → (2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)
向量的减法及其几何意义课件
向量的减法及其几何意义课 件
目 录
• 向量的概念 • 向量的减法 • 向量减法的应用 • 向量减法的扩展知识
01
向量的概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的一种量，它由大小和方向两个要素组成。在二维平面上，向量通常表示为 一条有向线段，起点为原点，终点为任意点。在三维空间中，向量则表示为一个有向线段，其起点和终点都是空 间中的点。
向量的模
总结词
向量的模是衡量向量大小的一个量，用于描述向量在空间中的长度。
详细描述
向量的模定义为向量起点到终点的距离，即向量的长度。在二维平面上，向量的模可以通过勾股定理 计算得到；在三维空间中，向量的模则是通过欧几里得距离公式计算得到的。向量的模具有传递性、 非负性、齐次性和三角不等式等性质。
02
THANKS
感谢观看
如果有一个标量$k$和一个向量 $vec{A}$，则数乘后的向量是 $kvec{A}$。
向量减法与数乘的关系
向量$vec{A} - vec{B}$可以看作是标 量1与$vec{A}$的数乘减去标量1与 $vec{B}$的数乘，即$vec{A} - vec{B} = 1vec{A} - 1vec{B}$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是平移和反向延长。
详细描述
向量减法的几何意义可以通过平移和反向延长来解释。给定两个向量$vec{A}$和 $vec{B}$，向量$vec{A} - vec{B}$表示将向量$vec{B}$平移到向量$vec{A}$的终点，
然后反向延长至向量$vec{A}$的起点得到的向量。这个过程可以理解为将向量 $vec{B}$沿其方向相反的方向延长相同的长度，得到的结果就是$vec{A} - vec{B}$。
目 录
• 向量的概念 • 向量的减法 • 向量减法的应用 • 向量减法的扩展知识
01
向量的概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的一种量，它由大小和方向两个要素组成。在二维平面上，向量通常表示为 一条有向线段，起点为原点，终点为任意点。在三维空间中，向量则表示为一个有向线段，其起点和终点都是空 间中的点。
向量的模
总结词
向量的模是衡量向量大小的一个量，用于描述向量在空间中的长度。
详细描述
向量的模定义为向量起点到终点的距离，即向量的长度。在二维平面上，向量的模可以通过勾股定理 计算得到；在三维空间中，向量的模则是通过欧几里得距离公式计算得到的。向量的模具有传递性、 非负性、齐次性和三角不等式等性质。
02
THANKS
感谢观看
如果有一个标量$k$和一个向量 $vec{A}$，则数乘后的向量是 $kvec{A}$。
向量减法与数乘的关系
向量$vec{A} - vec{B}$可以看作是标 量1与$vec{A}$的数乘减去标量1与 $vec{B}$的数乘，即$vec{A} - vec{B} = 1vec{A} - 1vec{B}$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是平移和反向延长。
详细描述
向量减法的几何意义可以通过平移和反向延长来解释。给定两个向量$vec{A}$和 $vec{B}$，向量$vec{A} - vec{B}$表示将向量$vec{B}$平移到向量$vec{A}$的终点，
然后反向延长至向量$vec{A}$的起点得到的向量。这个过程可以理解为将向量 $vec{B}$沿其方向相反的方向延长相同的长度，得到的结果就是$vec{A} - vec{B}$。
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a b 吗？
一般地
a
b
B
b
O
a
a b
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量 注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。 （1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？ 练习：
（2）当 ， b a 共线时，怎样作 a b 呢？ BC AC (4) OD OA AD (3) BA B a OA OB O A b (5) OA OB BA a b BA B O A
(a) a （2） a (a) 0 (a) a 0 （3）设 a , b 互为相反向量，那么 a b, b a, a b 0
的相反向量仍是 0 。 0
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
a与b互相垂直
本节总结
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
作 业
P35 学中做4
1，2 题
三、几何意义：
（ 三 A 角 形 法 则 ）
b a (1) AB AD DB BA BC CA (2)
例3 已知向量 a, b, c, d ，求作向量 a b ， d 。 c a b B D A cd d
设
AB b, AC a AE a b) a b ( 又 b BC a 所以 BC a b
B
b
a b
a A b
a bDC E源自不借助向量的加法法则你能直接作出
例2 :长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如 图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时江水的速度为2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向（仅保留两个有效数字, 用与江水速度间的夹角表示，精确到度）。
—平面向量的减法
复习回顾
（1）向量的加法运算是按什么法则进行的呢？ 三角形法则
a
b
O
ab b A a
平行四边形法则 B
O
（首尾相连） （2）向量的加法满足什么运算律呢？ 交换律 结合律 （3）向量加法的有关模的一个不等式
B b ab a
C
A
（起点相同）
ab a b
a b
d
c
a
b
c
O
C
作法：
在平面内任取一点O， 作 OA a, OB b, OC c, OD d ,
则
BA a b
DC c d
起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。 注意：
x, y R , x y x ( y)
如何定义向量的减法运算呢？
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反 的向量叫做 a 的相反向量。 记作： a
规定： （1）
二、向量的减法： a b a (b)
B
思考：
在例2中，若要使船的实际速度为 AC ，江水的流速 为 AB ，你能求出船自身行驶速度的大小与方向吗？
C
A
B
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
思 实数 a 的相反数记作 a 。 考： （2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设
（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
练习：已知向量 a, b，求作向量 a b
（1） （2）
。
a
a b
b
a b
a b
a
（3）
a b a
（4）
b
b
a b
例4 在 ABCD AB , b, 中， a AD 你能用 a , b表示 AC, DB 吗？
D
(2)在Rt ABC中, AB 2, BC 5， 2 2 所以 AC AB BC
C
5
A
2 29 5.4 5 o 解： 因为tanCAB AD 表示船速， CAB 68 （1）如图所示， 2 , 由计算器得 表示水速， AB 答：船实际航行速度的大小为 5.4 km / h ，方向与水的流速 以AD、AB为邻边作 ABCD， 间的夹角约为 68 0。 则 AC 表示船实际航行的速度。 对向量加法在实际中的运用问题，把向量与向量的几何表示结合起来解决。
变式一 本例中，当 a满足什么条件时， ,b 互相垂直？ ab 与 a b
a b
AC a b DB a b
b
D
C
A
a
B
变式二
a b a b ?
本例中，当
满足什么条件时， a, b